Euler-Voigt方程组的全局适定性

1 引言

Euler-Voigt方程组由Euler方程组正则化过程得到如下形式:

其中T＞0,Ω是Rn(n=2,3)的有界光滑区域,u代表是速度,p为压力,f是外力项以及α为修正参数.

Voigt正则化模型是一类α-修正模型,众多学者[1-8]研究该种模型推导以及应用.Voigt正则化发展型方程也是一类特殊的仿抛物型方程,也就是说具有以下形式的方程:

其中,M 及N都是非线性甚至是非局部性算子,可参阅文献[9-10]了解更多有关仿抛物型方程的研究.由于Voigt正则的简化性,该α-模型非常适合应用于其他热力学模型,例如文献[11]验证得到二维Q-G方程,还有无粘性Burgers方程的Voigt正则化方程为:

即为著名的水波Berjamin-Bona-Mahony方程[12].文献[13-14]研究有关Voigt正则化的磁流体力学方程和Euler-Voigt方程在周期边界下的全局适定性问题.

本文主要研究方程组(1)初始条件以及具有齐次Dirichlet边界条件,即

的全局适定性问题.

2 记号及预备引理

证明 令其中cj(t)待定.为确定cj(t),则um需满足以下初值问题:

其中n=2,3,为∂Ω的外法向量.是在 Ω中具有紧支集的光滑函数类,是在 Sobolev空间 H1(Ω)中的闭包,记

首先,利用算子(I+α2A)−1作用于方程(6),那么方程(6)等价于形如˙y=F(y)的抽象常微分方程组,其中F:Hm→Hm的二次多项式.由常微分方程组存在唯一性定理可知,方程组(6)在区间[0,Tm]存在唯一的一组解um∈C1([0,T];Hm).令是方程组(6)的最大存在区间.

现引入具 Dirichlet边界条件下的 Stokes算子,即 A=Pσ(−∆),其中 Pσ是 Leray-Helmholtz投影算子,记D(A)=(H2(Ω))n∩V.众所周知,空间 H 具有一组标准正交基{ωj},且该组正交基是A的特征值{λj}对应的特征函数,Aωj=λjωj.另一方面,为克服压力带来的困难,对u,v∈V,令

于是B:V×V→V′,进而对于u,v,w∈V易得

对上式两边在区间[0,t]上进行积分可得

为了文章的完整性,引入著名的Aubin-Lions引理如下:

三是科学提出投资安排建议。根据项目规划和投资概算，科学合理地提出投资需求及年度投资建议计划。及时向县委、县政府汇报，加强与发改、财政等部门沟通协调，加大对农村供水工程的投入，特别是争取财政资金对前期工作经费的支持。

⑲Gerlind Werner,Ripa's “Iconologia”：Quellen,Methode,Ziele,Utrecht,1977.

引理 2.1[15](Aubin-Lions引理) 设X0,X 和X1都是Banach空间,且X0⊂X⊂X1以及X0紧嵌入X 中和X 连续嵌入X1中.对于1≤p,q≤∞,记

The performance of a tunable dielectric material is generally evaluated using the figure of merit (K):

国家统计局数据表明2017年全国因触电身亡8000人、火灾死亡900人，财产损失达200多亿。由于幼儿对事物充满好奇，经常用手触摸开关、用电器等，易造成触电伤害。随着楼房越建越多，火灾、盗窃等隐患呈上升趋势，本文探讨用传感器采集信息，经处理后触发报警或断电，研究构建智能的生命、财产安全防护系统。

最后将3个年级的数据进行合并，利用基于K-means算法的评选方法和传统评选方法的结果对比。见表11。

那带刀的解役道：“那有这许多功夫等他上吊！”说罢，便将刀抽出，向犯人面前大步走去，将刀举起却待砍下，猛听得正殿房檐上霹雳般大喝了一声，声落处，早将那拿棍解役吓的从台阶上倒撞在阶下。城璧涌身一跳，已到院中。那拿刀解役急向后退了几步。急看时，见一紫面长须大汉，站在院中，也不知是神是鬼，硬着胆子问道：“你，你是什么？你怎么从房上下。”城璧道：“光天化日之下，做的好事！”

由于上式右端关于m及时间是一致的,于是可推出

(ii)若p=∞以及q＞1,则W 紧嵌入C([0,T];X)中.在证明主要结果之前，需要定义初边值问题(1),(2)和(3)的弱解和强解.

定义 2.1 设u0∈V,向量函数u∈C([0,T];V)以及满足以下积分等式:

对所有的v∈V成立,则称u是初边值问题(1),(2)和(3)的弱解,进而如果u0∈D(A),则称u是初边值问题(1),(2)和(3)的强解.

3 主要结果及其证明

现陈述并给出初边值问题(1),(2)和(3)的全局弱解存在唯一性定理与证明.

定理 3.1 设u0∈V,则存在唯一的向量函数 u∈L∞(0,T;V)以及 对于任意的T＞0都满足积分等式(5).

在陈述以及证明主要结果之前,引进一些常用的记号与引理.记 Hs(Ω)是通常的 s阶 Lebesgue-Sobolev空间,范数记 ‖·‖s.特别地,当 s=0时,H0(Ω)=L2(Ω),而范数和内积分别记为 ‖·‖ 和 (·,·).令

2.1.4 现场考察与实验。我们在使用现场详细考察了该套自动制样系统。该系统设计理念比较合理，采用的模块化设计，分为入料部分，一级破碎、一级缩分、分矿存样机、二级缩分、在线干燥，二级破碎及干燥、制粉、封装等各环节分单元非常清晰，而且设备留有足够的检修空间，后期的检修比较方便。并打开了各单元查看设备内部结构，结构比较紧凑合理，各单位均带有称重、清洗功能。在产品的操作软件方面设计的比较全面，各个环节的运行工况，电流电压，电机转速、样品的入料重量、样品进入到某个环节等等十分清楚直观，并带有远程服务及监控功能，在办公室即可全面掌握设备的运行情况，提前对设备故障预处理。

其中 Pm 是从 H 到 Hm=span{ω1,···,ωm}的正交投影,以及 B(um,um)定义如上.

C是与u无关的常数,可能逐行不一样.

现证事实上,利用um对方程组(6)两边作L2-内积可得,

乾隆六次南巡，七至寄畅园，赋《寄畅园》《游寄畅园题句》《寄畅园叠旧作韵》《寄畅园杂咏》《寄畅园三叠旧作韵》《雨中游惠山寄畅园》等诗十余首，题匾“竹净梅芳”“玉戛金摐”“竹净梅芬”，书联“清泉白石自仙境，玉竹冰梅总化工”㉓。对寄畅园景色多有赞美，表达出深深的喜爱之情。由诗分析，寄畅园最突出的景观意象是幽致氛围与书史传家。清幽是乾隆帝对寄畅园最深的感受，诗中有“境古而幽与理通”等句㉔，并明确表示“爱其幽致”。乾隆帝第二次南巡时，寄畅园已经在秦家传承了两百多年，故乾隆帝赋诗说“异世一家能守业，犹传凤谷昔行窝”㉕，第三次南巡时表示“爱他书史传家学”㉖。

(i)若 p＜∞,则W 紧嵌入Lp([0,T];X)中;

5.1.6 The experience and knowledge of local people on climate System

另外一方面,利用方程组(6)不难知,

以及

去年，也就是2017年，巴塞尔展刚刚庆祝了其100周年诞辰。才过去一年多，其最重要的参展商斯沃琪集团要退出，无疑对巴塞尔展是一记沉重的打击。

于是由(8)式和 (9)式得出关于 m 一致有界于 L∞(0,T;D(A)′∩V′).因为算子 (I+α2A)−1的有界性.不难得到关于m一致有界于L∞(0,T;V).

对于任意T＞0,由Banach-Alaoglu定理以及引理2.1,在方程组(6)两边取极限可知,存在一向量函数u以及{um}的一个子列,仍记{um},当m→∞时,

固定k∈N并且m≥k,任取w∈C1([0,T];Hk)且w(T)=0.由(6)易得

首先,由(10),(11)发现当m→∞时,

现只需验证三元线性项的收敛性,即证当m→0时,

为此令

本文沿用Luo et al.(2014)和Wang et al.(2014)的定义,将雷达反射率大于35 dBz的带状对流降水区定义为雨带,并根据它们首次出现的时间进行标注(参见图4中黑色椭圆)。由于雨带的分裂和不同雨带的合并很难精确地定义每个雨带的起始,这里只是粗略的划分。

则由(4)可得

因为w∈C1([0,T];Hk)(m≥k),Pmw=w,(7)和(10)以及Hölder不等式易知,I1(m)→0及 I2(m)→ 0,于是 I(m)→ 0.注意到在 V中 um(0)=Pmu0→ u0.因此在 (14)式中让m→∞以及w∈C1([0,T];Hk)且w(T)=0,有

那么

又因为C1([0,T];Hk)稠于C([0,T];V),从(15)可知u是初边值问题(1),(2)和(3)的弱解.由估计(10)-(13)式以及(I+α2A)−1的有界性知,u∈C([0,T];V)以及

现在证明该解也是唯一的,设u1,u2都是初边值问题(1),(2)和(3)的弱解,将u1,u2代入方程组(1)后相减,令δu=u1−u2得到

利用算子 作用于(16)式,知

我国苜蓿的单产水平与加拿大、美国等国家相比相对较低，究其原因施肥技术不成熟。我国苜蓿生产中普遍存在不施肥现象，在苜蓿施肥方面的研究不足，即便施肥，盲目性也很大[5,16]。因此，定期测定土壤肥力以确定苜蓿是否施肥和施用何种肥料必要而科学。近年来，有关苜蓿在肥料配施对其鲜干草产量、农艺性状、品质和生产性能等方面的影响的研究较多，且这些研究也多见于河北、吉林、新疆、宁夏等地区[5,14-15,17]。

又因为

“澳新风险管理标准”恰是从细节入手，探索建立以风险识别、风险分析、风险评估、风险应对四方面为主的以患者安全为中心的风险管理体系。具体而言，即通过鱼骨图、头脑风暴等方法思考安全问题，识别风险、分析风险、评估风险，提出应对策略。

于是

从而利用与(17)式进行L2-内积,再次利用(4)式可得

由等价,故 Growall不等式蕴含

由不等式(18)知唯一性.证毕.

注 3.1在上述定理的证明过程中不等式(18)也蕴含了由定理1.1得到的弱解也是对初值连续依赖的.

利用定理1.1的方法以及类似于Navier-Stokes方程的证明过程[16],可得到以下高阶正则性定理:

定理 3.2 设s≥1,u0∈(Hs(Ω))n∩V(n=2,3),则初边值问题(1),(2)和(3)由定理1.1得到的解为u∈L∞([0,T];(Hs(Ω))n∩V).

证明 利用算子As(s≥1)的性质以及文献[16]研究有关Navier-Stokes方程的证明过程,具体过程省略.

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