基于拉普拉斯先验算法的多维度频谱感知*

1 引 言

传统的认知无线电在进行频谱感知时，需要将时隙划分为感知时隙和发送时隙，只有当感知时隙判决确定没有主用户时，才在发送时隙进行数据传输，这样的模型称为LBT(Listen-before-Talk)模型。近年来，同时同频全双工技术日渐成熟，使得在同一频率同一时刻的双向通信成为现实[1-2]。2015年Liao等人[3]对全双工认知无线电进行了系统地阐述，使其具备了完善的理论与应用前景。目前被广泛认可的全双工认知无线电模型是LAT(Listen-and-Talk)模型，即次用户具备同时传输和感知的能力。文献[4]推导了LAT模型下的系统检测概率和虚警概率，并且得出了LAT模型在频谱感知性能上明显不如LBT模型的结论，原因在于能量感知的方法不能分辨主、次用户的信号。

文献[5]提出了全局功率谱模型，该模型结合了虚拟网络图和基扩展模型，可以获得当前工作用户的地理位置、发射功率、使用频段，并且利用分层贝叶斯的方法进行求解，实现了LBT模型下的多维度感知。文献[6]在文献[5]的基础上利用变分贝叶斯的方法求解全局功率谱模型，通过最小化KL散度求得系数矩阵的后验近似值，拥有不易受较小局部最优值影响的优点。然而文献[5-6]都只能在同一频段上感知一个用户(主用户)的多维信息，并且算法计算量较大。

本文将全局功率谱模型应用于在全双工认知无线电LAT模型，实现了在同一频段上对主、次用户的多维度感知，并且利用拉普拉斯近似的先验函数求解全局功率谱模型中包含多维度信息的系数矩阵。仿真实验验证，该方法具有比文献[5-6]更小的计算量和更准确的计算结果。

这场虚拟的晚餐极大地刺激了高潮的味蕾，他胃口大开，吃得肠满肚圆。高潮把最后的一枚花生米送进嘴里后，打了一个饱嗝，问“诗的妾”：老婆，你那边吃的什么？

2 问题建模

全双工认知无线电网络由一个主用户(PrimaryUser,PU)、多个次用户(Secondary User,SU)组成，每个次用户配置有两根天线，分别用作数据的收发，次用户均具备自干扰消除的能力。在某一频段上，主用户随机出现。主用户工作时，所有次用户进行频谱感知，感知方式采取能量检测。主用户退出该频段后，多个次用户竞争出1个工作次用户(假设为SU1)，其余次用户SUi(i≠1)为感知次用户继续进行协作式频谱感知。同时，次用户SU1也对该频段进行实时感知，并利用自干扰消除技术消除自干扰的影响。一旦判断主用户出现，SU1立即停止数据发送。

L=lg p(Ξ,γ,β,λ)=

ri(t)= 。

(1)

式中：ξ、η∈{0,1}表示当前系统PU和SU1的工作状态(0表示不工作、1表示有数据传输)；hpi(τ1;t)表示在t时刻由PU到SUi的第τ1条传输路径的信道冲激响应，p(t-τ1)表示对应路径的PU信号；hsi(τ2;t)表示在t时刻由SU1到SUi的第τ2条传输路径的信道冲激响应，s(t-τ2)表示对应路径的SU1信号；Lpi和Lsi表示PU和SU1到SUi的传输路径数；ni(t)表示方差为的零均值加性高斯白噪声。

假设信道冲激响应hpi(τ1;t)和hsi(τ2;t)均是平稳、不相关的[5]。令Hpi(τ1;n)和Hsi(τ2;n)为hpi(τ1;t)和hsi(τ2;t)的傅里叶变换，表示信道的频率响应。假设信号p(t-τ1)和s(t-τ2)都是平稳的，则SUi接收信号的自相关函数Ri(m)可以表示为

大学生创业基地的发展要重视与资本市场进行对接，才能让有市场前景的大学生创业项目得到成长和持续发展，这些大学生创业项目的成功将会促进其他学生创业意向的提升，对大学生创业发挥引领和示范作用，这也是大学生创业教育环节中一个重要环节。然而与资本市场的对接在大部分湖北省属高校的创业教育中并没有得到充分体现，这种情况希望能够引起学校的重视，学校可以主动与各种风险投资公司进行接触，双方可以建立起常态化的联系。

Ri(m)=

对利率红线的划定实则对这四部分都产生了规范作用，加之由于中国征信环境的不够成熟，促使平台今后必须选择规范与审慎经营。

(2)

式中：Rp(m)为p(t-τ1)的自相关函数。由信道的平稳性和非相关性假设可得

则SUi接收信号的功率谱可以表示为

(3)

式中：αpi和αsi为信道增益。

当res.data.resultCode返回的为-9999的时候，代表请求资源失败，res.data.object.resultCode返回的为-9999的时候，代表业务处理失败，即‘用户名或密码错误’，否则代表业务处理成功。

律师解答：遗嘱是遗嘱人对自己的财产或其他事项所作的处理，最好由遗嘱人自己完成。但是，遗嘱人不识字或不能书写，可以委托他人代写遗嘱。代书遗嘱是指遗嘱人口头叙述遗嘱内容，经由他人代为书写而制作的遗嘱。由于代书遗嘱经常适用于遗嘱人无书写遗嘱能力的情况，因此法律对代书遗嘱的规定较为严格。《继承法》第17条规定：“代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一个代书，注明年、月、日，并由代书人、其他见证人和遗嘱人签名。”

式中：d0和a为预选常数。

进一步，利用基扩展模型[7]可以近似地将主、次用户信号的功率谱形式表达为矩阵形式。频域内，假设系统带宽为B，由Nb个不重叠的矩形函数bn(f)构成，可以将公式(3)写为

由于公式(7)中假设误差函数ε服从高斯分布，所以接收向量Ξ同样服从高斯分布，其PDF为

(4)

式中：表示PU在带宽内第n个矩形函数bn(f)上的功率，表示SU1在带宽内第n个矩形函数bn(f)上的功率系数向量θ′代表了PU和SU1在对应频段上的信号功率；Φ′T(f)=[b1(f),b2(f),…,bNb(f)]。

由于基扩展模型本身只能求得信号的近似功率谱，所以式(4)与接收信号的功率谱之间存在误差ei(f)[8],并假设误差为加性高斯白噪声，ei(f)服从N(0,β-1)。

由公式(4)，可以得到感知用户SUi的本地功率谱模型：

(5)

式中：Ψi表示由功率谱估计值组成的Nc×1维的向量;1表示同维度的全1向量;i=1,2,…,N。

利用已有SBL的理论，θ的均值m(θ)和协方差矩阵Σθ可以表示为[10]

协作感知中，数据融合中心(Data Fusion Center,DFC)将所有感知用户的接收功率谱估计值和其位置信息进行融合，构建全局功率谱模型，如公式(6)所示：

Ψ=Φθ+Kσ+ε 。

(6)

式中：⊗1，σ=[σ1,σ2,…,σN]T。假设SUi可以估计出本地的噪声功率则可以修正本地功率谱估计并发送给DFC，则全局功率谱模型可简化为[6]

Ξ=Φθ+ε。

(7)

在全局功率谱模型中，已知的信息只有各感知用户的位置及其接收信号的功率谱信息。下面的工作是通过这些信息的融合将当前用户的位置、信号频段及发射功率求出。

3 算法步骤

由于LAT型认知无线电同时使用频段的用户最多为两个(这时PU和SU1同时使用造成了数据冲突)，所以理论上，在排除干扰后θ的非零元素小于等于2，这保证了θ具有稀疏性。

在认知无线电体系中，由于主、次用户是非协作式的关系，难以通过训练的方式获得信道增益，本文采用通信信号近地传播衰减代替未知的信道增益，即信号功率随着传输距离增加呈次方衰减，公式表示为

公式(19)中，

Pi(f)= 。

p(Ξ|θ,β)=N(Ξ|Φθ,β-1)，

(8)

β的共轭先验服从伽马分布[6]，其PDF为

p(β|aβ,bβ)=Γ(β|aβ,bβ) 。

(9)

式中：a、b为超参数，且伽马分布定义为

(10)

假设θ的先验概率密度服从拉普拉斯先验：

(11)

由于拉氏先验在贝叶斯分析中不易处理，并且与公式(8)不是共轭关系，文献[12]利用了分层贝叶斯的方法，通过中间变量γ将θ的第一层先验PDF表示为

(12)

式中：γ=(γ1,γ2,…,γN)。第二层贝叶斯为

(13)

公式(13)为拉普拉斯先验函数。由公式(12)、(13)可得θ的先验PDF表示如下：

p(θ|λ)= 。

(14)

为了保证λ有足够的取值范围，建立第三层贝叶斯推断[13]：

p(λ|ν)=Γ(λ|ν/2,ν/2)。

(15)

式中：ν为超参数。至此，θ的先验函数既利用了拉普拉斯先验又与公式(8)保持共轭，且便于后续处理。下面建立超参数为γ、λ、ν的学习规则。

由于在实际通信场景中，主用户的实际位置是未知的，全局功率谱模型的实质是利用虚拟网格图模型[9]，将所有可能的位置都纳入模型进行计算，通过不同位置产生信号的功率衰减分析主用户最有可能出现的位置。因此，需要将θ′进行扩充。扩充规则如下：将θ′中的每个元素都扩充为一个Ns×1的向量，即将扩充为令中的非零元即对应非零元的位置表示该用户对应的地理位置，则此时θ的维度为NsNb×1。对应地，也需要进行扩充，其规则为⊗1Ns×1，⊗表示Kronecker积，1Ns×1为维度为Ns×1的全1向量，此时Φi的维度为NNc×NsNb。

乡土营造在流传变迁中，以传播学的视角看，主要依托两种传播媒介：语言媒介和文本媒介。语言性媒介，一方面是依托语言体系，根据不同语系所代表的匠师群体进行营造活动传播；另一方面是口头传教，师徒教学的方式是传播者与受传者之间的主要传承方式。同时包含了重要的工匠语言传承（口诀、称谓等）。匠人之间使用的不同称谓系统或者南北共识的营造术语，有时也可作为营造源流的辨识依据。而通过移民、商旅、战争、宗教等人类活动的人员变迁是各地之间营造传播的重要通道。文本性媒介则包括广为人知的《营造法式》、《营造法原》、《鲁班营造正式》等典籍传播，但具体的影响范围、程度及方式等需另做讨论。

m(θ)=ΣθβΦTΞ，

(16)

Σθ=(βΦTΦ+Λ)-1。

(17)

公式(17)中，Λ=diag(1/γi)。

由此，联合概率密度可以进一步求得

p(Ξ,γ,β,λ)= 。

(18)

由于对数函数不改变函数的单调性、连续性、并且有便于处理的特点，对公式(18)取对数函数，并带入公式(8)、(9)、(12)、(13)、(15)可得

假设某频段上，LAT系统由1个主用户、N个次用户构成，SUi对应的地理位置为Di，i=1,2,…,N，则第i个SU(i≠1)接收到的信号如公式(1)所示：

(aβ-1)lg β-bββ 。

(19)

目前已有的求解如公式(7)所示的数学模型的方法有基于EM算法的稀疏贝叶斯学习(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法[10]和基于变分贝叶斯推断的SBL方法[6]。本文利用拉普拉斯先验的方法对模型进行求解。该方法是将拉普拉斯近似的概率密度函数(Probability Density Function,PDF)代替未知参数的先验PDF，并利用贝叶斯分层的方法建立超参数的学习规则，通过迭代达到收敛条件，从而求出未知参数θ的最大后验概率。文献[11]证明了拉普拉斯近似具有提升结果稀疏度的优势。

本研究选取微波消解法和电感耦合等离子体发射光谱法（ICP-OES）相结合的方式检测面制食品中的铝含量，并对样本进行了实验前有效处理，确保仪器保持正常运行，检测值确定为O．027μg/ml，偏差控制在1.59%以内，加标回收率的计算值处于92.4%－104.6%之间。最终证实此方法具有检出限低、操作方便简单、测定精度高等优点。所以，可以在面制食品铝含量的测定中运用这一方法。

C=β-1I+ΦΛ-1ΦT=

，

(20)

(21)

令可推导出函数L取极大值的条件，即为超参数的学习规则[12]，具体如下：

通过界面和视频对区域管理范围内排涝泵站的水泵机组、水闸、配电系统及其他泵站运行重要部位与关键对象、参数进行有效监视、监测与控制，并把必要数据、图像、指令进行上传、接收和管理，可以实时监测了解排涝泵站机组工作状况及运行参数，也可根据授权实现远程和本地启动或停机控制。

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

公式(26)中，(Σθ)ii表示Σθ中对角线上的第i个元素。由此得出了拉普拉斯先验算法，流程图如图1所示。

图1 拉普拉斯先验算法流程图 Fig.1 The flow chart of Laplace prior algorithm

4 仿真结果及分析

本文利用Matlab软件仿真了全双工认知无线电LAT模型的通信场景。为了对比文献[6]所提的变分贝叶斯推断的算法，本文仿真参数与文献[6]相同：假设认知网络的参考系统是一个由5×5个点构成的正方形，即认知网络中有Ns=25个候选位置；假设主用户位置坐标为(2，2)，工作次用户SU1位置坐标为(3，5)，两者同时在同一频率上工作，此时造成了数据冲突；同时，存在N=4个感知用户，其位置坐标分别为(1，1)、(2，5)、(4，2)、(5，4)，仿真需要验证拉普拉斯先验算法能否在同一频率上正确求解出两个用户的地理位置和发射功率。

仿真所用的路径损耗相关参数为d0=10 m，a=4，而参考系统单位坐标代表的实际距离为20 m。由该仿真条件可知，模型系数向量θ中有Ns=25个元素，但是非零元素至多只有2个。用户坐标与θ中的元素一一对应，坐标(x,y)对应于θ中的第k个元素，k=5×(x-1)+(y-1)，由此PU的位置为θ(7)，大小等于PU的发射功率5 W，即θ(7)≈5；SU1的位置为θ(15)，大小为3 W，即θ(15)≈3。θ的真值中仅有这两个非零元，本文仿真通过考察对系数向量θ的估计精确度来验证算法对主、次用户位置及发射功率的感知能力。

为探寻提高杂质铅脱除较为合理、有效的工艺控制条件和解决办法，首先对闪速吹炼工艺中铅的分布进行了系统分析。中原冶炼厂铜闪速吹炼过程杂质铅的走向与分布见表2。

4.1 拉普拉斯先验算法的有效性

图2是利用拉普拉斯先验算法求解系数向量的结果与真实值θ的对比。从图2中可以看出，真实值除了第7和第15个位置有值，分别为5 W和3 W，其余位置均为0；通过拉普拉斯先验算法求解出的系数向量，在第7和第15个位置有较大值，约为5.1 W和3.5 W，其余位置存在较小的非零值，且最大不超过0.3 W。该仿真验证了拉普拉斯先验算法可以在同一频率上，正确地求解出PU和SU1的地理位置，并且较为准确地估计出了两者的发射功率，同时各个位置上的虚假功率均保持在较低水平，不会给主、次用户的判断带来困难。

为构建职工的文化认同感，医院为职工提供专业技术与职业发展平台，一方面强化内部人员竞争机制，注重榜样激励作用，另一方面也落实职工关爱，对困难职工伸出热情之手，使各类人员无后顾之忧。通过一系列的医院文化制度建设，使员工充分认同了医院发展远景、价值观，以及发展内涵和建院精神，为医院在医疗技术、安全质量、工作效率、服务满意度等硬指标上，保持了持续创新活力。

综上所诉，在治疗急性脑梗塞中，应用阿司匹林与氯吡格雷联合治疗效果显著，其可以有效改善患者神经功能，提高治疗效果，促进患者痊愈，安全可靠，值得临床积极推广。

图2 算法有效性验证 Fig.2 Algorithm validity verification

图3直观地反映了当前空间中的频谱使用情况，给出了当前频段上所有地理位置上可能存在的信号的发射功率。从图3中可以看出，当前5×5的虚拟网格图代表了地理空间上25个可能存在用户的位置，在这25个位置上每个位置均存在或大或小的峰值，峰值的幅度代表了该位置可能存在的用户发出的信号功率。图3中有两个较大的峰值，分别是第2行第2列的位置处存在一个峰值为5 W的峰，和第3行第5列的位置处的功率为3.5 W的峰，前者代表该位置上存在主用户工作，对应于图2中第7个位置坐标上的5.1 W；后者代表该位置存在SU1工作，对应于图2中的第15个位置上的峰值；其余较小的峰值则可以认为是噪声。由图3可以验证，全局功率谱模型可以对同一频段上的两个信号进行感知，并且分别给出其多维信息。与传统频谱感知相比，该方法可以为通信网络提供了一种更为丰富的频谱。

图3 空间频谱使用情况 Fig.3 The 3D version of the spectrum use

4.2 拉普拉斯先验算法的收敛性及性能优势

图4所示为待估计向量随着迭代次数的变化趋势。该仿真是在系统信噪比为-1 dB时，且同样仿真参数下，运行了1 000次拉普拉斯先验算法和变分贝叶斯算法并求其平均的结果。拉普拉斯算法平均迭代42次可以收敛，此时系数向量估计值与真实值θ的欧式距离为小于0.01，而文献[6]中的变分贝叶斯算法平均需要48次迭代收敛，略慢于拉普拉斯先验算法。从图4中可以看出，两者在收敛速度上相近，拉普拉斯近似算法略快，但是不明显。另一方面，从拉普拉斯先验算法的变化趋势可以看出，待估计向量与真实值的欧式距离呈单调递减，而变分贝叶斯收敛过程中存在较小波动，可见拉普拉斯先验算法稳定性更好。

图4 算法估计性能曲线 Fig.4 The estimation performance of the algorithm

图5所示为总虚假功率随着迭代次数的变化趋势。虚假总功率为中除了第7和第15个元素以外的非零值的绝对值的和，从物理意义上解释为，通信网格图中除了PU和SU1以外其他位置可能存在用户，并且以一定功率进行数据传输。虚假功率是不可避免的[5-6]，无论何种算法只能使虚假功率尽可能小，越小的虚假功率说明对当前频谱状态估计得越准确。从图5中可以看出，当拉普拉斯先验算法在75次迭代之后，虚假总功率趋近于0，说明对θ的估计是很准确的，而变分贝叶斯算法的虚假功率在迭代过程中始终要大于拉普拉斯先验算法，这说明了拉普拉斯先验算法在准确性上的优势。该实验验证了拉普拉斯先验在稀疏贝叶斯学习中求解稀疏向量，有提升稀疏度的优势[11]。

图5 功率泄漏情况曲线 Fig.5 The curve of power leakage

4.3 拉普拉斯先验算法与变分贝叶斯推断算法的运行速度对比

本文仿真仪器为惠普笔记本，处理器为Intel Core I7-6700HQ CPU，主频2.60 GHz，内存8 GB，Windows10 64位操作系统，实验平台为Matlab R2014a软件。经过1 000次仿真平均，拉普拉斯先验算法在收敛时平均用时为0.005 1 s,变分贝叶斯算法的平均用时为0.006 9 s,由此可以验证拉普拉斯先验算法在运行速度上的优势。

5 结 论

本文将全局功率谱模型应用于全双工认知无线电LAT模型，并采用了拉普拉斯先验算法求解稀疏向量，实现了对当前频谱的多维度感知。仿真实验验证了该方法能够正确感知当前用户的地理位置、使用频段、发射功率。与前人工作相比，本文实现了同一频段上从对单用户感知到对多用户感知的突破，并且算法收敛速度更快，准确性更高。该方法部分解决了LAT模型的频谱感知问题，在未来研究中，需要进一步解决用户移动性带来的问题。

参考文献：

[1] EVERETT E,SAHAI A,SABHARWAL A.Passive self-interference suppression for full-duplex infrastructure nodes[J].IEEE Transactions on Wireless Communications,2013,13(2):680-694.

[2] DUARTE M,SABHARWAL A.Full-duplex wireless communications using off-the-shelf radios:feasibility and first results[C] //Proceedings of 2010 Conference Record of the Forty Fourth Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers(ASILOMAR).Pacific Grove,CA,USA:IEEE,2010:1558-1562.

[3] LIAO Y,SONG L,HAN Z,et al.Full duplex cognitive radio:a new design paradigm for enhancing spectrum usage[J].IEEE Communications Magazine,2015,53(5):138-145.

[4] LIAO Y,WANG T,SONG L,et al.Listen-and-talk:full-duplex cognitive radio networks[C]//Proceedings of 2014 IEEE Global Communications Conference(GLOBECOM).Austin,TX,USA:IEEE,2014:3068-3073.

[5] LI F,XU Z B.Sparse bayesian hierarchical prior modeling based cooperative spectrum sensing in wideband cognitive radio networks[J].IEEE Signal Processing Lettes,2014,21(5):586-590.

[6] 吴名,宋铁成,胡静,等.基于变分贝叶斯推断的新型全局频谱协作感知算法[J].通信学报,2016,37(2):115-123.

WU Ming,SONG Tiecheng,HU Jing,et al.Novel cooperative global spectrum sensing algorithm based on variational Bayesian inference[J].Journal on Communications,2016,37(2):115-123.(in Chinese)

[7] GIANNAKIS G B,TEPEDELENLIOGLU C.Basis expansion models and diversity techniques for blind identification and equalization of time- varying channels[J].Proceedings of the IEEE,1998,86(10):1969-1986.

[8] STOICA P,MOSES R.Spectral analysis of signals[M].Upper Saddle River,NJ,USA:Prentice-Hall,2005.

[9] BAZERQUE J A,GIANNAKIS G B.Distributed spectrum sensing for cognitive radios by exploiting sparsity[C]//Proceedings of 2008 42nd Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers.Pacific Grove,CA,USA:IEEE,2008:1588-1592.

[10] TIPPING M E.Sparse Bayesian learning and the relevance vector machine[J].Journal of Machine Learning Research,2001,1(3):211-244.

[11] SEEGER M W,NICKISCH H.Compressed sensing and Bayesian experimental design[C]//Proceedings of the 25th International Conference on Machine Learning.Helsinki,Finland:ACM,2008:912-919.

[12] BABACAN S D,MOLINA R,KATSAGGELOS A K.Bayesian compressive sensing using Laplace priors[J].IEEE Transactions on Image Processing,2009,19(1):53-63.

[13] FIGUEIREDO M A T.Adaptive sparseness for supervised learning[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,2003,25(9):1150-1159.