整Dirichlet级数表示的函数空间

0 引 言

Dirichlet级数所表示的函数空间的泛函性质及定义在其上的组合算子，是近年来Dirichlet级数理论研究方向之一 [1-6]。本文主要研究整Dirichlet级数所表示函数空间的泛函性质。

令E是一个含幺元e的交换Banach代数 [7]，且如果an∈E，且

aneλns,s=σ+it(σ,t∈R),

一是抓教育培训。加强员工的政治思想教育，做到“能干事、干成事、不出事”。加快党工团的组建工作，加强公司党风廉政建设，创立企业文化，进一步增强员工的归属感和凝聚力。为员工提供量身定制个性化培训方案，采取请进来、走出去的办法，加大对公司员工的培训力度，使更多的员工成为复合型人才。

(1)

其中指数λn∈R，且满足条件

andnenλnn!,其中 aneλns，且{dn}是E中有界数列。

定理4 F不是一个可除代数。

其中dn是an的逆。

综上所述，F是一个含幺元的可交换Banach代数。

(αan)eλns,

(enλnn!anbn)eλns。

显然，F是一个复线性空间。

范数下的相关结果

若令

根据调查得知，利息收入、净利润逐渐增加［3］。资金互助社的利息收入从2011年的98.11万元增加至2015年的487.15万元，增加了3.97倍。社业务及管理费从2011年的91.22万元逐年增加至2015年的297.44万元，增加了3.26倍。净利润由2011年的50.14万元增加至2015年的170.56万元。

 

(2)

则F是一个赋范线性空间。下面研究F的相关性质。

定理1 F是一个含幺元的可交换Banach代数。

顾阿婆家属一行全到齐了，在大厅里大吵大嚷，摆出誓不罢休、悲痛欲绝的姿态，坚决要求医院赔偿由于医生急救不当所导致病患死亡的损失费，领头的是顾阿婆的儿子，一脸的怒气冲冲，老人住院的这段时间里他从未露过一次面。

下证F是含幺元的Banach代数。令 aneλns, bneλns∈F，则由 ene-nλn(n!)-1eλns(en=e,n=1,2,…)，易证e(s)∈F，且故F存在幺元。又由 enλnn!bnaneλns=g(s)·f(s)，故F可交换。另外还有

an,keλns}⊂F

是一个柯西列，则对任意的ε>0，存在正整数K，使得当正整数p,q≥K时，有

ε,即

汇聚畅通的智慧课堂，可以实现智慧数字图书馆、资源库的共享使用，通过多渠道的学习，使课堂变得更加高效。智慧课堂可以使学生、教授、课件、教室、书籍等与课堂有关的要素相互联系，相互沟通和相互操作。

 

故对任意给定的正整数n，有于是{an,k}(k=1,2,…)均为Banach空间E中的柯西列。设an,k→an(k→)，则an∈E，故fk→f,且

其中M是正常数，因此是有界的，故f∈F，由此可知，F是完备的。

证明 为了证明上述结果，首先证明在(2)式的范数下F是完备的。若

2.4 按压镇痛泵次数、哌替啶使用总量及补救镇痛情况比较 SB2组和SB1组按压镇痛泵的次数明显少于S组(P<0.05)，哌替啶使用总量显著低于S组(P<0.05)，三组补救镇痛率比较差异无统计学意义(P>0.05)，见表5。

将上面的基于单处理器的算法思想拓展为支持多处理器的算法，即可得到求解原问题的优先关系调度算法(PR)：

定理2 函数 aneλns在F中是可逆的充要条件是是有界序列，

(an+bn)eλns,

结合APDL语言和UIDL语言,按照上述方法进行二次开发的成果为“薄壁空心高墩温度应力分析系统”，程序界面如图2所示。

证明 必要性。设f(s)是可逆的，且 bneλns是它的逆，则有f(s)·g(s)=e(s)，即 ene-nλn(n!)-1eλns,从而enλnn!anbneλns=ene-nλn(n!)-1eλns,即enλnn!bn=en(an)-1e-nλn(n!)-1。因此

 

又因为g(s)∈F,因此有界，则有界。

充分性。假设是一个有界数列，令

ene-2nλn(n!)-2(an)-1eλns,则有界，故g(s)∈F。注意到

ene-nλn(n!)-1eλns=e(s)。

可得f(s)可逆，充分性得证。

定理3 f(s)是F中的拓扑零因子的充要条件为

只有在适宜的含水率条件下,植物才能顺利进行正常的生命活动.已有研究表明,土壤含水量对土壤有机质有着高度依赖性,有机质控制着土壤含水量及其有效性[8],土壤有机质含量的增加会改变土壤的胶体状况,使土壤吸附作用增强,从而使得土壤含水量提高.菌渣的添加能够有效提高土壤中有机质的含量,降低土壤中水分的蒸发量,有利于水分下渗,从而达到改良土壤保水、持水效果的目的,为植物根系的生长创造适宜的环境.

证明 充分性。任取 bneλns∈F,且 (enλnn!anbn)eλns,有

由已知对上述不等式取极限，得到

0

则f(s)是F的拓扑零因子。

必要性。因为f(s)是F中的拓扑零因子，所以对任意g(s)∈F且均有现取 ene-nλn(n!)-1eλns=e(s),则

 

显然≥0,则有

 

定理3得证。

投资是理财的重要内容，家庭储蓄务必要取得收益最大化才好，炒股票、买基金、买卖贵金属……这些都已经很常见，不过，要在丰富的选择中，找到最适合你们家庭的项目进行组合，还是需要下一番功夫的。以炒股来说，虽然它最常见，但如果夫妻俩都非常忙碌而且对于股票理财也并不精通，那还不如定投来得实惠安全。总之牢记四个字：量体裁衣，这样才会“越穿越舒服”。

证明 设 (n)-1e-nλn(n!)-1eneλns∈F,则p(s)在F中不可逆。假设p(s)可逆，则存在 dneλns∈F是q(s)的逆，且有p(s)·q(s)=e(s)，即

ene-nλn(n!)-1eλns,因此dn=nene-nλn(n!)-1。又因为无界，推出q(s)∉F，与已知矛盾。定理4得证。

范数下的主要结果

下面重新定义一个F中的范数，并介绍一个相关定理。取(1)式中的f，且f∈F，定义F中的范数如下：

定理5 泛函θ:F→E为连续线性泛函的充要条件是

0<λ1<λ2<…<λn↑+,,，则由文献[8]中的Valiron公式知，f(s)为整函数。若F是满足上述条件的整函数f(s)的集合，且满足有界。对任意的 aneλns, bneλns∈F，定义运算如下

学生们过度贪图享乐。随着我国经济社会的发展，人们生活水平的提高，一些学生的追求欲望也越来越高，出入高档场所，相互攀比，提前消费，并将大把的学习时间花费在吃喝玩乐上，同时有的学生有拜金主义的思想，为了追求物质享受，触犯法律底线，盗窃钱财，在生活当中有过度的依赖性，这严重腐蚀了学生们的上进心。

证明 必要性。假设θ:F→E是一个连续线性泛函，其中 aneλns，则 aneλns)。定义一个序列{fn}⊂F，fn(s)=e-nλn(n!)-1eneλns,

anenλnn!θ(fn)。

我很轻捷地翻越了一道淌着黑水的壕沟，来到了那煤老板平时挂着“办公室”字样的几间屋前。透过窗口，我急速地用目光在里边寻找着那个胖乎乎的身影。但，这间屋里除了一些凌乱的用物和满地废纸以外，早已空无一人。门前还算宽敞的地面上，有很明显的刚刚轧过的车轱辘印痕。那家伙平时开着一辆什么“帕萨特”。他到底还是像惊恐的鸟儿一样开溜了。

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θ是一个线性泛函，则

总而言之，小班化教学是当今农村教育的潮流，大势所趋。小班化教学为学困生的辅导提供了时间和机会，有利于学困生养成良好的学习习惯，培养自主学习能力。

θ(fn)=dn⟹ andnenλnn!。

又因为

从而 M，因此{dn}是有界序列。

充分性。设{dn}是E中有界序列，且满足 andnenλnn!，则θ是线性泛函。又

则θ是连续泛函。综上，θ是一个连续线性泛函，定理5得证。

参考文献

[1] KUMAR N, MANOCHA G. A class of entire Dirichlet series as an FK-space and a Frechet space [J]. Acta Mathematica Scientia, 2013, 33B(6): 1571-1578.

[2] HOU X L, HU B Y, LE H K. Hilbert spaces of entire Dirichlet series and composition operators [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, 401(1): 416-429.

[3] AKANKSHA A, SRIVASTAVA G S. Spaces of vector-valued Dirichlet series in a half plane [J]. Frontiers of Mathematics in China, 2014, 9(6): 1239-1252.

[4] KUMAR N, MANOCHA G. On a class of entire functions represented by Dirichlet series [J]. Journal of the Egyptian Mathematical Society, 2013, 21(1): 21-24.

[5] SRIVATTAVA G S, ARCHNA S. On bases in the space of vector valued entire Dirichlet series of two complex variables [J]. Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 2012, 4(2): 83-90.

[6] HOU X L, HU B Y, LE H K. Composition operators on Hilbert spaces of entire Dirichlet series [J]. Comptes Rendus Mathematique, 2012, 350(19-20): 875-878.

[7] 张恭庆, 郭懋正. 泛函分析讲义(下册) [M]. 北京: 北京大学出版社, 1990: 1-9.

[8] 余家荣, 丁晓庆, 田范基. Dirichlet 级数与随机Dirichlet 级数的值分布 [M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2004: 9-11.