一类激活剂-抑制剂模型的稳定性与Hopf分支

引言

1972年，Gierer-Meinhardt在文献［1］中提出如下一般形式的激活剂-抑制剂模型

框架-核心筒结构的核心筒与周边框架之间采用梁板结构时，各层梁对核心筒有一定的约束，可不设加强层，梁与核心筒连接应避开核心筒的连梁。当楼层采用平板结构且核心筒较柔时，在地震作用下不能满足变形要求，或筒体由于受弯产生拉力时，宜设置加强层，其部位应结合建筑物功能设置。为了避免加强层周边框架柱在地震作用下由于强梁带来的不利影响，加强层的大梁或桁架与周边框架不宜刚性连接。

 

其中a(x,t)和h(x,t)为两种物质的浓度，分别被称为激活剂和抑制剂；Da和Dh分别为激活剂和抑制剂的扩散系数；ρ,ρ0,c,μ,c',ρ',v均为正常数，r,s,T,u为非负整数且r＞1.

5.仰口线虫病。（1）加强饲养管理、搞好环境卫生和消毒；不从疫区引进牛只，强化引进动物的检疫，必须引进时则应进行严格检疫并隔离，确认健康无本病时方可混群。（2）每年春、秋两季(3月、9月)各进行一次全面预防性驱虫。常用药品为: 四氯乙烯，按0.1～0.2 mg/kg体重口服；左旋咪唑， 6～8 mg/kg体重,口服。（3）不在低洼潮湿地区放牧，不在清晨、雨后放牧，尽量避开幼虫活动时间，可减少感染机会。（4）把厩内粪便打扫干净，堆积于隔离地段，进行生物发酵，可杀灭虫卵和幼虫。

在文献［2］中，考虑了模型（1）取r=2,s=1,T=2,u=0的稳定性与Hopf分支.

本文在系统（1）中取r=2,s=2,T=2,u=1，则有如下模型

硅-焓图解法首先需作出石英溶解度曲线，通过冷水的硅焓点与热水的硅焓点做延长线，求得与石英溶解度曲线的交点，以此计算得出热水的混合比例。当交点出现异常或无交点时，需考虑蒸汽损失的情况。

 

令得

决策式句法分析模型的典型代表是移近—归约状态转移模型。移近—归约状态转移模型在分析过程中维护一个堆栈和一个队列，堆栈用以存储到目前为止所有的依存子树，队列存储尚未被分析到的词。堆栈顶端和队列的头部确定了当前分析器的状态，依据该状态决定进行移进、规约或者建立栈顶元素与队首元素的依存关系的操作，从而转入新的状态。

 

仍用分别替换

以下我们引用文献［3］的方法来判断Hopf分支的方向.

 

其中

其中，

 

1 常微分系统的动力分析

1.1 正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性

去掉系统（4）中的扩散项，得到以下常微分方程组

 

记易于验证系统（5）有唯一的正平衡点

 

故平衡点的雅克比矩阵为

 

则其对应的特征方程为

 

其中

 

所以

 

当正平衡点处的雅克比矩阵J的所有特征值的实部都为负时，系统（5）在平衡点处稳定等价于

 

定理1（H1）当时，系统（5）的唯一正平衡解渐近稳定；

其中图1中参数取值为，初值为，图2中参数取值为，初值为.

证明 如果（H1）成立，两个特征值都具有负实部，则系统（4）的平衡点渐近稳定；如果（H2）成立，两个特征值都具有正实部，则系统（4）的平衡点不稳定.

建筑电气工程是指以电缆、电气设备安置、控制装置安装、变压器安装、成套配电柜及其控制装置安装、线路架设、开关插座、接地装置等安装为主要施工内容的工程建设项目，安全性是电气工程需要重点考虑的因素之一。近些年来，随着社会发展，人们对建筑居住舒适度的要求不断提升，这使得智能化技术受到了越来越多的重视。建筑电气工程中的智能化技术是指控制系统的操作定位的精准度优势，充分把握精密传感技术原理，通过自我控制和识别系统对相关技术操作进行处理。将智能化技术融入到建筑电气工程中可以大幅度的降低工程失误概率，促进建筑电气工程安装精确度的提升，进而实现建筑工程整体质量的提升。

注记1 当时，为负值，为正值，则系统（5）的平衡点总是渐近稳定的.在以下的分析中，我们可以发现当时，扩散项并不影响平衡点的稳定性，也就是说系统（4）总是稳定的，这表明Turing不稳定性不会发生.

令，则当时，

 

因此，系统（5）在处发生Hopf分支.

1.2 Hopf分支的方向

得到以下系统

其中

为进一步鉴定涉嫌造假的白矾样品，我们对1批性状不符合规定的样品进行了有机和无机元素分析、X-ray粉末衍射分析。有机元素分析结果显示，此样品不含C和N元素，与铵盐检查未检出铵盐结果一致，推测其不是市场上普遍存在的铵矾掺伪品；无机元素分析结果显示，主要含B和Na元素；X-ray粉末衍射分析结果显示成分较为复杂，但其中几个主要的谱峰可以和谱库中硼砂（Na2B4O7·10H2O）的谱峰对应上，这也基本能和无机元素分析结果对应。综合以上各种测定结果，确定该造假样品的主要成分为硼砂。

 

 

代入得因此，根据的符号可以得到Hopf分支的方向.

令，故.作变换代入系统（6），得到

 

其中

 

则系统（5）在平衡点处Hopf分支的稳定性取决于的符号，

WANG Jun-yu, ZHANG Dan-feng, WANG Chun-hui, LI Yi-ming, YU Ming-kun, HUANG Cheng-guang, HOU Li-jun,LU Yi-cheng

 

在分支点处计算所有偏导数.

经过计算，我们得到

 

其中当时，，其中取的特征值对应的特征向量.

定理2 系统（5）在处产生超临界，在时产生稳定的极限环.

1.3 数值模拟

为了证明以上结论，以下对系统（5）进行了数值模拟.

  

图1 系统（5）稳定的平衡点

  

图2 系统（5）出现Hopf分支与稳定的极限环

（H2）当时，系统（5）的唯一正平衡解不稳定.

2 扩散项对于平衡点的影响

令，则系统（5）在平衡点处的线性化系统为

 

其边界条件为Neumann边界条件

 

则系统的解记为

 

将（11）代入（9），得到

（7）碾压。面层碾压分为初压、复压和终压。初压采用钢轮压路机碾压1遍，碾压速度为1.5～2.0km/h；复压采用胶轮压路机碾压2遍，碾压速度为2.5～3.5km/h；终压采用钢轮压路机碾压2遍，碾压速度为2.5～3.5km/h。

 

故有关于k的等式

 

令，得到

 

则系统（12）有非零解当且仅当

 

故有

 

以下，本文主要研究系统（4）在Neumann边界条件下的性质

 

根据定理1中H（1），对于所有的，都有

令，

“汽车电工电子技术”课程在汽车类专业特别是汽车电子技术专业教学中具有极其重要的作用与地位。在以往传统的教学模式中，由于强调学科的系统化，教学内容多而难，严重脱离实际，不适应学生的学习与发展。在新的形势下，根据教育部职业教育教改的精神，以教育部发布的汽车专业教学改革新教学标准与课程标准为依据，强调以就业为导向，以能力为本位，以岗位需要和职业标准为依据，从而对该课程的教学内容和教学方法进行较大力度的改革。

当或者当时，则线性化后的系统（3）在平衡点处渐近稳定；

当时，中必存在一个负值，故系统（4）在平衡点处不稳定.

而个体发展作为工具性的一面是指当每个人都获得充分且合法的满足之后，自动的，则表明一切人都已经获得自由而全面的发展。现实中，如果过分强调工具性的一面，即过分强调个体对集体的奉献，则必然只突出了共性、而忽视了个性，就是本末倒置、倒果为因了。

近几年，许多学者对联合模型表现出了极大的兴趣，并进行了相关联合模型的研究。李正华等于2011年提出了汉语词性标注与依存句法分析相结合的联合模型，Jun等[3]等提出了分词、词性标注以及依存句法分析三者相结合的联合模型。

定理3 假设H（1）成立，令，

1.1 对象 选取2010年4—6月在我院门诊就诊的50例老年性痴呆患者的照顾者，其中男20例，女30例;年龄:60岁以下28例，≥60岁22例;平均年龄(56.9±4.4)岁。文化程度:初中及以下11例，高中以上39例。与患者关系:兄弟姐妹9例，配偶16例，子女25例。患者病程:＜2年19例，≥2年21例。本组患者均符合CCMD-3老年性痴呆诊断标准;照顾者均是与患者共同生活1年以上的直系亲属，并承担患者的主要照料责任;照顾者均签署知情同意书，排除严重躯体疾病、精神疾患。

H（3） 当，或者时，系统（5）在平衡点处渐近稳定；

H（4） 当时，系统（3）在平衡点处不稳定.

注记2 当时，，也就是说系统（5）在平衡点处是稳定的，系统（4）在平衡点处也是稳定的，即扩散项对于平衡点的稳定性没有产生影响.

传统的教学模式陈旧、单一，长此以往，学生丧失了学习文言文的兴趣。“如何改变传统的教学模式”成为一项重要的研究内容。朱熹说：“学者观书，务须读得字字响亮，不可误读一字，不可少读一字，不可多读一字，不可倒读一字，不可牵强暗记，只要多读数遍，自然上口，久远不忘。”这句话强调了诵读的重要性。笔者认为改变传统的教学模式也可以以诵读为突破口，诵读的方式有很多种，如教师范读、分角色朗读、通读等。例如，在讲《鸿门宴》这篇文言文时，教师可以让学生开展多样化的诵读，学生在读的过程中初步感知文本，了解文章的大意和中心思想，这样会达到更好的效果。至于教学内容不要局限于课内，还要延伸到课外。

参考文献：

［1］Gierer A，Meinhardt H.A theory of biological pattern formation［J］.Kybernetik，1972，12：30-39.

［2］Wu Ranchao，Zhou Yue，Shao Yan，Chen Liping.Bifurcation and Turing patterns of reaction-diffusion activator-inhibitor model［J］.Physica A，2017，482：597-610.

［3］Wiggins S.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos［M］.Springer-Verlag，New York，2003.

［4］Li Xin，Jiang Weihua，Shi Junpin.Hopf bifurcation and Turing instability in the reaction-diffusion Holling-Tanner predator-prey model［J］.IMA Journal of Applied Mathematics，2013，78：287-306.

［5］Shi Hong bo，Ruan Shigui.Spatial，temporal and spatiotemporal patterns of diffusive predator-prey models with mutual interference［J］.IMA Journal of Applied Mathematics，2015，80：1534-1568.

［6］马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法［M］.北京：科学出版社，2001.

［7］Hassard BD，Kazarinoff ND，Wan YH.Theory and Application of Hopf Bifurcation［M］.Cambridge University Press，Cambridge，1981.