考虑扰动引力影响的弹道助推段误差传播解析计算方法*

近几年来，随着惯性测量系统硬件水平的提高，制导工具误差对弹道导弹命中精度的影响逐渐降低，而非制导误差的影响却日益突出。地球扰动引力是导致非制导误差的最主要因素，对于射程超过10 000 km的弹道导弹，扰动引力可平均引起600 m左右的落点偏差[1-2]。

对弹道导弹助推段而言，实现对扰动引力影响的补偿主要有两种思路：一种为直接补偿法，即弹上惯导解算时引力项采用高阶引力模型计算；另一种为间接补偿法，即通过对弹道诸元或关机方程进行迭代修正来实现补偿[1-2]。直接补偿法对弹载计算机性能及存储量有很高要求，文献[3]研究了采用球谐函数计算扰动引力的并行算法，虽然在计算速度上取得一定提升，却无法解决存储量的问题；文献[4-5]提出了扰动引力有限元快速重构模型，并探讨了采用该模型实现弹上扰动引力实时计算的可行性。

采用间接法补偿扰动引力影响的关键是求解扰动引力对弹道助推段关机点状态的影响量进而基于获得的反馈修正弹道发射诸元或关机方程。显然，基于高阶引力场模型进行弹道数值积分并与标准弹道等时求差是求解最直接的手段，但考虑数值积分计算耗时长的问题，使得该方法一般只适用于扰动引力影响特性离线分析。

摄动法是分析扰动引力对弹道影响最常用的方法。摄动理论最初是由天文学家在分析月球、木星及土星等天体在受到太阳光压及其他引力体摄动后的运动特性的研究中发展起来的。欧拉首创了轨道要素变分法，分析了木星、土星和月球的轨道摄动问题。随后，拉格朗日、高斯、拉普拉斯等也对轨道摄动理论的发展做出了突出的贡献[6]。针对地球形状摄动问题，日本天文学家古在由秀在1959年根据非线性振动力学中平均法的思想提出了平均要素法，目前该方法已成功应用于半解析轨道理论、转移轨道、航天器交会对接以及编队飞行领域[7-9]，并取得了较好的效果。

在弹道摄动领域，我国学者自20世纪80年代以来，主要针对扰动引力场中弹道快速计算、扰动引力场对弹道运动的影响分析和扰动引力场影响补偿方法这三个方面进行了研究。陈国强[10]、任萱[11]、郑伟[12]等都提出了非常有效的分析方法和手段。其中，陈国强提出的远程弹道导弹误差传播特性分析方法在分析扰动引力对弹道导弹弹道的影响时效果非常好，但该方法在用于分析扰动引力对基准弹道的影响时会产生较大误差，这是因为扰动引力与弹道视加速度之间存在耦合影响。本文即针对这一问题，提出了考虑耦合影响的弹道误差传播快速分析方法。

1 计算模型

1.1 理论基础[1，10]

状态空间摄动法的基本思路是：基于一条标准弹道将弹道非线性方程线性化，得到以速度、位置(或其他等价变量)偏差为状态变量的线性系统，并导出系数矩阵的解析解，即

 

(1)

其中，表示系统状态，A为系数矩阵，为所考虑的摄动因素。

而后导出状态转移矩阵Φ(t,τ)的解析解，满足：

 

(2)

根据线性系统理论，在初始条件下，式(1)的通解为：

 

(3)

如果可以表示为自变量的简单函数，则上式可进一步导出解析解。

1.2 弹道摄动方程

标准弹道计算模型可表示为：

 

(4)

其中，和分别为标准弹道的速度、位置和视加速度矢量，为标准弹道引力加速度。

若考虑扰动引力对导弹运动的影响，则实际飞行弹道与标准弹道的等时变分可表示为：

 

(5)

其中，为实际弹道视加速度，为实际弹道引力加速度。

分别将与在与处泰勒展开，取一阶项，并整理为矩阵形式，即有

 

(6)

相比与网络贷款的不可靠性，中国银行和中国建设银行等为真正需要贷款的学子提供了有一定保障的渠道．但据调研得知，仅有16.15%的在校大学生了解银行推出的校园贷产品，这说明银行校园贷产品的普及率还远远不够．因此，普及银行校园贷产品，引导大学生正确规避风险，形成不良借贷平台“挤出效应”迫在眉睫．

 

(7)

显然，矩阵P反映了地球正常引力与扰动引力的耦合影响，矩阵Q则反映了视加速度与扰动引力的耦合影响。

文献[12]给出了Q=06×6情况下状态转移矩阵的解析解(如式(8)所示)，进而可得求解弹道助推段关机点偏差的半解析表达式(如式(9)所示)。

 

(8)

 

(9)

式(8)中，近似反映导弹助推段弹道绕地心的旋转角速率(文献[12]将其定义为弹道角速度)，由于在整个弹道助推段飞行过程中nb的真实数值变化范围小于1%，故在推导过程中将其视为常数(取nb=1/825)，tk为关机时刻。式(9)中，δFx(τ)、δFy(τ)、δFz(τ)为系统过程扰动项，这里为扰动引力矢量，即显然，若可以表达为关于时间的函数，式(9)可进一步推导出完整解析解。

2 扰动引力多项式拟合

（3）价格边际回归分析。表3中，6个物流绩效分项指标都通过了1%的显著性检验，且系数都为正。6个分项指标对机械运输设备出口价格边际的影响程度差别不大，影响程度大小依次为：跟踪货物能力 （Tracing）、物流基础设施质量 （Infrastructure）、物流服务质量 （Services）、清关效率 （Customs）、货物运输及时性 （Timeliness）、国际运输便利性 （Shipment）。实证结果表明，“一带一路”沿线各国自身物流绩效竞争力的提高对中国机械运输设备出口产品的价格有明显的提升作用。

 

(10)

式中：r为地心距；λ为地心经度；φ为地心纬度；μ为地球引力常数；ae为地球赤道平均半径；Cnk和Snk均为球谐函数系数；Pnk(x)为缔合勒让德函数；s为模型截断阶数。

水利枢纽工程安全监测系统在设计开发中，不仅涉及多个学科，还会涉及多个专业，因而在设计过程中能够集中多个领域的优势。从专业知识的角度来说，水利枢纽工程安全监测系统设计主要设计的专业有传统的水利专业、现代的微电子专业、通信专业以及自动控制专业等。水利枢纽工程安全监测系统开发是一项整体的工程，且建成后会发挥重要的作用。

 

(11)

采用最小二乘法将助推段扰动引力拟合为关于时间的多项式函数，且对发射惯性系中扰动引力三分量分别进行拟合。设观测方程为：

 

(12)

式中：为观测向量(观测向量即为基于弹道助推段n个离散时间点对应的位置矢量求解得到的n组发射惯性坐标系中的扰动引力值)，n为拟合点的个数；Hn×(m+1)为系数矩阵，m代表了多项式拟合阶次；为待定参数向量；为随机误差向量。

扰动引力采用球谐函数法进行计算，且取截断到360阶的EGM2008模型。扰动引力位具体的计算公式为：

赵仙童穿戴好衣裙，身子一旋，像一只飘飘欲飞的黑凤凰。委实说，赵仙童长相、身段确实一流，穿着红裙像红凤凰、白裙像白凤凰、蓝裙像蓝凤凰，和李金枝是剧团共认的两枝团花、两根台柱、两大名角，名动小城各个阶层，随市领导出访过日本、韩国、朝鲜、菲律宾、马来西亚，很让名气和流言结伴窜飞了一番。

拟合多项式采用如式(13)所示经验公式。

 

(13)

此时有

 

(14)

式中，ti(i=1,2,…,n)为离散时间序列。

成，故而视加速度偏差可表示为：

 

(15)

图1所示为沿弹道扰动引力最小二乘拟合仿真结果。其中，拟合多项式为5阶，拟合点个数为6。图1中仅显示y方向拟合效果(1 mgal=10-5 m/s2)，对于x方向和z方向也有相似的结果。

  

(a) 拟合曲线与实际曲线(a) Comparison of fitting curve and actual curve

  

(b) 拟合残差图(b) Fitting residual diagram图1 y方向扰动引力拟合效果Fig.1 Fitting effect diagram of disturbing gravity in y direction

图1所示结果表明采用多项式拟合方法求解沿弹道助推段扰动引力精度较高，拟合残差小于3×10-7 m/s2。

3 误差传播解析解

3.1 解析公式推导

将式(13)代入式(9)，然后进行积分即可获得弹道助推段扰动引力对导弹关机点状态影响的解析计算公式。

 

(16)

且有

 

(17)

 

(18)

 

(19)

 

(20)

 

(21)

 

(22)

其中，tp=tk/10。

3.2 仿真分析

标准弹道采用国外某公开的弹道导弹参数进行仿真，导弹发射点参数见表1。导弹助推段关机时间为177 s。

 

表1 导弹发射点参数

 

Tab.1 Launching point parameter of missile

  

大地经度/(°)大地纬度/(°)高度/m方位角/(°)87.5E30.5N558460.0

为了验证解析公式的计算精度，将其与数值积分结果进行对比。仿真结果如图2所示。

方法1：弹道求差法，即在对弹道进行数值积分时分别采用正常引力模型(考虑到J2项)和考虑了高阶扰动引力的引力模型，而后对两条弹道状态量(发射惯性系中速度和位置)等时求差。该方法求解精度最高，误差源仅为计算机本身计算误差，可以作为其他分析方法精度评估的参照。

方法2：不考虑视加速度与扰动引力耦合影响的弹道误差传播解析计算模型，即采用式(16)进行计算。

在进行碾压施工之前，首先要做的应该是根据施工实际情况来选择型号和数量最合适的压路机。图1是此次高速公路沥青路面施工用到的压路机参数，除此之外，本次道路施工还配有一台洒水车。

图2所示为上述两种方法在求解扰动引力引起的弹道助推段状态偏差随时间的变化曲线对比图，其中均在发射惯性系中表达。结果表明，解析公式解算的结果与弹道求差法的结果基本一致，只是在x方向和z方向精度略差。分析表明，式(16)计算精度略差主要是由于没有考虑扰动引力与视加速度之间的耦合影响，下面讨论对上述耦合项进行补偿修正的方法。

  

图2 解析法与求差法计算结果对比Fig.2 Comparison of analytical method and numerical method

4 耦合项补偿

4.1 补偿策略

如前所述，式(16)的计算结果没有考虑扰动引力与视加速度之间的耦合影响。推导考虑耦合因素影响的弹道误差传播解析解需要在Q≠06×6的条件下求解式(6)的状态转移矩阵解析解。实际推导中发现，由于矩阵Q相当复杂，致使很难直接得到状态转移矩阵的解析表达式。

提出一种“附加补偿+迭代修正”的思路来解决考虑耦合项的弹道误差传播解析求解问题，具体思路为：将扰动引力引起的视加速度偏差视为扰动引力的附加补偿量，并通过有限次迭代修正不断逼近数值积分计算的结果。具体流程如图3所示。其中表示关机点状态偏差，为容许误差矢量。

扰动引力位对位置的梯度即为扰动引力，即

下面给出由状态偏差求解视加速度偏差的具体表达式。

其中，系数矩阵P表示地球正常引力(只考虑到J2项)对弹道速度和位置的雅可比矩阵，系数矩阵Q表示弹道视加速度对弹道速度和位置的雅可比矩阵，即有

视加速度由气动力和发动机推力两部分组

则根据最小二乘法则，拟合系数可表示为：

 

(23)

式中，和分别为气动力和发动机推力。

  

图3 考虑耦合项的迭代修正流程图Fig.3 Iterative correction flow chart

(24)

其中，Cx、Cy、Cz分别为阻力系数、升力系数和侧力系数，ρ为大气密度，v为飞行器相对大气的速度，Sm为弹体最大横截面积，m为弹体质量，ue为排气速度，Se为喷口截面积，pe为排气端面压力，pH为当地大气压力。

记Mv为对速度矢量的偏导数，Mr为对位置矢量的偏导数，其具体表达式为：

“左双权从小就是在呼兰区红旗村长大的，村里的亲戚朋友他都熟悉，必要时他带着站经理到村里进一步开发客户。”范好光说。

 

(25)

 

(26)

且有，

 

(27)

其中，α与β分别为攻角和侧滑角，和分别为升力系数对攻角的导数和侧力系数对侧滑角的导数。

胆囊 胆囊变硬是因为胆结石。以前中国人的胆结石基本上是泥沙样的结石，现在越来越多地变成了胆固醇结石。当出现右上腹部绞痛或右肩、右背部的放射性疼痛时，就要警惕胆囊结石了。

记Nr为对位置矢量的偏导数。

 

(28)

综合上述方程可得视加速度摄动方程为：

 

(29)

4.2 仿真分析

仿真初始条件与3.2节中所述一致。同样对图4中给出的四种方法加以说明。其中，前两种方法(即方法1和方法2)3.2节已做说明。

方法3：改进的弹道误差传播解析计算模型，即对扰动引力与视加速度耦合影响迭代补偿后的弹道误差解析计算模型，且迭代1次。

3)对解析模型及修正后的解析模型的精度及计算耗时进行了仿真验证，并与数值积分求差法的结果进行了对比。仿真结果表明，修正前的解析法计算结果基本反映了弹道助推段误差传播的趋势，但计算精度略差；修正后的解析法计算精度有很大提升，计算残差减小为原来的1/3。同时，解析法在计算耗时方面相对数值积分求差法有很大优势，约为后者的1/10。

方法4：改进的弹道误差传播解析计算模型，且迭代2次。

  

(a) z向速度偏差(a) Velocity deviation of z direction

  

(b) z向位置偏差(b) Position deviation of z direction图4 不同方法状态偏差计算结果及残差对比图Fig.4 Comparison of different methods in calculating results and residual error

图4所示为采用上述4种方法求解扰动引力引起的弹道助推段状态z向偏差Δvz及Δz随时间的变化对比图以及改进前后模型计算残差对比图。图4表明，改进后的弹道助推段误差传播解析计算模型计算精度有很大提升，模型计算残差减小为原来的1/3，且迭代2次的效果比迭代1次的效果要好。x向及y向也有类似的修正效果。

表2所示为不同方法计算耗时情况，显然解析法在计算耗时方面相对数值积分求差法有很大优势，约为后者的1/10；同时，考虑扰动引力与视加速度耦合影响修正的解析法较原有解析法在耗时方面略有增加，但不明显。

 

表2 不同方法仿真时间对比

 

Tab.2 Consumption time of different methods

  

方法1方法2方法3方法4计算耗时/s120.47310.36711.55412.811

5 结论

弹道助推段误差传播快速计算模型是实现弹道扰动引力场影响补偿的基础和前提，基于此，本文主要完成了如下内容：

1)基于弹道摄动思想及线性系统理论构建了考虑扰动引力影响的弹道助推段误差传播解析计算模型；

2)考虑了扰动引力与视加速度项之间的耦合影响，并将扰动引力引起的视加速度偏差视为扰动引力的附加补偿项，并采用逐次迭代的思路逐步修正原有结果；

本研究力求解决上述两个问题，希望通过汽轮机回热系统优化进行有意义的尝试，为同类型机组提供工程实践经验。

⑥这里关于“两个比重”的提高，中央财政收入占全国财政收入比重的提高是财政体制的效应，但是财政收入占GDP的比重，则是税制改革的功劳。

总的来说，本文的工作为弹道导弹扰动引力场影响补偿这一研究课题中的基础研究部分，可以为弹道助推段扰动引力场影响补偿研究提供支撑。

参考文献(References)

[1] 郑伟. 地球物理摄动因素对远程弹道导弹命中精度的影响分析及补偿方法研究[D]. 长沙： 国防科技大学, 2006.

ZHENG Wei. Research on effect of geophysical disturbance factors and the compensation method for hit accuracy of long-range ballistic missile[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2006.(in Chinese)

[2] 马宝林, 张洪波, 郑伟, 等. 地球扰动引力对弹道导弹命中精度影响的等效补偿理论[J]. 国防科技大学学报, 2016, 38(4): 153-158.

MA Baolin, ZHANG Hongbo, ZHENG Wei, et al. Equvialent compensation theory of the earth disturbance gravity on ballistic missile hit accuracy [J]. Journal of National University of Defense Technology, 2016, 38(4): 153-158.(in Chinese)

[3] 潘新祥, 徐晓东. 球谐函数法解地球扰动引力并行计算方法[J]. 指挥控制与仿真, 2013, 35(4): 77-80.

PAN Xinxiang, XU Xiaodong. Parallel computing research on the spherical harmonic model for solution of the disturbing gravitation problem[J]. Command Control & Simulation, 2013, 35(4): 77-80. (in Chinese)

[4] 谢逾, 郑伟, 汤国建. 弹道导弹全程扰动引力快速赋值方法[J]. 弹道学报, 2011, 23(3): 18-23.

983 Effect of referral on intravascular treatment of acute ischemic stroke with large vessel occlusion

XIE Yu, ZHENG Wei, TANG Guojian. Research on fast assignment of gravity disturbance for full-range trajectory of ballistic missile [J]. Journal of Ballistics, 2011, 23(3): 18-23.(in Chinese)

目前建成的填埋气体发电工程所用的发电机组设备，国产的主要为济柴、胜动和宝驹的产品，进口的设备有颜巴赫、卡特比勒和道依茨的产品，国产设备成熟机型功率范围在500kW左右机组，进口设备成熟机型为1000kW左右机组。考虑与一期工程的一致性，选用进口1.0 MW沼气发电机组。

[5] Zhou H, An X Y, Zheng W, et al. Fast local representation of gravity anomaly along flight trajectory [J]. Journal of Aerospace Engineering, 2016, 230(7): 1201-1215.

广垦畜牧集团成立于2011年1月，是由广东省农垦集团公司控股，以养殖业尤其是养猪业为主的专业化产业集团，是农业产业化国家重点龙头企业。注册资本6.84亿元，资产总额超13亿元。集团现有湛江、茂名、阳江、惠来、陆丰5家二级公司，50个标准化、规模化健康生猪养殖基地和150个职工养殖小区，建成和拥有专业生猪销售平台1个。目前养殖基地均配备全自动智能饲养系统和饲料自动输送系统、无害化废弃物综合治理与资源化利用系统以及生产信息化管理系统，荣获全国首批“无公害农产品示范基地农场”和农业农村部“生猪标准化示范场”等称号。

[6] Battin R H. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics[M]. USA: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1999.

[7] Cefola P, Proulx R J. Application of the semi analytical satellite theory to shallow resonance orbits [J]. Advances in the Astronautical Sciences, 1991, 75(1): 94.

[8] Salama A H. Analytical evaluation of mascon effects in a semi-analytic theory [J]. Advances in the Astronautical Sciences, 1992, 76(3): 2173-2189.

LaGGG晶体是GGG晶体中部分Gd3+被La3+取代而获得的．与Nd∶GGG晶体相比较，Nd∶LaGGG晶体中La3+取代Gd3+可以非均匀展宽光谱，有利于超快激光的产生；此外，La3+半径大于Gd3+，取代后可以增加晶体晶格常数，利于Nd∶LaGGG晶体熔点的降低[36]．

[9] Schaub H, Alfriend K T. Hybrid cartesian and orbit element feedback law for formation flying spacecraft [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2002, 25(2): 387-393.

[10] 陈国强. 远程弹道导弹误差传播特性[J], 宇航学报, 1984, 5(3): 50-65.

CHEN Guoqiang. Error propagation properties for ICBM[J]. Journal of Astronautics, 1984, 5(3): 50-65.(in Chinese)

[11] 任萱. 地球外部空间扰动引力对弹道导弹运动的影响——对被动段运动的影响[J]. 国防科技大学学报, 1984(7): 63-82.

REN Xuan. The influence of gravity anomaly on motion of the ballistic missile—influence on unpowered-flight phase [J]. Journal of National University of Defense Technology, 1984(7): 63-82.(in Chinese)

[12] 郑伟, 汤国建. 扰动引力场中弹道导弹飞行力学[M]. 北京: 国防工业出版社, 2009: 35-40.

ZHENG Wei, TANG Guojiang. Flight dynamics of ballistic missile in gravity anomaly field [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2009: 35-40. (in chinese)