概括平差模型及保形性条件下的单位权方差最小值计算

0 引言

很多文献论证了经典平差各种模型的内在联系和互相转换,并提出了不同的概括平差模型,如於宗俦教授提出的附有限制条件的条件平差模型[1]、王新洲教授提出的附有限制条件的间接平差模型[2]、欧阳文森,朱建军提出的附不等式约束条件的条件平差模型[3],等等。但是,上述概括平差模型中条件方程均以必要起算数据为依据建立的,而必要起算数据和建立限制条件方程的数据共同决定了平差问题的基准,因此,上述概括平差模型很容易混淆控制网中的两类不同性质的数据:观测数据和起算数据,而观测数据决定了控制网的形状,起算数据决定了控制网的定位或基准[4]。所以,从控制网中的两类数据入手来建立平差模型可以更好地理解控制网的内部噪声和参考系效应[5]。

王穗辉,刘大杰在这方面做了有益的研究,在控制网平差模型中区分了观测数据和基准数据,分别以观测数据建立误差方程,以基准数据构成基准方程,但是,在解算附合网平差模型时,将基准方程分解为基准方程和非基准约束条件方程[6]。事实上,非基准约束条件方程也是利用已知数据建立的,也是基准数据,因而,文献中的基准方程和非基准约束条件方程可以合并为基准方程。王穗辉区分了观测数据和基准数据,并建立了误差方程和基准方程,但是,作者的基准方程仍然限定在独立网,即仅有必要个已知数据[7],显然,基准方程也适用于附合网的情形,且更具有一般性。本文将以上述研究为基础,将基准方程扩展到一般情形,即已知数据多于必要起算数据的附合网,给出方程的解算方法,并从秩亏自由网“保形性”的情况出发,推导出了附合网仍具有“保形性”的特殊情形,且其具有最小单位权方差的性质,并应用于附合网基准点兼容性判断,例题证明了该方法简单可行。

1 概括平差模型

对任意控制网,将网中所有点(包括已知点和未知点)的坐标(或高程)视为参数,则按照观测数据和基准数据分别建立误差方程和基准方程:

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(1)

(2)

式中,R(A)=t<u,秩亏数为基准矩阵,和表示矩阵A的秩,N=ATPA表示法方程的系数。

由误差方程可得相应的法方程:

(3)

式中,N=ATPA,w=ATPl,R(N)=t<u,此法方程没有唯一解,此时的控制网为秩亏自由网。解算秩亏自由网有不同的方法,如伪逆法、拟稳法、附加条件法等[8],但是,这些方法都具有“保形性“,即保证控制网的网形不变。

An Ecological Interpretation of Spatial Shift inPilgrim at Tinker Creek Zhao Xuefei

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如果基准方程的个数s不少于秩亏数d,即s≥d,则平差模型中已知数据就提供了控制网的基准数据,方程有唯一的解。按最小二乘原理,由

(4)

得基础方程

(5)

(6)

将公式(5)左乘得

(7)

由AG=0,NG=0,可得由所以K=0。将公式(6)左乘Gk后与(5)式相加,顾及K=0,有

(8)

即

(9)

参数的协因数

(10)

说明了控制网的最小单位权方差存在,且在满足“保形性”条件下存在,该值仅由控制网的观测值和观测值的个数确定,可以作为测量平差的限差的基准值。

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(11)

讨论:

(1)由K=0,分析公式(5)也满足公式(3),说明了存在不同的基准矩阵使得平差模型具有和秩亏网相同的法方程,由最小二乘原理VTPV=min解的改正数是唯一的,所以控制网仍具有“保形性”的特点。

(1)计算残差二次型VTPV。

(3)基准的可靠性检验

从表2可以看出，元旦社论的交际目的是多项的，而不是单一的。元旦社论中每一语步并不是都全部出现，语步3、语步4和语步5是最重要的语步，没有缺失。其次是语步1，只有2002年有缺失。语步2缺失最多，共25年有缺失。

(12)

单位权方差

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2 附合网平差基准点兼容性判断

表1 数据分析

原始观测值D点X、Y加20mm粗差起算点组合单位权中误差/mm单位权中误差/mm任意两点0.820.82A、B、C、D1.051.41A、B、C1.081.08A、B、D0.951.54A、C、D1.060.88B、C、D0.841.10

图1 测角网

取限差为

(2)解算秩亏自由网的不同方法,其实质是配置了不同的必要起算数据,所以,不影响改正数V的计算结果,可以采用经典自由网平差的方法求解V,即选取数目等于必要起算数据数的某些固定点作为参考基准,基准方程的个数等于秩亏数。在经典自由网平差时,选取不同的基准方程不会改变平差的改正数和单位权中误差。

(20-8)=8.0688

在“保形性”的情况下,满足最小二乘原理的VTPV=min解是唯一的。所以,不妨选取必要观测值来求解,即取基准方程个数s=d,计算未知参数和改正数V,可得

(2)计算最小单位权中误差

如图1.A、B、C、D为已知点的测角网,观测值的个数为20,待定点为E、F点。表1为原始观测值和对D点X、Y坐标添加20 mm粗差的单位权中误差的计算结果步骤:

(3)当基准方程的个数大于秩亏数,控制网为附合网时,仍存在“保形性”的情况,此时,改正数V和经典自由网的改正数的解算结果相同,单位权方差是最小单位权方差[9,10]。特别的,在基准方程的个数等于未知参数的个数时,最小单位权方差

计算基准条件下的验后单位权中误差,超过限差则基准的可靠性较差。

0Cr18Ni9不锈钢作为一种高韧性金属材料，在断裂拉伸过程中，载荷-位移曲线不会出现突然的不连续性。根据GB/T 21143-2014对直通型紧凑拉伸试样的定义，J积分可按照公式(2)计算，如图9(a)所示，在实际起裂时刻(起裂载荷FC)计算的J积分值就是材料实际起裂的断裂韧度。

选取所有的基准点A、B、C、D,计算的单位权中误差在限差范围,说明基准点间的兼容性好。D点X、Y加20mm粗差时,A、B、C、D点验后单位权中误差超限,四点不可同时作为基准点,基准点间的兼容性差。

本文分别测试了CLIQUE算法、文献[10]中的GP-CLIQUE算法和本文算法对不同大小、不同形状的二维数据进行聚类的聚类效果。使用二维数据进行实验可以更直观的看到聚类结果，也便于比较不同算法的聚类效果。图4为使用三种算法对同一个数据集进行聚类的效果对比图。

(4)基准点兼容性判断

减少基准点的个数为3个时,A、B、D组合时的兼容性较差,A、B、C,A、C、D,B、C、D组合时的兼容性较好,A、C、D组合时的单位权中误差0.88mm和仅有必要起算数据时的单位权中误差0.82mm最接近,为基准点兼容性最好的组合。

3 结束语

将测量平差模型统一为误差方程和基准方程,有利于区分控制网中的观测数据和起算数据两类不同性质的数据,可以更好地理解控制网的内部噪声和参考系效应。

基准方程对于观测方程而言,其实质是附加的等式约束,一般地,增加等式约束可以提高平差系统的精度,论文推导了该精度提高到的极限值和达到该极限值应满足的条件,即“保形性”条件。

附合网在“保形性”的情况下,验后单位权中误差最小值总是存在。特别的,所有参数作为基准条件时,其最小单位权方差存在,可以作为平差问题的限差的基准值。应用于附合网基准点兼容性判断,方法简单直观。

参考文献

[1] 於宗俦,于正林.测量平差原理[M].湖北武汉:武汉测绘科技大学出版社,1990.

[2] 王新洲.论经典测量平差模型的内在联系[J].测绘通报,2004(2):1-4.

[3] 欧阳文森,朱建军.经典平差模型的扩展[J].测绘学报,2009,38(1):12-15.

[4] 刘根友,郝晓光,柳林涛.参数约束平差法[J].大地测量与地球动力学,2006,26(4):5-9.

[5] 张西光.地球参考框架的理论与方法[D].河南郑州:中国人民解放军信息工程大学,2009.

[6] 王穗辉,刘大杰.附合网平差的基准与起始数据误差的影响[J].大地测量学与地球动力学,2004,24(3):19-23.

[7] 王穗辉.顾及起算数据误差的附加基准平差[J].大地测量与地球动力学,2005,15(1):72-75.

[8] 陶本藻.自由网平差与变形分析[M].湖北武汉:武汉测绘科技大学出版社,2001.

[9] 谢波,汪荃.等式约束的效率分析与方差一致性检验[J].北京测绘,2014(3):7-10.

[10] 谢波.附等式约束线性模型的验后单位权中误差最小值的估算及其应用[J].城市勘测,2014(3):132-134.