关于n长路的(a,b;n)-优美标号的研究

0 引言

对于一个图G(V,E),如果对每一v∈V(G),存在一个非负整数g(v)(称为顶点v的标号)满足：(1)max{g(v)|v∈V}=|E(G)|；(2)对任意u,v∈V，如果u≠v，则g(u)≠g(v);(3)对任意的e1,e2∈E(G),如果e1≠e2，则g*(e2)≠g*(e2)，其中g*(e)=|g(u)-g(v)|,uv=e(称为由g导出的边标号).则称G为优美图,称g为G的一个优美值或优美标号.设Pn是一个n长路,其上点依次为v0,v1,…,vn,a,b是非负整数,若Pn的优美标号g满足g(v0)=a,g(vn)=b，则称g是Pn的一个(a,b;n)-优美标号,记为g(a,b,n)，称Pn为(a,b;n)-优美的.

优美标号的概念是由Golomb在文献[1]中引入的.由于应用范围的广泛性,许多学者做了大量的工作(见[2-3]).2004年,P.Gvozdjak在文献[4]中为了解决著名的Oberwolfach问题,提出(a,b;n)猜想:路Pn是(a,b;n)-优美的当且仅当非负整数a,b,n满足：

(1)b-a与有相同的奇偶性

猜想的必要性已由P.Gvozdjak在文献[4]中给出.关于充分性,文献[4]对n≤20情况验证成立.a=0的情况，S.Lee等人在文献[5]给出证明.a=1,2的情况由文献[6]解决了.本文证明当a=3时,(a,b;n)-猜想成立.

为方便约定，Z表示整数集，令Z[m,k]={x∈z|m≤x≤k},当k<m时，Z[m,k]=φ.

1 结果及证明

为证明主要定理,我们给出如下系列引理

情况

江门市政府副秘书长赵剑雄表示，本着“共商、共建、共享、共治”的基本原则，江门市支持海事部门在西江下游江门航段开展防范船舶触碰桥梁、安全大巡察等“三大战役”，进一步夯实辖区内西江安全与绿色发展基础，重视侨乡文化的挖掘和培育，让“文化西江”走入水上千万家。

引理1 当a=3时,满足猜想的n和b有下列结论：

当n=28时,b=11,P28的优美标号是

 

(2)n≡1(mod4),则

 

(3)n≡2(mod4),则

 

(4)n≡3(mod4),则

 

引理2 当n≡0(mod4)时,Pn是(3,b;n)-优美的.

证明 我们采取的办法是部分特殊值具体标出,一般情形对n分类讨论.

当n=4,b=1时,P4的(3,1;4)-优美标号为(3,0,4,2,1).当n=8,b=1时,P8的(3,1;8)-优美标号为(3,5,4,7,0,8,2,6,1);当n=8,b=5时,P8的(3,5;8)-优美标号为(3,4,2,6,1,7,0,8,5);当n=8,b=7时,P8的(3,7;8)-优美标号为(3,5,4,1,8,0,6,2,7).

当n≥12时我们分四种情况来证明所需结论.

情况

当n=12时,b=3=a与|b-a|>0矛盾.

当n=16时,b=5,P16的(3,5;16)优美标号是(3,13,2,14,1,15,0,16,7,11,6,9,8,10,4,12,5).

当n=20时,b=7,P20的(3,7;20)优美标号是

(3,18,2,19,1,20,0,14,6,15,5,16,4,17,10,11,9,12,8,13,7).

当n=24时,b=9,P24的(3,9;24)优美标号是

(3,21,2,22,1,23,0,24,7,18,6,19,5,20,4,14,12,13,10,15,11,17,8,16,9).

(1)n≡0(mod4),则

(3，25，2，26，1，27，0，28，7，22，6，23，5，24，4，18，10，19，9，20，8，21，14，15，13，16，12，17，11).

当n≥32时,定义g优美标号如下：

琢句之法，唯少陵独尽其妙。……及至苏、黄，则使事亦精，逸气横出，琢句之妙可以与少陵并驾。……诗家作诗多使事，谓之点鬼簿。……近者苏、黄崛起，虽追尚其法，而造语益工，了无斧凿之痕，可谓青于蓝矣。……山谷云“语言少味无阿堵，水雪相看只此君”，“眼看人情如格五，心知世事等朝三”，类多如此。[10](8册，P11-36)

g(v1)=3,g(v2)=n-3,g(v3)=2,g(v4)=n-2,g(v5)=1,g(v6)=n-1,g(v7)=0,g(v8)=n,

g(v8i+1)=3+4i,g(v8i+2)=n-3i-3,g(v8i+3)=2+4i,g(v8i+4)=n-3i-2,

g(v8i+5)=1+4i,g(v8i+6)=n-3i-1,g(v8i+7)=4i,g(v8i+8)=n-4i-6,i∈Z[1,2].

g(v8i+1)=3+4i,g(v8i+2)=n-4i-1,g(v8i+3)=2+4i,g(v8i+4)=n-4i,

g(v8i+5)=1+4i,g(v8i+6)=n-4i+1,g(v8i+7)=4i,g(v8i+8)=n-4i-6,i∈Z[3,ik].

(1)当令g的优美标号如下：

人员、经费、就业政策和就业场地等基础性设施是保障独立学院就业市场稳定开展的前提条件。然而据调查，安徽省大多数独立学院专职从事就业工作的人员仅2～3人，人员配备的匮乏制约了对就业市场错综复杂事宜的精雕细琢，限制了就业供需市场的维护和开拓；另外，虽然教育部对高校就业经费的支出设定了指标，但是独立学业受办学的特点的局限，没有能力完成这一指标，致使促进就业相关活动的资金存在不足；同时就业政策是就业市场规范化的标杆，多数独立学院未建立与就业市场相关的制度，再由于教学用地的紧张，独立学院甚至没有安排传统的招聘教室，现代化的视频面试教室更是无从谈起，以上都严重的影响了就业市场的现代化进程。

 

 

(2)当令g的优美标号如下：

 

 

 

情况

当n=12时,b=5,P12的(3，5；12)-优美标号是(3，6，12，0，11，1，10，2，9，4，8，7，5).

当n=16时,b=7,P16的(3，7；16)-优美标号是(3,14,2,15,1,16,0,10,9,6,8,13,4,12,5,11,7).

当n=20时,b=9,P20的(3，9；20)-优美标号是(3,7,2,18,1,19,0,20,7,14,6,15,5,16,4,10,13,8,12,11,9).

当n=24时,b=11,P24的(3，11；24)-优美标号是(3,21,2,22,1,23,0,24,7,18,6,19,5,20,4,14,13,10,12,17,8,16,9,15,11).

当n=28时,b=13,P28的(3，13；28)-优美标号是(3,25,2,26,1,27,0,28,7,22,6,23,5,24,4,18,10,19,9,20,8,21,14,11,17,12,16,15,13).

总之，通过发送手机彩信方式的E-training，只是E-training 初级阶段，是最简单的E-training模式，基于“云计算”平台所开发的“云教育（培训）”才是真正意义上的E-training 模式，但两种模式孰优孰劣，不能单看其先进性，更要注重其适用性，因此，究竟应选取何种形式，企业应根据员工素质、企业特点等自身实际进行综合评估，选择本企业最适宜的E-training 方式，以促进培训效果的有效提升。

当n≥32时,我们只列出与情况1不同的g的优美标号如下：

(1)当令g的优美标号如下：

 

 

(2)当令g的优美标号如下：

机插杂交稻精确定量技术适用于中、小苗移栽，可用于水稻种植浅栽、宽行窄株、定苗定穴栽插。按照整地→施肥→做好育秧工作备好秧苗→机械化插秧→大田管理等流程开展种植。

 

 

 

情况

当n=10时,b=4,P10的(3，4；10)-优美标号是(3,6,10,0,9,1,8,2,7,5,4).

当n=16时,b=9,P16的(3，9；16)-优美标号是(3,13,2,14,1,15,0,16,7,8,6,10,5,11,4,12,9).

当n≥20时,我们只列出与情况1不同的g的优美标号如下：

(1)当令

 

(2)当令

 

 

情况

田面水总氮的动态变化如图 3所示。总体来看，施用基肥后各处理总氮动态有3种表现，CF、N100处理呈现先降低再小幅上升最后逐渐降低的趋势，WN、N90、N80处理表现为先增加后降低，N70处理则基本未变，但各个处理总氮素波动较小；而追肥后除 WN外，各施肥处理总氮变化趋势相似，均表现为先增加后降低，升降幅度较大。水稻生育期田面水总氮平均浓度表现为 CF>N100>N90>N80>N70>WN。

当n=16时,b=11,P16的(3，11；16)-优美标号是(3,13,2,14,1,15,0,16,7,9,8,5,12,4,10,6,11).

当n≥20时,我们只列出与情况1不同的g的优美标号如下：

(1)当令

 

(2)当令

 

 

引理3 当n≡1(mod4)时,Pn是(3,b;n)-优美的.

证明 当n=5,b=0时,P5的(3,0;5)-优美标号为(3,2,4,1,5,0).当n=5,b=2时,P5的(3,2;5)-优美标号为(3,5,0,4,1,2);当n=5,b=4时,P5的(3,4;5)-优美标号为(3,1,2,5,0,4).

为了实现对运动目标是否是越界人的二次判断,对目标运动速度和运动轨迹进行记录,记录结果如表1和图5所示。

当n≥9时,我们把b分成如下四种情况：分别讨论，具体证明过程与引理2的类似，故在此省略.

引理4 当n≡2(mod4)时,Pn是(3,b;n)-优美的.

证明 我们将从以下四种情况分别讨论：

博物馆本身具有公益性和非营利性，与其他公共文化服务机构相比，其本身具有其他公共文化机构缺失的珍贵文物资源。博物馆内具有丰富的展品珍藏，是人类发展和生存的历史见证，若能够有效利用这些丰富的历史珍藏，不仅能够使人们全面了解到古老历史文化知识，而且还在公众内心中产生重要的影响作用和教育作用。目前我国经济得到快速发展，公众对文化需求也提出更高的要求，因此对博物馆的文化服务也具有更高的要求，有权要求博物馆在展示展品的时候提供更好的文化服务。博物馆内具有丰富浓厚的历史文化珍藏，承载着浓厚的教育资源，因此博物馆的公共价值通过教育得到充分实现。

当n=6时,b=0,P6的(3，0；6)-优美标号是(3，4，2，5，1，6，0).

5.1.3 竞赛教学法更利于创造活跃、积极的课堂氛围。在实验过程中，通过对实验班和对照班的学生课堂表现作为对照，发现实验班的学生在课堂上的表现比对照班的学生更为活跃，学生更能积极主动地去完成教师规定的各项任务，并严格按照教师规定完成课堂竞赛活动，并力争所在小组取得竞赛的胜利。在整个实验的上课过程中，实验班学生的课堂积极性明显高于对照班，学生的课堂参与度也高于对照班。

当n=10时,b=2,P10的(3，2；10)-优美标号是(3,7,4,6,5,10,0,9,1,8,2).

监测监控物联网经优化设计，共采用了5类传感器：获取影像采用高像素摄像仪，监测地表位移采用GNSS接收机，深部位移监测采用双轴测斜仪，地下水位监测采用渗压计，降雨量监测采用雨量计。不同类型的传感器所需传输带宽差异较大：高像素摄像仪单台需要4 Mb～8 Mb带宽资源，实时传输每月约需要800 G流量，多台摄像仪所需流量会成倍增加；其它4类传感器虽然需求带宽资源小，单个传感器只需要约1 Kb带宽，但是监测点数量多，而且较分散。如果采用光纤传输，建设费用高，施工难度大，可能还需要征用土地。如果采用4G传输，流量费用高昂，部分区域4G信号较差，甚至没有4G信号。具体情况，见表1。

当n=14时,b=4,P14的(3，4；14)-优美标号是(3,12,2,13,1,14,0,8,7,9,6,10,5,11,4).

当n=18时,b=6,P18的(3，6；18)-优美标号是(3,16,2,17,1,18,0,12,7,11,8,10,9,15,4,14,5,13,6).

当n=22时,b=8,P22的(3，8；22)-优美标号是(3,19,2,20,1,21,0,22,7,16,6,17,5,18,4,12,11,13,10,14,9,15,8).

当n=26时,b=10,P26的(3，10；26)-优美标号是(3,23,2,24,1,25,0,26,7,20,6,21,5,22,4,16,11,15,12,14,13,19,8,18,9,17,10).

当n=18时,b=8,P18的(3，8；18)-优美标号是(3,15,2,16,1,17,0,18,7,10,14,4,13,5,12,6,11,9,8).

(1)当令

 

 

(2)当令

实验组患者主诉良好达到100%(55例),并表示愿意再次接受检查治疗;常规组患者主诉良好,且表示愿意再次接受诊疗的患者占比76.36%(42例),两组数据比较具有统计学意义(P<0.05,X2=14.7423)。

 

情况

当n=6时,b=2,P6的(3，2；6)-优美标号是(3,0,6,1,5,4,2).

当n=12时,b=7,P12的(3，7；12)-优美标号是(3,5,8,4,9,2,10,1,11,0,12,6,7).

当n=14时,b=6,P14的(3，6；14)-优美标号是(3,11,2,12,1,13,0,14,7,4,10,5,9,8,6).

当n≥30时,我们选择g的优美标号如下：

当n=12时,b=9,P12的(3，9；12)-优美标号是(3，8，4，10，2，11，1，12，0，7，8，6，9).

当n≥22时,我们只列出与引理2情况1不同的g的优美标号如下：

止吐药根据受体系统分为4类：类胆碱能、多巴胺能、5-羟色胺及组胺类。还有证据显示使用地塞米松通过中枢或外周机制对控制PONV也有效。

(1)当令

 

(2)当令

 

 

情况

当n=6时,b=4,P6的(3，4；6)-优美标号是(3，5，2，1，6，0，4).

当n=10时,b=6,P10的(3，6；10)-优美标号是(3,8,2,9,1,10,0,4,7,5,6).

当n=14时,b=10,P14的(3，10；14)-优美标号是(3,11,2,12,1,13,0,14,7,10,4,9,5,6,8).

《中国经济周刊》：阿里在2015年年底就成立了中台事业群，是什么契机让阿里在当年成立中台事业群？有人称“中台”才是未来互联网巨头的核心竞争力，您怎么看？

当n=18时,b=10,P18的(3，10；18)-优美标号是(3,15,2,16,1,17,0,18,7,12,6,13,5,14,4,8,11,9,10).

当n=22时,b=12,P22的(3，12；22)-优美标号是(3,19,2,20,11,21,0,22,7,10,18,4,17,5,16,6,15,8,14,9,13,11,12).

当n≥26时,我们只列出与引理2情况1不同的g的优美标号如下：

(1)当令

 

(2)当令

 

 

 

情况

当n=6时,b=6,P6的(3，6；6)-优美标号是(3，2,4,1,5,0,6).

当n=10时,b=8,P10的(3，8；10)-优美标号是(3,7,2,9,1,10,0,6,4,5,8).

当n=14时,b=10,P14的(3，10；14)-优美标号是(3,11,2,12,1,13,0,14,7,6,8,5,9,4,10).

当n=18时,b=12,P18的(3，12；18)-优美标号是(3,15,2,16,1,17,0,18,7,10,4,14,5,13,6,11,9,8,12).

当n=22时,b=14,P22的(3，14；22)-优美标号是(3,19,2,20,1,21,0,22,7,16,6,17,5,18,4,12,11,9,13,10,15,8,14).

当n=26时,b=16,P26的(3，16；26)-优美标号是(3,23,2,24,1,25,0,26,7,17,4,22,5,21,6,20,8,19,10,18,11,15,9,14,12,13,16).

当n≥30时,我们只列出与引理2情况1不同的g的优美标号如下：

(1)当令

 

(2)当令

 

 

 

 

引理2.5 当n≡3(mod4)时,Pn是(3,b;n)-优美的.

证明 当n=3,b=1时,P3的(3,1;3)-优美标号为(3,0,2,1).当n=7,b=1时,P7的(3,1;7)-优美标号为(3,4,6,0,7,2,5,1);当n=7,b=5时,P7的(3,5;7)-优美标号为(3,0,7,1,6,2,4,5).当n=7,b=7时,P7的(3,7;7)-优美标号为(3,4,2,5,1,6,0,7).

当n=11,b=5时,P11的(3,5;11)-优美标号为(3,6,0,11,1,10,2,9,4,8,7,5).

当n=11,b=7时,P11的(3,7;11)-优美标号为(3,5,8,4,9,2,10,1,11,0,6,7).

当n=11,b=9时,P11的(3,9;11)-优美标号为(3,8,2,10,1,11,0,7,4,6,5,9).

当n≥15时,我们分如下四种情况讨论：分别进行讨论，与引理4的证明相类似,我们在此也省略其详细的证明过程.

由引理1-5可获得本文主要结果

定理 当a=3时,路Pn(n≥3)是(a,b;n)-优美的.

参考文献:

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[2] Abrham J. and Kotzig A. All 2-regular graphs consisting of 4-cycles are graceful[J].Discrte Math.,1994,135:1-14.

[3] Gallian J. A. A dynamic survey of graph labeling[J].The Electronic Journal of Combinarorics，2007,14:1-180.

[4] Gvozdjak P. On the Oberwolfach problem for cycles with multiple lengths[D].Burnaby :Simon Fraser University,2004:87-92.

[5] Lee M.,Lai Y. and Wang S. On the graceful permutation graphs conjecture[J].Congressus Numerantium,1994,103(2):193-201.

[6] 潘丽霞,梁志和.关于n长路(a,b;n)优美猜想[J].河北师范大学学报(自然科学版),2010,34(1):5-9.