一类具有指数出生和标准发生率的SEIR传染病模型的稳定性分析

引言

传染病不但对人类的生存和健康具有非常大的影响，而且对人类的进步和经济的发展也有着非常大的阻碍.因此，传染病的防治将对人类健康和国民生计有很大的影响，研究传染病模型将对疾病的防治有一定积极作用.近年来，传染病模型的共性因素方面已有大量经典研究［1］，其中大多数是具有常数输入和双线性发生率的模型.对于疾病传播过程中考虑的各种个性因素［2-3］，也得到了具有很大实用价值的结果.文献［4-8］研究了具有常数输入、双线性发生率且只在染病期具有传染力的传染病模型，文献［9］研究了具有常数输入、标准发生率且只在染病期具有传染力的传染病模型，对于具有指数出生且在潜伏期也有传染力的传染病模型没有研究.

离开时候，收银台前，静秋为萧健介绍了楚墨。“我的大学同学，楚墨。”她这样对萧健说。萧健伸出手，笑着眼，楚墨却感觉后脊生风。

 

文献［6］研究了易感期、潜伏期都有人口输入，同时考虑了易感期、潜伏期、染病期和恢复期均有人口输出的模型，进而研究其动力学行为，其模型如上.其中S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分别表示t时刻易感者、潜伏者、染病者、恢复者数量；A表示人口输入常值，其进入易感者的概率为a，进入潜伏者的概率为b；β表示传染病系数；d表示自然死亡率；d1表示因病死亡率；ε表示潜伏者变为染病者的比例；γ为恢复率；μ为人口输出.

文献［9］研究了一类常数输入、标准发生率且只在染病期具有传染力的传染病模型，其模型如下

 

其中d表示自然死亡率；α表示因病死亡率；ε表示潜伏者变为染病者的比例；γ为恢复率.

本文在文献［6］和［9］的模型及研究结果基础上研究一类具有指数出生、标准发生率且在潜伏期、染病期均具有传染力的SEIR传染病模型，进而研究其动力学的渐近稳定性.将某一个地区的总人口N(t)分为四个仓室：易感者类S(t)，潜伏者类E(t)，染病者类I(t)，恢复者类R(t)，且N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t).假设该疾病在潜伏期和染病期均具有传染力，且具有指数出生和标准发生率，其模型如下

 

山东省地处温带季风气候区，省内旱涝灾害频发，极大地影响了农业的生产量。对此，山东省应当加强农田排涝抗旱的基础设施建设，完善农田灌排系统；培育优良农产品品种，提高抗旱抗涝能力；完善农业保险法律法规，为农业购买保险，提高投保力度，从而分散自然灾害给农民带来的损失。同时，自然灾害的发生，农产品的产量会因此减少，市场供求矛盾会因此而凸显，农产品价格上涨，所以加强农田和水利等基础设施的建设，改良农产品品种，稳定农产品产量，降低农产品价格的波动，有利于稳定整体物价水平。

1 模型分析

其中.

 

设 μdt=dτ，得到系统（1）的等价系统：

在系统（2）中总人口 N(τ)=S(τ)+E(τ)+I(τ)+R(τ)，将系统（2）的四式相加得到 N(τ)的微分方程

 

取bN=1，β1=0.2，β2=0.3，μ=0.9，ω=0.9，α=0.3，γ=0.5.此时 R0＜1，则系统（2）中S,I,R的时间响应如图2所示.

 

其中 δ=1+ω+α， ε=1+γ+α.系统（3）等价于系统（2）.于是我们可以通过研究系统（3）来研究系统（2）.易知是系统（3）的正不变集，计算得系统（2）的无病平衡点为和唯一的地方病平衡点为E1=(S∗,E∗,I∗,R∗)，其中

筛网式消能是根据水力学中过水断面突然缩小或扩大可消除水流的大部分能量，即水流能量以因断面突然缩小或扩大后产生局部损失而消能的理论为基础。在水闸底板的后面、消力池顶部设一混凝土筛网，即将混凝土板做成网格式，使水流通过网孔下落到消力池中。网格起到分散水流改变过水断面（即过水断面突然缩小或扩大）而达到消能的目的。下部消力池采用短深式，即长度与网板相同，深度加深，使过网水流跌落到池中，产生漩滚以便进一步消能，能够起到良好的消能效果。

 

定义系统（2）的基本再生数为

其中bN表示指数出生率；μ表示自然死亡率；α0表示因病死亡率；ω0表示潜伏者变为染病者的比例；γ0为恢复率；分别表示潜伏期和染病期的传染率.

 

定理1 若R0＜1，无病平衡点在K内是全局渐近稳定的.

式中：Vv是的铝蒸气的体积分数；Vl是铝液体的体积分数，ε是气液界面的厚度；γl是水平集法参数，与流场中的流速有关。

证明 取Liapunov函数

 

则由系统（2）有

评价一门课程的教学质量是一项系统工程，教师的教学水平和投入的精力、学生的素质和学习状态、学校的软硬件教学条件等许多因素都影响着课程的教学质量.千万不可如评价一个大的工程项目那样去评价一门课程的教学质量，不能复杂化，否则，一个高校每个学期有几百门课程如何进行.况且某些因素还不能较准确的评估.笔者认为,可遵循“合理、简洁、体现课程特点、可操作”的原则去评价课程教学质量，可主要从保证教学质量的教学准备、教学运行和教学效果三个方面去评价.表4是《机械设计》课程教学质量评价表.

 

 

当且仅当E=I=R=0时V'=0.集合{(S,E,I,R)∶V'=0}的最大正向不变集为单点集，则由不变集LaSalle原理知当R0＜1时，E0是全局渐近稳定的.

定理2 若R0＞1，系统（3）的地方病平衡点E2=(E∗,I∗,R∗,N∗)在K内是局部渐近稳定的.

证明 令bN=A，假设A为常数，系统（3）在E2处的Jacobi矩阵为

 

 

则其特征方程为

 

即 (λ +1)(λ3+a1λ2+a2λ +a3)=0,其中

由于系统（2）中前三个方程中不含有R，故只需考虑如下系统：

 

 

1.2.1 调查工具 本研究使用课题组自编问卷，共20个问题，涉及基本情况、考核现况调查和考核方法认同度。其中对形成性评价方式认同从“不合理”到“非常合理”评分1～5分，得分越高说明护生对考核方式的认同度越高。

2 数值模拟

取bN=10，β1=0.6，β2=0.7，μ=0.4，ω=0.9，α=0.3，γ=0.5.此时 R0＞1，则系统（2）各变量的时间响应如图1所示.

图1表明，当R0＞1时，地方病平衡点E1=(S∗,E∗,I∗,R∗)是局部渐近稳定的且疾病的人群中持续流行形成地方病.

  

图1

  

图2

在系统（2）中用变量 N(τ)-E(τ)-I(τ)-R(τ)来替换 S(τ)，可以得到以下系统：

图2表明，当R0＜1时，无病平衡点是全局渐近稳定的，且疾病在人群中逐渐消失.

3 Hopf分岔的存在

针对食品流通环节，目前佛山全市有7家国家级示范超市创建单位，已建成优质精品肉菜专区面积超过食用农产品经营面积的30%，专柜可追溯率超过95%。并以顺德区为试点，从2017年起构建以“检测+追溯”为核心的食品安全监管体系，在全国率先开展“电子支付+检测追溯+食品安全责任保险”项目，初步取得成效。但目前佛山市对食品流通运输环节的把控，尚未做到全面积覆盖，有待进一步拓展到其他食品范围。

 

则系统（4）的无病平衡点为，在无病平衡点E3处的Jacobi矩阵为

场地周边地形开阔、平坦，具备放坡开挖的条件，边坡坡率建议为1∶0.75～1∶1.0，坑壁可采用喷浆挂网以维护。基坑施工期间，基坑周边建筑材料的堆放，大型车辆的通行，均应距离基坑开挖边线留设一定的安全距离。

 

其特征方程为

计算可知a1a2-a3＞0，则由Hurwitz判据可知地方病平衡点E2是局部渐近稳定的因系统（3）等价于系统（2），故地方病平衡点E1是局部渐近稳定的.

 

定理3 如果方程（5）有一对纯虚根λ2,3=±iξ（显然有负实根λ1=-1），并且.若有，则当α穿过临界值α∗时，系统（4）在无病平衡点E3处发生Hopf分岔.

证明 令 λ=iξ，（ξ＞0）为方程（5）的根，则有

 

分离方程（6）的实部和虚部

 

经过计算得

化学植筋技术应注意以下事项：（1）在进行植筋胶的配制时，需要做到随配随用。同时植筋胶的用量要确定好，根据用量来进行配置，以免产生不必要的浪费。（2）植筋所用钢筋需具有金属光泽，并且保持干燥，没有损坏。同时植筋孔一定要确保其深度，在进行植筋前，对孔深进行检查。（3）在进行注胶时，需要确保过程中不会出现空洞。（4）严格按照固化保养措施来进行植筋后的保养工作，在进行整个施工期间都要配备防护措施。

家长需要明确一个认识，与孩子共同阅读的时光，是成人找回童年、重温童年、弥补和提升自我认识的绝佳机会，也是父母和孩子亲子交流的宝贵时光。这个过程，不仅让孩子觉得阅读是温馨的、有趣的，也增进了亲子之间的感情。这是“活态”的亲子阅读形成的前提和基础。

 

对方程（5）的两边同时关于α求导，整理得

 

由（7）式得.根据Hopf分岔理论［10］，可知α∗是分岔的临界值，假设，则当α穿过临界值α∗时，系统（4）在平衡点E3发生Hopf分岔.

结束语

研究了一类具有指数出生和标准发生率的SEIR传染病模型，找到了疾病流行或消失的阈值R0.当R0＜1时，无病平衡点E0全局渐近稳定，疾病消失；当R0＞1时，有唯一的地方病平衡点E1局部渐近稳定，疾病持续流行，形成地方病，然后对无病平衡点和地方平衡点进行了数值模拟，最后证明了在无病平衡点E3存在Hopf分岔.本文的研究对传染病的预防与控制将具有十分重要的意义.

参考文献：

［1］马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究［M］.北京：科学出版社，2004.

［2］陈兰荪.数学生态模型与研究方法［M］.北京：科学出版社，1996.

［3］Hethcote HW.The Mathematics of infections diseases［J］.SLAM Review，2000，42（4）：599-653.

［4］张娟，马知恩.各仓室均有常数输入的SEI流行病模型的全局分析［J］.西安交通大学学报，2003，37（6）：653-656.

［5］宫兆刚，杨柳，李浏兰.具有常数输入率的SIRS传染病模型的稳定性分析［J］.应用数学，2013，26（3）：477-481.

［6］彭晓艳，雒志学.带有输入输出SEIR传染病模型的全局分析［J］.兰州交通大学学报，2014，33（06）：165-170.

［7］Li J，Zhang J，Ma Z.Golbal Analysis of some epidemic models with general contact rate and constant immigration［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2004，25（4）：396-404.

［8］李桂花.一类传染病动力学模型的理论研究与计算机仿真［D］.中北大学，2005.

［9］赵虹.具有标准发生率的SEIR传染病模型的全局稳定性研究［D］.宁波大学，2013.

［10］Hassard BD，Kazarinoff ND，Wan YH.Theory and applications of Hopf bifurcation［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1981.