带有输入时滞的Timoshenko梁系统的控制器设计与稳定性分析

在航空、海洋和土木等工程领域中，弹性结构通常起着关键性的连接和承载作用。在外部干扰和载荷等的作用下，这些结构会发生振动，给工程结构造成一定的危害。一直以来，很多学者的研究致力于弹性系统的控制器设计与稳定性分析。通过抵制时滞和外部干扰等不利因素来镇定系统[1-9]。Timoshenko梁系统考虑了剪切效应和旋转效应的影响，对于弹性杆的动力学行为有着准确的描述，是一种非常精确的系统模型。很多学者对其产生了浓厚的兴趣。本文以一个边界上带有载荷和输入时滞的Timoshenko梁为研究对象，利用Backstepping方法，设计了一种新的控制器补偿时滞所带来的影响，使闭环系统达到渐近稳定。系统模型如下：

 

(1)

其中：下标字母表示对应相应变量的偏微分，x∈(0,1),t>0；函数fi(θ)在适当的空间是有界可测的，i=1,2;w(x,t)代表梁在其平衡状态下的弹性挠度;φ(x,t)代表总旋转角度;u1(t)和u2(t)分别代表边界控制力和力矩;ρ，κ，Iρ和EI分别代表线密度、剪切弹性模量、梁横截面的惯量矩和刚度系数。

当系统无时滞时，即τ=0，输出反馈控制律：

u1(t)=-α1wt(1,t), u2(t)=-α2φt(1,t),

(2)

可以使系统(1)渐近稳定[10]。

当τ≠0时，即系统存在时滞现象时，在哪种反馈控制律的作用下，系统(1)也可以被镇定呢？这是本文主要考虑的问题。对于时滞系统，文献[11]针对αu(t)+βu(t-τ)这类控制器研究了一维波方程的稳定性并且得到了所谓的1/2法则。文献[12-14]设计了一类新的动态反馈控制器，证明了条件|α|≠|β|可以保证所得闭环系统的稳定性。基于Backstepping方法[15-18]，本文设计了一类新的控制器。在该反馈控制律的作用下，所得闭环系统是渐近稳定的。

1 控制器设计与稳定性结论

笔者通过Backstepping方法设计原系统的控制器并给出相关的稳定性结论，其主要思想是通过构造一个可逆的有界线性变换，将原系统的稳定性问题转化为目标系统的稳定性问题[15-18]。

要坚决贯彻中央和省委关于严明机构改革纪律的要求，把政治纪律、组织纪律、编制纪律、干部人事纪律、财政纪律、保密纪律等作为不能触碰的红线，不讲条件，不打折扣，不搞变通，确保政令畅通，令行禁止。

设zi(s,t)=ui(t+s-τ)，s∈(0,τ)，i=1，2，那么zi(τ,t)=ui(t)，并且zi(s,0)=hi(s)=ui(s-τ)。因此，系统(1)等价于无时滞系统：

 

(3)

根据Backstepping方法的思想，首先构建一个线性变换：

 

(4)

下面确定qi1(s,r),qi2(s,r),γi(s,x),ηi(s,x),φi(s,x),ψi(s,x)。对vi(s,t)分别关于t和s求偏微分，利用分部积分法得到：

vit(s,t)=zis(s,t)-qi1(s,s)z1(s,t)-qi2(s,s)z2(s,t)+qi1r(s,r)z1(r,t)dr+qi2r(s,r)z2(r,t)dr+

κ[γixx(s,x)-ηix(s,x)]wt(x,t)dx+(κ[γix(s,x)-ηi(s,x)]+EIηixx(s,x))φt(x,t)dx-

κφi(s,x)[wxx(x,t)-φx(x,t)]dx-EIψi(s,x)φxx(x,t)dx+EIηix(s,1)φt(1,t)-

κψi(s,x)[wx(x,t)-φ(x,t)]dx+EIψi(s,1)φx(1,t)-κ[γix(s,1)-ηi(s,1)]wt(1,t)-

φi(s,1)κ[wx(1,t)-φ(1,t)]+[qi1(s,0)-φi(s,1)]z1(0,t)+[qi2(s,0)-ψi(s,1)]z2(0,t)

和

vis(s,t)=zis(s,t)-qi1(s,s)z1(s,t)-qi2(s,s)z2(s,t)-qi1s(s,r)z1(r,t)dr-qi2s(s,r)z2(r,t)dr-

ρφis(s,x)wt(x,t)dx-Iρψis(s,x)φt(x,t)dx+κγis(s,x)[wxx(x,t)-φx(x,t)]dx+

EIηis(s,x)φxx(x,t)dx+κηis(s,x)[wx(x,t)-φ(x,t)]dx-Jψis(s,1)φt(1,t)-

EIηis(s,1)φx(1,t)-mφis(s,1)wt(1,t)-κγis(s,1)[wx(1,t)-φ(1,t)]+

EIηis(s,0)φx(0,t)+κγis(s,0)[wx(0,t)-φ(0,t)]。

取

即

谢友鄞主要是以对特定地域文化风情的关注和描摹,形成自己创作的美学情致的，他用扎实的功夫赢得了人们的瞩目和赞誉。

qi1(s,r)=-φi(s-γ,1), qi2(s,γ)=-ψi(s-r,1),φi(s,x)=-γis(s,x),ψi(s,x)=-ηis(s,x),

(5)

并且γi(s,x)和ηi(s,x)满足：

 

(6)

那么vit(s,t)=vis(s,t)。对于变换(4)，令s=0,得到：

vi(0,t)=zi(0,t)-ρφi(0,x)wt(x,t)dx-κ(γix(0,x)-ηi(0,x))(wx(x,t)-φ(x,t))dx-

EIηix(0,x)φx(x,t)dx-Iρψi(0,x)φt(x,t)dx-

mwt(1,t)φi(0,1)-Jφt(1,t)ψi(0,1)。

(7)

取γi(s,x)和ηi(s,x)的初值为

依托校内实践基地，在工作导向任务实施过程中，实现语言实践运用环境与真实工作环境类似、外语学习内容与汽车技术发展同步更新，教学与生产实践无缝对接，提高学生学习的效率，解决英语语言知识学习和专业岗位实践脱节的矛盾。在外语水平提高的同时，学生的专业能力、综合素质也得以明显提高。

γ1(0,x)=0,η1(0,x)=0,γ1s(0,x)=0,η1s(0,x)=0,γ1s(0,1)=-m-1α1,η1s(0,1)=0,

(8)

γ2(0,x)=0,η2(0,x)=0,γ2s(0,x)=0,η2s(0,x)=0,γ2s(0,1)=0,η2s(0,1)=-J-1α2，

(9)

即可。

 

(10)

于是，变换(4)将系统(3)转化为如下目标系统：

 

其中x∈(0,1),t>0,s∈(0,τ)并且

vi0(s)=hi(s)-qi1(s,r)h1(r)dr-qi2(s,r)h2(r)dr-

 

mw1(1)φi(s,1)-Jφ1(1)ψi(s,1)。

(12)

对于目标系统有如下定理。

定理1 假设h∈L2(0,τ)，(w0,w1,φ0,φ1)∈H，其中H是系统的状态空间(见2.1节)，那么目标系统(11)-(12)是渐近稳定的。

对于变换(4)有以下结论。

定理2 设γi(s,x)和ηi(s,x)是式(6)，式(8)和式(9)给出，函数qi1(s,r)，qi2(s,r)，φi(s,x)，ψi(s,x)由式(5)确定，那么线性变换(4)是有界可逆的。

令t=τ，由式(4)可知，系统的控制律为

 

(13)

其中γi(s,x)和ηi(s,x)由式(6)、式(8)和式(9)确定。

由上述可知，当线性变换(4)存在有界的逆变换时，无时滞系统(3)与目标系统(11)-(12)等价。

定理3 假设h∈L2(0,τ)，(w0,w1,φ0,φ1)∈H，那么在反馈控制律(13)的作用下，原系统(1)是渐近稳定的。

2 主要结论的证明

2.1 预备知识

首先，引进空间V=L2(0,τ)和记R×R为实数空间。取原系统(1)的状态空间为其内积为

〈(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T,(f,g,h,q,ξ,υ)T〉H=

[κ(w′(x)-φ(x))(f′(x)-h(x))+ρz(x)g(x)+EIφ′(x)h′(x)+Iρψ(x)q(x)]dx+

mζξ+Jθυ,

“王老师，徐姗回来了！”我班的语文老师兴致冲冲的对我说道。我没有见过徐姗，心里却一直勾勒这这位学生的样貌，是怎样的学生能引起老师如此的关爱呢？我不知道她转回我班的消息是否可靠，直到后来她父亲带着她来我办公室报名，徐姗的确是转回来了。初见徐娅，是一个大眼睛、漂亮的小姑娘!

笔者给出一个引理。

显然，H是一个Hilbert空间。

对于系统(1)，在空间H上定义一个算子A0：

 

(14)

D(A0)={(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T∈

 

另外，定义一个算子B:U→H,

 

(15)

那么，系统(1)可以写成如下抽象发展方程的形式:

 

(16)

其中:

X(·,t)=(w(·,t),wt(·,t),φ(·,t),φt(·,t),wt(1,t),φt(1,t))T,

U(t-τ)=(u1(t-τ),u2(t-τ))T。

类似地，式(6)和式(8)(或式(9))也可以写成如下抽象发展方程的形式：

 

(17)

四是高科技手段支撑及个性化、实用的教室布置。美国的课堂在硬件配置方面有明显的优势，教师借助软件、系统，或通过数据分析进行教学和管理已形成常态；教室布置往往取决于教师的教学内容。例如：一节与家庭有关的选修课，教师会把教室布置得像间大厨房；许多教室的前半部分是课桌椅，后半部分是实验区，实现了实验和教学完美融合；教室里的桌椅可以根据需要任意组合，方便学生完成不同任务。

对于算子A0，经过简单的计算，利用Stone定理[19]，可以得到如下引理。

引理1 由式(14)定义的算子A0是斜自伴的，并且在H中生成酉群eA0t。

目标系统(11)可分为2个部分：传输系统

 

(18)

和Timoshenko梁系统

 

(19)

在空间H上定义一个算子A：

A(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T=

(20)

定义域为

首先，党的十八届三中全会《中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定》明确提出要发挥市场在资源配置中的决定性作用。水资源作为基础性的自然资源和战略性的经济资源，也应引入市场机制作为水资源配置的主要手段。为了发挥市场在水资源配置中的决定性作用，就必须建立作为市场机制的前提的水权制度。只有在水权明晰的前提下才能进行水权的交易，从而发挥市场的水资源配置功能。

记M=(M1+1)M2,其中M1=max{1/m,1/J,1}τ和M2=‖W1(0)‖H+‖W2(0)‖H。由式(5)可知，qi1(s,r)=-φi(s-r,1),qi2(s,r)=-ψi(s-r,1)，所以：

当前，电气自动化已经渗透到了生产生活的各个领域，为生产力的提高与人民生活的改善做出了巨大的贡献。本文从以下三个方面介绍电气自动化的发展现状：

 

此时，系统(18)和系统(19)的抽象发展方程分别为

 

(21)

和

 

(22)

其中,算子

经过计算可得：

〈A(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T,(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T〉H=

{κ(zx(x)-ψ(x))(wx(x)-φ(x))+κ(wxx(x)-φx(x))z(x)+EIψx(x)φx(x)+

[EIφxx(x)+κ(wx(x)-φ(x))]ψ(x)}dx-[κ(wx-φ)(1)+α1ζ]ζ-[EIφx(1)+α2θ]θ=

-α1ζ2-α2θ2≤0，

故，A是耗散的。显然，A是闭稠定线性算子且0∈ρ(A)。由文献[10]可以得到如下引理。

引理2 由式(20)定义的算子A在空间H上生成一个渐近稳定C0半群，记为eAt。

因为

2.健身休闲企业。健身休闲企业所能提供的大多是场馆类、运动器材或者户外运动类的休闲，此外还应重视各类企业项目供给的创新性与独特性培育。广西要大力支持健身休闲企业发展、鼓励创业创新，应重视龙头企业的培育，充分发挥自主品牌建设和创新能力提升的先导作用。2016年，广西体育馆利用自有事业经营所得收入全额出资成立了广西南国体育投资集团有限责任公司，下设体育赛事、体育建设投资、体育产业发展3个子公司。今后自治区应加大招商引资、项目推介，吸引国内外知名体育组织或大型健身休闲企业落户广西，投资健身休闲产业，建设一批健身休闲特色产业集聚示范区（基地）。

〈A(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T,(f,g,h,q,ξ,υ)T〉H=

{κ(zx(x)-ψ(x))(fx(x)-h(x))+κ(wxx(x)-φx(x))g(x)+

推广1 已知抛物线C:y2=2px，过y轴除原点外的任意一点D作抛物线的切线DP，切点P，过点D作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B，其中O为原点．则A为线段BM的中点.

EIψx(x)hx(x)+[EIφxx(x)+κ(wx(x)-φ(x))]q(x)}dx-

[κ(wx-φ)(1)+α1ζ]ξ-[EIφx(1)+α2θ]υ=

-{κ(wx(x)-φ(x))(gx(x)-q(x))+κz(x)(fxx(x)-hx(x))+

EIφx(x)qx(x)+ψ(x)[EIhxx(x)+k(fx(x)-h(x))]}dx+

[κ(fx-h)(1)-α1ξ]ζ+[EIhx(1)-α2υ]θ=

气象导航诞生于20世纪50年代，发展到今天，已经成为一门学科。实践也证明气象导航明显地提高了船舶航行的安全性，其主要表现在以下几个方面：

《燕丹子》以在秦汉之际流传颇广的荆轲刺秦故事为题材，叙述战国燕太子丹为报质秦之仇和解社稷之危，募得壮士荆轲入秦，陛刺秦王。主要情节可分为逃归、募士、刺秦三节，涉及有名有姓的人物达10人之多，而以太子丹和荆轲为主。

〈(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T,A*(f,g,h,q,ξ,υ)T〉H,

完善财务报告编制制度的前提就是要深入了解我国经济发展的状况，建立统一的财务报告编制制度，同时还要要求各级政府部门以及事业单位都统一采用权责发生制政府综合财务报告编制制度，这样才能够更好地对财务报告进行整合分析，有利于财务信息在各部门之间的交流。与此同时，还需要对财务报告的编制进行监督，应该建立专门的监督机构，并建立审查制度，从而能够有效保证权责发生制政府综合财务报告编制的准确性。最后在权责发生制政府综合财务报告编制制度中还应该完善详细的工作流程等信息，不断提高政府的财务管理水平。

(23)

所以，伴随算子A*的定义如下：

A*(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T=

定义域为

(24)

定义域为

D(A*)={(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T∈

 

检测凋亡抑制剂Z-VAD-FAM对LFS-01作用的影响时，首先用50 μmol/L的z-VAD-FAM预处理JeKo-1细胞2 h，之后操作步骤同上。

引理3 算子B*是eA*t的一个可容许观测算子，即B是eAt的一个可容许控制算子。其中算子A，A*，B分别由式(20)，式(24)和式(15)定义，B*=BT。

证明 根据式(24)可知，系统(22)的伴随系统为

 

即

 

利用分部积分做简单的计算得到：

 

 

那么

 

这表明算子B*是eA*t的一个可容许观测算子，即B是eAt的一个可容许控制算子。证毕。

2.2 主要结论的证明

定理1的证明。

证明 由2.1节内容可知，系统(11)和系统(12)被分解为系统(18)和系统(19)。当t≥τ时，V(s,t)=0。故只需考虑系统(19)的稳定性。由引理1知，系统(17)在H上是适定的，并且‖Wi(s)‖H=‖Wi(0)‖H,∀0≤s≤τ。

D(A)={(w,z,φ,ψ,ζ,θ)T∈

 

对于式(12)进行适当的放缩，得到：

 

其中M3为正常数。这表明当hi∈L2(0,τ)和X0∈H时，有vi0∈L2(0,τ)。显然，F在空间V上生成C0半群eFt(见文献[20]，例 2.3.8)。相应地，系统(21)的温和解[19，21]为

 

由引理3知，B是eAt的一个可容许控制算子。因此，系统(19)在H上是适定的，其解可以表示为

 

当t≥τ时，V(s,t)=0，所以

其中Wi(·,s)=(γi(·,s),γis(·,s),ηi(·,s),ηis(·,s),γis(1,s),ηis(1,s))T。

 

这表明目标系统是渐近稳定的。证毕。

证明定理2。

证明 由式(4)可知，只需考虑变换：

vi(s,t)=zi(s,t)-qi1(s,r)z1(r,t)dr-qi2(s,r)z2(r,t)dr-

ρφi(s,x)wt(x,t)dx-κ(γix(s,x)-ηi(s,x))(wx(x,t)-φ(x,t))dx-

EIηix(s,x)φx(x,t)dx-Iρψi(s,x)φt(x,t)dx-

mwt(1,t)φi(s,1)-Jφt(1,t)ψi(s,1)

(25)

从而由式(7)—式(9)可知，

记

其中：

gi(s,t)=-qi1(s,r)z1(r,t)dr-qi2(s,r)z2(r,t)dr-

ρφi(s,x)wt(x,t)dx-κ(γix(s,x)-ηi(s,x))(wx(x,t)-φ(x,t))dx-

EIηix(s,x)φx(x,t)dx-Iρψi(s,x)φt(x,t)dx-

mwt(1,t)φi(s,1)-Jφt(1,t)ψi(s,1)，

那么式(25)可以表示为V(s,t)=Z(s,t)+G(s,t),即vi(s,t)=zi(s,t)+gi(s,t)，从而Z(s,t)=V(s,t)-G(s,t),即zi(s,t)=vi(s,t)-gi(s,t)。

因此

gi(s,t)=-qi1(s,r)[v1(r,t)-g1(r,t)]dr-qi2(s,r)[v2(r,t)-g2(r,t)]dr-

ρφi(s,x)wt(x,t)dx-κ(γix(s,x)-ηi(s,x))(wx(x,t)-φ(x,t))dx-

EIηix(s,x)φx(x,t)dx-Iρψi(s,x)φt(x,t)dx-

mwt(1,t)φi(s,1)-Jφt(1,t)ψi(s,1)。

为了证明该方程存在唯一解，设和

其中：

gi,n(s,t)=qi1(s,r)g1,n-1(r,t)dr+qi2(s,r)g2,n-1(r,t)dr, n=1,2,…

和

gi,0(s,t)=-qi1(s,r)v1(r,t)dr-qi2(s,r)v2(r,t)dr-

ρφi(s,x)wt(x,t)dx-κ(γix(s,x)-ηi(s,x))(wx(x,t)-φ(x,t))dx-

EIηix(s,x)φx(x,t)dx-Iρψi(s,x)φt(x,t)dx-

mwt(1,t)φi(s,1)-Jφt(1,t)ψi(s,1)，

那么，

 

M(‖X‖H+‖V‖V×V)。

类似地，可以得到：

 

这些估计表明级数关于s∈[0,τ]绝对一致收敛并且级数和为系统(4)的一个解。此外，存在一个常数C>0使得‖G(s,·)‖≤C(‖X‖H+‖V‖V×V)。这意味着存在一个有界线性算子Φ:H×V×V→V×V，使得那么有：

 

所以变换(4)是有界可逆的。 证毕。

最后，证明定理3。

证明 由定理2易知，无时滞系统(3)与目标系统(11)和系统(12)是等价的。由引理2知，目标系统是渐近稳定的，故无时滞系统(3)也是渐近稳定的，即反馈控制律(13)可以使得原系统(1)渐近稳定。证毕。

3 结 论

基于Backstepping方法，针对边界带有载荷和输入时滞的Timoshenko梁系统设计了一个新的控制器，证明了原系统在这个反馈控制律作用下是渐近稳定的。研究重点在于控制器的设计与稳定性分析，难点在于目标系统的构造和线性变换的选取。本文考虑的控制算子是有界的，当控制算子是无界的时候，应该如何考虑？这类控制器是否可以应用到高维系统模型中？这都是将来要研究的问题。

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