奇异分数阶Laplacian方程正弱解的存在性及正则性

1 引言

随着现代科技的发展,经典的Laplacian算子在描述物理、化学、生物甚至是金融学中的新现象和新的客观规律时具有很大的局限性.上个世纪八十年代以来,随着相变理论、反常扩散、黏弹性力学、材料力学、多孔介质力学、多重散射、量子力学、信号和系统识别[1-4]等领域的发展,研究人员发现分数阶Laplacian方程相较于整数阶微分方程能更好地描述涉及记忆、遗传效应以及路径依赖和全局相关性的物理过程.因此,近些年来,分数阶微分方程理论及应用方面的研究得到了许多学者的广泛关注并有着迅猛发展.

本文讨论一类来源于非牛顿流体、弹性电介质膜和微型机电系统中的含奇异项的分数阶Laplacian方程:

其中Ω是N维空间RN中的有界光滑区域,是非负函数,λ＞0是实参数.由于所以,称此类方程为奇异方程.

自上世纪60,70年代以来,含有奇异项的经典Laplacian方程:

得到了广泛关注.1977年,文献 [5]利用逼近方法得到,当 λ=0,p(x)∈Cα(Ω)时,奇异Laplacian方程(Q)有唯一的古典解,成为该领域奠基性工作.2001年龙以明院士等[6]利用Ekeland变分原理,研究了次临界增长下奇异Laplacian方程:

证明了当λ较小时,方程有2个正弱解.2013和2014年,文献[7-8]将上述工作推广到临界情形得到了当λ较小时,上述方程正弱解和古典解的存在性.2017年,文献[9]又得到了超临界增长时,上述方程正弱解的存在性与正则性.目前,针对奇异分数阶Laplacian方程的研究更为少见.已有的主要工作是,2014年,文献[10]考虑了如下奇异分数阶问题:

其中0＜s＜1,γ＞0.利用扰动方法,作者得到了该问题正弱解的存在唯一性.文献[11]运用构造逼近解序列的方法,得到了如下具有临界增长指数的奇异分数阶Laplacian方程在特定弱意义下解的存在性和多重性,

其中

由文献 [13]中引理2.4和引理2.5得:存在紧子集 ω⊂⊂Ω,有 ηω=essinf|ωu＞0;且存在常数 Cω＞ 0使得 u(x)＞ Cωd(x),∀x∈ Ωω,其中 d(x)=d(x,∂Ω)是点 x到边界 ∂Ω 的距离.从而,再利用 φ1的整体正则性得:存在常数 ε(λ)＞0,使得 u(x)≥ ε(λ)φ1(x),∀x∈ Ω.

2 预备知识[12]

定义 2.1 设Ω⊂RN是光滑有界区域,p≥1,s∈(0,1),则分数阶Sobolev空间定义为

总而言之，在小学教育中针对科学课堂进行创新教学，对于学生开发学生大脑，提升综合素质的发展有极为重要的作用。教师要注重转变自己的教学观念，发挥学生的主体地位，引导学生快乐高效的学习科学。

并赋予范数

企业社会责任中心理维度的满意程度是员工满意度的一个重要测量指标。根据相关文献资料，本文将员工对企业社会责任心理维度的满意度评价指标定义为：民营企业关爱员工的方式(U31)、非工作时间的员工福利(U32)、社会文化的发展(U33)、生态与人文环境保护(U34)四个方面。

特别地,当 p=2时,记 Hs(Ω)=Ws,2(Ω),且 Hs(Ω)依内积

所谓“知止”，既是自觉地节制，是在思维上将自身置身于矛盾双方所形成的平衡的平衡点。 具体表现为一种与自身超然地位相对应的宏观思维以及在此思维指导下的尽可能客观的行事方式。 通过这种思维及行为，使自身的存在成为平衡的中心点，从而把握矛盾的转化点，从而将不利于己的现实或形势导向对自己有利的方面，在保证基础不受损伤或平衡不被颠覆的前提下谋求发展，确保统治者在社会活动或政治活动中转化的主动权，实现长久不衰的统治，也就是“常”。

构成Hilbert空间.

定义 2.7 设函数 u∈L2(Ω),若存在序列{µi}满足

的对偶空间为上存在等价范数

定义 2.3 设s∈(0,1),定义分数阶Laplacian算子(−∆)s为:

研究2015年~2017年在我院和昆明医科大学第二附属医院进行治疗的子宫瘢痕憩室患者,共52例,所有患者均是在剖腹产后出现的病症。随机分成两组,A组30例,B组22例,其中A组患者年龄为24-41岁,平均(31.0±4.3)岁,首次剖宫产与2次剖宫产的患者例数分别为18例、12例,而2次剖宫产妇具其首次剖宫的时间为4-9年,平均(5.9±1.8)年。B组患者年龄为22-40岁,平均(30.8±4.8)岁,首次剖宫产与2次剖宫产的患者例数分别为12例、10例,而2次剖宫产妇具其首次剖宫的时间为5-9年,平均(6.3±1.6)年。

楼市升温让各地的房地产调控政策持续加码。7月31日，中央政治局会议指出，下决心解决好房地产市场问题，坚持因城施策，促进供求平衡，合理引导预期，整治市场秩序，坚决遏制房价上涨。加快建立促进房地产市场平稳健康发展长效机制。

引理 2.4(嵌入定理)设 Ω⊂RN是光滑有界区域,s∈(0,1),N＞2s,则存在常数C∗=C(N,s,Ω),使得不等式

玳瑁眼镜听得有些感动，起身踱了几步：实话说吧，我们是刘英领导的浙南游击队一部，前几天从丽水遂昌一带运动到龙游，本想袭击鬼子搞些枪支弹药，没想刚动手就引来大批鬼子，慌乱中逃到兰江边，被藏在草丛中的船工救了过江。

成立,其中

其中θ(x)∈[0,1]是Ω上的可测函数.注意到由u≥εφ1,可得

成立,则称u是问题(P)的弱解.

九十年代后，私人之间走动、亲朋同学来往明显增多，吃罐头的机会也就更多了。想招待客人既不丢脸，又方便省事，就买茄汁青鱼、五香刀鱼、熏凤尾鱼等鱼类罐头。这种鱼类罐头以铁盒或玻璃瓶包装居多。开启铁盒罐头是相当费事，先用刀刃砸开个小口，再用铁钳子将铁皮拽出个大口，才能将鱼块倒出。玻璃瓶上的铁皮盖也不好启，一般用螺丝刀或剪子撬，动作一定要慢，稍不注意，就有受伤的危险。

引理 2.6 设 λi是Laplacian方程

的特征值,φi是相应的特征函数,s∈(0,1),N ＞2s,则是分数阶Laplacian方程的特征值,φi是属于λsi的特征函数.

根据椭圆方程理论知,引理2.6中的特征函数列φi是L2(Ω)空间的一组完备正交基,所以可定义如下空间.

定义 2.2设Ω⊂RN是光滑有界区域,p≥1,s∈(0,1),则分数阶Sobolev空间定义为按照范数的完备化空间.特别地,当p=2时,记

使得

则称u属于空间H,即

并赋予范数为

由文献[13]知,空间 H 在范数‖·‖H下构成Banach空间,且H ⊂H−s(Ω).

3 主要结果

定理 3.1设Ω⊂RN(N≥3)是有界光滑区域,

显然存在充分小的 Λ ＞0,使得当 λ∈(0,Λ)时,有 1−λC′C∗＞0.从而由 (6)式得 有界,即{un}是中的有界集.

你知道这个观光景点的名字吗？把你的答案告诉我们，并画出几种在美国大峡谷里生活的动物，都答对的同学就有机会获得一份精美小礼品哟！

其中λ1,φ1分别是Laplacian方程的最小特征值及其特征函数.

注 3.1 由于分数阶Laplacian方程(P)具有奇异非线性项p(x)u−γ,所以方程(P)相应的能量泛函

在全空间不是Frechet可微的.因此不能直接运用临界点理论寻求方程的弱解,这给问题的研究带来本质上的困难.经过计算发现,当能量泛函限制在正则函数构成的闭锥上是Frechet可微的.所以,针对奇异分数阶Laplacian方程我们首次运用闭锥上的临界点理论证明定理3.1.

4 定理3.1的证明

令

显然E是分数阶Sobolev空间的稠密子集,且对于任意的ε＞0集合是E的闭锥.下面给出能量泛函在闭锥上的Frechet可微性.

引理 4.1 能量泛函 Jλ(u)在上Frechet可微,且在弱意义下Jλ(u)的Frechet导数为:

国际社会中，通常用基尼系数来衡量一个国家或地区的居民收入差距的标准。基尼系数主要是指一国不平均分配收入占据该国居民总收入的比重，数值介于0～1之间，国际上通常将0.4作为警戒线，也就是说，一国或地区的的基尼系数大于0.4时，贫富收入差距过大的问题已成为该国或地区经济社会发展的制约因素。近年来，我国基尼系数均处于大于 0.4的状态，虽然有降低的趋势，但不能否认的是贫富差距过大已经成为影响我国经济增速的因素之一。

证明 首先令

则

因此

即在弱意义下有J1′u=u成立.

其次,令

下证J2(u)在闭凸集上Frechet可微.对于任意取定的以及任意 ν ∈E,当 t充分小时由积分中值定理得

定义 2.5 若,使得等式

又所以因此 ∀ν(x)∈ E,泛函 是有

意义的.进一步计算得

而且上述极限关于是一致的.因此

即在弱意义下有 J2′(u)=K(p(x)u−γ).

最后令

本研究的对象是初中数学教师.个案教师的选择是在前期调研与问卷调查的基础上形成的.在前期调研中，教研室与相关学校的领导在了解了本课题研究的目的与思路后，推荐了多位教师.在观摩了这些教师的数学课堂教学并进行了访谈之后，选择了J中学的一名教师——在此我们称其为张老师.而后对初中数学教师PCK现状的问卷调查发现，这位教师一定程度上具有代表性.因此，最终确定了J中学的这位张老师作为研究个案.

这个灯红酒绿的城市随时都有光怪陆离的事情发生。就像前一分钟我打电话给我的男朋友秦明让他陪我去逛街他说学生会那边有事脱不开身，而后一分钟我就在一家餐馆靠窗的位置看到他正陪一位笑靥如花的女孩吃饭。我隔着玻璃窗看到他小心翼翼充满爱意地拨起那女孩洒落在脸颊的头发，彼此会心一笑。

对于任意的当t充分小时有

利用f的局部Lipchitz连续性,令t→0,得

从表2可以看出，由于不同处理间产量无显著差异，导致不同处理间植株和产量性状间无规律和差异性。三北98与油研11号相比，株高增加6.91厘米，有效分枝部位高8.35厘米，主花序长短4.2厘米，单株一次分枝数多1.02个、二次分枝多1.1个，单株角果数多19.14个，角粒数少0.74粒，千粒重增加0.17克，单株产量增加1.62克。

因此,在弱意义下有J3′u=K(f).综合上述讨论可得 Jλ(u)在 Πε上Frechet可微,且引理4.1得证.

引理 4.2 对于任意取定的 λ＞0,若是方程 (P)的正弱解,则存在实数ε(λ)＞ 0 使得 u ∈ Πε(λ).

证明 由定理3.1的 (F1)得:存在常数M1＞0,δ1＞0,使得当

时,有

再由定理3.1的(F2)得:存在常数M2＞0,δ2＞0使得,当

时有

因此,由定义 2.7,存在 h(x)∈H−s(Ω),使得

即在弱意义下有

本文将在已有工作的基础上,首次运用闭锥上的临界点理论,研究非线性项具有任意增长性的奇异分数阶Laplacian方程.此方法,为研究奇异分数阶方程提供了新的有效途径.

进一步,得

由文献[14]中的定理1.5得:正弱解

因此,存在实数 ε(λ)＞ 0 使得 u ∈ Πε(λ).

引理4.2得证.

引理 4.3 存在 Λ＞0,使得当 λ∈(0,Λ),条件(F1)与(F2)成立时,能量泛函Jλ(u)在闭锥 Πε(λ)上满足 PS 条件.

证明设{un}⊂Πε(λ)是Jλ(u)对应的PS序列,即|Jλ(un)|≤C,且下证{un}有子列在Πε(λ)中收敛.因为所以对任意的有

特别地,取 φ=un,得

因此可得

另一方面,由(1)式和Hölder不等式知,存在C′＞0使得

由条件(F1)与(F2)得:存在常数C′＞0使得

由引理2.4的(1)式,上式(4)可进一步放缩为:

（2）最大限度利用现有的各项资源，保证资源利用率，使改造以后的工程各项技术状况、等级和管理都能满足实际的交通要求。

将(3),(5)式代入(2)式得

f(t)是局部Lipschitz函数,满足下列条件f(0)=0,f(t)＞0,以及

另一方面,由引理4.1得:

因此

则存在Λ＞0使得当λ∈(0,Λ)时,方程(P)至少有一个正弱解

又因为所以

其中 (7)式左边的 K=(−∆)−s是紧算子.借助于 {un}的有界性,得到 o(1)+Kgλ(x,un)是 中的列紧集.因此 (7)式右端的 {un}是中的列紧集,所以有子列在中强收敛于

因此,u ≥ ε(λ)φ1,且 运用引理4.2同样的证明方法,得到综上得 u ∈ Πε(λ),所以 Jλ(u)在闭锥 Πε(λ)上满足 PS 条件.

引理4.3得证.

定理 3.1的证明 由于Jλ(u)在闭锥Πε(λ)上满足PS条件,由变分学知识,我们只需证明能量泛函Jλ(u)是强制的.从而Jλ(u)在Πε(λ)上存在临界点,即为方程(P)的正弱解.

由(3)式,存在常数C1＞0使得对于任意的u∈Hs0(Ω),有

由条件(F1)得:存在常数 N1＞0,ε1＞0,使得当x∈Ω1={∈Ω|0≤u(x)＜N1}时,有

由条件(F2)得:存在常数 N2＞N1,ε2＞0,使得当x∈Ω2={∈Ω|u(x)＞N2}时,有

显然,当x∈Ω(Ω1∪Ω2)时有 N1≤u(x)＜N2.因此,存在常数C2＞0,使得

从而

因此,由 (8),(10)以及 (1)得:对于任意的 u∈ Πε(λ),有

所以,Jλ(u)在闭锥Πε(λ)上是强制的下方有界的.

定理3.1得证.

参考文献

[1]Caffarelli L.Further regularity for the Signorini problem[J].Comm.Partial Differential Equations,1979,4:1067-1075.

[2]Caffarelli L,Vasseur A.Drift diffusion equations with fractional diffusion and the quasi-geostrophic equation[J].Annals of Mathematics.Second Series,2010,171:1903-1930.

[3]Craig W,Groves M.Hamiltonian long-wave approximations to the water-wave problem[J].Wave Motion,1994,19:367-389.

[4]Craig W,Schanz U,Sulem C.The modulational regime of three-dimensional water waves and the Davey-Stewartson system[J].Ann.Inst.H.Poincare,Anal.Non-Lineaire,1997,14:615-667.

[5]Crandall M G,Rabinowitz P H,Tartar L.On a Dirichlet problem with a singular nonlinearity[J].Comm.Partial Differential Equations,1997,2:193-222.

[6]Sun Y J,Wu S P,Long Y M.Combined effects of singular and superlinear nonlinearities in some singular boundary value problems[J].J.Differential Equations,2001,176:511-531.

[7]Wang X,Zhao L,Zhao P H.Combined effects of singular and critical nonlinearities in elliptic problems[J].Nonlinear Anal.,2013,87:1-10.

[8]Wang X,Zhao P H,Zhang L.The existence and multiplicity of classical positive solutions for a singular nonlinear elliptic problem with any growth[J].Nonlinear Anal.,2014,101:37-46.

[9]Wang X,Qin X Q,Hu G.Existence of weak positive solution for a singular elliptic problem with supercritical nonlinearity[J].Anal.Math.Phys.(2017).http://doi.org/10.1007/s13324-016-0162-4.

[10]Fang Y.Existence,uniqueness of positive solution to a fractional Laplacians with singular nonlinearity[J].Mathematic.Preprint(2014),http://arxiv.org/pdf/1403.3149.pdf.

[11]Mukherjee T,Sreenadh K.Critical growth fractional elliptic problem with singular Nonlinearities[J].Preprint(2017),http://arxiv.org/pdf/1602.07886.pdf.

[12]Giovanni M B,Vicentiu D R,Raffaella S.Variational Methods for Nonlocal Fractional Problems[M].Cambridge:Cambridge University Press,2016.

[13]Capella A,Davila J,Dupaigne L,et al.Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations[J].Comm.Partial Differential Equations,2011,36(8):1384-1353.

[14]Caffarelli L,RaulStinga P.Fractional elliptic equations,Caccioppoli estimates and regularity[J].Ann.Inst.H.PoincaréAnal.Non-Linéaire,2016,33:767-807.