一种生物趋化模型的建立与求解

0 引言

许多自然现象的变化和物质的运动都可以通过建立偏微分方程的数学模型来描述。双曲守恒律对于描述生物体的趋化、流体流动等具有十分重要的理论意义和应用价值。趋化现象原指细胞、细菌等依据环境中某些化学物质发生变化而趋向的运动，如植物根系的向水性、向肥性，草履虫避开高浓度盐水的运动等，现泛指生物个体为了能够更好地生存而趋向于有利的环境［1］。实际上，趋化现象就是生物体感受到外界刺激并做出相关反应的一种典型的生物趋化运动。

笔者在合理的假设条件下，利用偏微分方程建立了“蚂蚁搬家”这一常见的生物趋化运动的数学模型。该模型是典型的双曲守恒律方程，笔者借助于特征线法，给出了在常速度、线性变速度和非线性情形下模型的解，并给出了符合实际背景的生物学解释。

1 预备知识

式（1）所示的偏微分方程组为守恒律方程组［2］。

 

式中：f（u）=（f1（u），f2（u），…，fm（u））T为流函数；u=（u1，u2，……，um）T是关于（t，x）的 m 维向量函数，一般称为状态变量；t为时间变量；x=（x1，x2，…，xm）∈Rm。

 

 

假设u充分光滑，则可在积分号外求导，式（3）就化为式（4）。

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为了说明此情形下初值问题的光滑解只能在一个有限范围内存在，可令a→0，则式（19）可转化为式（20）。

 

由积分的几何意义可知，每一类特征线一定覆盖了t-x平面上的一个区域。特别地，当m=1时，式着每一条特征线，解 u（t，x）一定保持常数，如式（6）所示。

在[0，t]上对式（13）进行积分。由于 φ（0）＝ρ（0，a）＝ρ0（d），所以 ρ（t，x）＝ρ0（x－v0t）。

 

2 模型的建立

2.1 模型假设

众所周知，在“蚂蚁搬家”这一生物趋化运动中，如果蚂蚁数量足够多，远远望去，如同一条黑色的直线。为方便计算，做出如下的假设：

（1）“蚂蚁搬家”运动是沿一条直线行进，而且行进的方向为x轴正向。

Wader 1977:A.K. Wader, Indian Kāvya Literature: Volume Three: The Early Medieval Period(Sūdraka to Viśākhadatta), Delhi, Varanasi, Patna: Motilal Banarsidass.

由式（4）可知，状态变量u是守恒的，即在区间[x1，x2]中，总的流体的量（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两个端点处的流有关。其中，f（u（t，x1））和f（u（t，x2））分别表示在点 x1和 x2处的流入、流出量。

如果蚂蚁的前进速度v依赖于前进的时间t和所处的空间位置 x，即 v＝v（t，x）。 那么 ρt＋（ρv）x＝0 的Cauchy问题可化为式（14）。

（3）文中的速度均指蚂蚁流微元的宏观运动速度，不是指个别蚂蚁无规则运动的速度。

2.2 模型建立［3］

在蚂蚁行进路线上，任取一点 x，若 N＝N（t，x，Δx）表示在时刻 t、运动区间[x，x＋Δx]上蚂蚁的数量，引进如式（7）所示的密度流函数。由式（7）也可以演化出式（8）。

 

为了研究在任一区间[a，b]上蚂蚁数量的变化情况，设在t时刻、x位置处蚂蚁的行进速度为v（t，x），则蚂蚁数量的变化率可由式 ρ（t，x）v（t，x）决定。 由于在[a，b]上满足数量守恒，故式（9）成立。

 

结合式（2）和式（4），可得密度流函数满足 ρt＋（ρv）x＝0。

如果行进路线上没有任何阻碍，那么蚂蚁的行进速度仅与路线上的流量密度或蚂蚁数量有关，即v=v（ρ）。若ρ→0，则路线上所有的蚂蚁均以它们自身的最大速度vmax行进。若达到一个极限ρmax，则意味着所有的蚂蚁首尾相衔，此时v→0。因此，可以假定v是关于 ρ的单调递减函数，且 v（0）＝vmax，v（ρmax）＝0。

若蚂蚁的前进速度v不仅依赖于时间t和所处的空间位置x，还依赖于路线上的蚂蚁流量 （事实上，若路线上蚂蚁数量过多，行进速度自然就会降下作变量代换，ρt+（ρv）x=0 可化为 ut+（u（1-u））x=0。

 

3 模型求解［4～5］

3.1 常速度情形

若“蚂蚁搬家”运动中的每一只蚂蚁都以常速度v0（v0＞0）沿直线按同一方向前进，方程 ρt＋（ρv）x＝0 的Cauchy问题可化为式（11）。

河口英语口音来源于伦敦英语，现在它在英国的地位有点类似于“通用美国英语”在美国的地位。河口英语口音分布在英格兰东南部，东英吉利地区，更远的地方可能也有分布。

 

式（11）是一个齐次常系数双曲型方程，可利用特征线法求解。对于偏微分方程的求解，必须给出定解条件。常见的定解条件主要有初始条件、边界条件和混合条件，相应的定解问题分别称为Cauchy问题、边值问题和混合问题。任意给定一初始条件，譬如对于初始时刻处于位置a的蚂蚁来说，方程（11）的特征方程可写为式（12）。

 

对式（12）进行求解，可得方程（11）的特征线为x＝v0t＋a。 若记 Φ（t）＝ρ（t，v0t＋a），则沿着此特征线，方程（11）可转化为一个常微分方程，如式（13）所示。

 

1.2.2 稻种资源耐旱性多样性计算 根据云南稻种资源耐旱性观察值对耐旱性进行多样性研究。多样性采用Shannon-Wiener多样性指数和Pielou均匀度指数进行分析。

3.2 线性变速度情形

（2）蚂蚁数量足够多，应考虑采用连续模型来解决问题。另外，行进的区间长度远远大于一只蚂蚁的平均身长。

 

利用特征线法构造上半平面 Γ＝（0，∞）×R上Cauchy问题的经典解。由于式（14）的求解依赖于v（t，x）的具体形式，无法给出一般形式的解。 若取v（t，x）＝t－x，则对初始时刻处于位置 a 的蚂蚁来说，方程（14）的特征方程为式（15），解得其特征线为x（t）＝t－1＋（a－1）e－t。 对式（15）积分，并将结果代入特征线方程，可得如式（16）所示的解。

 

3.3 非线性情形

满足这一条件的最简单的函数是式（10）。

根据蚂蚁行进的实际状况，求解具有如式（17）所示的初值的Cauchy问题。

 

守恒律方程组是双曲型的，如果矩阵A有m个实的特征值 λ1（u），λ2（u），…，λm（u），且有一个由 m个线性无关的左（右）特征向量构成的完备特征向量系。 对于每一个特征值 λi（u）（i=1，2，…，m），其决定了一个特征方向，而每个特征方向所确定的一族曲线称为第i类特征线，如式（5）所示。

2004年曼彻斯特大学Z. Wu和M. Isa通过实验实测发现微波探头的回波能量与固体质量之间存在近似的线性关系[6]，为利用微波传感器检测质量流量提供了方法和思路。另外，根据微波的多普勒效应，回波的频率变化与被检测目标的速度成线性关系，测得回波的频率就可以算出被检测目标的速度。因此，通过测量排砂管中微波回波的多普勒频率可以得到管道中岩屑颗粒的运动速度，测量回波的功率可以得到颗粒的浓度，从而可以求出管道中固体颗粒的质量流量，换而言之，回波的频率和功率是测量排砂管中岩屑质量流量的关键参数。

 

现有研究表明［6］，若 u′0（x）≥0，ut+uux=0 一定存在整体经典解；若存在某些 x0使得 u′（x0）<0， 其解一定会发生破裂。经典解的生命区间上限为Tmax=

4 结语

沿着每一条特征线 （任何两条特征线都是平行的），常速度的解恒为常数，而且是一个向右传播的行波解。这表明，行进路线上的蚂蚁流均以v0速度向右平移，其疏密程度不随时间t的变化而变化。从线性变速度情况的求解过程来看，任何不同的两条特征线都不会相交，而且也不是平行的，行进路线上蚂蚁流的密度曲线的波形虽然会发生变化，但总是光滑的，不会出现解的破裂。而对于非线性情形，如果行进的路线上突然出现障碍或者行进的蚂蚁流出现扰动，则前面蚂蚁的速度会马上降下来，而后面路线上的蚂蚁如果还按照原来的速度前进，则会出现“撞车”现象，也就是解发生破裂。从数学角度分析，经典解依赖于a的取值，如性双曲型方程的古典解只能在局部范围内存在。

精神分裂症主要表现为大脑功能和精神活动方面异常[1]。临床发病后会引起思维、感知觉、意志、情感、行为等多方面的障碍，以及不同程度的精神活动不协调，但患者智能基本正常，且一般意识清楚[2]。心理支持联合抗精神病药物治疗是治疗精神分裂症的主要措施，可有效控制病情发展，但存在大量病例出现停药后病情复发的报道[3]。孕产妇是精神分裂症中极为特殊的患者群体，难以持续用药治疗，因而妊娠合并精神分裂症孕产妇围生期存在较高的护理需求[4]。本研究分析希望理论配合心理支持在妊娠合并精神分裂症孕产妇围生期中的应用效果，为妊娠合并精神分裂症治疗及病情控制提供指导。现将结果报道如下。

2项研究[16,20]报道了中药冷热交替浸泡治疗脑卒中后肩手综合征的VAS评分结果。受干预频次不同影响，2项研究间存在较大异质性，且考虑到2项研究数量较少，故只对该指标进行描述性分析，2项研究均表明试验组VAS评分低于对照组，差异有统计学意义(P<0.05)。

通过对“蚂蚁搬家”这一常见的生物趋化运动的研究，推导出描述其密度流变化情况的模型。本文仅讨论了齐次方程的情形，对于非齐次的情形，还需进一步研究。事实上，该模型还可以描述公路上的车流变化、一维河道流体的运动、污染物的扩散，以及空气动力学、非线性弹性力学和社会学中的一些模型，其形式简洁，极为贴切地描述了一维守恒的形式，是一种较好的工程模型。

参考文献：

［1］ Helge H， Nils Henrik R.Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws［M］.Springer，2002：23－62.

当电线暗配管、电缆穿越防护密闭隔墙或密闭隔墙时，应在墙两侧设置密闭盒，且盒内不得有接线头。该盒穿线后应密封，并采用厚3 mm钢板制作的盖板。

［2］ 姜礼尚，孔德兴，陈志浩.应用偏微分方程讲义［M］.北京：高等教育出版社，2008：135－189.

［3］ 姜启源.数学模型［M］.2 版.北京：高等教育出版社，1993：110－184.

［4］ 姜礼尚.数学物理方程讲义［M］.2版.北京：高等教育出版社，1996：33－59.

［5］ 刘法贵.一维可压流体动力学方程组整体经典解［M］.郑州：黄河水利出版社，2005：16－49.