含时滞导数项的二阶微分方程的正周期解

0 引 言

本文研究含时滞导数项的二阶微分方程

u″(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t-τ1),u′(t-τ2)), t∈R

在这股追求手工品质的个性化设计思潮之中，英国、荷兰两地的“设计师—造物人运动”、英美两国家具领域的“手工艺复兴运动”最具有代表性和影响性，并诞生了“设计师—造物人”（Designer-maker）这一新词，以区别于传统的设计师（Designer）一词。随着手工设计的不断发展，“设计师—造物人” 也演变为今天的“手造人”（Hand-maker）一词，更加强调手工的重要性。

(1)

正ω-周期解的存在性，

其中:a∈C(R,(0,+))为ω-周期函数；f:R×[0，+)×R→[0，+)连续，f(t,x,y)关于t以ω为周期；τ1,τ2为正常数。

时滞微分方程在生物数学、经济、工程、信息等诸多领域有重要的应用，可以描述种群生态系统、动物血红蛋白再生、人口动力系统、心率失常等现象。近年来，时滞微分方程周期解的研究受到了许多学者的关注，一些学者研究了二阶时滞微分方程周期解(或正周期解)的存在性问题，并且获得了一些好的结果 [1-5]，但研究方程(1)中非线性项含有时滞导数项的二阶微分方程其周期解的文章相对较少。

文献[6]研究了含时滞导数项的二阶中立型微分方程

(u(t)-cu(t-δ))″+a(t)u(t)=f(t,u(t),u(t-τ(t)),u′(t-γ(t))),

王素英生于1961年，如今已经年近六旬。在她的职业生涯中，社会福利相关工作占据了相当大的比例。参加工作后，她长期供职于民政系统，2008年出任民政部社会福利和慈善事业促进司副司长，2012年10月起兼任民政部社会福利中心党委书记（正司级），并且在2015年正式出任中国福利彩票发行管理中心主任，成为了福彩系统的“一把手”。

(2)

其中：δ>0,|c|<1为常数；a∈C(R,(0,+))为ω-周期函数；f:R×[0，+)2×R→[0，+)连续，f(t,x,y,z)关于t以ω为周期；τ,γ∈C(R,[0,+))为ω-周期函数。运用锥上的不动点指数理论获得了方程(2)正ω-周期解的存在性结果。

在文献[7]研究了在特殊形式下的二阶时滞微分方程

u″(t)+a(t)u(t)=λf(t,u(t-τ1(t)),...,u(t-τn(t))),

听取介绍后，宋晓路希望开磷继续加大对该项目的攻关研发与科学验证，尽快建成大规模、高附加值的磷石膏资源综合利用项目，让磷石膏资源综合利用形成产业链，提高开磷磷石膏资源综合利用的规模和水平。

(3)

其中：f∈C(R×[0,+)n+1,[0,+)),τ1,…,τn∈C(R,[0,+))。利用锥映射的Krasnoselskii不动点定理获得了方程(3)正ω-周期解存在的充分条件。

基于上述结果，本文讨论方程(1)正ω-周期解的存在性，与文献[6]中的多时滞微分方程不同。文献[7]中，二阶周期问题的积分算子在锥K0={u∈Cω(R)|u(t)≥σ‖u‖C, t∈R}上的保锥不变性保证了方程(3)解的正性，但是像方程(1)中非线性项含有时滞导数项，相应的积分算子在K0上没有定义。因此，文献[7]的论证方法不能直接应用于方程(1)。本文运用正算子扰动的方法，把方程(1)的正ω-周期解问题转化为锥≥σ‖u‖C,|u′(τ)| C1|u(t)|,t,τ∈R}上的算子A:K→K的不动点问题，再应用锥上的不动点理论讨论算子A不动点的存在性。

1 预备知识

设Cω(R)是以ω为周期的全体连续函数按范数‖u‖C=maxt∈[0,ω]|u(t)|构成的Banach空间，是以ω为周期的全体连续可微函数按范数构成的Banach空间。

对∀h∈Cω(R)，考虑二阶线性微分方程

u″(t)+Mu(t)=h(t), t∈R

(4)

周期解的存在性，

其中方程(4)的ω-周期解可用核函数

 

(5)

表示，由文献[7]中引理2.1，方程(4)有唯一ω-周期解

u(t)=U(t-s)h(s)ds:= Sh(t)，

(6)

且解算子为线性全连续算子。

由(5)式知，U(t)>0于[0,ω]。当且h(t)≠0时，由(6)式，方程(4)的ω-周期解u(t)>0。记

 

 

 

定义中的锥K如下：

C1|u(t)|,t,τ∈R},引理1 若则对∀线性方程(4)的ω-周期解u=Sh∈K。

1.2.6 流式细胞仪检测细胞凋亡 收获转染细胞，1 000 r/min离心，预冷75%乙醇固定，常规碘化丙啶(PI)染色，同时采用FITC-AnnexinV标记凋亡细胞，经流式细胞仪检测A278细胞凋亡效应。具体步骤严格按照试剂盒说明进行，利用图片剖析技术检测试验条带的光密度值。各组试验操作均需反复进行，以3次最为适宜。

u(t)=U(t-s)h(s)ds

于是有‖u‖C h(s)ds。

u(t)=U(t-s)h(s)ds≥≥σ‖u‖C。

对∀τ∈R，因为u′(t)= U′(t-s)h(s)ds，故

|u′(τ)||U′(t-s)|h(s)ds C1u(t),所以u=Sh∈K。证毕。

下面考虑二阶线性微分方程

u″(t)+a(t)u(t)=h(t), t∈R

思想政治教育是医学院校教育内容的重要部分，在医学人才培养中起着关键的作用，医学生的职业素养与专业技能的培养缺一不可。因此，根据医学生思想政治教育所面临的新情况、新任务，

(7)

周期解的存在性，

其中a∈Cω(R)是一个正ω-周期函数，且满足条件

 

并令

做好社保基础数据的清洗、比对、转换等基础工作，通过数据中间库，将社保户籍数据与“金税三期”户籍数据进行清洗与比对，逐户进行关联。比对成功后，再进行数据转换，在“金税三期”系统做好缴费登记。

 

(8)

引理2 若a∈Cω(R)且满足条件(H1)，则对∀h∈Cω(R)，线性方程(7)有唯一ω-周期解

 

是一线性全连续算子，并且⊂K。

证明 改写方程(7)为下面形式

u″(t)+Mu(t)=(M-a(t))u(t)+h(t),t∈R。

由线性方程(4)ω-周期解的表示形式知，是方程(7)的ω-周期解，当且仅当

其中根据引理2，有下面的引理：

(9)

定义如下算子B:Cω(R)→Cω(R)

故算子方程(11)有唯一解

那时，庐山是外国人的天下，山上至少有几千外国人，他们划分了各自的势力范围。以合面街我家（现邮局）东侧墙基石为界，下坡即是英租界，芦林湖一带是俄租界，河南路上下是美租界。

(10)

则B是一个正的有界线性算子，结合(9)式及(10)式知

(I-SB)u(t)=Sh(t)， t∈R。

比如，外资办百货商店、超级市场，涉及外资零售权、百货进口权、国内商品采购出口权、外汇调剂权、减征关税和所得税。又比如，建设保税区，涉及区内免关税、免许可证；国内外企业可以在区内设立国际贸易机构；区内企业不仅可做一般的进出口贸易，还可做国际转口贸易，可从事生产资料交易中心业务；作为境内关外的地区，外汇全额留成，各国货币可以流通。

(11)

对∀u∈Cω(R)及t∈R，有

A=T∘F，

(M-m)‖u‖CU(t-s)ds=(M-m)‖u‖CU(s)ds

 

因此，‖(SB)u‖C对∀u∈Cω(R)，有‖SB‖根据单位算子扰动定理，I-SB有有界逆算子(I-SB)-1，且

 

(12)

Bu(t)=(M-a(t))u(t)，

u(t)=(I-SB)-1Sh(t)=(I-SB)-1U(t-s)h(s)ds:=Th(t)， t∈R，

视觉语言是没有国界的，只要采用通用的国际化视觉造型，全世界的人们都能看懂。让无声的图形语言成为天津滨海新区城市品牌的重要推手，将天津滨海文化走出中国，走向世界。将城市元素和城市内涵转化为城市的品牌形象，突出城市未来的发展定位和方向，展示滨海新区城市的特色。

(13)

其中

引理4 [9] 设Ω是E中的有界开集，θ∈Ω且

T=(I-SB)-1∘S。

由(12)式可得

 

故T可表示为

T=S∘Q，

(14)

其中

 

(15)

且算子Q:Cω(R)→Cω(R)是线性有界算子，按(6)式所定义的算子是线性全连续算子，再结合(14)式可得是线性全连续算子。

由S及B的正性及(15)式可知，Q:Cω(R)→Cω(R)为一个正线性算子。因此，对∀由(14)式及引理1，u=Th=S(Qh)=Sh1∈K，即⊂K。证毕。

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设f:R×[0，+)×R→[0，+)连续，对∀u∈K，有

F(u)(t)=f(t，u(t-τ1)， u′(t-τ2)， t∈R

(16)

则连续。定义一个算子

U(t-s)|(M-a(s))u(s)|ds

(17)

u(t)=U(t-s)[(M-a(s))u(s)+h(s)]ds。

引理3 若a∈Cω(R)且满足条件(H1)，则由(17)式定义的算子A:K→K为全连续算子。

由算子T的定义及引理3，方程(1)的正ω-周期解等价于算子A的不动点，下面利用锥上的不动点指数理论求解算子A的不动点。

主要结果的证明需要下面两个引理：

在北京石油干部管理学院学习的两个月中，我们学习了很多哈佛管理课程。“沟通难题”，本身就是提高自身工作能力的一种表现。

 

为全连续算子，若μAu≠u，μ∈(0，1]，u∈∂Ω∩K，则i(A，Ω∩K，K)=1。

证明 设对∀t∈R，由(6)式可得

引理5 [9] 设Ω是E中的有界开集，为全连续算子，若∃ e∈K{θ}，使得u-Au≠τe，τ≥0，u∈∂Ω∩K，则i(A，Ω∩K，K)=0。

2 主要结果

本节讨论方程(1)正ω-周期解的存在性。设a∈Cω(R)且满足条件(H1)，m，M为(8)式定义的正常数，f:R×[0，+)×R→[0，+)连续，f(t，x，y)关于t以ω为周期，I∈[0,ω]。为了叙述方便，引入以下记号：

f

定理1 若a∈Cω(R)且满足条件(H1)，f:R×[0，+)×R→[0，+)连续，f(t，x，y)关于t以ω为周期，若f满足条件

(H2)f0<m， f>M，则方程(1)至少有一个正ω-周期解。

(1)电子温度传感装置：它是一个现有研发、能将温度传感器合集在一个小小的芯片上的装置。它可以通过热敏电阻对电路的影响完成对温度的测量和模拟信号输出至扬声装置和数据放大装置。仿真电子温度传感装置中单一功能是其主要特点(即只测量温度，并无其它功能)。而电子温度传感装置的显著优点在其测量温度误差小，价格便宜，反应速度灵敏等。

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证明 取工作区间设K⊂为凸闭锥，A:K→K为由(17)式定义的算子，则方程(1)的正ω-周期解等价于算子A的非平凡不动点。设0<r<R<+，令

 

要证当r充分小，R充分大时，A在中至少有一个不动点。

因为f0<m，按f0的定义，存在ε∈(0,m)及δ>0，使得

f(t，x，y) (m-ε)x， t∈I， |y| C1x， x∈(0,δ]。

(18)

取0<r<δ，下证A在∂Ω1∩K中满足引理4的条件，即当λ∈(0，1]，u∈∂Ω1∩K时，λAu≠u。事实上，若∃λ0∈(0，1]及u0∈∂Ω1∩K，使得λ0Au0=u0，即u0=T(λ0F(u0))，则按T的定义及引理为h=λ0F(u0)相应的线性方程(7)的ω-周期解，因此满足微分方程

u″0(t)+a(t)u0(t)=λ0f(t，u0(t-τ1)，u′0(t-τ2))。

(19)

因为u0∈∂Ω1∩K，按K及Ω1的定义，有

0 σ‖u0‖C u0(t-τ1)‖u0‖C1=r<δ， t∈R，

|u′0(t-τ2)| C1u0(t-τ1)。

(20)

因此，由(18)式可得

f(t，u0(t-τ1)，u′0(t-τ2)) (m-ε)u0(t-τ1)， t∈R，

(21)

由(19)式及(21)式可得

u″0(t)+a(t)u0(t) λ0(m-ε)u0(t-τ1)(m-ε)u0(t-τ1)， t∈R。

对上述不等式在I上积分，并结合u0的ω-周期性，有

mu0(t)dt a(t)u0(t)dt (m-ε)u0(t-τ1)dt=(m-ε)u0(t)dt。

因为 u0(t)dt≥ωσ‖u0‖C>0，由上式得，m m-ε，矛盾，因此A在∂Ω1∩K上满足引理4的条件，由引理4，有

i(A，Ω1∩K，K)=1。

(22)

另一方面，因为f>M，按f的定义，存在ε1>0及H>0，使得

f(t，x，y)≥(M+ε1)X， t∈I， |y| C1x， x>H。

(23)

取及e(t)≡1，显然e∈K {θ}。下证A在∂Ω2∩K中满足引理5的条件，即当μ≥0，u∈∂Ω2∩K时，u-Au≠μe。事实上，若存在μ1≥0，u1∈∂Ω2∩K，使得u1-Au1=μ1e，即u1-μ1e=T(F(u1))，由T的定义及引理3，u1(t)-μ1是h=F(u1)相应的线性方程(7)的ω-周期解，因此满足微分方程

u″1(t)+a(t)(u1(t)-μ1)=f(t，u1(t-τ1)，u′1(t-τ2))。

(24)

因为u1∈∂Ω2∩K，按K及Ω2的定义，有

u1(t)≥σ‖u1‖C，|u′1(τ)| C1u1(t)， t，τ∈I，

(25)

由上式的后一不等式有‖u′1‖C C1‖u1‖C，因此‖u1‖C1=‖u1‖C+‖u′1‖C(1+C1)‖u1‖C，故有

‖u1‖C≥

(26)

由(25)式及(26)式，有

u1(t)≥σ‖u1‖C≥

由此不等式结合(25)式的后一不等式，应用(24)式，有

f(t，u1(t-τ1)，u′1(t-τ2))≥(M+ε1)u1(t-τ1)， t∈I，由此不等式及(24)式，有

u″1(t)+a(t)(u1(t)-μ1)≥(M+ε1)u1(t-τ1)， t∈I。

对上述不等式在I上积分，再结合u1的ω-周期性，有

Mu1(t)dt≥a(t)(u1(t)-μ1)dt≥(M+ε1)u1(t)dt。

因为 u1(t)dt≥ωσ‖u1‖C>0，由上式得，M≥M+ε1，矛盾，因此A在∂Ω2∩K上满足引理5的条件，由引理5，有

i(A，Ω2∩K，K)=0。

(27)

于是由(22)式、(27)式及不动点指数的区域可加性，有

 

由可解性，A在上有不动点，该不动点为方程(1)的正ω-周期解。证毕。

定理2 若a∈Cω(R)且满足条件(H1)，f:R×[0，+)×R→[0，+)连续，f(t，x，y)关于t以ω为周期，若f满足条件

(H3)f0>M， f <m，则方程(1)至少有一个正ω-周期解。

证明 设及算子A都如定理1证明过程中所定义，下证当r充分小，R充分大时，算子A在中至少有一个不动点。

因为f0>M，由f0的定义，存在ε>0及δ>0，使得

f(t，x，y)≥(M+ε)x， t∈I， |y| C1x， x∈(0，δ]。

(28)

取0<r<δ，e(t)≡1，下证A在∂Ω1∩K中满足引理5的条件，即当μ≥0，u∈∂Ω1∩K时，u-Au≠μe。事实上，若存在μ0≥0，u0∈∂Ω1∩K，使得u0-Au0=μ0e，即u0-μ0e=T(F(u0))，由T的定义及引理3，u0满足微分方程

u″0(t)+a(t)(u0(t)-μ0)=f(t，u0(t-τ1)，u′0(t-τ2))，t∈R。

(29)

因为u0∈∂Ω1∩K，按K及Ω1的定义，u0满足(20)式，由(20)式及(29)式可得

f(t，u0(t-τ1)，u′0(t-τ2))≥(M+ε)u0(t-τ1)， t∈R，由此不等式及(29)式，有

u″0(t)+a(t)(u0(t)-μ0)≥(M+ε)u0(t-τ1)， t∈R，对上述不等式在I上积分，再结合u0的ω-周期性，有

Mu0(t)dt≥a(t)(u0(t)-μ0)dt≥(M+ε)u0(t)dt。

(30)

因为 u0(t)dt≥ωσ‖u0‖C>0，由上式得，M≥M+ε，矛盾，因此A在∂Ω1∩K上满足引理5的条件，由引理5，有

i(A，Ω1∩K，K)=0。

(31)

又因为f<m，由f的定义，存在ε1∈(0，m)及H>0，使得

f(t，x，y) (m-ε1)x，t∈I，|y| C1x， x≥H。

(32)

取下证A在∂Ω2∩K中满足引理4的条件，即当λ∈(0，1]，u∈∂Ω2∩K时，λAu≠u。事实上，若∃λ1∈(0，1]及u1∈∂Ω2∩K，使得λ1Au1=u1，即u1=T(λ1F(u1))，则由T的定义及引理3，u1满足微分方程

u″1(t)+a(t)u1(t)=λ1f(t，u1(t-τ1)，u′1(t-τ2))， t∈R。

(33)

因为u1∈∂Ω2∩K，按K及Ω2的定义，u1满足(25)式和(26)式，则有

u1(t)≥σ‖u1‖C≥

由此式及(25)式，应用(32)式可得

f(t，u1(t-τ1)，u′1(t-τ2)) (m-ε1)u1(t-τ1)， t∈I，根据上式及(25)式可得

u″1(t)+a(t)u1(t) λ1(m-ε1)u1(t-τ1) (m-ε1)u1(t-τ1)， t∈R。

对上述不等式在I上积分，再结合u1的ω-周期性，有

mu1(t)dt a(t)u1(t)dt (m-ε1)u1(t-τ1)dt=(m-ε1)u1(t)dt。

因为 u1(t)dt≥ωσ‖u1‖C>0，由上式得m m-ε1，矛盾，因此A在∂Ω2∩K上满足引理4的条件，由引理4，有

i(A，Ω2∩K，K)=1。

(34)

于是，由(31)式、(34)式及不动点指数的区域可加性，有

 

由可解性，A在上有不动点，该不动点为方程(1)的正ω-周期解。证毕。

参考文献

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