一类三维系统的分支分析

随着洛仑兹系统的发现，许多学者致力于研究各种非线性系统现象，其中包含广义的Lorenz系统[1]，吕系统[2-3]，陈系统[4]，Genesio系统[5]，Chua系统[6]等。除了利用李雅普诺夫指数证明一类系统具有混沌之外，更多学者利用Silnikov条件去构造自治系统出现混沌，陈关荣等[1]根据Silnikov准则构造了同时具有洛仑兹吸引子和陈吸引子的吕系统。ZHOU等[5]在Genesio系统里找到一条Silnikov形式的同宿轨，得到Genesio系统里存在马蹄混沌结论。ZHOU等[7]构造了一类新的简单的具有连接鞍焦点的同宿轨的三维二次混沌系统。王炜等[8]对改进的PID控制系统求出具有Silnikov形式的同宿轨的解析表达式，从而说明具有混沌现象的发生。其他学者[9-18]也对不同的系统做了相应的分析。本研究主要在FRIEIRE等[19]讨论三重零线性退化的标准型开折的基础上，讨论以下一类三维自治系统：

 

(1)

的分支情况，其中a,b,c,A1,A2为参数，此系统比Genesio系统[5]更一般化。

若对系统(1)做变换x1→x1+a,x2→x2,x3→x3，那么系统(1)可简化为

从语篇记忆角度出发，实验证明睡眠质量不仅影响完整文本及谈话的组织，而且对构成英语语言的基本要素造成影响；如整诗的结构、单词的会意及句法语法分析；从英语学习角度出发，语篇能力呈现于真实的会话并能展示学习者拥有的语言能力，即学习者内在能力能通过外在行为得以体现，因此睡眠质量直接影响记忆，间接影响学习成效。因此在实际教学中，教育者需要考虑如何提高学习者睡眠以提高学习成绩。首先，可以推迟早自习30分钟学生以清醒的状态去投入学习；其次，可以适当减少题海战术，提高作业质量，提高作业多样性；再者，可以与家长及时联系为学习者设定固定的睡觉时间并严格执行；最后，30分钟的午休时间是有必要的。

 

FRIEIRE等[19]主要研究了形如以上系统的三次截断，当考虑参数为a,b,c时平衡点处的余维2的分支。本文第1节主要研究系统(1)的平衡点的存在性以及局部稳定性，第2节主要分析平衡点为系统(1)鞍焦点的参数条件，最后讨论系统(1)产生Hopf分支的条件以及此分支为超临界和亚临界的参数条件。

1 平衡点处的局部定性分析

显然，当a=0时，系统(1)仅有一个平衡点E1(0,0,0)，而当a≠0时，系统(1)有2个平衡点E1(0,0,0)和E2(2a,0,0)，且此系统在平衡点E1和E2处的线性雅可比矩阵分别为

 

当a=ah时，系统 (1) 可重新写成：

其对应的特征方程分别为

OCTA是一种非侵入性的快速成像技术，可获取较清晰的视盘及黄斑区分层视网膜血流成像，并能量化分析视盘和黄斑的血流情况，已广泛应用于视神经疾病、视网膜疾病的诊治及病情监测[8]。NAION患者急性期视盘水肿，pRNFL增厚，6～12周后逐渐萎缩、变薄[2]，因此本研究纳入病程＞3个月的NAION患者，且患者的年龄、性别、SE、眼压与正常对照组均无明显差异，排除了年龄、性别、近视、眼压变化及视盘水肿对视盘和视网膜血流检测的影响。

 

(2)

与

加强施工过程控制以及技术人员、管理人员的质量意识，每次开工前开展质量意识重申，开展奖惩机制，一旦发生违规操作，立即严厉制止并进行处罚。

 

(3)

特征方程(3)与方程(2)类似，因此笔者仅分析特征方程(2)，利用数学分析的方法判断特征方程左边函数单调性以及凹凸性，然后分析与横轴交点的情况，得到在各系数a,b,c不同条件下方程(2)的根的情况(若是重根，按重根个数算)以及E1局部流形的详细分析，并且由赫尔维兹判据可判断出，方程(2)的3个根均为负实根(其中必有1个负实根)的充要条件为a<0,c<0,bc+a>0，此时E1局部渐近稳定，如表1所示。对于特征方程(3)的根及E2处的局部形态可对照系数做相应的分析，此处不再赘述。

从表1可以看出：

a)当a=b=c=0时，平衡点E1处产生了三重零特征根线性退化；

南水北调受水区无论哪种水源，一般来说都通过自来水厂向最终用水户供水。自来水厂制水水源按来源可分为南水北调水源和当地水源。这两类水源的自来水厂供水息税前利润EBIT分别是：

c)当b<0,a=c=0时，平衡点E1处产生了一重零特征根和一对共轭的纯虚根退化情形；且当b<0,A1≠0,A2≠0时，FRIEIRE等[19]证明当a=c=0时，系统(1)可产生Hopf-zero分支。

 

表1 E1的局部分析Fig.1 Local analysis of E1

  

abc特征方程(2)根的情况E1的局部特性=0=0=03个零根三维Wcloc>02个零根与1个正实根二维Wcloc与一维Wuloc<02个零根与1个负实根二维Wcloc与一维Wsloc>0任意1个零根、1个正实根与1个负实根一维Wcloc、一维Wsloc与1维Wuloc<0=01个零根与2个共轭纯虚根三维Wcloc>01个零根与2个正实根/正实部复根一维Wcloc与二维Wuloc<01个零根与2个相同负实根/负实部复根一维Wcloc与二维Wuloc>0=0=01个正实根与2个负实部复根一维Wuloc与二维Wsloc>01个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<04c3+27a≤0时1个正实根与2个负实根一维Wuloc与二维Wsloc4c3+27a>0时1个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0>0=04b3-27a2≥0时1个正实根与2个负实根一维Wuloc与二维Wsloc4b3-27a2<0时1个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<0=01个正实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<0=0=01个负实根与2个正实部复根一维Wsloc与二维Wuloc>04c3+27a≥0时1个负实根与2个正实根一维Wsloc与二维Wuloc4c3+27a<0时1个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<01个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0>0=04b3-27a2≥0时1个负实根与2个正实根一维Wsloc与二维Wuloc4c3+27a<0时1个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<0=01个负实根与2个复根见第2节讨论Δ1>0<0bc+a>0时根据赫尔维兹判据知1个负实根与2个负实部特征根三维Wsloc

2 鞍焦点存在性

因为具有Silnikov条件的鞍焦点意味着混沌的产生，笔者主要寻找系统(1)平衡点为鞍焦点的参数条件。

为了叙述简单，记和

令特征方程(2)可简化为其中整理可得，

由卡尔丹诺式可得：

情形一 当Δ1>0时，方程(2)有1个实根与2个复根分别为

基于多时相高分四号卫星图像的积雪范围分布和基于HJ-1B卫星图像的积雪范围分布见图4、图5，其中灰色表示积雪覆盖区.结果显示，高分四号卫星积雪监测覆盖面更广，单幅图像空间范围约是HJ-1B CCD图像的4倍.在两类数据的重叠区域，提取的积雪空间分布具有较好的趋势一致性.

邹志强[8]指出，在北极周边国家中，相对美国和加拿大，俄罗斯和挪威两国有输出油气和利用北极航线的迫切要求，因此，存在着从俄罗斯和挪威向东亚及中国输送原油的贸易流。

 

情形二 当Δ1=0时，方程(2)有2个实根分别为

 

(二重根)。

上博楚简三篇中语气词比较丰富，本文主要选取了其中最具有代表性的7个语气词“也”、“矣”、“乎”、“焉”、“與(歟)”、“哉”、“唯(维、惟)”进行分析，以期能够了解上古汉语中语气词的使用、发展及其特点。

与

 

情形三 当Δ1<0时，p1<0成立，从而方程(2)的根有3个不相等的实根分别为

b)当c≠0,a=b=0时，平衡点E1处产生了二重零特征根线性退化，FRIEIRE等[19]研究结果显示参数a=b=0时，系统(1)可产生BT分支；

 

定理2 当Δ2>0，a(c+2aA1+3ρ2)>0时，平衡点E2是系统 (1) 的一个鞍焦点。

表1中未确定出复根的实部的正负分析均属于情形一，若Δ1>0时，方程(2)有1个实根λ11与2个复根λ12，λ13,由根与系数关系，可得λ11λ12λ13=a，若a>0可知，λ11>0；若a<0可知，λ11<0。则可得到以下结果。

在参数时，平衡点E1处具有一维与二维当+ρ1=0时，平衡点E1处具有一维与二维当时，平衡点E1处具有三维

在参数时，平衡点E1处具有三维当时，平衡点E1处具有一维与二维当时，平衡点E1处具有一维与二维

浙江人民美术出版社立足于中国现当代美术大家创作和著述的系统整理出版，先后编纂出版了《黄宾虹全集》《陆俨少全集》《潘天寿全集》等。经过周密规划论证，浙江人民美术出版社已将《陆抑非全集》纳入该全集系列编纂出版工程，拟推出《陆抑非全集》六卷，其中绘画四卷，书法一卷，文献一卷，尽最大可能搜集陆抑非先生作品及文献，力求做到体系完整、体例规范、文字准确、编校精审。目前，《陆抑非全集》的编纂工作已正式启动。

由以上分析可得到E1是鞍焦点存在的条件结论。

定理1 当Δ1>0，a(c+3ρ1)<0时，平衡点E1是系统 (1) 的一个鞍焦点。

同理，令方程 (3) 可简化为其中由卡尔丹诺公式可知，当Δ2>0时，方程 (3)的3个根分别为

下面计算满足和〈P1,Q1〉≜条件的向量P1,Q1。通过繁琐的计算，可得:

 

因为λ21λ22λ23=-a,若a>0，可知λ21<0；若a<0，可知λ21>0，则当时，平衡点E2处具有二维当时，平衡点E2处具有二维而当时，平衡点E2处具有二维从而可以得到以下结论。

其中

3 Hopf分支

假设方程(2)有2个共轭的纯虚根，令由根与系数的关系可知因而与0=c3-cc2-bc-a=-(a+bc)成立，即此时c≠0,a+bc=0时可求得以下取a为扰动参数，记ah=-bc。

由特征方程(2)可得通过计算可得：

 

则若b<0,c≠0，系统(1)在a=ah时E1处产生Hopf分支[1]。

与

时代向当代中国美术家提出一个严肃的历史任务：要表现一个世纪以来中华民族的灾难、屈辱、抗争、胜利、进步。把民族的特殊经历和心路历程昭示于世界、警策后人。

 

(4)

其中，

D1a≜

和C(x,y,z)=(0,0,0)T，x=(x1,x2,x3)T，y=(y1,y2,y3)T，z=(z1,z2,z3)T。

(3)课堂上跟着老师弄懂一系列问题之后要积极进行反馈，对学生的学习情况、作业动态，老师要及时反馈，并给与适当评价.老师要积极指导学生进行课下的探讨，推进学生的同伴互助关系与协作关系、协作能力，从学生的反馈中改进微课资源的推送，提高自己微课资源的质量，优化微课资源的设计制作和教学方案的实施，积极更新教学资源.

很多人会对“鲜”有疑惑,殊不知，鲜味往往是食物中蛋白质（营养源）的信号。鲜味于1985年在鲜味研讨会上被定为人类第五种基本味。我们几乎每天都在与“鲜”打交道，包括最常见的食物、食材和调味品。可以说，鲜味和其他味道一样，陪伴人类一生。

 

再通过计算以下式子得到，

 

和

 

并令与τ1=(2iωI-D1a)-1B(Q1,Q1)，可得:

 

则由第一李雅普诺夫系数公式[20]求得:

 

定理3 在b<0,c≠0情况下，当a=-bc时系统(1)在平衡点E1附近产生Hopf分支，并且当l11<0时，系统 (1) 在平衡点E1附近产生超临界Hopf分支；当l11>0时，系统 (1) 在平衡点E1附近产生亚临界Hopf分支。

三是特别强调变法措施的执行和落实。商鞅变法的成功在于其令出必行，取信于民，在于“法令至行，公平无私”。从另一方面来说则是执法严苛，这也可能是导致商鞅因变法而被杀的重要原因之一。秦朝在统一中国后仅传两世，延续仅十五年而亡，可以从商鞅变法中找到原因。

同理，当a≠0时，可假设特征方程(2)有3个根容易得到和a=(b+2aA2)(c+2aA1)，以下取c为扰动参数，并设

由方程(3)可得通过计算可得，

 

则当a≠0,b+2aA2<0时，系统(1)在c=ch时平衡点E2处产生Hopf分支。

当c=ch，做变换x1→x1+2a,x2→x2,x3→x3，系统(1)变为

 

其中x,B(x,x),C(x,x,x)在式(4)中给出，且

D2c≜

令且〈P2,Q2〉=1。通过计算可得：

 

 

则由第一李雅普诺夫系数公式[20]可求得：

 

定理4 在a≠0,b+2aA2<0情况下，系统(1)在c=ch时E2处产生Hopf分支，并且当l21<0时，系统(1)在平衡点E2附近产生超临界Hopf分支；当l21>0时，系统(1)在平衡点E2附近产生亚临界Hopf分支。

4 结 语

为了研究一类具有三重零奇异的三维微分方程的二次截断开折系统所产生的分支情况，首先分析此类系统平衡点的存在以及局部特征根实部的具体情况，特别关注了平衡点为鞍焦点的参数条件，最后分析了平衡点附近产生Hopf分支的条件，并分别指出超临界和亚临界Hopf分支参数条件。本研究的结果为以后证明此系统存在Shilnikov型混沌提供了理论依据。

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