一类两个边界带谱参数的Sturm-Liouville算子Ⅲ

1 预备知识

近十几年来，Sturm-Liouville问题成为研究的热点，尤其边界条件中带谱参数的情形，产生了许多理论成果，如黄赞等[4-7]，罗佩芳等[8]等.在文献[9]中，Wang Aiping等研究了一类带谱参数正则的Sturm-Liouville(S-L)问题.即：

 

(1)

本文考虑带两个谱参数的正则S-L问题，探究其特征函数系的完备性.

设该Sturm-Liouville方程为：

在医院稳步快速发展中，宣传工作发挥着不可替代的作用，其不仅为医院树立良好的社会形象，同时为医院有序快速发展奠定基础。做好宣传工作可提升社会对医院的认知度，促进医患关系和谐，引领医院积极向上。实践工作中，将科学性和有效性的管理模式予以建立对医院宣传生命力的提升具有重要意义。PDCA循环，该模式属于全新的管理模式，别名为质量环，属于全新的科学质量管理程序，且在质量计划和组织目标的制定中全程参与[1]。为此，本院于2015年初至今宣传管理中运用PDCA循环进行有效质量管理，取得较为满意效果，现报告如下。

ly:=-(p(x)y′(x))′+q(x)y(x)=λy(x) x∈I,

(2)

其中I=[a,c)∪(c,b]，-<a<c<b<是非零实数； q(x)∈L1(I,R)；λ∈C是谱参数；带谱参数的边界条件:

 

(3)

 

β2y′(b))=0；

(4)

转换条件

l3y:=y(c+)-α3y(c-)-β3y′(c-)=0,

(5)

l4y:=y′(c+)-α4y(c-)-β4y′(c-)=0.

由于λ不是(2)～(6)的特征值，所以

(6)

其中在本文中，假定

 

(7)

定义1[10] 令微分算式ly=-(p(x)y′)′+q(x)y，Dmax={y∈H=L2(I):y,y′∈ACloc(I),ly∈H}，则Dmax称为ly的最大算子域.

推论1 边值问题(2)～(6)的特征值λ∈R，如果λ1≠λ2，那么特征函数f(x)和g(x)是相互正交的，即：

引理1[11] 对于∀(γ1,δ1,γ2,δ2)，∃y∈Dmax，使得y(a)=γ1，y′(a)=δ1，y(b)=γ2，y′(b)=δ2.

引理2[12] 若ly=-(p(x)y′)′+q(x)y在a点是正则的，y∈Dmax，则y,y′在a是连续的，即存在且有限.

2 定义新算子

为了研究S-L问题(2)～(6)，定义内积如下：

∀f,g∈L2(I)，

(8)

其中：L2(I)为区间I上所有平方可积的复值可测函数组成的空间，f1(x)=f(x)|[a,c)，f2(x)=f(x)|(c,b]，θ∈R+的常数．易证(L2(I),<·,·>1)是Hilbert空间．记H1=(L2(I),<·,·>1)．

在空间H:=H1⊕C2中定义如下内积：

更新教育观念、提高教育质量是永恒的主题。在教育教学规律、课程设置、教学内容、教材建设和教学管理方面，在提高学生的素质、加强创新能力的培养和注重个性发展方面要有新的突破，为培养和造就一大批基础扎实、知识面宽、能力强、素质高的专门人才，将不懈努力、不断探索和实践。

 

∀F=(f(x),h,m)∈H，G=(g(x),k,n)∈H，

(9)

其中：f,g∈H1,h,k,m,n∈C，ρ,η∈R+的常数.

在Hilbert空间H中定义算子A如下：

AF=(lf,α1f(a)-α2f′(a),-(β1f(b)-

Course Changing Decision for Collision Avoidance According to Social Emotional Optimization Algorithm

β2f′(b)))，

证 只证明若λ不是A的特征值，则λ∈ρ(A)就行.因算子A是自伴，故λ∈R，考虑(A-λ)Y=F∈H，其中：F=(f,h,m).

(10)

 

再令

(11)

注意到q(x)∈L1(I,R)，结合引理2知，对于任意的(f(x),h,m)∈D(A)，函数在[a,c]上是连续的,在[c,b]上是连续的，并且记

 

(12)

 

(13)

所以，通过考虑AF=λF来研究S-L问题(2)～(6).且有

定理3 算子A有且只点谱，即σ(A)=σp(A).

定理2 线性算子A在H中是自伴的.

为了更好地理解这门课程，我们首先要明白，研究性学习具有什么样的特点，它的价值定位是什么，以及它与学科教学，与活动课有什么联系和区别。

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(14)

推论2 边值问题(2)～(6)的特征值下方有界.

3 特征函数系的完备性

定理1 算子A的定义域D(A)在H中是稠密的.

∀

讨论下述S-L问题：

 

(15)

令u(x)是方程lu-λu=0的解，且满足下述条件：

 

(16)

又

 

(17)

其中u1(x)是

 

(18)

的唯一解，u2(x)是

 

(20)

的唯一解.

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(21)

是方程lv-λv=f的解，且满足：α3v(c-)+β3v′(c-),v′(c+)=α4v(c-)+β4v′(c-)，则(15)的通解是

 

(22)

其中d∈C.

超过半数的少数民族大学生对自己的创新能力评价不高，其中，60%的少数民族大学生对如何提高创新能力有所思考，但实际行动中对创新的发现、应用及推广能力不足。

 

(23)

因(A-λ)Y=F的第三个分量涉及到-S(y)-λS′(y)=m，即

(24)

将(22)代入(24)，可得

 

(25)

结合(23)，可知d是唯一表示的.因此y是唯一可解的.

催化汽油加氢脱硫装置反应系统压降上升原因分析及对策……………………………………………………………(2):26

上述表明(A-λI)-1定义在H上.由定理2及闭图像定理，可知(A-λI)-1是有界的.因此λ∈ρ(A)，即：σ(A)=σp(A).

对于任意的δ∈Rσp(A)，有以下的结论：

定理4 设v、V分别是A-δI的特征值和特征函数，则是(A-δI)-1的特征值和特征函数.反之亦然.

证明过程类似文献[7].

定理5 算子A的预解式是紧的，即：∀δ∈Rσ(A)=Rρp(A)，算子(A-δI)-1∈H也是紧的.

我国数字阅读用户规模不断扩大，为数字报纸提供了广阔的市场。根据第十五次全国国民阅读调查结果，数字化阅读方式（网络在线阅读、手机阅读、电子阅读器阅读、Pad阅读等）的接触率为73.0%，较2016年的68.2%上升了4.8个百分点。

定理6 算子A的特征函数在空间H中是完备的，即：若{Φn=(Φn(x),R′(Φn),S′(Φn));n∈N}是算子A的标准正交特征函数系，则∀F∈H，有

参考文献：

[1] Kadakal M，Mukhtarov O S.Discontinuous Sturm-Liouville problems containing eigenparameter in the boundary conditions[J].Acta Mathematica Sinica，2006，22：1519-1528.

[2] Z，Demirci M，Mukhtarov O S.Discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary and transmissions conditions[J].Acta Applicandae Mathematacae，2005，86(3)：329-344.

[3] Altinisik N，Kadakal M，Mukhtarov O.Eigenvalues and eigenfunctions of discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions，2004，102：159-175.

[4] 黄 赞，罗佩芳.一类两个边界带谱参数的 Sturm-Liouville算子Ⅰ[J].广州大学学报(自然科学版)，2009，8(5)：6-9.

[5] 黄 赞，罗佩芳.一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville 算子Ⅰ[J].肇庆学院学报，2008，29(2)：9-12.

[6] 黄 赞，罗佩芳，沈京虎.一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子特征的渐近分析Ⅰ[J].延边大学学报(自然科学版)，2009，35(3)：198-202.

[7] 黄 赞，罗佩芳.一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子Ⅱ[J].广东培正学院学报，2007，7(4)：79-82.

[8] 罗佩芳，黄 赞，沈京虎.一类两个边界带谱参数的正则Sturm-Liouville算子的基本解的渐近分析[J].延边大学学报(自然科学版)，2011，37(3)：194-200.

[9] Wang A，Sun J，Hao X，et al.Comleteness of eigenfuntions of Sturm-Liouville problems with transmission conditions[J].Methods and Applications of Analysis，2009，16(3)：299-312.

[10] Kong Q，WU H，Zettl A.Multiplicity of Sturm-Liouville eigenvalues[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，171(1-2)：291-309.

[11] 曹之江.常微分算子[M].上海：上海科学技术出版社，1987：47-48.

[12] Weidmann J.Spectral theory of ordinary differential operators[M].London：Springer，2006.