超Virasoro代数的一类单模及其实现

0 引 言

李代数是一类重要的非结合代数。19世纪末，挪威数学家Lie在研究微分方程的不变性时，引入了李代数。李代数不仅与拓扑学、微分方程等很多其他数学分支有着紧密的联系，而且在古典力学、量子力学，特别是在理论物理上也有着广泛的应用 [1-5]。70年代初，由于物理学的需要，人们开始研究李超代数。由于李超代数与顶点算子代数、微分几何、组合数学、拓扑学、微分流形等其他数学分支有着紧密的联系，关于李超代数的研究很快发展起来。1977年，Kac [6]给出了特征零域上李超代数的分类，此后又有了很多研究成果 [7-8]。对于有限维复半单李代数和实半单李代数的分类已经完全解决，特征零域上的典型李超代数的表示，也己经有了许多丰硕的研究成果 [9-11]。无限维李代数的研究是李代数的一个重要领域，Virasoro代数作为一类无限维李代数，其结构和表示在物理方面也有着重要作用 [12]。2002年，苏育才等 [13]研究了超Virasoro代数和广义Virasoro代数及它们的中间序列模，2007年，Dobrev [14]证明了Virasoro代数上的最高权模的不可约性。2012年，Chen等 [15]构造了一类Heisenberg-Virasoro代数的单模，包括最高权模和Whittaker模，也包括了新的模。本文在文献[15]的基础上，构造超Virasoro代数的一类单模，这些单模是超Virasoro代数的子代数的诱导模，并证明超Virasoro模的单性;构造了新的单的超Virasoro模，即实现了一类超Virasoro单模。

1 预备知识

1.1 超Virasoro代数的介绍

定义1 [16] 令B是一个李代数，基底为{C,Ii:i∈Z}。若B具有如下的李乘：

 

[Ii,C]=0，

其中i,j∈Z，则称B为Virasoro代数。

定义2 [17] 若L具有基底

在设计中，严格把控各个环节，商场内部环境才能得到较大提升。优化内部环境，间接提升商场的竞争力，为后期商品销量的增加打下良好的基础。

A：我很清楚一点，如果我和子女同时在企业，当状况出现时，他们会依赖我去做决定，所以我选择离开。对于他们来说，我是一本字典，可以随时答疑解惑，但我不会主动去教什么。他们可以接受我的意见，也可以坚持自己的，我们互相尊重。我完全信任他们，相信他们能够管理好企业。事实也证明，我的做法是对的。

定理1 假设N是一个L+-模，如果∃k∈Z+使得

θ=0或且满足

 

因此只需证明这两个元素在V′里即可。由(1)式，只需证明0 r l的元素在V′里

是由{Lm,C|m∈Z }线性生成的，称为L的偶子空间；是由{Gr|r∈Z+θ }线性生成的，称为L的奇子空间。

超Virasoro代数包含两种，第一种是Ramond代数，也就是当θ=0时的情况。另一种是Neveu-Schwarz代数，也就是的情况。本文考虑的是第一种情况，当θ=0时的Ramond代数。

1.2 诱导模

设L是一个超Virasoro代数，令⊕Gi)⊕C，为L的子代数。令N是一个单L+-模，将其诱导为一个L-模

Ind(N)=U(L)⊗U(L+)N。

[Lk+p-1,Gi]Lj-jpεpvi,j =([Lk+p-1,G-q+1]G-q+2…G-1)Lj-jpεpvi,j+G-q+1[Lk+p-1,G-q+2…G-1]Lj-jpεpvi,j

令M是向量j的向量空间。j=(…j2,j1)，ji∈Z+，i∈N+。令0=(…0,0)，0∈M，并且记εj=(…0,1,0…)，从右数第j个位置是1，对于∀j∈M，记

即便是慕容家的一个丫鬟，恐怕对美食的理解都超过了小地主家的闺女黄蓉。阿碧姑娘出场时，是从江南湖面划船而来，她唱的是唐宋词，住的是 “琴韵小筑”，做的几道点心——玫瑰松子糖、茯苓软糕、翡翠甜饼和藕粉火腿饺，都形状精雅，像是艺术品。

M′是向量i的向量空间。i=(…i2,i1)，ii∈{0,1}，i∈N+，令0=(…0,0)，0∈M′，并且记εi=(…0,1,0…)，从右数第i个位置是1，对于∀j∈M，记

在M上定义j>i⟺∃r∈N+，使得js=is,1 s<r，且jr>ir，i,j∈M。

在M′上定义j>i⟺∃r∈N+，使得js=is,1 s<r，且jr>ir，i,j∈M′。

氢气医学发展近十年，从基础走向临床、从研究走向应用。大量的基础研究结果表明，氢气可以通过抗氧化、抗炎、抗凋亡等作用对各种疾病和损伤都具有明显的治疗作用，氢气的有效性和安全性为临床研究提供了光明的前景。近年来关于氢气生物学效应的研究逐渐加深，关于氢气生物学效应的研究论文已经超过千篇，其中包括了50余篇临床医学论著，说明氢气医学受到越来越多的肯定和关注。氢气凭借着其有效、安全、便利、充足的独特优势，给氢气医学注入了十分巨大的应用潜力。

在M×M′上定义(i,j)>(k,l)⟺i>k，且i=k,(j,ω(j))>(lω(l))。

=LtGj+ntv-Gj+ntLtv=(Lt-λ)Gj+ntv。

22例携带GJB3基因c.538 C>T受检者电话随访中，针对听力情况特别是尖叫等高频区域是否受损进行问询，所有携带c.538的受检者均表示听力正常但未行耳鼻喉科专业检查，其中包含1例c.538 C>T纯合。GJB3基因c.538 C>T早期研究认为是常染色体显性遗传模式的高频率听力损失[7]，但后期对于GJB3基因变异是否致病尚存在争议[8]，结合本次报道临床对于GJB3基因c.538C>T的咨询建议应谨慎。

定义3 sup(v)={(i,j)|(i,j)∈M′×M,vi,j≠0 }，称deg(v)为v的次数，记为deg(v)=max{sup(v)}。

2 超Virasoro模的单性及证明

[Lm,Gr,C|m∈Z,r∈Z+θ ]

(a) Gk在N上作用为单射，Lk在N上作用为单射k≠0；

(b) GiN=LjN=0，i,j>k；

则Ind(N)是一个单L-模。

证明 令N是一个单L+-模，V是Ind(N)的子模，v∈V。设deg(v)=(i,j)，p=max{s:js≠0}，q=max(s:is≠0)。

用Lk+p作用在v上，有

Lk+pGiLjvi,j=Gi[Lk+p,Lj]vi,j+[Lk+p,Gi]Ljvi,j，

其中

 

再将Gk+p-q,Lk+p-2q+1向右移，此时i会变小，最大为i′=(i-εp)=ip-1，j不变。

[Lk+p,Gi]Ljvi,j =([Lk+p,G-q]G-q+1…G-1)Ljvi,j+G-q[Lk+p,G-q+1…G-1]Ljvi,j

=Gk+p-qG-q+1…G-1Ljvi,j+G-q[Lk+p,G-q+1]…G-1Ljvi,j

+G-qG-q+1[Lk+p,G-q+2…G-1]Ljvi,j

=G-q+1Gk+p-qG-q+2…G-1Ljvi,j+Lk+p-2q+1G-q+2…G-1Ljvi,j

“有的，有的，妹子，过两天带你去看，沙枣花快要开了，还有槐花、马兰花，到时我们这地方香得很，漂亮得很。”那女人把田志芳连拉带拽地弄下车。

+G-qGk+p-q+1G-q+2…G-1Ljvi,j+G-qG-q+1[Lk+p,G-q+2…G-1]Ljvi,j。

再将Lk向右移，此时j会变小，最大为j′=j-εp=jp-1。

福克斯以斯迈斯的受众商品论和受众劳动概念为理论核心，在借鉴马克思物质劳动理论基础上，批判了基于非物质劳动概念的数字劳动理论，提出了自己的数字劳动理论。

用Lk+p-1作用在其他项上，有

Lk+p-1GiLj-jpεpvi,j=Gi[Lk+p-1,Lj-jpεp]vi,j+[Lk+p-1,Gi]Lj-jpεpvi,j，

其中

 

 

 

 

将Lk移至最后，可得最高次数为(i,j-p+1-1)，比上式中次数最高项的次数小。

在给出本文的主要定理及证明之前，先介绍一些概念：

=Gk+p-qG-q+2…G-1Lj-jpεpvi,j+G-q+1[Lk+p-1,G-q+2]G-q+3…G-1]Lj-jpεpvi,j

+G-q+1G-q+2[Lk+p-1,G-q+3…G-1]Lj-jpεpvi,j。

将Gk+p-q向右移，作用在vi,j上，可得最高次数为(i-εp-1,j)，比上式中次数最高项的次数小。

如果(i,j)>(k,l)⟺i>k，且i=k,(j,ω(j)>(l,ω(l))，则deg(Lk+pv)=(i,j′)。一直作用下去，会把Lj部分的次数消为0。

当j=0时，有

Lk+pGivi,0 =[Lk+p,Gi]vi,0=([Lk+p,G-q]G-q+1…G-1)vi,0+G-q[Lk+p,G-q+1…G-1]vi,0

=(GkG-q+1…G-1)vi,0+G-q[Lk+p,G-q+1…G-1]vi,0+G-qG-q+1[Lk+q,G-q+2…G-1]vi,0

=GkG-q+1…G-1vi,0+G-qGk+1G-q+2…G-1vi,0+…。

将Gk向右移，此时i会变小，i最大为i′=i-εq=iq-1，一直用Lk+q作用下去，i=0。

V是Ind(N)的子模，则V⊆Ind(N)，v∈1⊗N，也包含在V里，也就是V=Ind(N)，即Ind(N)是一个单L-模。

3 超Virasoro单模的实现

下面证明由局部有限元素(当i,j足够大且i,j∈Z+)生成的单L-模同构于第二部分构造的诱导模。记L(k,l)是由Li,Gj,i≥k,j≥l生成的子代数。

定义4 令V是李代数G的一个模，并且x∈G。如果对于任意v∈V，存在n∈N+，使得xnv=0，则称x在V上的作用是局部幂零的。

定义5 令V是李代数G的一个模，并且x∈G。如果对于任意v∈V，存在n∈N+，使得dim∑n∈N+xnv<+，则称x在V上的作用是局部有限的。

此外，云南银行业不断加大薄弱环节的金融投入力度，涉农和小微贷款增长显著，截至今年9月末，云南省剔除政府投融资平台的小微型企业贷款余额4900．22亿元，同比增长10．20%，超过同期各项贷款增速1．38个百分点。近些年特别是党的十八大以来，助力云南省打好扶贫脱贫攻坚战是云南金融业的一大要务。银行业加大投入金融精准扶贫力度，贷款保持稳定增长。截至9月末，云南省金融精准扶贫贷款余额2854．68亿元，比年初新增189．25亿元，余额同比增长14．94%。同时，金融支持农业农村经济发展力度不断加大，农林牧渔业贷款，农村基础设施建设贷款，农业科技贷款均明显提升。

很显然，x在V上的作用是局部幂零的，则有x在V上的作用是局部有限的。

实验装置如图5所示,主要包括三相电网控制器,三相逆变桥功率电路,驱动电路以及滤波电感构成的三相低压微电网,以及由DSP能量回馈控制器,能量回馈装置逆变功率电路,驱动电路及滤波电感构成的能量回馈装置和信号采样调理电路等。实验装置的功率约为60 W,效率为91.3%。

定理2 假设S是一个单L-模，则下列条件等价：

(i) ∃k∈Z，使得Li,Gj,i≥k，在S上的作用局部有限；

西北某油田天然气外输管线自2003年投产后，未进行过彻底清管。近年来，随着天然气外输管线运行时间的延长、气源广泛、处理工艺不同等因素，在输气管线内形成黑色粉末等杂质，并不断聚集增加，导致管输气量只有设计输气量的70%，并导致下游分离设备频发堵塞、燃气使用设备故障增多等问题，严重影响了天然气外售和下游用户的正常生产。

井点系统全部安装完毕后，需进行试验抽水，以检查有无漏气现象，井点运行后必须连续工作，因此，要准备好备用电源及电动机。确保真空泵正常运转，且应在水泵进水管和出水管口分别安装真空表和压力表，在抽水时应检查整个管网的真空度，应达到 550mmHg（73.33kPa）[3]。

(ii) ∃k∈Z，使得Li,Gj,i≥k，在S上的作用局部幂零；

(iii) ∃k，l∈Z，使得S是一个局部有限L(k,l)-模；

(iv) ∃k，l∈Z，使得S是一个局部幂零L(k,l)-模；

(v) ∃k∈Z+，单L+-模N满足定理1，使得S≅Ind(N)。

后来李若换了家医院检查，结果只是肺炎。住院的时候简东亮来医院照顾她，给她熬了镇咳的冰糖雪梨水。他一口一口地喂她，体贴温暖，她的心里就被莫名的情绪填满了，他转身离开的时候，她从床上扑过去抱住他的后背，他的身体僵在那里。

证明 如果S≅Ind(N)，那么S满足Ind(N)在定理1中的条件，则S是由幂零元素Gi,Lj,i≥k,j≥l生成的，所以∃k∈Z，使得Li,Gi,i≥k，在S上的作用是局部幂零的。又因为Li,Gi,i≥k在S上的作用是局部幂零的，则有Li,Gi,i≥k在S上的作用是局部有限的，所以(v)⟹(iv)⟹(ii)，(v)⟹(iii)⟹(i)和(ii)⟹(i)是显然的。下证(i)⟹(v)。

假设S是一个单L-模，则存在t∈Z+，使得Li,Gi,i≥t是局部有限的，找到一个非零v∈S，使得Ltv=λv，λ∈C，有

 

和

 

这里NL,NG都是有限维的。由李乘得：

(j+(n-1)t)Lj+(n+1)tv=[Lt,Lj+nt]v=LtLj+ntv-Lj+ntLtv=(Lt-λ)Lj+ntv，

令N是一个L+-模，记∈U(L)，这里ji∈M,ii∈M′。对于∀v∈Ind(N)，由PBW定理，可设v=∑GiLjvi,j，vi,j∈N。

如果Lj+ntv∈NL，则Lj+(n+1)tv∈NL；如果Gj+ntv∈NG，则Gj+(n+1)tv∈NG。

对于∀n∈Z+，能得出

按自研处方比例称取空白辅料（约相当于富马酸喹硫平30 mg）和对照品，分别配制1倍和2倍浓度辅料的样品溶液，将1倍浓度辅料样品溶液、2倍浓度辅料样品溶液和对照品溶液进行紫外扫描。扫描范围为190～400 nm。三条扫描图谱基本重合，样品图谱没有明显高于对照品溶液图谱，表明空白辅料对富马酸喹硫平吸光度的检测没有干扰。

Lj+ntv∈NL，Gj+ntv∈NG。

因为∑n∈Z+Lj+ntv，∑n∈Z+Gj+ntv是有限维的(对于所有j>t)，所以

 

都是有限维的。这样可以得到一个l∈N，使得

 

(1)

记由(1)得，V′是有限维的。下证V′是一个有限维L(t,t)-模。Lt+sv，s∈Z+，v∈V′可以写成以下的形式和：

 

则称超代数⊕为超Virasoro代数。

 

显然等号右侧第一项在V′里。

对于右侧第二项，有

 

以此类推，第二项也在V′里。则V′是一个L(t,t)-模。

当V′是一个有限维L(t,t)-模时，存在一个最小的l∈Z+使得

(Lm+a1Lm+1+…+alLm+l)V′=0(对于一些m≥t，ai∈C)。

用Lm作用，有

(a1[Lm,Lm+1]+…+al[Lm,Lm+l])V′=0，

(a1L2m+1+…alL2m+l)V′=0。

若令m=2m+1，则l=l-1与l最小矛盾，故l=0，即LmV′=0。于是有

0=LiLmV′=[Li,Lm]V′+LmLiV′=(m-i)Lm+iV′，∀i≥t，即Lm+iV′=0，i>m。

类似的，可以找到一个最小的h，使得(Gm+a1Gm+1+…+ahGm+h)V′=0。

用L2m作用，有

([L2m,Gm]+a1[L2m,Gm+1]+…+ah[L2m,Gm+h])V′=0，

(a1G3m+1+…+ahG3m+h)V′=0。

令m=3m+1，则h=h-1与h最小矛盾，故h=0，即GmV′=0，则有

0=LiGmV′=[Li,Gm]V′+GmLiV′，即Gm+iV′=0，i>m。

对于∀k,l∈Z，考虑向量空间

Nk,l={v∈S|Giv=Ljv=0, 对于所有i>k，j>l}。

由上述讨论可知，只要k,l充分大，就有Nk,l≠0，因此可以找到一个非负整数k，使得Nk,l≠0。令N=Nk,l，则N是一个L+-模。显然，Lk在N上是单射，S是单的且由N生成，则存在一个映射： π：Ind(N)→S，∀v∈N。

现在证明π是一个单射。令K=ker(π)，则K∩M=0。如果K≠0，取一个非零元素v∈KN，使得deg(v)=(i,j)是最小的。这与定理1中构造的新元素u，使得deg(u)<(i,j)矛盾。故K=0，则π是双射。即S≅Ind(N)。

固定k∈N，选取子集Sλ⊆{1,…,k}，Sμ，0⊆{1,…,k}，Sμ，1⊆{1,…,k}，Sμ=Sμ,0∪Sμ,1。令⊆⊆{1,…,k}Sμ，λi∈C,i∈Sλ，并且μi∈C,i∈Sμ。满足下列条件：

1. 对于所有i≠j∈Sλ，i+j>k，有i+j∈Sλ，且λi+j=0；

2. 对于所有存在一个非零i∈Sμ，使得

3. 对于所有存在一个非零i∈Sλ，使得

对于任意可以在上定义i>j⟺存在r，使得is=js,∀1 s<r，且ir<jr。

记εr=(0,…0,1,0…0)，第r个位置为1，其余位置为0。记0=(0，…，0)。令且令

 

记Q为L+-模U(L+)/I，这里I是由生成的理想。

对于任意定义定义它的像在Q里，对任意v∈Q由PBW定理，v=∑ai,jLiGj有限多个ai,j不为零。令sup(v)={(i,j)|ai,j≠0 }，记deg(v)是sup(v)中最大的元素，大小顺序定义如下

(i,j)>(k,l)⟺j<l，且(j=l,i<k)，∀

仍然定义0元素没有次数。

定理3 L+-模Q是单的。

证明 由条件1，有Q≠0。令v∈Q{0}，可以写成v=∑ai,jLiGj的形式。令deg(v)=(i,j)，下面分两种情况证明。

(i) i≠0。令r=min{s>0|is≠0 }，则又条件2，存在非零t，使得用Gt-μt作用在v上，有

(Gt-μt)v =(Gt-μt)ai,jLiGj=ai,jGtLiGj-ai,jμtLiGj=ai,jLiGtGj-ai,jLiμtGj+ai,j[Gt,Li]Gj

 

将Gpr+t项一直向右移，有

 

(ii) i=0。令r=min{s>0|js≠0 }，则由条件3，存在非零t，使得用Lt-λt作用在v上，有

(Lt-λt)v=(Lt-λt)ai,jGj=ai,jLtGj-ai,jλtGj，

 

这样重复作用下去，可以得到一个次数为0的非零元素，这个元素可以生成整个Q，可证Q是一个单L+-模。

参考文献

[1] LU R C, GUO X Q, ZHAO K M. Irreducible modules over the Virasoro algebra [J]. Documenta Mathematica, 2011, 16: 709-721.

[2] MAZORCHUK V, ZHAO K M. Classification of simple weight Virasoro modules with a finite-dimensional weight space [J]. Journal of Algebra, 2007, 307(1): 209-214.

[3] ONDRUS M, WIESNER E. Whittaker modules for the Virasoro algebra [J]. Journal of Algebra and its Applications, 2009, 8(3): 363-377.

[4] YANAGIDA S. Whittaker vectors of the Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomial [J]. Journal of Algebra, 2011, 333(1): 273-294.

[5] SHEN R, JIANG C P. The derivation algebra and automorphism group of the twisted Heisenberg-Virasoro algebra [J]. Communications in Algebra, 2006, 34(7): 2547-2558.

[6] KAC V G. A sketch of Lie superalgebra theory [J]. Communications in Mathematical Physics, 1977, 53(1): 31-64.

[7] 潘玉霞, 张庆成, 冯闪, 等. 二次李超三系的分解及唯一性 [J]. 东北师大学报 (自然科学版), 2012, 44(2): 9-13.

[8] 张永正, 刘文德. 模李超代数 [M]. 北京： 科学出版社, 2006.

[9] KAC V. Representations of classical Lie superalgebras [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1978, 597-626.

[10] 孙洪洲, 韩其智. 李超代数综述 [J]. 物理学进展, 1983, 3(1): 81-125.

[11] 孙洪洲, 韩其智. 李代数李超代数及在物理中的应用 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1999.

[12] FRANCESCO P D, MATHIEU P, SENECHAL D. Conformal field theory [M]. New York: Springer, 1997.

[13] SU Y C, ZHAO K M. Generalized Virasoro and super-Virasoro algebras and modules of the intermediate series [J]. Journal of Algebra, 2002, 252(1): 1-19.

[14] ARBARELLO E, CONCINI C, KAC V. Moduli spaces of curves and representation theory [J]. Communications in Mathematical Physics, 1988, 117(1): 1-36.

[15] CHEN H J, GUO X Q. New simple modules for the Heisenberg-Virasoro algebra [J]. Journal of Algebra, 2013, 390: 77-86.

[16] 姚裕丰. Witt代数和Virasoro代数上的Poisson代数结构 [J]. 数学年刊, 2013, 34 A(1): 111-128.

[17] 杨恒云. 广义 N= 1, 2 超 Virasoro 代数的超双代数结构及表示 [D].上海： 上海交通大学， 2008.