切触有理插值新方法

1 引言

有理插值就是根据已知的点和函数值构造一个有理函数代替未知函数,并使所构造的函数在已知点处的值等于预定的值.带导数条件的有理插值称为切触有理插值,切触有理插值应用广泛,可应用于现代力学的诸多领域,还应用于图像处理[1-3]、机械、建筑、航空航天、舰船、医学等领域的曲线或曲面造型[4-8].切触有理插值的传统方法是连分式,具体计算时需要把已知节点、函数值和导数值代入固定格式循环迭代,不仅计算量大,而且在计算过程中有时会出现分母为零或者插值函数不满足某些插值条件的情况.解决的方法是:把使得分母为零的节点调整至插值点列的最后,从头再来计算[9-10];在不满足插值条件之点处定义另一个插值函数[11],或者增加不满足条件的节点重数[12].这些方法虽然解决了一定的问题,但更增大了计算量,应用不便.近年来又相继出现了一些构造切触有理插值函数的方法,如用分段组合和牛顿插值多项式构造[13],用埃米特基函数构造[14],用Taylor算子构造[15].这些方法虽好,但计算复杂度高的问题仍未得到有效解决.本文给出了完全不同于以上各种方法的一类切触有理插值的新方法,该方法所构造的插值函数,其分母在已知节点处不为零,满足所有插值条件,计算简单,过程公式化,应用很方便.

成本有效是指成本可以被收益补偿。再生水项目的投资较大，而再生水水价一般需要维持在低于甚至远低于饮用水水价的水平，因此再生水项目实现成本有效性面临很大困难。除了选择有利的技术方案以降低成本外，争取到拨款和优惠利率的长期贷款对于降低成本也很重要，而用户收费（包括使用费和入户管网费等）也必须有保障。成本有效是再生水项目作为公用事业实现商业化运作的前提。

2 预备知识

定义 2.1 若 ∂P(x)≤m,∂Q(x)≤h,则称有理函数 的次数类型为[m|h]型,记

为检验配电工程是否符合规定要求，现场管理人员必须贯彻与落实好工程质量监督管理内容，严格管控现场施工隐患问题，避免对配电工程造成不利影响。然而，结合实际情况来看，配电工程质量监督管理体系在构建方面，远未达到规定要求。究其原因，主要是因为施工单位对于安全管理与质量监督方面的管理显得过于疏忽，多数施工人员对安全施工内容了解程度不高，导致现场施工往往多会出现隐患问题。除此之外，对于配电工程的验收管理工作，管理人员也并未进行及时的查漏补缺，验收过程缺乏严谨性，进一步加剧施工隐患程度[3]。

其中∂表示多项式次数.

定义 2.2 称形如

的分式为连分式,记作

根据公式(2)，

称上述式子确定的 ξ[x0,x1,···,xl]为函数 f(x)在点 x0,x1,···,xl处的 l阶逆差商.

定义 2.4 称连分式

为逆差商-Thiele型连分式;称连分式

为Salzer型切触有理插值连分式.

定义 2.5 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及导数值所谓切触有理插值就是寻求一个有理分式函数使得

来自意大利航天局、意大利国家天体物理研究所、意大利国家科研委员会及3所意大利大学的30多名研究人员组成的团队公布了一项研究成果。他们分析了欧洲航天局火星快车探测器上的雷达设备在2012年5月到2015年12月间的观测数据，发现在火星南极冰盖地区的雷达信号出现明显异常，形态与地球南极冰川下的液态水湖相似。

其中

定义 2.6 令

显然记

定义 2.7 令

3 主要结论

定理 3.1 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,则有理分式函数

鸡腺病毒病具有普遍性。首先，鸡腺病毒在鸡的体内普遍存在，是一种条件性病原。因此，养殖人员一定要注意加强日常管理，保持鸡舍的环境卫生；其次，不可过密饲养；最后，要注意鸡舍的通风状况良好，换气效率高。保持鸡舍良好的环境有利于抑制鸡腺病毒的活性，有效降低鸡腺病毒病的发病率[1]。

满足插值条件 R(xi)=fi(i=0,1,···,n).

证明 因为

浦江县“除险安居” 提升群众获得感、幸福感、安全感（何兰萍） ..............................................................4-51

所以P(xi)=σi(xi)fi,Q(xi)=σi(xi),因此

定理 3.2 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值则有理分式函数:

满足插值条件

证明 由定义2.7知,

于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即

于是

从而

又因为

故

定理 3.3 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,一阶导数值二阶导数值则有理分式函数

满足插值条件

证明 由定义2.7知,

根据公式(3),

从而

于是

又因为

故

根据Salzer型连分式的系数算法,

故

特例 已知插值节点x0＜x1＜···＜xn及相应的函数值fi,二阶导数值则有理分式函数

满足插值条件一般地，已知节点x0＜x1＜···＜xn及函数值fi,一阶导数值二阶导数值阶导数值则有理分式函数

解法一 （用本文的新方法）

将HPV16 E6 shRNA3三个样本转染SiHa细胞干扰HPV16 E6表达后，采用RT-PCR检测发现SiHa细胞中PRDM5表达水平，较对照组上调，2-△△CT分别为1.414214和1。

在(5)式中添加适当的参数ρi(i=0,1,···,n),可降低插值函数R(x)的次数,即

4 数值算例

例 4.1 已知数据求有理函数使得

解法一 (用本文的新方法)

根据公式(1),有理插值函数的分子P(x),分母Q(x)分别计算如下:

(3)发展煤炭洗选需要全社会的广泛参与、理解和支持。煤炭洗选加工既是煤炭企业推进节能减排、发展循环经济的重要抓手，同时也是全社会节能减排的重要途径，需要政府、企业、用户等各个方面的通力配合，一方面通过政府出台政策法规、制定相关标准规范引导企业多洗煤，敦促煤炭用户使用洗选精煤；另一方面企业加大洗选投入，降低原煤直接入市；煤炭用户也配合建设、完善洗选煤优质优价市场，逐步带动原煤入选。

道岔铺设阶段的工程质量与技术方法，是影响铁路道岔质量与道岔设备后续维修保养工作的重要因素。在道岔铺设阶段，道岔现场组装的尺寸以毫米为精度单位，其对技术与工程质量的要求极高。同时，道岔功能的实现要求其结构设计中包含了辙叉、转辙等较为复杂的结构，对这些部分进行铺设时若不能采取科学有效的固定和铺设技术手段，将会使道岔结构整体的高度和方向受到不良影响，进而导致列车运行的安全性和稳定性无法得到有力保障。

于是,插值函数经过检验所得有理插值函数R(x)满足全部插值条件,即

解法二 (用逆差商-Thiele型连分式算法)

设所求有理函数为:

其中

计算q3时出现了分母为零,运算无法进行下去.

解法二 （用Salzer型切触有理插值连分式算法）

开始我也有这样的疑问，到了年底，二期工程开发的楼盘涨到每平米四千的时候，我才明白，其实佟老板是个绝顶聪明的人。由于我这个活生生的例子，李家庄一百亩上好的耕地，每亩地的出让金只有区区一万元。而当时的地价已经达到每亩十三万，疯涨了十多倍。即使仅将这些地倒手，他已净赚千万，他花在我身上的医疗费简直是毛毛雨。因为出现这样的案底，佟老板当然栽了。之前，他刚刚因向星光敬老院捐助十万元被评为慈善大使。

满足插值条件

因为

定义 2.3 已知函数 f(x),S={xp|p=0,1,2,···}为一个点集,令

根据公式(2),

例 4.2 已知函数f(x)=ex,插值节点x1=0,x2=1,求有理插值函数使得

设插值函数

又

1.3.2 薄层鉴别 称取六棱菊药材粉末5 g，加75%乙醇100 mL，回流1 h，滤过，滤液挥干加甲醇3 mL使其溶解，作为六棱菊供试品溶液。取橙皮苷对照品适量，加甲醇溶解，配制成0.32 mg／mL的对照品溶液。吸取上述溶液各5 μL，分别点于同一硅胶G薄层板上，以乙酸乙酯－甲醇－水体积比为100∶18∶12为展开剂，展开5 cm，取出，晾干，以甲苯－乙酸乙酯－甲酸－水（20∶10∶1∶1）的上层溶液作为展开剂，展开12 cm，取出晾干，喷1%的三氯化铝试液，置325 nm紫外光灯下检视。

所以

经过检验R(x)满足全部插值条件

注 4.1 ①在例 4.2中,虽然用 Salzer型连分式算法求出了插值函数R(x),但前提是必须已知被插函数 R(x).如果只知道几个离散数据点及导数值,则无法计算连分式的系数q1,0,q1,1,q2,0,q2,1,也就无法应用连分式插值.

②本文的新方法无需知道被插函数,只要已知几个数据点就可以求插值函数.由此可见,本文的新方法,不需要任何附加条件,它比连分式应用范围更广,功能更强,使用更方便.

问指不耻向别人求教，善于与别人交流。问也是道德培育和养成的又一重要途径和方法。《论语》明确指出：“敏而好学，不耻下问。”“疑思问。”“子曰：‘三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。’”意思是，天资聪敏，勤奋好学，向地位低下的人求教而不怕人耻笑；遇到疑问时，就应该及时去请教别人。孔子说：“三个人在一起走路，其中一定有我的老师。我接受他们正确的意见，抛弃错误的观点。”俗话说“学问”，可见“学”和“问”是无法分开的，“学”是获得学问的重要途径，“问”当然也是获得知识的重要手段。又学又问，才能成为一个有“学问”的人。

③本文新方法比连分式算法简单.

例 4.3 已知求有理函数使得

解 由于

根据公式(2),

由 (7)、(8)两式得

随着普通话在全国范围内的推广，播音主持人在语言的规范性方面要不断加强，充分注重言语的规范性，不容忽视。例如，对于中央电视台的中国诗词大会这样的经典节目而言，如果主持人没有宽泛的诗词功底，那么，她就不能在诗词的注释和理解上给观众一些启发，与对应的诗词专家就会不能形成交流领域，必须尊重诗词的原意，增强诗词纯粹的美感和表现力，一切描述遵循客观事实，将节目的内容深化，从而有效提升节目的影响力。

经过检验所得插值函数R(x)满足全部插值条件,即

注 4.2 ①例三中因被插函数f(x)未知,所以用传统的Salzer型连分式算法,无法计算;

②例三说明,本文的新方法比切触有理插值的传统Salzer型连分式算法适用面更广,只要知道了数据点及相应的导数值,用本文的新方法都能简单、顺利地进行运算.

下面引进参数ρi(i=0,1,2),将(9)式中分母Q(x)的次数降低.

令有理插值函数为:

则

若要把Q(x)的次数降低2次,只要解方程组

该方程组有非平凡解,取ρ0=1,ρ1=−3,ρ2=2为其解.

某超大型展览中心，总建筑面积约147万m2。敏捷小组在项目完成设计阶段BIM应用任务后，主体施工全面铺开时介入。按最精简人数设置，成员由三名具备跨专业能力的资深BIM工程师组成。成员的专业背景扎实，且互相合作无间，交互通畅，工作进取心强，可以足够响应开发需求。团队负责人权限下放，同时给予三人组同等权限，部署模式允许按需自由切换。执行过程中，三人皆为敏捷主管，旨在充分试验敏捷过程。实践证明，敏捷过程充分至满溢。小组完成后期运维开发的研发任务，并实践冲刺段设计，核心任务顺畅迭代（见表1，图1）。

此时

并且

由 (11)、(12)两式得

经过检验,(13)式的插值函数R(x)仍然满足

5 结束语

切触有理插值的应用非常广泛,从工业产品的外形设计到现代医学的3D打印等都有所涉及.因此,探究简单方便的插值方法显得尤为重要.本文方法是构造性的,计算复杂度低,实际应用方便,并且有效克服了传统连分式插值的缺陷,使任意阶导数的有理插值变得可行且容易,具有应用前景,创新点如下:

(1)构造了各阶导数有理插值新公式,计算简单,无需附加条件;

(2)插值函数的分母在节点处不等于零,运算始终能顺利进行,且满足全部插值条件;

(3)添加参数可降低插值函数的次数.

参考文献

[1]Su Benyue,Sheng Min.Adaptive algorithm for image interpolation based on blending osculatory rational interpolants[J].Computer Engineering and Applications,2010,46(1):196-199.

[2]Fan Qinglan,Zhang Yunfeng,Bao Fangxun.Rational function interpolation algorithm based on parameter optimization[J].Journal of Computer Aided Design Computer Graphics,2016,28(11):2034-2042.

[3]Ning Yang,Zhang Yunfeng,Gao Shanshan.Adaptive weighted interpolation based on rational function over triangular domain[J].Journal of Graphics,2015,36(3):444-451.

[4]Zhao Haiyang,Xu Minqiang,Wang Jindong.Local mean decomposition based on rational hermite interpolation and its application for fault diagnosis of reciprocating compressor[J].Journal of Mechanical Engineering,2015,51(1):83-89.

[5]Wang Zhaoqing,Zhang Meiling,Jiang Jian.Nonlinear mems microbeam analysis by barycentric rational interpolation iteration collocation method[J].Journal of Solid Mechanics,2015,36(5):453-459.

[6]Debbourgor.Accurate c2 rational interpolants in tension[J].Aiamj.Numer.Anal.,1993,2:595-607.

[7]Fang Kui,Deng Siqing,Tan Desong.Curves and surface of rational cubic interpolation spline[J].Computer Applications and Software,2011,28(7):22-24.

[8]Zhao Huanxi.Rational interpolation skinning surface via continued fractions interpolation based on partial generalized function inverse[J].Journal of System Simulation,2016,28(10):2497-2502.

[9]Floater M S,Hormann K.Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation[J].Numerische Mathematik,2007,107(2):315-331.

[10]Wang Renhong,Zhu Gongqin.Rational Function Approximation and its Application[M].Beijing:Science Press,2004:146-178.

[11]Zhu Gongqin,Tan Jieqing,Wang Hongyan.Algorithms and properties of vector valued rational interpolants with prescribed poles[J].Higher School Journal of Computational Mathematics,2000(2):97-104.

[12] Levrie P,Bultheel A.A note on thiele n-fractions numerical algorithms[J].Comput.Math.Appl.,2013,4:225-239.

[13]Jing Ke,Kang Ning.Rational interpolation algorithm with heredity[J].Computer Engineering and Applications,2016,52(3):202-205.

[14]Jing Ke,Liu Yezheng,Kang Ning.An algorithm of osculatory rational interpolation for high order derivative[J].Mathematica Applicata,2015,28(4):737-742.

[15]经慧芹.基于Taylor算子的二元向量切触有理插值[J].应用数学和力学,2016,37(4):404-415.