二维非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的渐近分析

1 引言

本文研究了二维空间中非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的渐近分析,这类方程组应用在各种工业问题中,如沉降问题,废水处理,化学工艺[1-3]等方面.一方面,从微观的角度考虑,粒子的运动是由依赖于时间t∈[0,T],空间位置x∈T2,粒子的速度v∈R2的分布函数f(x,v,t)描述的,满足Vlasov-Fokker-Planck方程：

其中Fd=F0(u(x,t)−v),不失一般性令F0=1.

另一方面,流体是通过宏观量描述,其中ρ(x,t)≥0是密度,u(x,t)∈R2是速度场,这些量满足非齐次不可压缩Navier-Stokes方程

HS系列无线控制系统由一只接收器和一只包含2、4、6、8、10、12、14或16个单速或双速功能键的发射器，或摇杆发射器组成，可在100m范围自由灵活的对设备进行无线操控，为操作人员提供了一个安全、可靠的远程控制环境；具备体积小，性能稳定，抗干扰能力强等特点。操作电源可根据环境及设备选择AC36V, AC110V, AC120V,AC220V, AC380V, AC/DC12V, AC/DC24V［5］。

其中

且假设压力p=Aργ,不失一般性令A=1.

关于流体-粒子模型解的适定性问题已被广泛研究,许多学者研究了流体-粒子模型解的全局存在性结果.文献[4]讨论了在有界区域中,Vlasov-Stokes方程组弱解的全局存在性和大时间行为.其次,文献[5]证明了在三维周期区域中,不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组弱解的整体性.文献[6]讨论了不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组在二维空间和三维空间中弱解的全局存在性以及二维空间中光滑解的全局存在性和唯一性.接下来,文献[7-8]分别研究了三维有界区域中非齐次不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组和不可压缩Navier-Stokes-Vlasov方程组弱解的全局存在性.在可压缩的情况下,文献[9]讨论了在三维有界区域中可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组弱解的全局存在性.还有一些其它相关模型的解的存在性结果,读者可以参看文献[10-11].

本文主要研究下列方程组的渐近性(ε→0),

本文中选择的仿真频率为1.5 GHz，该频率是导航卫星信号的主要频率，目标为空客A320和 F-15C型战斗机，材料为金属，采用商用软件CST进行电磁计算，采用的方法为快速多层多极子算法，以1°为间隔对目标模型进行仿真。

现有分析为中国乳制品进口贸易研究的深入开展奠定了较为丰富的理论基础。目前国内学者针对中国乳制品进口贸易的研究以定性研究为主，对乳制品进口的定量研究相对匮乏。那么，导致中国乳制品进口不断增长的关键因素是什么?如何既保证进口量，满足国内市场的需求，又不对国内乳制品行业造成负面冲击?在新的形势下，为确保中国乳制品市场的安全性，在进口政策方面应进行哪些调整?

其中x∈T2表示空间变量,t∈[0,T]表示时间变量,v∈R2表示粒子的速度,pε表示压力,且

为了克服边界条件的影响,这里讨论二维周期区域T2.

证明 首先,从命题3.1中的质量守恒可得到nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界.

这篇论文主要是讨论问题(3)-问题(4)的渐近极限,其极限解(n,ρ,u)满足下列方程:

这篇文章的结构安排如下:第二部分做能量估计并陈述文章的主要结果;第三部分得到一些与ε无关的一致估计,并取极限,完成定理的证明.

2 主要结果

2.1 能量估计

首先,(3)1两边同时乘以再关于 x和 v求积分,得

其次,(3)3两边同时乘以uε,再关于x求积分,得

最后,结合上面两个等式有:

其中,令

给(3)1式两边同时乘以v,再关于v求积分,并利用分部积分得

注 1.1 关于二维空间非齐次不可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组弱解的全局存在性,结合文献[4,19]可以得到.

2.2 主要结果

证明 利用引理3.1,对令则

资源是图书馆提供信息服务的基石。在新媒体环境下，为了高质量地开展信息服务，满足读者多元化的信息需求，高校图书馆应在进行读者调研的基础上制定内容丰富、结构合理、载体形式多样的馆藏资源建设方案，实现馆藏结构、不同载体文献的和谐统一。而民族高校图书馆也担负着文化传承的使命，因此在资源建设方面除了常规资源建设意外，还应根据学校学科建设需求和民族特色文化，重点加强一批具有民族性、地域性的综合性特色数据库的建设，以便更好地服务于民族高校师生读者的科研需求。并在资源构建的基础上重点打造知识服务产品，基于资源进行知识内容的整合和有效的关联，以实现多层次、多方位、多形式的资源传播和信息服务。

ρε0 在 L1(T2) 中收敛到 ρ0.

那么,存在子列 (仍记为本身)使得下列收敛性成立:nε在中收敛到 n,ρε在 C([0,T];Lp(T2))中强收敛到在中强收敛到

uε在 Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到 u,其中 1≤θ＜2.这里 (n,ρ,u)满足其中

注 2.1定理2.1将文献[14]的结果推广到非齐次不可压缩的情形.

3 定理2.1的证明

3.1 一致估计

命题 3.1 在定理 2.1的假设前提下,设(fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

所以 Jε−nεuε在 L2(0,T;L1(T2))中有界.

(i)uε在L2(0,T;H1(T2))中有界;

(ii)fε(1+v2+|ln(fε)|)在 L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界;

(iii)中有界.

随着社会的快速发展以及人们生活水平的提高，人们对物质需要和精神食粮也有了更高的要求。手机成为了人们生活中不可缺少的一部分，因为有了手机，人们可以足不出户完成生活、娱乐、学习、购物等，确实给我们带来了极大的便利，可是它在给我们带来方便的同时也在不知不觉中侵蚀着我们的生活，特别是中学生，有的非常迷恋手机，影响了学业，更有严重者对个人、家庭造成了无可挽回的伤害。

证明 首先,从能量估计(6)式可以得到(i)和(ii)中的第二项估计成立;其次,通过质量守恒

得到fε在L∞(0,T;L1(T2×R2))中有界.

接下来,证明(ii)中的第三项估计成立.

引入

令ω≥0,那么

取 s=fε,ω =v2/8,则有

将此式与(6)式结合,可得

从而可以得出(ii)中的第三项成立.综上,命题3.1得证.

其次,我们要对与微观量fε相关的量做估计.

命题 3.2 在定理 2.1的假设前提下,设 (fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

作为最后的尝试，人们把4头动物园中的北白犀送到肯尼亚，希望它们在野外环境下恢复繁殖能力。但随着雄性“苏丹”的离世，这一希望也成为泡影。

(i)nε(1+|ln(nε)|)在 L∞(0,T;L1(T2))中有界;

(ii)Jε−nεuε在 L2(0,T;L1(T2))中有界.

近年来,有许多关于流体 -粒子模型的流体动力学极限的结果.对于一维的情形,文献[12]讨论了Vlasov方程与粘性Burgers方程耦合的方程组的动力学极限和分层极限.在多维情况下,文献[13]证明了在三维有界区域中可压缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的流体动力学极限结果.文献[14-15]分别研究了在轻粒子和好粒子两种情形下,不可缩Navier-Stokes/Vlasov-Fokker-Planck方程组的两种流体动力学极限.文献[16]基于相对熵和弱紧性方法研究了Vlasov型方程的流体动力学极限.关于其它相关模型的渐近分析研究,读者可以参看文献[17-18].

其次,因为h(s)=sln(s)是凸函数,所以由Jensen不等式得

这里

那么有

则有

又则有

所以 nε(1+|ln(nε)|)在 L∞(0,T;L1(T2))中有界.

对于 (ii),有

则

虚拟阻抗法可以提高功率分配[14]。传统的虚拟阻抗控制无法有效解决多个DG单元之间各线路阻抗不一致情况下电流的均匀分配问题。本文采用分布式虚拟阻抗控制,通过一致性算法,以实现DG单元之间电流的均匀分配。

2.2.2 线性范围 在优化条件下，配制6组不同浓度的6种抗生素的混合标准溶液，各浓度重复进样3次，以峰面积的平均值计算线性方程和相关系数，结果见表1。可见，0.5～40.0 mg/L范围内6种抗生素的线性相关系数大于0.988，线性关系良好。

为了证相关结论,需要用到二维空间的一个引理.

引理 3.1[14]设Ω是R2中的有界区域,Φ∈L2(0,T;H10(Ω)).设n≥0满足

为保证压力容器的密封性能，需要对螺栓预紧过程进行数值模拟。文献[3]分析了CPR 1000反应堆压力容器主螺栓预紧的过程，高温气冷堆压力容器承压螺栓预紧过程得到有限元模拟，同时压水堆反应堆压力容器密封主螺栓预紧过程也得到模拟。但如何才能找出最合理的预紧方案，保证最终螺栓预紧力分布的均匀性，还需要进一步探索。

那么存在仅依赖于Ω的常数C,使得下列不等式成立

命题 3.3 在定理 2.1的假设前提下,设(fε,ρε,uε)是问题 (3)-问题 (4)的一个弱解,则下列估计成立:

表2中给出了经多风电场无功优化后各风电场在不同场景下的无功出力及并网点高抗投入组数(无功出力负号表示吸收无功,正号表示发出无功)。

(i)在中有界;

(ii)对任意的 0＜T＜∞,BR⊂T2,nεuε在L2(0,T;L1(BR))中有界.

定理 2.1 设初值满足:

因此在中有界.

其次,因为则

因此 nεuε在 L2(0,T;L1(BR))中有界.

最后,由于

初始条件为:

所以Jε在L2(0,T;L1(BR))有界.

为取ε→0的极限,还需要用到如下结论.

引理 3.2[19]设X是可分,自反的Banach空间,Y是Banach空间使得X嵌入到Y,Y′是可分的,且在X′中稠密.假设gn满足:对于1＜p≤∞时,

根据采集到的微流控芯片信号分析可知,微流控芯片信号表现为一系列的窄脉冲信号。文献[13]提出了一种利用高斯函数模拟毛细管电泳信号的数学模型,可借鉴用于微流控芯片信号的模拟。对实际采集到的微流控芯片信号,分析其波形,波峰的位置、半峰宽、波峰的面积等特征,模拟微流控芯片信号。本文以文献[13]中提出的模拟毛细管电泳信号模型为基础,根据采集到实际微流控芯片信号的特征,建立仿真信号的数学模型:

那么gn在C0([0,T];Xweak)中是相对紧的.

3.2 取极限

步骤 1极限方程的推导.

由上述估计,那么存在子列（记为本身）使得

(i)在 L1((0,T)×T2)中,nε⇀n;

(ii)在 D′((0,T)×T2)的意义下,Jε⇀J;

(iii)在 L2(0,T;H1(T2))中,uε⇀u;

(iv)在 L2((0,T)×T2)中,∇xuε⇀ ∇xu;

(v)在 D′((0,T)×T2)的意义下,

对于动力学方程,首先,(3)1关于v求积分得

仔猪水肿病是仔猪的一种常见多发病，是当今严重危害生猪生产造成重大经济损失的一种接触性传染病，俗称“红眼病”，是由某些溶血性大肠杆菌所产生的毒素引起仔猪的一种急性致死性传染病。

当ε→0时,在分布的意义下,

成立.由于nε在L∞(0,T;L1(T2))中有界,Jε在L2(0,T;L1(T2))中有界,利用(7)式可得∂tnε在L2(0,T;W−1,1(T2))中有界,因此利用引理3.2的结论可得在中nε收敛到n.

因此,将上式关于t积分可得

奥斯汀在“两寸象牙雕”上以真实而严谨的笔触描绘出摄政王时期的乡村新图景，将自己长期生活的乡村、出游沿途的景色、亲友们住宅的设计改建精确地描绘在自己的作品之中。尼克森（Nigel Nicolson）这样想象：“悠闲的旅行让简奥斯汀可以四下张望乡村和集市广场……她观察窗外掠过的城镇与乡村的房屋，将它们添置进自己脑子中对建筑风格的储备中。”[1]本文聚焦奥斯汀笔下的乡村景观，以树篱与农舍为例，展现奥斯汀笔下在议会圈地时期发生巨变的农村生活，并探究作者隐藏在字里行间的真实态度。

从而有

其中这里可将Pε分解如下:

且

对(9)式的右边第一项关于x,t求积分,结合Cauchy-Schwarz不等式,在关于ε一致有界的前提下,可以得出被O(ε)控制.右边第二项在分布的意义下趋于0,即对任意的有

且第三项是nεI,从而在分布的意义下:

于是当ε→0时,有

如果可以证明=nu,则有

对于流体方程,由上述得到在分布的意义下,∇xn是nεuε−Jε的极限(ε→0),如果进一步可得到ρε,uε的强收敛,则有

于是得到下列极限问题满足的方程组:

步骤 2 证明 ρε,uε的强收敛性.

首先,方程(3)2关于x求积分得

则

从而ρε在C([0,T];L1(BR))(∀R∈(0,∞))中有界,且由能量不等式可得uε在L2(0,T;H1(T2))中有界.

接着,引入特征线X(s;x,t),满足

则

从而

所以由假设

(a)0＜C1≤ ρε0≤C2,有 C1≤ ρε≤C2;

(b)另外,在 T2×(0,T)上,几乎处处成立,

(c)在分布的意义下,

成立;

(d)在 L1(T2)中,在 L2(0,T;H1(T2))中,

由 (a),ρε0在 Lp(T2))(1≤ p＜ ∞)中收敛到 ρ0,且由 (b)可得,在 T2×(0,T)上,divxuε=0几乎处处成立.

其次,由能量不等式可得 ρε|uε|2在 L∞(0,T;L1(T2))中有界,由 (a)可得 ρε是一致有界的,则

那么 ρεuε⊗uε 在 中有界,这表明 在中有界.

另外,△xuε在 L2(0,T;H−1(T2))中有界.利用命题 3.2有 Jε−nεuε在

中有界.

因此,∂t(ρεuε) 在中有界.进一步,对任意的且 divφ=0,有

应用文献[20]中的定理2.4得到下列收敛:

(i) ρε(或)在 C([0,T];Lp(T2))(1≤p＜ ∞)中强收敛到

(ii)在 Lp(0,T;Lr(T2))中强收敛到

(iii)uε在Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到u,其中1≤θ＜2,1≤r＜∞,ρ≥C1.

步骤 3 证明其中

在分布的意义下,nεuε弱收敛到那么只需证明下面的引理,再利用极限的唯一性,则可以说明

引理 3.3 在分布的意义下,nεuε收敛到nu,即v=nu.

证明 首先,由命题3.2可得 nε|ln(nε)|在 L∞(0,∞;L1(T2))中有界.对 有

由于nε在L1((0,T)×T2)中弱收敛到n,所以有

同理,利用 uε在 Lθ(0,T;Lr(T2))中强收敛到 u,可得

其中θ′和r′分别为θ和r的共轭指标.

若能够进一步证明

和

成立,则完成证明.首先,

其次,

然而,当 M →0时,meas({|uφ|＞M})→0.所以由 Dunford-Pettis定理,nε和 n的等度可积性,可得

参考文献

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