基于截断函数的有限时间滑模控制方法*

滑模控制是一种常用的非线性控制算法，它通过将系统状态控制到特定的滑模面上运动来实现期望的控制目标[1-2]。相较于其他的控制算法，滑模控制具有很多优点，如：干扰抑制能力强、对参数摄动不敏感以及动态响应快等[3]，这也使其广泛应用于机械系统、飞行器及电机的控制系统设计之中。然而，传统的滑模控制律只能使得受控系统状态渐进收敛。

有限时间控制往往具有更好的控制特性，如：更快的收敛速率，更高的控制精度和更好的扰动抵抗能力[4-5]。为了实现系统状态的有限时间收敛，Man等提出了终端滑模控制方法[6]。该方法在滑模函数设计中引入了终端吸引子，实现了系统状态的有限时间收敛。为了进一步加快收敛速度，Yu和Man提出了快速终端滑模控制方法[7]。然而，文献[6-7]提出的控制律中存在状态的负数次幂，可能会引起控制奇异问题。为了避免奇异，学者们提出了多种解决办法。Man和Yu设计了在终端滑模面和传统滑模面间切换的控制逻辑[8]。Wu等对滑模控制律进行预先设计，先将系统轨迹控制到不发生奇异的区域，然后再应用终端滑模控制[9]。然而上述两种方法均是间接避免奇异，并没有从根本上解决控制奇异问题。Feng等在2002年提出了非奇异终端滑模控制方法，从而从根本上消除了控制奇异现象[10]。需要指出的是，上述滑模控制方法虽然实现了系统状态的有限时间收敛，但是依然存在着收敛时间无法事先确定的问题。

基于积分滑模思想，Laghrouche提出了一种高阶滑模控制策略，实现了系统状态的有限时间收敛，且收敛时间可以事先给定[11]。然而，该控制策略对初始状态非常依赖，如果初始状态存在偏差，则控制律无法使得系统状态在期望的时刻收敛为零。为了解决该问题，Geng等提出了一种时变非奇异终端滑模控制方法[12]。该方法也能使得系统状态在期望的有限时间收敛为零，且控制精度不受初始偏差影响。但是如果控制过程中系统状态偏离了滑模面，文献[11-12]中提出的控制策略均无法保证终端时刻的控制精度。

新起点教材每个单元一个Let’s spell板块，每次讲授一个元音的发音，合理的归纳整理十分符合小学生的身心发展规律。例如在教授/aɪ/这个音标时，借助于Mike、kite、fine、nice、rice这些单词让孩子们通过观察、倾听和朗读找出共同的元音发音/aɪ/以及共同的拼写规则i-e组合。经过一个学期的音感启蒙，后面的Let’s spell 板块教学变得十分得心应手。所以，将音标教学“随风潜入夜，润物细无声”地渗入进“自然拼读法”单词教学中，能让学生在不知不觉中获得地道准确的音感。

本文针对一类二阶不确定非线性系统提出了一种新的系统状态有限时间收敛的滑模控制律，由于滑模面设计中引入了特定的截断函数，因此被称为基于截断函数的有限时间滑模控制。由于截断函数的选择不固定，因此可以通过选择不同的截断函数调节控制器性能。该控制律作用下，系统状态能在设定的时刻收敛为零，且系统对匹配的外界扰动和参数不确定性具有全局不敏感性。利用该算法的全局滑模特性，可以得到系统状态的解析解。此外，如果控制过程中系统状态偏离了滑模面，只要在设定收敛时刻之前系统状态再次回到滑模面，所提方法仍然能够保证终端时刻的控制精度。

1 方法推导

数据分析结果显示，感知价值正向显著影响使用意愿(0.88，p<0.01)，有用性和易用性对感知价值的正向影响很显著，分别是(0.40，p<0.01)和(0.29，p<0.01)，感知优惠对感知价值的作用也同样很显著(0.22，p<0.01)，但感知风险对感知价值的影响结果不显著。具体的假设检验结果见表6。

左小龙说：这样，你看，用学生肯定要比较好一点，我们去找小学生，小学生的感染力比较强，小学生容易得奖。我们去小学门口，看看谁被人家欺负了，咱俩过去，伸张正义，把人赶跑，再要求他加入合唱团，有了组织，有了社团，就不会被人欺负了。

 

(1)

其中，x=[x1,x2]T为状态向量，u为控制输入，g(x)和b(x)为以x为变量的已知函数且有b(x)≠0，d为未知但有界的聚合扰动。控制器的设计目标为：设计控制律使得系统状态在设定的有限时间tf收敛为零，即

也就能够得出教师的相关评价数值，根据每个教师所得出的数值的不同对教师加以判断和评价。而这一过程在具体计算的时候相对比较复杂，这就需要将这些程序能够和计算机相互配合使用，使得数据输入之后，计算机能够在经过其中具体程序计算之后，得出必要的数据结果，根据相关结果内容对教师群体加以评价，使得教师们能够对自身的评价更加公平公正对待，促使教师的综合素质不断加以提升。

重新安排变量位置，式(7)可以等价写为：

 

(2)

其中，n为大于1的常数，f(t)为一时变函数且满足如下条件：① f(t)是二阶可微的；②当0≤t<tf时，f(t)≠0，当t=tf时，f(t)=0。

然后，设计如下滑模函数：

s1=σ+ξ

(3)

其中，为不小于n的常数。考虑如下控制律：

u=

 

(4)

其中，为切换增益。进而可以得到下述定理。

定理1 考虑式(1)所示的非线性系统，采用式(3)所示的滑模面和式(4)所示的控制律，可使得系统状态一直处于滑模面上运动，即实现全局滑模。此外，系统状态x1和x2将会在t=tf时同时收敛为零。

证明：考虑如下正定的Lyapunov函数：

 

(5)

b2[f(t)]m-n+1}

 

(6)

显然，是非正定的，因此V1≤V1(0)。进一步注意到s1(0)=σ(0)+ξ(0)=0，进而可以得到V1≤0。由式(5)可以看出V1≥0。因此可以得到V1≡0。该结果意味着在t∈[0,tf]时，有s1≡0。因此系统状态将一直处于滑模面运动，实现了全局滑模动态。

对s1=0求导，可以得到：

根据前期试验确定的最佳添加量，考查不同发酵温度40，41，42，43，44℃对黄精酸奶品质的影响，确定黄精酸奶的最适发酵温度。

 

(7)

在设计控制器之前，首先构造一特殊变量如下：

 

(8)

然后，以(0,σ(0))为初始状态对式(8)进行积分，可以得到：

 

(9)

由式(9)结果可进一步求得变量σ的解析解为：

σ=b2[f(t)]m

(10)

其中，为一常数。

将式(2)代入式(10)，可以得到：

 

(11)

令可将式(11)等价写为：显然，上式为一典型的一阶线性微分方程，其通解为其中b3为常数，可由初始条件得到。通过求解上式可以得到系统状态x1的解析解如下：

x1=[f(t)]n[b3+b2F(t)]

(12)

其中，是函数[f(t)]m-n的原函数，为常数。

注2 如果在控制过程中系统状态偏离式(3)所示的滑模面，相应的控制性能也会受到影响。然而，如果在控制律作用下系统状态在tf时刻之前重新回到滑模面上(如在tr≤t≤tf时，s1=0)，则系统状态仍然能在t=tf时刻收敛为零。这是因为从tr时刻开始，系统状态x1和x2的动态响应仍然由式(12)和式(13)所决定。唯一的区别在于常数b2和b3的值有所变化，此时

进一步对式(12)求微分，可以得到：

x2=

对V1求导，并将控制律(4)代入求导结果，可得到：

2014年，公司将在继续稳固原有市场的基础上，研制新产品，深挖市场资源，提升销量，更好地服务社会，回报社会。展望未来，公司将继续秉承“力达塑业、品质为先”的理念，用热情、真诚和实力与各界朋友共同塑造美好明天。

(13)

由式(13)可以发现在t=tf时，x2也将会收敛为零。

□

注1 从式(4)可以看出，控制律中有两项分母中含有f(t)。由于f(tf)=0，因此在t=tf时控制量可能会出现奇异。事实上，该奇异问题可以通过合理地调节参数n来解决。将式(12)和式(13)所示的系统状态解析解代入控制律(4)，可以得到：

考虑如下典型的二阶不确定非线性系统：

u=

角蛋白酶（Keratinase）存在于人体和哺乳动物皮肤上真菌类发癣菌，角蛋白酶可溶于水，不溶于有机溶剂，最适宜的pH为8.5～9.5，在常温下稳定，在100 ℃时5 min后失活，其活性与共存的金属离子有关。现采用发酵法生产。

b2F(t))(f(t))n-2-g(x)-ksgn(s1)+

桑烟不断冒出，慢慢的，整个往生塔都笼罩在了盘旋着的烟雾中。这些烟雾从每一颗骷髅头的嘴边刮过，发出阵阵呜咽的声响。呜咽声中，夹杂着另外一些奇特的声响，像海螺内起伏着的海潮，像大雾中耳廓旁的鸣音，又像九重天上，来自神明的梵唱。

 

 

(14)

通过式(14)可以发现，只要选择n≥2，控制奇异就可以避免。因此，在应用该控制律时，参数n应选为不小于2的值。

由于f(t)为连续函数且m≥n，因此F(t)一定存在。此外，由于F(t)在t∈[0,tf]时间段内是连续的，因而其函数值有界。基于上述分析并注意到f(tf)=0，可以得到x1在t=tf时刻收敛为零。

注3 需要指出的是，虽然基于截断函数的有限时间滑模控制律能够保证系统状态在设定的有限时间收敛，但是其控制过程在期望的终端时刻tf就结束了。因此，本节提出的方法适用于控制目标需要在设定时间达到的控制问题。

注4 本文提出的滑模控制方法与时变的截断函数f(t)紧密关联，并且该控制器保证了系统状态有限时间收敛。因此该方法被称为基于截断函数的有限时间滑模控制方法。根据文中给出的截断函数f(t)的设计原则，其选择并不是唯一的，只要满足要求即可，例如f(t)可设计为tf-t、(tf-t)2及t2+At+B(其中A和B为设计参数)等多种形式。f(t)中的可调参数越多，对应控制系统的设计自由度越多，但相应的控制律形式也变得越复杂。上述性质不仅给控制器设计带来了很大的灵活性也使得控制器能满足不同的设计指标要求。该特性将在后续仿真中进行说明。

10号矿体：该矿体是该区最大的矿体，呈扁豆体产出，在2线南—12线分布，总长为2 600 m，在4～8线出现，寒武系下面的岩层覆盖了4线的南部大多数矿体，黄土覆盖了8线的北部。该矿体厚度为5～302 m，平均为154.7 m，走向呈北北东方向，倾向南东，倾角为70°～80°。

2 算例验证

为了验证本文所提控制律的有效性，本节针对二阶不确定非线性系统(1)进行了算例验证。其中，g(x)、b(x)和d的表达式分别选为：g(x)=0.6sin(x1+2x2)，b(x)=0.5sin(x1+x2)+1和d=0.3sin(10t)+0.2cos(0.5x1+7x2)。系统状态期望的收敛时间设为tf=4 s，切换增益选为k=1，其他控制参数选为m=n=2。

仿真算例中选择了不同的截断函数，分别为f(t)=tf-t和f(t)=t2+At+B。其中，参数A为任意常数。由于参数A可任意取值，因此它为控制系统提供了一个额外的自由度。在本算例中，也选择了不同的参数A来测试控制器性能。仿真结果如图1～4所示。

  

图1 系统状态x1响应曲线Fig.1 Response curve of system state x1

  

图2 系统状态x2响应曲线Fig.2 Response curve of system state x2

  

图3 控制输入Fig.3 Control input

  

图4 滑模函数Fig.4 Sliding surface

从图中结果可以看出，即使存在外部扰动，所提控制律仍能保证系统状态在期望的有限时间收敛为零。在控制律作用下，滑模函数一直在零值附近，保证了受控系统良好的鲁棒性。从图中结果可以进一步发现选择的截断函数不同，系统的动态响应也各不相同。因此可以通过设计不同的截断函数来对控制系统性能进行调节，该结果也验证了所提控制器设计的灵活性。

2.2.3 产量。磷肥施用量与产量密切相关。施用磷肥都能增加小麦产量。施用磷肥的小麦平均单产为462.2 kg，比未施用磷肥的小麦单产419.0 kg增产43.2 kg，增加10.32%。

3 结论

针对一类不确定非线性二阶系统，本文设计了一种基于截断函数的有限时间滑模控制方法，实现了受控系统状态的设定时间收敛。通过理论分析和数值仿真验证了所提控制器设计的灵活性和对外界扰动的鲁棒性。该方法的最大特点是截断函数设计不唯一，这给控制器设计带来了很大的灵活性。如果没有特殊的控制要求，截断函数可设计为最简单的形式，即f(t)=tf-t，如果有额外控制需求，可以通过增加截断函数的设计参数

来增加控制系统的自由度。由于很多控制问题(如末制导和交会对接问题)需要在设定时刻实现期望的性能指标，因此，所提控制策略在解决该类问题上具有很大的潜力和价值。

参考文献(References)

[1] Utkin V I. Sliding modes in control and optimization[M]. Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1992.

[2] Hung J Y, Gao W B, Hung J C. Variable structure control: a survey[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 1993, 40(1): 2-22.

[3] 高为炳. 变结构控制的理论及设计方法[M]. 北京：科学出版社, 1998.

2.1.2.2 准入标准 规定持有护士执业证书、从事社区护理工作时间＞3年、每年参加输液相关培训＞5学时、每年参加医德医风培训＞2学时。在上岗前必须接受社区护理制度、流程和预案的培训，经考试合格者才能上门从事家庭输液的护理工作。

Gao Weibing. Variable structure control theory and design method[M]. Beijing: Science Press, 1998. (in Chinese)

[4] Du H B, Li S H, Qian C J. Finite-time attitude tracking control of spacecraft with application to attitude synchronization[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2011, 56(11): 2711-2717.

[5] Wang X, Sun X, Li S, et al. Finite-time position tracking control of rigid hydraulic manipulators based on high-order terminal sliding mode[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and Control Engineering, 2012, 226: 394-415.

[6] Man Z H, Paplinski A P, Wu H R. A robust MIMO terminal sliding mode control scheme for rigid robotic manipulators[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1994, 39(12): 2464-2469.

[7] Yu X H, Man Z H. Fast terminal sliding-mode control design for nonlinear dynamical systems[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, 2002, 49(2): 261-264.

[8] Man Z H, Yu X H. Terminal sliding mode control of MIMO linear systems[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1997, 44(11): 1065-1070.

[9] Wu Y Q, Yu X H, Man Z H. Terminal sliding mode control design for uncertain dynamic systems[J]. Systems & Control Letters, 1998, 34(5): 281-287.

[10] Feng Y, Yu X H, Man Z H. Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators[J]. Automatica, 2002, 38(12): 2159-2167.

949 Overcoming bottlenecks in stroke treatment to comprehensively improve the efficiency of emergent treatment

[11] Laghrouche S, Plestan F, Glumineau A.Higher order sliding mode control based on integral sliding mode[J]. Automatica, 2007, 43(3): 531-537.

自动上料的运行轨迹为：在初始状态机构处于左侧上方位置，上电以后机构下行至左侧下方位置；开始吸纸，然后回到左侧上方，行至中间位置停下；机构开始前伸，上料完毕。

[12] Geng J, Sheng Y Z, Liu X D. Time-varying nonsingular terminal sliding mode control for robot manipulators[J]. Transactions of the Institute of Measurement and Control,2014, 36(5): 604-617.