带有执行器约束条件的模糊自适应反步控制

0 引言

由于高超声速飞行器速度快、突防能力强，一直以来就是各国研究的重点，但是由于它强非线性、强耦合的特点，使得研究起来存在较大的困难。文献[1]针对当今高超声速飞行器的研究及发展现状，从多方面分析了这一课题的难点以及未来的发展趋势。文献[2]提出了一种基于径向基函数(Radial Basis Function, RBF)神经网络调参的滑膜变结构控制器，以此在保证飞行器稳定性与鲁棒性的同时，克服执行机构的抖振问题。文献[3]提出了一种基于间隙度量的大包线滞后切换线性变参数(Linear Parameter Varying，LPV)控制方法，并在此方法上设计LPV控制器，从而改善控制器的控制性能和鲁棒性能。文献[4]设计了高超声速飞行器改进自抗扰跟踪控制器，将系统内耦合项当作扰动处理，并进行解耦，最终证实控制性能明显优于经典自抗扰控制器，但是所设计的控制器具有局限性，对条件要求较严格。文献[5]研究了高超声速飞行器的纵向控制问题和倾斜转弯控制问题，设计了基于反步法的全局积分滑膜解耦控制方法。上述文章主要针对控制器的鲁棒性进行了深入而广泛的研究，但是没有考虑舵的动态特性。文献[6]中对研究舵的动态特性的必要性进行了阐述以及理论分析。

本文通过分析高超声速飞行器纵向模型的特点，为了便于研究，基于合理假设，对模型进行了适当的简化，使其转化为严反馈的形式。然后采用动态逆的方法设计速度控制器对速度指令进行跟踪。在考虑舵的动态特性的情况下，结合指令滤波器采用Backstepping的控制方法，对高度指令进行跟踪。并且在设计的控制器中，采用模糊自适应的方法在线辨识模型中含有不确定性参数的函数。最后通过Lyapunov理论验证所设计控制器的稳定性并通过仿真实验进行仿真，仿真说明设计的控制算法在速度与高度控制中具有较好的跟踪性与较强鲁棒性。

1 高超声速飞行器的模型及其严反馈形式

1.1 高超声速飞行器的纵向模型

本文只考虑其纵向模型的控制设计，高超声速飞行器在地面惯性坐标系下的纵向平面的运动方程如下：

(1)

式中：V、γ、h、α、q分别表示飞行器的速度、航迹倾角、高度、攻角和俯仰角速度；T、D、L和Myy分别表示推力、阻力、升力和俯仰转动力矩；m、Iyy、S、μ和Re分别表示飞行器的质量、俯仰转动惯量、参考气动面积、重力常数和地球半径；和ce为常数，控制量为舵偏角δe和油门开度β。发动机动态模型为

将网络直播与传统的媒体相比，最突出的特点就是互动性。利用电视机观看电视新闻直播、比赛直播等，信息的传递只是单向的，很难进行双方的互动与交流，而现在可以利用网络直播，达到双方沟通交流的效果，让用户真真切切的参与到这件事情中去，参与感和代入感都要比其他的传播渠道要强[1]。

(2)

式中,βc为控制器的输出控制指令。

1.2 高超声速飞行器的严反馈形式

参考文献中的假设条件，得到高超声速飞行器的严反馈形式， 定义x=[x1,x2,x3,x4]T，x1=h，x2=γ，x3=α+γ，x4=q，u=δe，高超声速飞行器纵向运动方程可改写为严反馈形式：

(3)

计划生育政策不再是行政权力意志的表现，而是社会多元利益的表现。 因为，实行力是多元的，不是一元的，它是由自行履行力、强制力等多个力集合而成，它好比是一个巨大的战场，各种力在其中角逐，实现此消彼长的动态平衡，最终实现均衡。 一言以蔽之，法治中国的计划生育政策实行模式是以“实行力”为中心要素，立足于服务理念，是以往计划生育政策的行政强制力的继承和完善。

这里包含的控制变量有人口总量，实际GDP总量，人均实际GDP和贸易量。需要注意的是，由于金融发展水平的内生性，我们不排除经济增长对金融发展的潜在反馈机制，同时已有文献提出通货膨胀与金融发展具有一定联系[17]，所以经济增长率(GDP growth)和通货膨胀(Inflation)也作为控制变量加入模型。

f1=0,g1=V

f3=0,g3=1

2 控制器设计

2.1 Backstepping高度控制

式中，变量ξ3由式(21)给出

第一步：设计虚拟控制信号x2d。

考虑模型纵向严反馈系统的第1个子系统

(4)

设高度指令为yd，为了使指令变化平缓，使高度指令通过一阶滤波器滤波，得到yc，即：其中，s为拉普拉斯算子，t为常数；同时定义跟踪状态误差z1=x1-yc，将x2看作虚拟控制输入。将第一个子系统引入Butterworth低通滤波器，则式(4)变为

(5)

式中，x2f为避免代数环问题而经过的Butterworth低通滤波器而产生的滤波值，下文中的x3f、x4f以及uf均为滤波值，设计虚拟控制信号

(6)

其中，k1为正的系统设计参数，为了在后续的设计过程中，使控制信号满足受限的要求，定义扩展跟踪误差状态变量z11，设

z11=z1-ξ1

(7)

式中，变量ξ1由式(8)给出

(8)

式中，变量ξ2与x2c将在下一步的设计中给出。

设受限状态的输入为xd，则其二阶非线性指令滤波器的输出xc和为

(9)

式中，xc和分别为原始的虚拟控制信号xd的滤波器输出及其导数，q1和q2为中间变量，且q1(0)=q2(0)，ξ为系统阻尼比，ωn为系统的自然频率，SR(·)和SM(·)分别为速率限制和幅值限制函数，可描述为如下形式：

(10)

另外，值得注意的是，当虚拟控制量也就是指令滤波器的输入xd有界时，滤波器的输出xc和有界且连续。而且上述计算的过程不需要进行微分运算，因此在虚拟控制量设计的过程中，不会引起传统设计过程中的微分爆炸问题。

将上述设计的虚拟控制量x2d通过滤波器，不但能够得到x2c和避免传统Backstepping在虚拟控制变量反复求导而引起的微分爆炸，而且能够对滤波后虚拟控制量在速率和幅值上进行限制。

第三步：设计虚拟控制信号x4d。

1.1 “康复”及其引入 《残疾人机会均等标准规则》提出，康复旨在残疾人达到和保持生理、感官、智力、精神和(或)社交功能上的最佳水平，从而使他们借助于某种手段，改变其生活，增强自立能力，康复可包括提供和(或)恢复功能、补偿功能缺失或补偿功能限制的各种措施[2]。康复是帮助正在经历或可能经历残障的个体，在与环境相互作用时保持最佳功能状态的一系列措施[3]。在现代医学领域，康复主要是指身心功能、职业能力、社会活动参与能力的整体恢复,同时作为一种健康策略，其目的是促进人类在与环境的交互作用中不断促进其最佳适应状态[4]。

将631个鱼粉样本的粗灰分含量作图，得到图5。631个鱼粉样本的粗灰分含量11.41%～34.53%，平均值为（19.60±4.38）%。由图5可以发现鱼粉样本中粗灰分含量在20%左右、25%左右出现2个拐点。

式中：

考虑模型纵向严反馈的第2个子系统

(11)

定义跟踪误差z2=x2-x2c，由于式中含有未知函数，故建立如下所示的模糊系统

(12)

设虚拟控制信号

(13)

其中，k2为正的系统设计参数，θ1为模糊逻辑系统理想权值θ*1的估计值；为模糊系统逼近误差的估计值；定义估计误差同样，定义扩展跟踪误差状态变量z22，设

教育对真善美的道德价值追求使得教育价值具有超越性特征，体现了教育者对于受教育者的认知、审美和伦理三个主体精神的整合的发展和建构，这正是教育的真正价值之所在。教育作为文化的一个形态，其价值性突出地表现为道德性。这是因为教育不仅是作为道德的一个条件存在，而且可以说教育本身就是道德，“教育即道德”，或者说“德育即教育的道德目的”[3]30。某个角度来说，教育所表达的概念是一个道德概念，所指称的事实是一种道德实践，道德与教育有着天然的紧密关系。从中国古代道德教育基本上是教育的唯一目的，发展到今天道德普遍成为教育的最高目的，这些都说明了道德与教育的关系。

（4）灯泡正常发光时电流表的示数如图丙所示，其示数为________A，小灯泡的额定功率为_______W。

z22=z2-ξ2

(14)

式中，变量ξ2由式(15)给出

(15)

式中，变量ξ3与x3c将在下一步的设计中给出。

选择自由参数θ1和模糊系统逼近误差的自适应律如下：

(16)

(17)

式中为常数。

第二步:设计虚拟控制信号x3d。

考虑模型纵向严反馈系统的第3个子系统

严把质量关，争创一流食品企业；围绕质量安全，全力构建质量安全体系。汪记始终坚定不移地履行着自己的责任和承诺，诚信经营，寻求发展，依靠技术的不断创新，设备设施的更新升级，大踏步地向先进迈进。

(18)

定义跟踪误差z3=x3-x3c，同理，设计虚拟控制信号

(19)

其中，k3为正的系统设计参数，同理定义扩展跟踪误差状态变量z33，设

z33=z3-ξ3

(20)

下文将结合Backstepping法和二阶非线性指令滤波器对控制器进行设计：

(21)

式中，变量ξ4与x4c将在下一步的设计中给出。

第四步：设计虚拟控制信号uc。

通常电影叙事会与文学叙事相比较。电影由镜头组成，镜头就是媒介，对现实世界有最直观的表达。文学叙事以文字符号为媒介的，有着远较电影叙事的自由度。与同是表演性的戏剧叙事相比，电影因其镜头可以移动、切换、剪辑而具有了更为广阔自由的表现时空，此外电影还可以采用顺叙、倒叙、插叙等多种叙事结构进行叙事行为。因此，独特的叙事特点，是电影艺术构成的关键。也正是因如此，相关工作者对电影叙事的实践探索，一直贯穿在整个电影艺术发展史之中。

考虑模型纵向严反馈的第4个子系统

(22)

定义跟踪误差z4=x4-x4c，由于式中含有未知函数，所以设虚拟控制信号

除此以外，Weun从动机角度把冲动性购买行为分为加速器型冲动性购买(自我证实)、补偿型冲动购买(自我补偿)、突破型冲动购买(自我重新定义)与盲目型冲动购买(病态)。

(23)

其中，k4为正的系统设计参数，上一步中的ξ4由式(24)得出

(24)

同样地，定义扩展跟踪误差状态变量z44，设

z44=z4-ξ4

(25)

为了使控制器的执行机构满足动态特性，仍然将设计的虚拟控制信号ud通过指令滤波器得到满足实际要求的实际控制信号uc。

2.2 动态逆速度控制

将纵向平面运动方程的第一个式子改写为

(26)

式中，gv(x1，x2，V)>0。给定有界跟踪轨迹Vd，系统的动态逆控制律为

(27)

式中，zv=V-Vd。

对于未知非线性项采用模糊系统进行补偿，取Zv=[x1，x2，x3，V]，则模糊自适应控制器为

(28)

自适应律为

(29)

容易证明系统的跟踪误差与参数估计误差是一致终值有界的。

为了真正做到有效倾听，最需要克制的就是“过早质疑”。打断说者几乎总是“不好”的，要么不礼貌，要么不恰当。打断说者往往会浪费他人的时间、分散他人的注意力。

3 稳定性证明

上文中结合指令滤波器和模糊逻辑系统，设计了受限系统的自适应反步控制器，本节将对所设计的控制器的稳定性进行证明。

根据Young’s不等式以及假设5，可得

康复护理通过全程的心理干预，扭转患者的消极、负面情绪，提高患者的康复能动性及自我效能感，为康复训练奠定了坚固的思想基础；通过饮食干预与血糖监测，在积极控制血糖水平的同时促进患者搭建科学、合理的糖尿病饮食结构，为患者血糖的长期控制提供了方法与指导，促使患者以“五架马车”并行模式进行糖尿病的有效控制；通过专业的按摩手法，刺激患者患肢肢体感觉，加速局部血液循环，改善神经功能，根据患者具体病情及自理能力进行科学有效、循序渐进的康复运动，最大程度上恢复患者的肢体功能。

(30)

求导得

(31)

代入z11的动态特性

(32)

式中，ΔGi=(gi-1)(xi+1-xi+1f)，ΔG4=(g4-1)(u-uf)。

假设5：函数满足全局Lipschitz条件，即存在一系列的已知正整数mi，对于变量X1，X2∈Rn，使得如下所示的不等式成立

式中，表示向量的2-范数。

考虑Lyapunov函数如下

(33)

则

(34)

继续化简得

(35)

根据Young’s不等式和参数自适应律，可得：

(36)

(37)

则可得出

(38)

同理，根据其他变量的动态特性可得

坐标轴和溢洪道部分的计算面积如图1所示。对断面zy进行计算。上边界设为分段连续函数yn(z)。所有的边界表面均假定无应力作用。最为重要的是应力σz达到一定值后可能形成堤坝上最危险的裂缝，同时侧向冷却对σz值和冻胀压力也有一定影响。

(39)

令则

(40)

那么式(40)变换为

(41)

由上述Lyapunov稳定性理论可知，上述闭环系统状态及跟踪误差是闭环有界的。当选取合适的控制器参数时，系统跟踪误差收敛于零附近的一个很小的邻域内。

4 仿真分析

用Matlab软件对高超声速飞行器在初始高度110000ft，速度15马赫的巡航条件下的飞行情况进行仿真分析，控制的目标是飞行器在满足执行器(舵)的动态特性的条件下跟踪给定的高度指令和速度指令。系统状态以及执行器(舵)的动态特性如表1所示。

表1 系统状态以及执行器(舵)的动态特性

Tab.1 System status and actuator dynamics

变量符号幅值范围/(°)速率范围/[(°)/s]γ-1.5～+1.5—α+γ-3.5～+3.5—q-20～+20—δe-25～+25-120～+120

所设计的控制器的参数选择为：k1=5，k2=4，k3=2，k4=10，kv=0.01，ΓV=0.0005，Γ21=0.0005，Γ22=0.0005，Γ41=0.0005，Γ42=0.01。还需考虑系统参数的一些扰动[12]，可参考文献[11]。

系统跟踪高度指令hd=110200，速度指令Vd=15160。仿真图如图1～图5所示。

图1 速度跟踪曲线 Fig.1 Speed tracking curve

图1所示为速度跟踪曲线，图2所示为高度跟踪曲线，由仿真图可以看出，跟踪效果满足要求；图3所示为舵偏角变化，图5所示为舵偏角速率变化，从仿真图中可以看出，舵偏角在±18°范围内，小于表1中对舵偏角幅值的要求，并且从图5中还可以看出，舵偏角速率变化在±114°变化范围内，满足表1中对舵偏角速率变化要求。所以可以验证，所设计的控制器在满足舵的动态特性的前提下可以较好地跟踪速度和高度。

图2 高度跟踪曲线 Fig.2 Height tracking curve

图3 虚拟舵偏角变化 Fig.3 Virtual rudder deviation

图4 油门开度 Fig.4 Throttle opening

图5 舵偏角速率 Fig.5 Rate of rudder angle

5 结论

本文针对高超声速飞行器在存在外界干扰并考虑执行器(舵)动态特性的情况下，设计了基于动态逆的速度控制器和基于指令滤波器的Backstep-ping高度控制器。并且最后通过Matlab软件进行仿真，仿真结果表明所设计的控制器可以很好地跟踪速度与高度并满足执行器(舵)的动态特性。由于本文中使用了模糊系统在线逼近未知参数，辨识参数相对较多，以此在后续的研究中将结合其他方法降低计算量。

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