一类无穷区间上分数阶非局部边值问题正解的唯一性

0 引言

分数阶微分方程广泛应用于控制系统、流变学、粘弹性力学等诸多领域[1-2].目前，微分方程的研究已经取得了很多优秀成果[3-7].然而，现有的文献基本是研究微分方程正解的多解性，很少研究正解的唯一性. 此外，研究微分方程唯一解的文献基本运用Banach压缩映像原理证明正解的唯一性，运用和算子定理证明分数阶微分方程解唯一性的文献还是比较少的.文献[8]运用Schauder不动点定理得到微分方程至少存在一个正解.本文将运用和算子定理证明文献[8]中系统正解的唯一性.

社会心理学已经证实，当决策者行动时，常常会考虑他人的判断和行为，即使知道其他人是一种从众行为，理性的人也会参与其中并采取类似的行为。如果脱离了大多数，会让人产生不安全感，尤其是对自己缺乏自信的时候，这种心理效应会更加显著，即从众心理。

在文献[9]中，古传运、郑凤霞和钟守铭研究了以下分数阶边值问题

高校由于自身的特殊性，很多校园当中的道路很难满足车辆通行的需求，为此，可以使用视频识别技术，提高车辆通行的效率，提高校园内的交通安全。

 

其中：f(t,u(t))=g(t,s)+h(t,s),1<α≤2,0<β≤1,0≤a≤1,ξ(0,1).作者运用和算子不动点定理得到了该边值问题正解的存在性与唯一性.

受文献[9]的启发以及在文献[8]的研究背景下，本文研究以下分数阶边值问题(Boundary Value Problem：BVP)，并运用和算子不动点定理得到唯一正解.

引理1.5[12] 令h>0,β(0,1).A：P×P→P是混合单调算子，且满足

 

其中：1<α≤2,0≤βi(i=1,2,…，m-2),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<+∞，f:[0,+∞)×R2→[0,+∞)连续,是α阶的Riemann-Liouville分数阶导数.

1 预备知识

本节给出Riemann-Liouville分数阶导数的一些定义以及相关引理.

3.观测指标：(1)计算第1次换药皮片成活率，计算公式为：植皮区愈合面积/植皮区面积×100%[3]，皮片成活以移植皮片与创面基底血管沟通、颜色转红润为标准。(2)住院期间平均换药次数。

引理1.2[1] 设α>0,uL(0,∞)∩C(0,∞),则

ʃx0dt,

其中右端在(0，+∞)上是逐点定义的，欧拉伽马函数Γ(s)定义为

Γ(s)=ʃ+∞0ts-1e-tdt,s>0.

定义1.2[11] 函数f(x):(0,+∞)→R的s(s>0)阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为

ʃt0dt,

其中：n=[s]+1,[s]是s的整数部分，右端是在R+上逐点定义的.

(1)A∶Ph×Ph→Ph,B∶Ph→Ph；

定义1.4[12] 若算子A：P×P→P满足

由黄瑜记载及庄昶《题梅和韵》易知，“陈庄体”主要指的是类似庄昶“枝闲鸟共天机语，江上梅担太极行”等直接以“理语”入诗的诗歌。陈献章集中亦有此类诗句，如“但闻司马衣裳古，更见伊川帽桶高”［6］《寄定山》，434。此诗为和庄昶《游茅山诗》之作，诗中有句云：“山教太极圈中阔，天放先生帽顶高。”［3］卷四，19叶b-20叶a除以上所引诗歌外，陈、庄二人诗文集中此类诗作都占有一定比重。试观陈献章《林君求余一线之引示以六绝句》诗，面对弟子的荐举之求，陈献章无一言提及引荐之事，却从为学功夫上做了一番教导，全诗主要围绕此意展开，诗云：

A(tx)≥tA(x),∀t(0,∞),xP,

则A为齐次算子.

定义1.5[12] 令D=P，β是一个实数，且β(0,1).定义算子A：D→D是β凹泛函，且A满足

A(tx)≥tβA(x),∀t(0,∞),xD.

引理1.1[1] 设则

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+Cntα-n,

其中：CiR,i=1,2,…，n，n-1<α≤n.

定义1.1[10] 函数f(x):(0,+∞)→R的s(s>0)阶Riemann-Liouville积分定义为

 

其中：CiR,i=1,2,…n；n-1<α≤n.

引理其中：α,γ>0,f(t)L(0,+∞)∩(0,∞).

1.增设买卖人体器官罪。如前所述，美、英、澳、日等国均在刑法上规定了禁止器官买卖的犯罪。为有力打击器官移植相关犯罪，我国也应增设买卖人体器官罪，规定适当刑罚。

引理其中：α>0,γ>-1;t>0.

行政事业单位区别于其他单位，主要是由于其本身具有一定的政府职能，需要严格遵守固定的规章制度，协助政府承担管理社会公共事务的责任，建设社会主义社会。在市场经济影响下，行政事业单位需要强化会计工作，并加大对会计工作的监督力度，保证行政事业单位职能有效性。本研究中笔者将结合行政事业单位中会计内部控制工作现状，作出如下内容分析。

A(tx,t-1y)≥tβA(x,y),∀t(0,∞),x,yP.

B:P→P是单调递增的次齐次算子.假设：

(i)存在h0Ph,使得A(h0,h0)Ph,且Bh0Ph;

(ii)存在常数δ0>0,使得A(x,y)≥δ0Bx,∀(x,y)≥δ0Bx,∀x,yP.

袁安、李离、上官星雨依言将内力会聚到丹田，果然觉得丹田内温温泄泄，与之前不同，宇晴又指点三人运气，将内力送至浑身经脉，运转一个小周天，顿时周身皆热，湿衣雾气蒙蒙，片刻即变得干爽舒适。

则：

(1)A∶Ph×Ph→Ph,B∶Ph→Ph；

(i)存在h0Ph,使得A(h0,h0)Ph,且Bh0Ph;

rv0≤u0<v0,u0≤A(u0,v0)+Bu0≤A(v0,u0)+Bv0;

(3)算子方程A(x,x)+Bx=x在Ph中有唯一解x*;

(4)对任意的初值x0,y0Ph,能构造一序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,n=1,2,…,

使得当n→∞时，x*→x,y*→y.

引理1.6[12] 令h>0,β(0，1).A：P×P→P是混合单调算子，且满足

A(tx,t-1y)≥tA(x,y),∀t(0,∞),x,yP,

B：P→P是单调递增的次齐子次算子.假设：

(2)存在u0,v0Ph，T(0,1)，使得

(ii)存在常数δ0>0,使得A(x,y)≤δ0Bx,∀x,yP.

则：

定义1.3[12] 若P是Banach空间的锥，A(x,y)是关于x单调递增、关于y单调递减的函数，并且当ui,vi(i=1,2)Ρ,u1≤u2,v1≥v2时，有A(u1,v1)≤A(u2,v2)，则A：P×P→P是混合单调算子.如果A(x,x)=x,则xP是A上的不动点.

(2)存在u0,v0Ph，r(0,1)，使得

rv0≤u0<v0,u0≤A(u0,v0)+Bu0≤A(v0,u0)+Bv0;

(3)算子方程A(x,x)+Bx=x在Ph中有唯一解x*;

(4)对任意的初值x0,y0Ph,能构造一序列

xn=A(xn-1,yn-1)+Bxn-1,n=1,2,…，

使得当n→∞时，x*→x,y*→y.

引理1.7[8] 若h则边值问题

 

等价于积分方程

u(t)=ʃ+∞0G(t,s)h(s)ds,

其中：G(t,s)=G1(t,s)+G2(t,s)，且

 

引理1.8[8] 由引理1.7定义的Green函数具有以下性质：

(i)G(t,s)是连续函数且G(t,s)≥0，∀(t,s)[0,∞]×[0,∞];

 

2 主要结果

在本文中,定义函数空间E={u(t)其中定义范数为

少年并未因此而退却，他仍坚持着自己的主张：“您对我的评判或许准确，但天空的使者拼却性命，来对她的生命进行了守护。莫非您觉得，使者们也已被她妖艳的容貌迷惑？”

引理2.1[13] (E,||·||E)是Bananch空间.

引理2.2[13] (P,||·||p)是Bananch空间.

定理2.1 假设

证明 由引理1.7，边值问题等价于下列的积分方程:

(H2)对λ(0,1),t[0,+∞),u,v[0,+∞),存在常数β(0,1),使得g(t,λu,λ-1v)≥λβg(t,u,v);对λ(0,1),t[0,+∞)，有h(t,λu)≥λh(t,u);

其次，要创建交流平台，实行资源共享。现在是信息技术普及的时代，壮民族地区的小学英语教师也要尝试多利用网络，建立开放和民主的继续教育网络体系。小学英语教师应建立自己的微信公众号或微博等，将自己的优秀教育成果与其他英语教师进行交流；同时还可以将自己教学中所遇到的问题呈现出来，供其他英语教师交流、合作和探讨。

(H3)对∀t(0,+∞),u,v≥0,存在一个常数δ0>0,使得g(t,u,v)≥δ0h(t,u),

则BVP在Pz中存在唯一解u*,其中z(t)=tα-1,t[0,+∞).此外，对于任意初值u0Pz，能够造迭代序列un+1(t)=ʃ+∞0当n→+∞时，有un→u*.

(H1)函数g(t,u,v)关于u[0,+∞)单调递增，关于v[0,+∞)单调递减；函数h(t,s)关于u[0,+∞)单调递增，且h(t,0)≢0;

u(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0G(t,s)[g(t,u,v)+h(t,s)]ds.

定义算子A∶P→E和B∶P→E分别为

Au(t)=ʃ+∞0G(t,s)g(t,u,v)ds,Bu(t)=ʃ+∞0G(t,s)h(t,s)ds.

若要证明u是BVP的解,当且仅当u=Au+Bu.

由假设(H1)和引理1.7，可知A∶P→P和B∶P→P.

接下来证明算子A，B满足引理1.5的所有条件.首先，证明算子A，B都是递增的.由假设(H1)和引理1.3，对于P,i=1,2，当即[0,+∞)时，有

Au1(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0

即有Au1(t)≥Au2(t).类似可证Bu1(t)≥Bu2(t).

其次，证明A是γ-凹算子和B是次齐次算子.对任意的λ(0,1),uP,由(H2)可得

Aλu(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0

即当λ(0,1),uP时，有Aλu(t)≥λβAu(t),故算子A是γ-凹算子.同时，对任意的λ(0,1),uP,由假设(H2)知

Bλu(t)=ʃ+∞0G(t,s)h(s,λu(s))ds≥λβʃ+∞0G(t,s)h(s,u(s))ds=λβBu(t).

即当λ(0,1),uP时，有Bλu(t)≥λβBu(t),故算子B是次齐次算子.

再次证明AzPz,BzPz,其中z(t)=tα-1.由(H1)和引理1.8，得

现在让我们将目光转向现象之“物”。形上之“物”在开出天然现象之“物”的过程中，使天然现象之“物”具有“德”。《五十一章》曰：“道生之，德畜之，物形之，势成之……故道生之，德畜之：长之、育之、亭之、毒之、养之、覆之。”罗安宪说：“老子之所谓‘德’，其实就是后代之所谓‘性’。德者，得于道者也。”对于天地、万物而言，“道”是外在的，但同时，“道”以“德”的形式内贯于天地、万物，天地、万物便以“德”体现着“道”。“德”是天地、万物的本性，而“德畜”就是本性的发动。天地、万物因不同的“德”呈现出不同的形态，具有了不同的质料，并在形势、环境之下不断展开自身。

式中:σs为发射截面,N1和N2分别受激辐射过程中低能态和高能态上的粒子数密度。将式(1.2)代入式(1.1),阈值条件变为

Az(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0

ʃ+∞0ʃ+∞0ʃ+∞0g(s,1,0)ds.

Az(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0ʃ+∞0g(s,0,1)ds.

由(H1)、(H3)，有

g(s,1,0)≥g(s,0,1)≥δ0h(s,0)≥0.

因为h(t,0)≢0,有

ʃ+∞0g(s,1,0)≥ʃ+∞0g(s,0,1)>ʃ+∞0δ0h(s,0)>0,

因此有

ʃ+∞0ʃ+∞0g(s,0,1)ds>0,

故有l2z(t)≤Az(t)≤l1z(t),t[0,+∞)，即有Az(t)Pz(t).同理可证,

ʃ+∞0ʃ+∞0h(s,1)ds.

由h(t,0)≢0,易证Bz(t)Pz(t).综上所述,引理(1.5)的(i)条件满足.

接下来证明引理1.5的条件(ii)也满足.由(H3),有

从原初的舞台剧到现代电影艺术发展，电影艺术通过虚幻与现实有机结合、视觉和听觉的不断冲击，故事情节跌宕起伏博得了观众的驻足与喝彩。电影能够让观众不知疲倦的享受其中。随着教学技术的不断进步，教师也可把教学内容通过教学技术的处理，合理引入“微课及电影艺术”手段，让生物课堂在科学性的基础上更加地充满“趣味性和艺术性”，促进学生从“要我学”变为“我要学”。

Au(t)=ʃ+∞0ʃ+∞0G(t,s)h(s,u(s))=δ0Bu(t),

从而可得Au(t)≥δ0Bu(t)，∀uP.

由引理1.5可知,算子方程Au+Bu=u在Pz中存在唯一正解u*.此外,对任意初值u0Pz,能构造一序列un=Aun-1+Bun-1,n=1,2,…,使得当n→+∞时，un→u*.即BVP在Pz中存在唯一正确u*.对任意初值u0Pz,能构造一序列

u(t)=ʃ+∞0

使得当n→+∞时，un→u*.

参考文献：

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