数学符号意义获得能力初探

长期以来，数学教师特别重视数学知识的理解，强调对数学知识进行系统而详细的讲解分析和对数学问题解答过程进行逻辑而细致的推理演算。然而，什么是“数学知识的理解”？为什么教师的讲解已经“细无可细”，学生却总是抱怨“听不懂”？为什么有的学生可以轻松地得“满分”，而且答卷整洁又美观，而总有些学生绞尽脑汁也只能得个位分或交“白卷”，而且卷面潦草、杂乱无章？从符号学视角看，这些问题与数学符号、数学意义、数学文本三者之间复杂的“转译”关系(见图1)和师生在数学符号意义获得能力上的个体差异密切相关。为此，本文从建构主义的生本教育理念出发，基于符号学的立场与视角，运用符号学的理论与方法，针对数学教育教学中的现实问题，提出了“数学符号意义获得能力”的概念，并对其提出背景和基本内涵进行了初步探讨，以期能够为解决数学教育教学中的现实问题提供新思路，为提高数学教育教学的针对性和有效性提供新技术。

  

图1 数学符号、数学意义与数学文本间的转译关系示意图

一、数学符号意义获得能力的提出背景

数学是一门符号科学。人与人之间的任何数学信息交流都必须借助数学语言符号系统，通过不同符号形式的语言之间的意义“转译”来实现。因此，数学符号不仅在数学知识表征、传播、传承和创新中发挥着重要载体作用，而且其本身就是一种重要的知识，在数学教育教学实践和数学学习中发挥着中枢作用。令人遗憾的是，数学符号的知识属性和中枢作用并未受到足够重视。

1.数学符号的知识属性在数学教育教学中长期被忽视。对于数学符号与数学意义关系的认识存在两种基本立场：一是知识论立场，主张数学符号所承载的知识是客观存在的、预设的、确定的，认为符号学习的重点是记忆和理解符号承载的知识，学习的目标就是将自己的认识统一到新知识上来，符号本身只是知识的物质载体，不很重要；二是符号学立场，主张数学符号所承载的知识是主观建构的、生成的、不确定的，认为符号学习是个体基于自身经验和语言知识对符号意义进行主观建构和意义拓展的过程，学习的目标是获得对符号及其意义的更全面的理解和认识，“符号-意义”是一个统一体，同等重要，都是学习的对象。

从学科属性看，数学是一门符号科学、工具性学科。数学的研究对象是在感性经验基础上经过数学家的多次抽象而获得的数学模型。数学模型本质上只是一种思维范式，不具有一般客观事物的可以通过感官直接感知的物质本质，需要借助一定的物质“外壳”——数学符号，才能为人们所感知、识别、理解和掌握。但是数学模型与数学语言符号(文字符号、专业符号、图表符号)之间的“符号-意义”对应关系与客观事物与日常语言符号(口语符号、文字符号)之间的对应关系存在显著差异，遵循着不同的符号组合规则和语法规则。在数学发展历程中逐渐形成了专门表征数学模型的数学语言符号系统，并成为全世界通用的科学语言。

因此，数学语言符号系统不仅是数学知识的载体，其本身也是数学知识不可分割的一部分，在人类认识世界和改造世界的活动中发挥着语言工具(符号模型)和思维工具(数学模型)的作用。遗憾的是，数学符号的知识属性并没有引起数学教育界学者的足够关注，缺乏从数学符号的视角审视数学知识、数学技能、数学思想方法以及数学教育教学活动。

2.数学符号在数学教育教学中的“中枢”作用没有得到学界足够的重视。从符号学视角看，数学教育是借助数学知识的传承和再发现活动以达成育人目标的师生双边互动和认知交流过程，不同类型和形式的数学语言符号既是数学知识的载体也是师生互动和交流的媒介和工具，在数学教育教学活动中处于核心位置，发挥着中枢作用。数学经验知识、数学符号文本与数学符号意义三者之间因为符号意义建构的个体差异而存在复杂的“转译”关系(见图1)。这种复杂的“转译”关系是深入分析数学教与学中各种问题根源的重要切入点。

其实，何良诸没有被案子缠上，是狗仔记者嗅到他的。记者跟他掏弄事件背景，何良诸算他妈什么背景。何良诸至今不明案情。刚才，文化厅领导通知他去公安厅。领导没有多讲什么，何良诸没有多问什么。赵集怎么样了？！

事实上，符号的形式特点与人类的意义建构活动之间的复杂关系早就引起了索绪尔、莫里斯、沙夫、艾柯、巴尔特、伽达默尔、多尔、杜威等西方语言学家、哲学家和教育家的重视，并逐步创立了20世纪形式论思潮之集大成者——符号学。近年来，李幼蒸、刘云章、王峰、陈永明、徐品方、孙兴运等国内学者虽然对符号学、数学符号学、数学符号史与数学语言给予了关注和追踪研究，但尚未形成基于符号学立场和符号学方法的系统思考。例如，刘云章初步探讨了数学符号的动力作用、思维功能[1]、创设原则与处理技巧。文玉婵[2]、田载今[3]、邵光华[4]、杨之[5]、杨冠夏[6]、吴有昌[7]、王工一[8] 、高全胜[9]等分别探讨了数学语言的特性、功能、教学、障碍、强化与应用问题。朱立明[10-11] 、李艳琴[12]等重点探讨了数学符号意识的内涵、维度、评价框架与表现形式。

从符号学视角考察数学教育教学活动过程，可以发现数学符号在其中发挥着“中枢”作用，具体表现为：(1)数学知识是以数学符号(数学教材文本)的形式存在，并以符号形式进行传承、传播和交流；(2)数学教师对数学知识的讲解必须借助数学符号(实物与教具、图片与图表、口语与板书)实现；(3)数学知识的学习过程本质上是学生个体经验与数学符号建立“符号-意义”联结关系的过程，即个体经验符号化的过程；(4)数学学习的成果只能以数学符号的形式，通过对数学符号的操作来展现；(5)数学学习能力以数学符号思维能力为核心，并表现在数学符号的选择、组织与操作中；(6)数学问题解决本质上是一种以符号操作为内容的“智力游戏”，要求答题者从数学问题的题设文本符号中获得必要的数学意义，再依照掌握的数学意义间的逻辑关系和数学符号的语法规则，选择和补充必要的数学符号，重新编写出符合数学规范的解答文本符号，而出题者通过考察解答文本符号，就可以明确答题者的思维活动过程，判断学习者的学习情况及个性心理特征。

3.数学教育教学中的诸多问题可归结为师生在数学符号意义获得能力上的个体差异。数学经验知识、数学符号文本与数学符号意义三者之间复杂的“转译”关系(见图1)和符号意义建构的个体差异为我们确定数学教育教学中的主要矛盾和解决诸多问题提供了新视角、新思路。

从数学教育教学的效果看，数学教师普遍感到困惑的有四个方面的问题：(1)听而不懂，即学生听不懂教师讲什么。(2)懂而不会，即学生感觉课上听懂了教师讲的内容，但课下却发现不会做题(运用)。(3)会而不对，即学生感觉自己会做的题却往往一做就错。(4)对而不范，即学生虽然获得了正确结果，但解答过程杂乱无章，不符合数学的思维规范和符号操作规范。

数学符号意义获得能力是依据数学教育实际需要提出的，其核心内涵不是仅仅要求学生能知道“数学符号表示什么”，而是引导学生基于自己的知识基础和认知能力，努力思考“数学符号意味着什么”，从而有效实现新旧知识的整合，为抽象的数学符号赋予个性化、经验化的“生命”意义，使“死板、枯燥”的数学符号变得“生动、有趣”。

从数学教育教学的过程看，数学教师普遍感到困惑的有六个方面的问题：(1)如何确定教学起点？(2)如何确定学生的“最近发展区”？(3)如何确定学生的发展空间？(4)如何与学生互动？(5)如何对学生数学学习中的问题进行科学诊断和矫正？(6)如何指导学生进行学习效能评价？

4)Fe0-PRB的反应介质问题.通过物理方法，添加分散剂和稳定剂及与其他材料复合，从而提高零价铁在水体中的反应性能、稳定性和流动性，使其更好地适用于复杂多变的地下水环境，更高效地处理成分复杂的污染物；以及反应介质饱和后的再生和循环利用，也将是今后的研发重点.

随着时代变迁和教育革新，农村小规模学校在未来一段时期将成常态。如何扭转小规模学校“小而差”“小而弱”的存在状态是摆在教育者面前的一道难题。

4.数学教育教学实践中教师普遍重视数学知识(意义)的讲解而忽视数学语言(符号)的教学。对于数学知识与数学符号之间的关系在教育界存在两种不同观点。“知识中心”的传统数学教育将“数学知识”等同于“数学符号”，假设“数学符号意义”是预设的、既定的、客观的，数学教学的过程就是系统地、详细地讲授和解释数学符号“背后”的数学知识的过程，数学学习就是通过反复记忆和强化训练， 习得数学符号“背后”的数学知识的过程，因此数学老师总是询问学生“是否听懂”，“是否理解”，“是否掌握”了数学符号“背后”的数学知识，而不是询问学生对特定的数学符号能够联想到哪些数学问题。“儿童中心”的现代数学教育首先承认“数学知识”不同于“数学符号”，假设“数学符号意义”是生成的、建构的、主观的，数学教学的过程就是组织和诱导学生个体地、能动地、合作地联想、分析、比较和汇总数学符号的不同意义，最终合力建构和发现数学符号“背后”的数学知识的过程，数学学习就是通过课堂交流和习题练习，反复比较个体建构的数学符号意义与他人(老师、同学、习题答案)建构的数学符号意义之间的差异，从而使自己建构的数学符号“背后”的数学知识不断丰富、完善和拓展的过程，因此数学老师应更多地询问学生“你看到什么”、“你想到什么”、“你发现什么”、“你写了什么”、“你做得怎样”，以此诱导学生充分暴露自己的思维过程，显现自己的知识结构，捕捉自己与他人在数学符号意义建构上的差异，不断地提升自己的数学符号意义获得能力和水平。

对于数学符号意义，人们通常有“本义”与“引申义”，“字面意义”与“字里行间意义”等不同的划分，这至少说明两点：(1)数学符号的意义不是既定的、唯一的，而是多维的；(2)不同个体从相同数学符号中获得的意义往往存在显著差异，这种差异既表明了不同个体在认知上的互补性，又证明了个体进行合作学习的必要性。因此，将数学知识教学囿于数学符号的本义是不科学的。

数学教师片面强调符号本义(新知识)的记忆和理解，忽视数学语言符号教学，容易导致以下问题：(1)新知识与其他知识的联系不够，导致新知识处于零散孤立状态，不利于新知识的掌握；(2)新知识与其他符号形式的转换不畅，导致新知识换一件“马甲”(符号形式)，学生就无法识别；(3)新知识的表征形式单一，导致学生的数学符号选择和操作能力得不到锻炼，出现有想法说不出，有问题讲不清，有思路写不出等数学交流方面的尴尬和困难；(4)学生缺乏数学符号意识，不清楚数学符号的语法规则和操作规范，文本表达能力低，会在考试中因答卷潦草杂乱而丢失印象分、步骤分，直接影响数学考试成绩，为后续发展埋下隐患。

总之，就目前而言，基于符号学立场，运用符号学方法来系统思考、诠释、解决数学教育教学中的各种矛盾和问题，尚是一块待垦的处女地，也是一块大有可为的创新区。

二、数学符号意义获得能力的基本内涵

数学知识是“符号-意义”的统一体，割裂数学符号意义与数学符号形式的统一关系，片面强调数学知识的意义教学，忽视数学语言符号教学，是导致数学难学、数学教学低效等现实问题的根本原因。数学符号之于数学学习如同英语单词之于英语学习，如果不能记忆识别英语单词，根本无法阅读英语文本；如果只记住英语单词的本义，而不能依据语法和具体语境进行单词本义的整合，根本无法读懂英语文本的意义。为此，笔者提出“符号意义获得能力”概念，目的是突出数学符号在数学学习中的基础作用，倡导数学教师围绕学生的数学符号意义建构活动组织教学。

1.数学符号意义获得能力的定义。所谓数学符号意义获得能力是指“从数学符号中获取各种数学信息的能力”[13]。具体说来，数学符号意义获得能力是指学习者根据所掌握的数学知识与技能、数学符号系统与符号组合规则，通过分析数学符号的形式和意义，经历识别、联想、分析、推理、综合、表征等思维过程，从数学符号中解读出各种不同的，反映个体经验特征和理解差异的，所有可能数学意义的能力。

从数学教育教学的内容看，数学教师普遍感到困惑的是五个方面的关系：(1)数学教材与数学教案的关系——是按照教材组织教学，还是依照自己的经验(教案)组织教学？(2)数学知识与数学符号的关系——是只重视数学知识内在逻辑的意义教学，还是兼顾数学知识与数学符号的“符号-意义”教学？(3)现实情境、数学情境与符号情境的关系——是孤立地讲解数学知识一个维度的意义，还是将知识置于不同的具体情境中进行多维解读？(4)教师经验与学生经验的关系——教师是基于自己的经验先讲解知识再让学生自己去理解，还是先让学生基于个体经验讲出自己对知识的理解再进行针对性的讲解？(5)口语符号与文本符号的关系——教师在课堂上只用口语符号形式(讲授)向学生呈现知识，还是有意识地用多种文本符号形式引导学生对知识展开多维联想和多样表达？

患者，女，75 岁，身高 158 cm，体重 54 kg。因“突发剧烈胸背部疼痛7小时余”于2017年6月15日入院。予心电监护、控制血压，对症治疗。

综上所述，数学符号意义获得能力是基于教育教学需要，从符号学立场提出的，考察学生数学学习能力的一种新思想、新方法、新技术，其研究内容远非一部专著所能涵盖。笔者撰写《数学符号意义获得能力研究》的目的在于抛砖引玉，希望能有更多的学者参与到这一研究领域，建立起不同学段的数学符号意义系统，为教师设计教学内容、学生检测学习效能提供一套评价标准和技术支持系统。

2.数学符号意义获得能力的特点。数学符号意义获得能力属于特殊能力，是一种具有数学学科特征的专门能力，具有以下特点：(1)数学符号感知能力的敏锐性。在数学符号系统中存在大量的同形同义符号、同形异义符号、异形同义符号，连同符号中大量存在的形似符号、近义符号等，使得数学符号的形式和意义及它们之间的联结关系异常复杂，需要学习者具有更敏锐的感知能力。比如，符号“k”在代数学中一般表示系数或常数，在应用数学中表示高斯常数，在微分几何中表示曲率，而在特殊函数中则表示贝克函数。(2)数学符号结构分析能力的细致性。数学符号除了一般符号所具有的线性结构外，还存在大量的“嵌套”结构和组合结构，因而比其他符号的结构更加复杂，所蕴含的意义更加多样，需要更加细致和更大的耐心。学习者在数学学习中，因“粗心大意”而对一些特殊结构和条件“视而不见”是学习数学的大忌。(3)数学符号意义建构能力的广泛性。对于每个数学符号，我们都应尝试分析并获得它的七种意义：基本意义、转换意义、隐性意义、史学意义、美学意义、操作意义和个性化意义，从而使数学符号所表征的知识与原有认识结构中的知识建立广泛的联系。培养学生的广泛的数学符号意义获得能力，让学生树立从六个维度建构数学符号意义的意识和习惯非常重要。

(5)数学符号操作能力。数学符号操作能力是数学思维过程的显现能力，可根据数学符号操作中数学思维不同划分为三类：1)数学运算能力，主要以代数的抽象思维为主，操作的对象主要是数、式、运算符号和关系符号，又可分为数的计算能力和式的化简能力两大类。2)数学绘图能力，主要以几何形象思维为主，操作对象主要是图形、图像、图示和表格等图表符号。3)数学表达能力，主要以语言思维为主，操作对象是所有数学语言符号，又可分为言语符号表达能力和书面符号表达能力，而数学能力强的学生通常比较擅长数学书面表达，不善于言语表达。

(1)数学符号形式感知能力。数学符号形式感知能力是一种包括数学符号观察能力、抽象能力、切分能力和知觉能力的综合能力。1)数学符号观察能力，是数学符号意义获得能力的基础，负责为数学认识和数学思维源源不断地输入数学刺激信息。2)数学符号抽象能力，是获得数学信息的基础能力。离开了数学符号抽象能力，人们观察到的只是客观事物的外部属性，不是数学研究所需要的反映客观事物数学本质的信息。比如观察桌子上的三个苹果，没有数学抽象能力的人看到的只是苹果，而不能获得其中的数学信息：苹果数量——3，苹果形状——圆。(3)数学符号切分能力，是从数学文本符号中获取数学信息的基础能力。按照一定的语法规则联结起来的线性符号序列或组合结构首先要被切分为有意义的符号单元，才能进行后续的符号意义联想和分析。(4)数学符号知觉能力，是进行数学符号意义整合的基础能力。在符号单元刺激下联想到的意义单元只有依据一定的语境和意境被知觉为一个整体，才能获得数学符号文本所要表达的实际意义。比如桌子上的三个苹果能够自动地被看作为一个整体，知觉为符号“3”；x+y=1与y=1-x会因结构上的差异被分别知觉为方程与函数。(5)数学符号记忆能力，是将数学符号的形式特征与意义集合知觉为一个整体，并纳入长时记忆，成为数学认知结构一部分的能力，是数学符号意义获得能力的起点和归宿。

《数学符号意义获得能力研究》已由清华大学出版社于2016年出版，该书主要包括五部分内容：(1)从数学语言、数学符号、数学符号感、数学多元表征四个方面梳理了国内外研究现状，并结合数学教育教学实践中的现实问题提出研究假设：培养学生的数学符号意义获得能力有助于实现师生的“心灵”互动，解决因师生思维“异步”导致的一些问题，提高数学教与学的效率和质量。(2)系统阐述了符号学的基本观念——结构观、基本方法——结构分析法、基本原理——结构原理(要素结构、联结结构、意义结构)，并从符号学视角对教学活动、知识本质、知识学习、知识教学进行了重新诠释。(3)从符号学视角对数学符号的内涵进行了教育学的界定，对数学符号的意义结构进行了教育学的建构。(4)在调查研究的基础上探讨了数学符号意义获得能力的概念、内涵与结构，并对数学符号感进行了重新解释。(5)对研究结论进行了归纳，对研究趋势进行了展望，认为培养和提高学生的数学符号意义获得能力是解决“数学难学”、“数学枯燥”，“听而不懂”、“懂而不会”、“会而不对”等数学教学难题的一种有效的、可行的、具有操作性的途径和方法。

将离散事件系统表示为外部事件(X)，输出事件(Y)，序贯状态(S)，状态转移描述函数(δ)，输出函数(λ)和时间推进函数(ta)的逻辑集合：

(3)数学符号意义转换能力。数学符号意义转换能力是最能体现数学学科特征的数学能力，主要包括：1)数学符号之间的形式转换，又可分为不同类型数学符号之间的转换与不同数学分支的数学符号形式转换两大类。2)数学符号之间的恒等转换或等价转换，具体包括代数中数或式的恒等变形、几何中图形的恒等变换、数学符号之间的等义转换。3)数学符号之间的不等转换，比如代数中的数或式的放缩变换，立体几何中的俯视图、侧视图、侧面展开图、截面图等。4)数学符号之间的结构转换，比如数学专业符号表达式(数与式)和数学图表符号(形)之间的转换。

(4)数学符号意义整合能力。数学符号意义整合能力包括数学符号基本意义的整合与数学符号联想意义的整合两个层次。前者属于初级层次，主要是明确数学符号所表征的数学知识的基本要素和基本关系，并将它们整合为一个整体。比如确定数学概念的要素、特征、正例与反例等。后者属于高级层次，是以数学符号的基本意义为基础，全面回顾所学知识，使新知识与旧知识建立全方位的联系，实现数学认知结构的丰富，联想意义的整合，发现数学符号基本意义之外的可能意义，发现新、旧知识之间新的关系和联系，提出各种猜想和新的命题，并尝试判断这些猜想或命题的正确性。

3.数学符号意义获得能力的结构。从数学符号意义建构过程看，数学符号意义获得能力是由数学符号形式感知能力、意义联想能力、意义整合能力、意义转换能力和符号操作能力构成的复杂的、开放的、发展的综合能力。

三、《数学符号意义获得能力研究》的基本内容

(2)数学符号意义联想能力。数学符号意义联想能力是数学思维和数学创新的基础，主要包括以下几类联想：1)数学概念符号意义的联想，可分为纵向联想与横向联想两个维度。纵向联想包括上位概念、下位概念、同位概念的联想。横向联想包括实物形式、文字形式、符号(狭义)形式、图表形式等不同概念表征形式的联想以及定义联想、同义联想、多义联想等意义的联想。2)数学关系符号意义的联想，可分为代数关系联想、几何关系联想、对应关系联想三类。3)数学命题符号意义的联想可分为数学命题符号的转换和数学命题符号的重组两个维度。前者涉及原命题、否命题、逆命题和逆否命题四类命题的联想。后者主要是用联想到的同类数学概念和数学关系替换数学命题中的数学概念和数学关系从而组合出新数学命题。4)数学问题符号意义的联想，可分为数学问题模型联想、数学知识结构联想、数学思想方法联想三个维度。

以上问题虽然存在多种解释，但从符号学的视角看，运用符号学的理论和方法，分析图1中的“转译”关系，可以提供以下新思路：(1)不同形式的数学语言符号意义获得难度是不同的。口语符号具有“所听即所得”的特点，是最容易理解的，文字符号具有母语的形式因而也比较容易理解，专业符号具有复杂的组合结构和意义结构是最难理解的，图表符号既具有直观性特点又具有特殊的结构和复杂的符号组合因而是比较难理解的。可见，“懂而不会”是数学初学者的常态，只有能够在不同符号形式之间熟练地进行意义“转译”时才能做到“懂而就会”。(2)不同数学语言符号形式具有不同的结构特征，遵循不同的语法规则，发挥不同的表达功能，依据不同的组合方式和操作规范，这些都增加了数学文本符号意义获得的整体难度，成为数学学习的最大障碍。数学教师缺乏数学语言符号意识，在教学中忽视数学语言符号教学无形中加大了数学学习的难度。(3)数学文本符号意义的解读既依赖于个体对数学语法规则掌握和符号情境的识别，又依赖于个体的数学语言符号知识、数学模型知识、数学思维能力和数学表达能力，使得个体在数学符号意义获得过程中产生显著的个体差异。(4)对于某一既定学段的一个数学知识点的一种数学表征符号，同一个班级的n个学生从符号中获得的数学意义集合Si(i=1,2,…,n)是不同的，但却不是无限的，它们的交集部分S=S1∩S2∩…∩Sn代表了本班学生的共同认知基础，是教师确定教学起点的依据，它们的并集部分S1∪S2∪…∪Sn与教师从符号中获得的数学意义集合T共同构成了本班学生的发展空间Ω=S1∪S2∪…∪Sn∪T，其中超出Si，并且能够被学生理解的那部分意义集合构成了学生i的最近发展区Di(Si⊆Di⊆Ω)。

中职院校注重对学生实际操作能力的培养,课程内容也具有专业性特征,语文科目也是如此。由于学生个体间存在巨大的差异,因此教师针对不同质素的学生群体应该制定针对性的教学计划,但受到思维上的局限。[1]当前社会的进步与教育的不断改革，使得传统中职语文教学方式已经无法迎合当前的国家企业要求和职教形势。现如今中职语文传统教学模式妨碍其履行教育职责的弊端主要有以下三点。

[参 考 文 献]

[1] 刘云章.试论数学符号的思维功能[J].数学教育学报，1992(01):77-82.

[2] 文玉婵.探讨数学语言的特性、功能及其能力培养[J].教育与职业，2006(12):119-120.

[3] 田载今.充分发挥三种数学语言的功能——对新编高中数学教科书中“直线、平面、简单几何体”一章的一些想法[J].课程·教材·教法，1998(02):20-23.

[4] 邵光华，刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法，2005(02):36-41.

随着“互联网+”时代的推进、电子商务的迅猛发展以及5G网络的即将铺开，移动互联网的发展如火如荼，市场需求也日新月异。高校市场，作为未来高端消费市场的前身,其中大部分都是“00后”以及“90后”消费群体。数据显示，高校在校大学生约2 400万人，但规模如此庞大的消费群体,在需求与消费上都存在一定共性，在问卷调查的基础上,得到如下的大学生校园需求特征分析。

[5] 杨之，王雪芹.数学语言与数学教学[J].数学教育学报，2007(04):13-16.

哪个称得上艺术家的，没有一点自己的特色，或在所从事领域留下一点个人印记呢？这种特色与印记又往往是对自己不断否定与超越的结果。

[6] 杨冠夏.关于把“数学语言教学”补充进“MM”操作变量的建议[J].数学教育学报，2007(01):85-88.

1. 对象：选择2009年6月至2015年12月有临床表现，且MRI诊断为半月板损伤的海军舰艇官兵980例为研究对象，且全部为单膝单侧半月板，均为男性，年龄18～34岁，平均22.5岁，就诊时间1 h～3月，平均1.5周，左侧505例，右侧475例，内侧368例，外侧612例。均有外伤史：足篮球运动伤452例，舰艇战位训练伤245例，长跑伤143例，折返跑伤72例，其他68例。

叶青，男，1962年3月出生，福建省建阳市人。中南财经政法大学财税学院教授、博士生导师，湖北省统计局副局长。

[7] 吴有昌.数学语言障碍初探[J].数学教育学报，2002(02):68-70.

[8] 王工一.强化数学语言训练提高数学课教学质量的实验研究[J].数学教育学报，1999(04):78-81.

[9] 高全胜，杨华.如何让学生用数学语言说话[J].数学教育学报，2011(02):82-87.

[10] 朱立明，马云鹏.“数学符号意识”研究:内涵与维度[J].教育理论与实践,2015(32):6-8.

[11] 朱立明，马云鹏.学生数学符号意识PORE评价框架的构建[J].数学教育学报，2016(01):84-88.

由图4可知，砂质黄土应力应变关系曲线表现出应变硬化性特性，曲线斜率随着轴向应变的增大而逐渐变缓；同时，随着砂粒含量的增加，其主应力差逐渐增大，表现为应力应变关系曲线呈抬高趋势，且其抬高的趋势在砂粒含量大于40%后幅度明显增大。

[12] 李艳琴，宋乃庆.小学低段数学符号意识的含义及其表现形式[J].课程·教材·教法，2016(03):92-97.

[13] 王成营.浅谈数学符号意义获得能力及其在问题解决中的培养[J].课程·教材·教法，2012(11):74.