一类具比例时滞递归神经网络的无源性

0 引 言

时滞神经网络在模式识别、图像信号处理、优化计算等诸多领域有着广泛的应用，

其中，神经网络的各种动力学性质起到了重要作用，因而神经网络的各种动力学行为被广泛地研究。无源性是神经网络的动力学行为之一，已受到许多关注。无源性理论起源于电路理论，在线性和非线性系统的分析和设计中起着非常重要的作用，特别是对高阶系统；无源性理论从能量输入输出的角度描述控制分析和设计问题，无源性分析是研究不确定系统稳定性的主要方法。无源性理论的本质是：系统的无源性特性可以保持系统的内部稳定性。

发达生产事业，无论是资本主义者，或是社会主义者，都是绝对承认的 要想为中国无产阶级谋幸福而除去一切悲痛，首先就要使他们获得生活必需的资料。要使他们获得生活必需的资料，首先就要开发生产事业。所以发达生产事业的一件事，无论是资本主义者，或是社会主义者，都是绝对承认的，只不过生产方法不同罢了！

目前许多时滞递归神经网络的被动性已经被广泛地研究 [1-4]。文献[1]通过构造合适的Lyapunov泛函和线性矩阵不等式，得到了保证具时变时滞神经网络时滞依赖的被动性条件。文献[2]通过构造合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，研究中立型时滞神经网络的无源性。文献[3]基于无源性分析方法对延迟的遗传调节网络进行状态估计。文献[4]通过构造合适的Lyapunov泛函并利用分析技巧，研究了具时变时滞不确定神经网络的无源性。

在众多时滞中，比例时滞是其中的一种无界时变时滞。具比例时滞的微分方程，作为一种重要的数学模型，在物理、生物学等领域起着重要的作用，因此，研究具比例时滞神经网络的动力学性质，具有重要的理论意义与实践意义。目前，关于比例时滞递归神经网络的动力学行为已经有了一些研究 [5-12]。文献[5,7,9]通过构造合适的Lyapunov泛函，研究了具比例时滞神经网络的全局渐近稳定性与全局指数稳定性。文献[6]通过构造合适的Lyapunov泛函并与Barbalat定理相结合，研究了一类具变时滞脉冲Hopfield神经网络周期解的存在性和一致稳定性。文献[8,10]通过建立时滞微分不等式，得到了确保具比例时滞杂交双向联想记忆神经网络和细胞神经网络的全局指数稳定性的充分条件。文献[11]在Lyapunov稳定性理论的基础上，结合矩阵测度和推广的Halanay不等式的方法，得到了保证该系统p阶指数稳定的充分条件。文献[12]通过固定点定理和一些不等式的分析技巧，研究了一类具比例时滞脉冲神经网络全局指数稳定性。文献[13]通过构造合适的Lyapunov泛函和时滞微分不等式，得到了几个保证该系统全局指数稳定性与周期性的新的充分条件。目前，对于具比例时滞递归神经网络的无源性研究还未见到。

综上所述，本文在文献[1]的启发下，通过构造合适的Lyapunov泛函和线性矩阵不等式，研究一类具比例时滞递归神经网络的无源性，得到该系统两个新的无源性的判定条件。最后，给出两个数值算例及其仿真图像以验证结论的正确性。

1 模型描述与预备知识

本文分析如下一类具比例时滞递归神经网络模型:

 

(1)

其中：xi(t)是神经元的状态变量，i=1,2,…,n，n为神经元的个数；aij和bij分别表示神经元之间的影响程度；q是比例时滞因子，满足0<q 1，qt=t-(1-q)t， 且t→+，q≠1时，(1-q)t→+是无界时滞函数；ui(t)是外部输入；yi(t)是第i个神经元在t时刻的输出。

系统(1)可以改写成如下形式：

星光村现有整栋闲置房屋共32幢，已出租10幢用于改造成新业态。已建成的有星光里咖啡屋、金慧私房菜、成都静纯净文化传播有限公司培训活动室和民宿、DIY巧克力体验馆、罗江组织部两新组织活动阵地、汉文化体验馆、岭上花开文化发展有限公司；在建的有国学培训馆、湖南电视台四川办事处、茶文化体验馆等。

 

(2)

其中：x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，f(·)=(f1(·),f2(·),…,fn(·))T，C=diag(c1,c2,…,cn)，A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，u(t)=(u1(t),u2(t),…,un(t))T，y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T ，φ(t)=(φ1(t),φ2(t),…,φn(t))T。

作非线性变换

2)粘式(cohesive)接触：此时rz=0，Δrx=0，Δry=0，即法向无间隙，且在一个载荷增量步始末，整个切平面无相对滑动。

ø(s)=φ(es),s∈[-τ,0],故系统(2)等价变化为

为验证导师素质、学术态度、学术环境与研究生学术水平的关系,本研究对国内近5年已毕业的研究生进行纸质问卷调查。问卷设计主要包括两部分:一是被调查者及导师的学术水平情况(如获得的国家奖项、承担的国家项目、发表的论文等);二是通过一系列具体问题获得被调查者的学术认知程度、学术动机强度,被调查者导师的人格魅力、指导能力,被调查者所处学校(院)的学术氛围情况。问卷中对导师和研究生学术水平采用发表论文及著作等进行直接测量。

研究表明，使用麻育秧膜，秧苗根系盘结力强，不散秧、不散盘、不漏插，取秧、运秧、装秧的工效提高2至3倍，机插效率提高20%至30%；育成的秧苗根系发达、整齐健壮，可提早3至5天进入适插期；机插后返青快、分蘖早，有利高产，早稻平均增产12.6%，中稻平均增产9.0%，晚稻平均增产5.5%；每亩节本增效110元至160元。截至2017年，我国麻育秧膜应用面积超过6000万亩，直接增产增收达64亿元。

(3)

根据(1)式知，et≥1, 即t≥0，且有

 

(4)

由 (2)式，易知

x(qet)=x(elogq+t)=z(logq+t)=z(t-τ),

(5)

且τ=-logq≥0。

结合 (2)、(3) 和(5)式，易知

本文的研究主要基于费金、哈尔彭等人的《知识推理》(1995年)中引入了知识模型、公共知识和建立在程序基础上的知识和计算等的认知逻辑。在范·本特姆的《动态逻辑探究》(1996年)中引入了动态逻辑系统，并结合坎普等人的《自然语言中的信息》(2008年)中有关信息流的研究，在借助蒙太古的《形式哲学》(1974年)的基础上阐述了自然语言的动态逻辑在人工智能中的应用和哲学阐释。

≥0。

(6)

把(6)代入(4)式中得

≥0。

由(2)知x(et)=φ(et)，且et∈[q,1]，即t∈[-τ,0]，τ≥0。因此变换后系统(2)的初始条件为

z(t)=x(et),

 

(7)

其中：z(t)=(z1(t),z2(t),…,zn(t))T∈Rn表示神经元的状态向量，Rn表示n维欧几里得空间，且输出函数fi(·)满足如下假设：

(H1) 存在非负常数Li(i=1,2,…,n)，使得对任意有

(H2) 存在非负常数Ki(i=1,2,…,n)，使得对任意有

0 Ki,fi(0)=0,

取K=diag(K1,K2,…,Kn)。

二是适当放开项目承担单位在项目预算执行调整方面的权限。政策调整前，项目单位只在劳务费、专家咨询费和管理费以外的其他8项单项支出科目中，当预算支出科目不超出核定预算的10%、或虽然超出10%但金额不低于5万元的预算执行调整具有自主权。政策调整后，在项目总预算不变的前提下,项目承担单位可以自主调整直接费用中的材料费等5项开支科目的预算执行，并且没有调整额度的限制。同时，《通知》还赋予项目承担单位在设备费等6项费用上拥有调减用于课题其他方面支出的权限。

注1 由以上假设，易知(H2)⊆(H1)，又由(H2)知

xTK2x(t)-fT(x(t))f(x(t))≥0, xT(t)Kx(t)-fT(x(t))x(t)≥0

(8)

0

定义1 若存在常数γ，使得对任意T≥0和 (1)式中初值为0的所有解，均有

2uT(s)y(s)ds≥-γuT(s)u(s)ds,

(9)

其中：u(s)表示输入函数，y(s)表示输出函数，则称系统(2)是无源的。

引理1 对任意ε>0,a∈Rn,b∈Rn,均有

2aTb εaTa+ε-1bTb。

2 主要结果

定理1 假设(H1)成立，如果存在正定矩阵P=(pij)n×n，且存在ε>0，γ>2ε，使得

-(PC+CP)+3ε-1P2+εL2ATA+εL2BTB+ε-1L2I 0,

(10)

则系统(2)是无源的。

证明 如果BTB=Q=(qij)n×n，考虑如下正定的Lyapunov泛函

 

(11)

V(t)沿着系统(7)求导，由引理1，对于t∈[0,T]，得

 

 

+εfT(z(t)BTBf(z(t))-εfT(z(t-τ))BTBf(z(t-τ))

 

+εfT(z(t)BTBf(z(t))-εf T(z(t-τ))BTBf(z(t-τ))

-zT(t)(PC+CP)z(t)+3ε-1zT(t)P2z(t)+εfT(z(t))ATAf(z(t))

两名同时具有核医学和CT上岗证的医师分别在“uWS-MI”和“GE AWS46”医学影像处理软件上采用半自动一键式分割1个典型病灶的影像(图1)，采用“满意”“一般”“不满意”3分法独立评价其分割效果，包括分割肿瘤的完整性、轮廓的准确性。

 

-εfT(z(t-τ)BTBf(z(t-τ))

。

由 (13)和(14)式得

zT(t)[-(PC+CP)+3ε-1P2+εL2ATA+εL2BTB+ε-1L2I]z(t)

 

0。

从而有

官方机构的泄题是否涉及进一步的利益纠葛？这个问题我们不得而知，在事件未明朗前也不便展开讨论。但来自培训机构本身的人员的专业意识不到位，让学员蒙受不白之冤，这样的事确有发生，理应引起关注。

≥V(t)-V(0)=V(t)>0 。

因此，

≥

即

≥ 。

通过以上证明，结合定义1，易知系统(7)是无源的。进一步，可以得到系统(2)是无源的，因此，定理1得证。

注3 定理1是模型(2)为无源的充分条件，证明低维的比例时滞神经网络比较简单，但是对于高维的比例时滞神经网络，定理1中的 (10)式是关于矩阵P的非线性矩阵不等式(NLMI)，然而NLMI(10)的可行解通过人工计算不容易求得，因此(10)式对于高维的神经网络有很大的限制。在一些特定情况下，考虑P=I，(10)式变形为如下：

+2zT(t)PBf(z(t-τ))

-zT(t)(PC+CP-εK2)z(t)+fT(z(t))(2A+I-εI)f(z(t))

注4 一般地，很难直接证明矩阵P是否满足NLMI(10)，同时，(10)的解并不是唯一的。但是，NLMI(10)可以转化为线性不等矩阵的问题(LMIP)。而(LMIP)既可通过凸优化的方法，使用有效的内点算法数值求解，也可利用MATLAB中的LMI工具箱进行求解。如果满足假设(H1)和(H2)，利用Schur补偿定理，那么矩阵不等式与下述LMI是等价的：

0。

定理2 假设(H2)成立，如果存在正定矩阵P=(pij)n×n，ε>0，γ>0，使得下述线性矩阵不等式

注2 由于模型(2)是由模型(7)作非线性变换得到的，因此二者是等价的，要证模型(2)的无源性，只需证明模型(7)的无源性即可。

(12)

成立，则系统(2)是无源的。

宽甸县年最高气温整体呈周期性变化如图2所示。1989—1997年为一个变化周期，2000年最高气温为36.5℃，为历史最高；2006年最高气温为30.7℃，为历史最低；两者相差5.8℃。2009—2013年最高气温逐年降低，2015年最低气温为一个极低值，2016年最高气温开始回升。

证明 考虑如下正定Lyapunov泛函

 

V(t)沿着系统(7)求导，由引理1，对于t∈[0,T]，有

 

因此，得出

-2C+3ε-1I+εL2ATA+εL2BTB+ε-1L2I 0。

季、年平均气温（10 m高度）：年均9.58℃，春季10.73℃，夏季25.48℃，秋季9.95℃，冬季-8.19℃。

 

对于脚手眼的留置，要求每砌筑1.2 m高时，在筒身内部按水平间距0.75 m均匀对称地留设4对。脚手眼不留成通眼，深度为120 mm。

ηT(t)Ωη(t) 0,

“我说你啊，是天生和玉器八字不合。你的王字比起玉字少了一点，接触起玉器来自然少了个心眼。不如跟着我做古钱生意吧。”

(13)

其中

从而可以得到

≥V(t)-V(0)=V(t)>0 。

(14)

进一步，得到

≥

即

≥ 。

故系统(7)是无源的，由于系统(2)是系统(7)作非线性变换得到的，因此可以得到系统(2)是无源的。

3 例子与数值仿真

例1 考虑如下二维具比例时滞细胞神经网络

(15)

t≥0，输出函数 i=1,2，q=0.4，它们均满足(H1)和(H2)，且Lipschitz常数分别为由(15)可知

 

。

取通过计算得到

-1.25I 0 。

  

图1 系统(15)的相平面轨迹

 

Fig.1 Phase-plane trajectory of system (15)

易知，满足不等式(10)，根据定理1可知，系统(15)是无源的。该系统的平衡点为(0,0)T, 利用Matlab绘制出仿真图，如图1所示。

例2 考虑如下二维具比例时滞细胞神经网络

 

(16)

t≥0，输出函数 i=1,2，q=0.2，它们均满足(H1)和(H2)，且Lipschitz常数分别为由(16)式可知

 

。

取 通过计算得到

 

  

图2 系统(16)的相平面轨迹

 

Fig.2 Phase-plane trajectory of system (16)

由Matlab软件计算上述矩阵的特征值为

λ1=-28.751 9,λ2=-4.622 8,λ3=-2.203 5,λ4=-0.000 3,

λ5=-0.609 9,λ6=-0.972 1,λ7=-1.002 2,λ8=-0.998 9,易知λi<0,i=1,2,…,8，因此矩阵Ω为负定的，根据定理2可知，系统(16)是无源的。该系统的平衡点为(0,0)T,利用Matlab绘制出仿真图2。

4 结 论

研究了一类具比例时滞递归神经网络的无源性。通常情况下，对含有无界比例时滞项的具比例时滞递归神经网络的处理有一定的困难。为了克服这个困难，首先通过一个非线性变换，将原模型转换为常时滞模型，通过构造合适的Lyapunov泛函和矩阵不等式，充分利用神经元激活函数的条件，得到两个新的保证具比例时滞递归神经网络无源性的条件。同时，研究方法也可以应用于其他的具比例时滞神经网络无源性的分析。最后，给出两个数值算例与仿真图像，验证了结论的正确性。

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