一类三次Kolmogrov平面系统的平衡点分支

0 引 言

两种群相互作用的模型中，一类典型的模型为Kolmogrov模型

 

如果从生态学角度对模型中的P(x,y)和Q(x,y)给出一些的合理假设条件，则该模型既可以表示两种群随时间变化的捕食关系，又可以表示两种群的合作关系，因此吸引了生物数学学者对该模型进行研究和讨论 [1-7]。如果P(x,y)和Q(x,y)是二次多项式的Kolmogrov系统，则有

②资料来源于 《重庆市人民政府关于印发2017年全市安全生产工作要点的通知》（渝府发［2017］ 1 号）。

 

(1)

假设其中μ1和μ2为变化参数，其余参数符号根据具体情形确定均为相对固定参数。鉴于系统(1)的生物意义(x和y表示两种群的密度)，之前通常在区域≥0,y≥0}中研究系统平衡点和周期解的存在性与稳定性。由于一些时滞微分方程在中心流形上的规范型恰好可以化成(1)的形式，所以本文从分支的角度来讨论系统(1)在区域内D={(x,y)|x≥0,y∈R}平衡点个数分布问题。当a1=b1=0时，文献[8]已给出系统(1)平衡点个数及周期解存在的情况，下面以μ1和μ2为参数，来讨论当时，系统(1)的动力学的性质。

1 平衡点分析

经推算可得系统(1)除平凡平衡点M0=(0,0)外，所有的可能平衡点如下：

 

其中

四是加大材种子、苗木繁育基地建设力度。依靠科学技术，推广中药材规范化种植，解决药材资源品种退化、品质下降等问题，使中药材基地上规模、上质量、上档次。围绕中药材规模化基地建设，积极开展GAP认证研究，力争全县种植的黄芪、板蓝根、甘草等中药材品种全部通过GAP认证。

 

其中-4μ1μ2>0，故特征方程有一对纯虚根，说明该平衡点是中心，此时系统存在周期解。同理，当μ1>0，且a3<0，μ2<0，b2>0时，系统同样存在周期解。

定理1 系统(1)分别在下列情形下，经历了如下分支：

(i) 当时，在记L0)上，系统(1)在点处经历saddle-node分支；

1.4临床表现:老年组气急明显者86例(91.2%),胸痛者12例。中青年组胸痛者44例(84.7%),气急明显者20例。与对照组相比,老年组以气急为主要表现(p<0.01),而中青年组则以胸痛为主要表现(p<0.01)。

(iii) 当μ2≠0，在 μ1=0(记L2)上，系统(1)在M0处经历pitchfork分支；

(iv) 当<0且Θ>0成立，在记L3)上，系统(1)在经历分支；

(v) 当在记上，系统(1)在点经历pitchfork分支。

社区要搞一台消夏晚会。开演临近，一个小品还缺演员，居委会主任很着急。市人才交流中心的老王说，我来安排吧。他临时拉了几个人，没怎么排练就上台了。不料，演出大获成功！庆功宴上老王多喝了几杯，道出原委：他让公交售票员演泼妇，让大学教授演伪君子，让城管演土匪，让律师演骗子……

证明 设为系统(1)的任意一个平衡点，其对应的雅各比矩阵为

 

(2)

系统(1)平衡点对应的特征方程及特征根为零实部的条件，见表1。

 

表1 平衡点对应线性化系统的特征方程及其根的特点

 

Table 1 Characteristic equation of the linearized system corresponding to theequilibrium point and its characteristics

  

平衡点对应线性化系统的特征方程特征根为零实部的条件M0=(0,0)(λ-μ1)(λ-μ2)=0μ1=0,或μ2=0,或二者均为零M02=(0,-b12b3)(λ-μ1+a1b12b3-a3b214b23)(λ-μ2+b214b3)=0μ1=a1b12b3-a3b214b23,或μ2=b214b3,或二者均为零

 

续表

  

M+1=(-μ1a2,0)(λ+2μ1)(λ-μ2+b2a2μ1)=0μ1=0,或μ2=b2a2μ1,或二者均为零M±2=(0,-b1±b21-4b3μ22b3)(λ-λ1)(λ+λ2)=0λ1=μ1+a3b3μ2-(b1a3-a1b3)(b1±b21-4b3μ2)2b3λ2=2μ2-(b21±b1b21-4b3μ22b3)λ1=0,或λ2=0,或二者均为零M±3=(x*,y*) ,x*=-a3y2*+a1y*+μ1a2,y*=a1b2-b1a2±Θ2(a2b3-a3b2),Θ=(b1a2-a1b2)2-4(a2b3-a3b2)(a2μ2-b2μ1)λ2+pλ+q=0,p=-2(a2a3-a2b3)μ2+2(a2b3-b2b3)μ1 -(2(a2-b3)/(a2b3-b2a3)+b1)y*,q=4(μ2a3-μ1b3)(μ1b2-μ2a2)a2b3-b2a3 +4A1(μ1b2-μ2a2)-2A3(μ2a3-μ1b3)y*-2A1A3y2*a2b3-b2a3,A1=b1a3-a1b3,A3=b1a2-a1b2p≠0,q=0,或p=0, q=0,或p=0,q>0

根据平衡点对应线性化系统的特征方程根为零实部的条件，及文献[9]定理3.2.1、定理3.2.2、定理3.2.3中的条件，可得在L0上，系统(1)在平衡点处经历saddle-node分支，当且时，系统产生两个平衡点和而平衡点消失；在L1上，系统(1)在平衡点M0处经历transcritical分支，当μ1≠0时，M0与或两个平衡点稳定性在μ2=0左右两侧发生转换；在L2上，系统(1)在平衡点M0处经历pitchfork分支，当μ2≠0且μ1>0时系统产生两个平衡点和在L3上，系统(1)在平衡点处经历分支，当Θ>0且系统(1)产生平衡点和在上，系统(1)在平衡点或处经历pitchfork分支，当Θ>0且时，产生平衡点和或和定理得证。

由上述定理证明可知，在区域D={(x,y)|x≥0,y∈R}上，系统(1)最多可能有6个平衡点。通过改变系统(1)中参数μ1和μ2，使系统平衡点的个数和性态发生变化，分支曲线可将右半平面划分成几个区域，在这些区域内，平衡点的个数分别为1、3、4、5、6。

2 极限环的存在性

定理2 当a2b3-b2a3≠0 时，如果p=0且q>0时(p和q见表1)，系统(1)在右半平面存在周期解；或当a1=a2=b1=b3=0，且μ1·μ2<0，μ1·a3<0，b2·μ2<0，a3·b2<0成立时，系统(1)在右半平面(即在区域D内)存在周期解。

证明 当a2b3-b2a3≠0 时，如果p=0且q>0时，系统(1)在平衡点处的特征方程有纯虚根，则在右半平面存在周期解；另外，当a1=a2=b1=b3=0，且μ1·μ2<0，μ1·a3<0，b2·μ2<0，a3·b2<0成立，系统(1)可化成

式中：为开口管桩在土塞不完全闭塞条件下的单桩承载力；为开口管桩在土塞完全闭塞条件下的单桩承载力；为桩外侧摩阻力；为桩内侧摩阻力；为桩环底端阻力；为桩土塞阻力；为土塞自重。

下段第四亚段（Є2q1-4）：浅灰色厚层藻屑灰岩、浅灰色亮晶砂屑灰岩，含砂砾屑灰岩。底部常有一层鲕粒灰岩或含鲕粒砂屑灰岩，中上部见白云质灰岩、含白云质灰岩，顶部有时变为残余砂屑白云岩。厚40～60 m不等。为铅锌矿次要容矿层位。

 

不妨假设μ1<0，则a3>0，μ2>0，b2<0，解得该平衡点对应的特征方程为λ2-4μ1μ2=0，

根据平衡点的分支定理，可得如下结论：

根据定理2的约束条件，选取μ1=-1，a3=1，μ2=1，b2=-1，画出系统在右半平面的周期解，如图1所示。

  

图1 中心点周围存在的极限环

 

Fig.1 Limit cycles around the center

当(μ1,μ2) =(0.013 2,1.895 3)∈D2时，如图4所示：参数μ1(>0)穿过L2，在M0(0,0)处经历pitchfork分支，产生(0.50 4,0)；与此同时，参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,-2.194 6)两个平衡点，而平衡点消失；参数μ2(>5.218 4μ1)穿过L3 , 在处发生pitchfork分支，产生(1.830 5,-1.402 4)；包括M0(0,0)，系统(3)共有六个平衡点。

3 数值模拟

某些时滞微分方程在中心流形上的约化规范型，恰好可以转化成系统(1)(在区域D={(x,y)|x>0,y∈R}上)的形式。参考文献[10]给出的一组参数：a1=0.015 0，a2=-0.052 2，a3=0.092 9，b1=0.412 0，b2=-0.272 4，b3=-0.205 8，符合定理1的条件，下面研究参数μ1和μ2值改变时，系统(1)平衡点的个数和性态的变化。将参数代入系统(1)，可得如下形式经过计算可知，这六条分支曲线将平面划分成了9个区域，如图2所示。

 

(3)

  

图2 分支曲线图Fig.2 Bifurcation diagram

图2中没有画出在L0左边的区域为D9，该区域不是本文的主要研究内容。为了验证分支现象，现选取八组参数来说明定理1给出的分支现象。当(μ1,μ2) =(0.013 2,0.010 4)∈D1时，如图3所示：参数μ1(>0)穿过L2，在M0(0,0)处发生pitchfork分支，在右侧产生稳定结点(0.503 4,0)(在左侧产生点本文不考虑该点)；与此同时，参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生了两个平衡点(0,2.026 8)和(0,-0.024 9)，而平衡点消失；此时系统(3)共有四个平衡点。

(ii) 当μ1≠0，在μ2=0(记L1)上，系统(1)在M0处经历transcritical分支；

文献[3]证明了，当系统平衡点是不稳定的结点或焦点时，如果在该平衡点周围能构造出Poincare-Bendixson闭环域，也可以找到唯一个稳定的极限环。

推荐理由:王安忆带着历史的长焦，以一贯细腻节制的笔触、熨帖人心的语言，审视书中人物、老宅与城市的命运关系。出生世家的陈书玉，在时代大潮的反复冲击下，与老宅共同经受了一次又一次的修缮和改造，终致人屋一体，互为写照。人物沉浮与老建筑的存亡紧密相连，时代的起落更迭促使陈书玉个人的成长与嬗变，演绎一段低回慢转的上海别传。

  

图3 系统(3)在D1内的相图

 

Fig.3 Phase diagram in D1 of system (3)

  

图4 系统(3)在D2内的相图

 

Fig.4 Phase diagram in D2 of system (3)

当(μ1,μ2) =(-0.394 5,1.895 3)∈D3时，如图5所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,-2.194 6)两个平衡点，而平衡点消失；参数穿过在处发生pitchfork分支，产生(2.381 0,2.646 6)(还有但本文不考虑该点)和(0.387 6,-2.163 3)(还有但本文不考虑该点)；包括M0(0,0)，系统(3)共有五个平衡点。

  

图5 系统(3)在D3内的相图

 

Fig.5 Phase diagram in D3 of system (3)

  

图6 系统(3)在D4内的相图

 

Fig.6 Phase diagram in D4 of system (3)

当(μ1,μ2) =(-0.426 2,1.895 3)∈D4时，如图6所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,-2.194 6)两个平衡点，而平衡点消失；参数又穿过在处发生pitchfork分支，产生(2.354 7,2.695 9)和(本文不考虑该点)；包括M0(0,0)，系统(3)共有四个平衡点。

当(μ1,μ2) =(-0.485 1,0.041 8)∈D5时，如图7所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,-0.096 7)两个平衡点,而平衡点消失；包括M0(0,0)，系统(3)共有三个平衡点。

5.对于一些海拔超过了1000m的地方，配电装置应该注意选用适合该地区海拔高度的电器产品。有些配电装置可能布置在工业区内或者是居民区，注意该地区的噪声应该符合国家的标准。

当(μ1,μ2)=(-0.394 5,-0.036 8)∈D6时，如图8所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处穿过L0，发生saddle-node分支，产生(0,0.093 6)两个平衡点，而平衡点消失；包括M0(0,0)，系统(3)共有三个平衡点。

  

图7 系统(3)在D5内的相图

 

Fig.7 Phase diagram in D5 of system (3)

  

图8 系统(3)在D6内的相图

 

Fig.8 Phase diagram in D6 of system (3)

当(μ1,μ2)=(-0.054 7,-0.115 3)∈D7时，如图9所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,1.665 6)两个平衡点，而平衡点消失；参数穿过在处发生pitchfork分支，产生(0.548 9,0.793 8)和(本文不考虑该点)；包括M0(0,0)，系统(3)共有四个平衡点。

当(μ1,μ2) =(-0.000 362 4,-0.024 2)∈D8时，如图10所示：参数μ2(>-0.206 2)穿过L0，在处发生saddle-node分支，产生(0,0.060 5)两个平衡点，而平衡点消失；与此同时，参数穿过在处发生pitchfork分支，产生(0.631,0.403 2)(还有本文不考虑该点)和还有本文不考虑该点)；包括M0(0,0)，系统(3)共有五个平衡点。

本文在概率成像方法作了模型数据试验验证，需进一步作实际重力资料应用验证。在路利春[34]等《成像技术在矿区重力勘探中的应用研究》一文中效果得以体现，应用良好。

从图5～图10可以看出，D3与D8，D4与D7，D5与D6平衡点的个数都是一样的，而平衡点的稳定性发生了改变，这说明图1中的L1是系统(3)的transcritical分支曲线，即平衡点个数不变，稳定性发生了改变。图1中，在L0左侧且在L2下面，系统(3)只有一个平衡点M0。在图3～图10中，用M1表示即将记为M1。

  

图9 系统(3)在D7内的相图

 

Fig.9 Phase diagram in D7 of system (3)

  

图10 系统(3)在D8内的相图

 

Fig.10 Phase diagram in D8 of system (3)

4 结 论

通过定性分析与数值结构分析，得到了一个双参数的三次平面系统的平衡点个数与分支情况，选μ1,μ2为参数，得到的分支曲线将右半平面空间划分成多个区域。利用Matlab数值模拟验证了系统(3)在不同区域的平衡点和周期解的情况，验证了系统(3)在每个区域内所含平衡点的个数及其类型, 为研究规范型理论提供了理论参数。

参考文献

[1] 张江山. 一类三次Kolmogorov系统极限环的存在性和唯一性 [J]. 生物数学学报, 1989, 4(1): 91-95.

[2] 马知恩. 种群生态学的数学建模与研究 [M]. 合肥： 安徽教育出版社， 1996: 80-83.

[3] 李万同. 一类n次Kolmogorov系统的极限环 [J]. 应用数学， 1992, 5(2): 13-17.

[4] 李继彬, 陈兰荪. 周期时间制约捕食者-食饵系统的周期解分枝与浑沌现象 [J].生物数学学报， 1986， 1(2): 88-95.

[5] 陈兰荪. 生物数学引论 [M]. 北京： 科学出版社， 1988： 19-50.

[6] 袁月定, 杜超雄, 傅湧. 一类Kolmogorov捕食系统的定性分析 [J]. 福州大学学报 (自然科学版), 2010, 38(4): 486-490.

[7] 刘响林, 吴丽娟. 一类Kolmogorov系统的浑沌与次谐分枝 [J]. 石家庄铁道学院学报, 1998, 11(3): 11-15.

[8] GUCKENHEIMER J, HOLMES P J. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields [M]. New York: Springer, 1983, 376-411.

[9] 张伟江, 杨升荣. 非线性动力系统的动态分析 [M]. 上海： 上海交通大学出版社, 1996: 57-76.

[10] WANG J N, JIANG W H. Hopf-zero bifurcation of a delayed predator-prey model with dormancy of predators [J]. Journal of Applied Analysis and Computation, 2017, 7(3): 1051-1069.