基于高斯伪谱法的吸气式高超声速飞行器爬升弹道优化研究

0 引言

在吸气式高超声速飞行器技术研究中，弹道设计[1]在飞行器设计中占有十分重要的地位，是使吸气式高超声速飞行器具有可行性和有效性的关键。与传统的飞行器不同，吸气式高超声速飞行器具有跨大空域、跨大速度范围的飞行包线、严酷的气动热环境、复杂的气动载荷、苛刻的发动机工作条件、严重气动耦合、大气参数依赖程度高与参数的剧烈变化等特点，使其弹道设计成为总体方案中的一个重要难点。因此，研究一种能够同时考虑多种约束条件，适应广泛不确定性的方案弹道设计方法，具有十分重要的意义。

课程是实现教育目的的途径和手段，对于课程目标的确立，首先要明确课程及其培养目标之间的联系，课程目标是课程设计和课程实施的标准和依据。现代课程理论之父泰勒提出了课程目标制定依据于三大信息来源：学习者、当代社会生活和学科发展的需求[5]。中国现当代文学作品精读课程是开放教育汉语言文学本科的一门专业拓展课，以中国现、当代文学中最具代表性的名篇为主要学习内容，其课程目标的确立也依据对以上三者的分析研究。

在工程应用中，传统的弹道设计方法是基于经验设计程序攻角，形成方案弹道。该方法在传统型号的研制中起着十分重要的作用，有着良好的效果。但是随着飞行任务种类的多样，飞行环境的严苛，飞行器结构的复杂，新型飞行器的设计经验不足，致使传统弹道设计方法弊端凸显。首先，在飞行走廊约束不强时，仅能完成飞行任务，无法实现飞行器最优性能；其次，在飞行走廊狭窄，约束苛刻时，在有限次数的调试中，难以找到可行的程序弹道；最后，传统的弹道设计方法需要反复多次修正，耗时长。

弹道优化思想起源于最优控制问题解决方法，一般分为两类，直接法和间接法[2-3]。间接法精度高，但是推导最优解的过程复杂繁琐，对初值估计精度要求高，且初值变量无物理意义，难以估算，使得该方法的应用受到很大限制；直接法随着计算机技术的发展，受到广大学者的青睐，并广泛应用于弹道优化问题，该方法通过将最优控制问题的变量参数化，转化为非线性规划问题进行求解，进而衍生出来的方法包括：直接打靶法[4]、配点法[5]、伪谱法[6]、微分包含法[7]、动态逆方法[8]等等。

本文选取吸气式高超声速飞行器为研究对象，因飞行器结构外形特点，使其具有气动/推进/弹性耦合特性，与传统飞行器总体设计相比总体设计域较窄，给弹道优化与设计带来较大困难。为满足结构强度、结构热以及控制设计需求，飞行器弹道约束[9]严苛，用传统的方案弹道设计方法很难确定较为理想的弹道。本文采用高斯伪谱法[10](Gauss Pseudospectral Method，GPM)求解吸气式高超声速飞行器的上升段弹道。

1 弹道优化模型

1.1 高超声速飞行器运动学模型

对于吸气式高超声速飞行器采用如下运动学模型：

(1)

其中，P是发动机推力；X是阻力；θ是弹道倾角；α是飞行攻角；R是地球半径；h是飞行高度；x是射程；mc是燃油流量；V是飞行速度。

1.2 飞行任务剖面

以一种空射高超声速飞行器为例，如图1所示，飞行任务共分为五段：带飞段、助推段、爬升段、巡航段和无动力下滑段。飞机带飞至指定发射点投放发射，发射后助推器点火，一级加速爬升，在预定的分离窗口进行保护罩分离和级间分离，随后调整姿态进入转级窗口；然后，超燃冲压发动机点火接力，继续加速爬升，到达预定高度后按规划弹道巡航飞行；最后关闭发动机，并无动力滑行下降。

多糖是淮山的主要生物活性物质之一，能提高机体免疫力[5]。许效群等[6]报道，中、高剂量的淮山多糖可以显著提高小鼠免疫脏器指数和吞噬细胞的吞噬指数以及血清溶血素水平，因此认为淮山多糖具有较高的免疫增强活力。Choi等[7]对淮山粘多糖的体外免疫调节研究发现，10 μg/mL的淮山粘多糖(YMP)能促进淋巴细胞干扰素(IFN-γ)的产生、促进小鼠抗白血病细胞的增殖，认为淮山粘多糖可以作为免疫活性多糖的来源。

图 1 飞行任务剖面 Fig.1 Flight mission profile

1.3 约束条件和性能指标

J= φ[x(τ0),t0,x(τf),tf]+

当Ames试验不适用时（如受试物存在抑菌性），基于哺乳动物细胞的小鼠淋巴瘤细胞tk基因突变试验（MLA）和HPRT基因突变试验或为受试物的致突变性评价的备选方案。此外，也可使用TK6细胞或L5178Y细胞通过流式细胞计数法检测表型为GPI（‐）的细胞出现率（即体外Pig‐a基因突变试验）对受试物的致突变能力进行评价［26］。然而，体外Pig‐a基因突变试验当前处于开发阶段，其检测效果尚有待大规模实验室间验证。

(1)过程约束

αdown≤α(tf)≤αup

创刊于1946年的《文联》，共发表了121篇文章，文类体裁多样，主题丰富，在不同程度反映了社会的整体面貌：有歌颂战争期间兵民的团结一心、众志成城；有揭露站前战后黑暗腐败的现实和专制独裁的野心；有批判具有劣根性的国民；有鞭挞帝国主义的狼子野心；也有讴歌光明的赞歌等，具有强烈的时代感。由于年代的限定，《文联》是存在缺陷的，像存在对文化市场的迎合，满足底层市民的消极趣味。但不可否认《文联》对于先进思想的传播，对于先进文化的弘扬以及对于文艺创作的繁荣，都产生了积极深远的影响，在现代文学报刊史上留下了浓墨重彩的画卷。

为满足吸气式高超声速飞行器结构设计与控制效率的要求，对动压应有相应的约束。

(2)

过载约束：

因为飞行器结构刚度所能承受的压力是有限的，所以过载不可过大，同时要满足一定的机动性，因此过载也不能过小。过载约束为：

nxdown≤nx≤nxup

在具体师资培训模式上，可以借鉴国外已有经验。欧洲、澳洲和亚洲的部分国家以建立ESP专业相关的全日制学习、业余学习和远程教育。其中，在非英语国家菲律宾在ESP教师培训上较具借鉴意义，菲律宾马尼拉德拉萨大学与英国政务委员会以及兰卡斯特大学合作启动ESP教师教育硕士学位项目，为正在从事或有意愿从事ESP教学的教师提供学习ESP专业知识和某学科领域知识。（高战荣,2012）。

nydown≤ny≤nyup

(3)

热流约束：

由于高超声速飞行器速度快，导致飞行器所承受的气动热效应严重，为防止结构因高温发生损坏，所以需对热流进行约束

≤qs_max

(4)

控制量约束：

由于飞行器结构、超燃冲压发动机与姿态控制系统设计的限制，吸气式高超声速飞行器飞行时的攻角不能过大，对攻角应有相应约束。

αdown_p≤α(t)≤αup_p

(5)

(2)终端约束

为保证飞行器级间正常分离和超燃冲压发动机正常点火，需要对终端的飞行攻角和高度进行限制。

终端高度约束：

Hdown≤H(tf)≤Hup

(6)

终端攻角约束：

本研究结果提示腹腔镜辅助保肛术具有手术时间短、术后恢复快、出血少及安全性高等优势。与对照组相比，观察组患者术后胃肠道功能恢复较快，主要是由于腹腔镜手术创伤较小，术中对内脏器的机械牵拉较少，同时可清楚地保护和识别盆腔自主神经。此外，由于腹腔镜手术创伤小，术后疼痛较轻，术后患者下床活动较早，有利于胃肠道功能恢复［11］。两种术式在治疗低位直肠癌都可取得全直肠系膜切除的治疗效果，其疗效及患者生活质量差异均无统计学意义［12］。另外，腹腔镜组患者手术分离出较多的淋巴结数目，表明腹腔镜治疗低位直肠癌的全直肠系膜切除效果更佳。

动压约束：

(7)

其中，U(τk)是离散点上的控制量，同样仍采用Lagrange插值多项式作为基函数来近似控制变量，即

为了超燃冲压发动机在点火窗口能够稳定点火一段时间，需要飞行器高度变化小，进而需要较小的弹道倾角，选取末端弹道倾角为优化指标

10月初，吉兹博士表示，她的团队不久后也将发表成果。他们此前一直在等待S2进入下一个轨道运行阶段，然后再观测一次。

J=-θ(tf)

(8)

吸气式高超声速飞行器爬升段弹道优化问题可归结为初始状态固定，终端状态受约束，终端时刻自由的非线性动态优化问题。

2 高斯伪谱法

高斯伪谱法的解算步骤为，首先，在一系列的LG(Legendre-Gauss)节点上将状态变量和控制变量进行离散；然后，采用全局多项式插值，对控制变量和状态变量进行近似，从而将系统的微分约束转化为一组代数约束；最后，以节点处的状态变量和控制变量作为优化设计变量，进而将弹道优化问题转化为非线性规划问题求解。

(1)动力学微分方程的离散

考虑一般形式的非线性系统动力学方程

(9)

其中，x(t)∈Rn是状态变量，u(t)∈Rn是控制变量，f:Rn×Rn→Rn为连续向量函数。采用高斯伪谱法需要将时间区间[t0,tf]转换到[-1,1]，为此引入变量τ对时间t进行变换

(10)

在线性代数中，最重要的工具就是矩阵，用到的最基本的理论就是矩阵理论，矩阵理论贯穿整个线性代数始终。矩阵理论在线性方程组的求解及解的结构，向量组的线性表示等问题中均有广泛地应用，三者可以互相转化，互相理论支撑。

(11)

其中，Li(τ)为插值基函数，τi为LG点

(12)

其中，K阶LG点κ={τ1,…,τk}是K阶Le-gendre多项式的根。

x(τi)=X(τi),(i=0,…,K)状态变量的导数可通过对Lagrange插值多项式求导来近似，从而将动力学微分方程约束转换为代数约束。即

(13)

其中，微分矩阵D∈RK×(K+1)的表达式如下

(14)

可得到配点上应满足的代数方程

U(τk),

τk;t0,tf]=0, (k=1,…,K)

(15)

(3)性能指标

开发商收益包括三个部分：开发商选择建设普通房时所享受的收益为A1；政府激励政策有效，开发商为提升企业在政府的形象，响应政府号召，积极建设被动房，此时所额外获得收益为A2；政府激励政策有效，促使开发商建设被动房，此时政府对开发商的奖励为A4，包括对开发商进行财政补贴、减免税费、贷款优惠和土地优先转让等。根据复制动态方程，A1的变化对结果没有影响，因此不研究A1。

(16)

(2)过程约束

对于过程约束，认为只要离散节点处满足过程约束，全程即满足过程约束，即

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0 (k=1,…,K)

通过LG点以及τ0=-1上的状态变量构造Lagrange插值多项式近似状态变量，得到

(17)

(3)终端状态约束

最优控制问题往往包含终端状态约束，而Lagrange插值多项式公式中未定义终端状态xf，不过终端状态也应满足动力学方程约束，根据动力学方程有

(18)

将终端状态约束条件离散并用高斯积分来近似，可得

U(τk),τk;t0,tf]

(19)

其中，

为高斯权重，τk为LG点。

(4)控制量约束

控制量的约束条件在高斯伪谱法中的处理相对简单，只需在LG点满足约束条件，即

C1′≤Uk≤C2′ (k=1,…,K)

沉降监测是进行路基沉降与变形控制的方法，具体的施工流程如下所示：施工准备→观测布点→结构的统计和分析→结果综合分析→判定地层结构的稳定性→地层安全动态分析、提供设计与施工建议书、上报设计与监理单位→反馈设计、施工→是否改变设计、施工方法→新的设计、施工方法。在进行作业的过程中进行数据的检测，科学合理的预测软土路基沉降量以及发展规律，进而为路基的加固提供基础的方案 [4]。

(20)

若当控制量u的导数有约束时，可通过对其进行求导，在LG点处令其满足约束要求，即

(21)

其中,微分矩阵可离线确定。

(5)性能指标函数的近似

将Bolza型性能指标函数

在高超声速飞行条件下，严重的气动热，发动机苛刻的工作条件，气动耦合及参数的剧烈变化，使得高超声速飞行器必须满足诸多过程约束和终端约束。本文选取动压、过载、热流、控制量为过程约束，末端高度、攻角为终端约束进行研究。

(22)

式中的积分项用高斯积分来近似，得到高斯伪谱法中的性能指标函数

J= φ[X(τ0),t0,X(τf),tf]+

(23)

根据以上的数学变换，文中的弹道优化问题可以描述为：在[t0,tf]时间内，确定离散点上的状态变量Xk(k=1,…,n)、控制变量Uk(k=1,…,n)和终端时刻tf，使得在满足上述约束条件的情况下性能指标J最小。从而将无限维的最优控制问题转换为一般的非线性规划问题。非线性规划问题的求解方法很多，本文选取稳定性和精度较优的序列二次规划算法[11]进行求解,其求解过程如图2所示，其算法流程如下：

舒曼是个孤儿，被一个不得志又整天酗酒的小提琴手收为养子。舒曼从小就站在潮湿的半地下室里，为酒气冲天的小提琴手一张一张地翻谱架上的乐谱。

1)选择适当的初始点x0、正定对称矩阵B0(一般令B0=I)、罚因子r=0，令k=0；

式(7)～(8)中，管片的应力水平是其拉、压应力分别与混凝土材料的轴心抗拉、抗压强度的比值。管片混凝土的材料参数选取其强度标准值作为应力水平的计算依据。管片混凝土材料的计算参数如表5所示。

2)计算目标函数及约束函数值；

3)计算偏导数；

4)根据式|xk+1-xk|<ζ(ζ是极小的正数)，判断是否收敛，若收敛则停止计算，否则转5)继续计算；

5)解线性规划子问题得到(dk,λk+1)；

6)更新罚因子；

7)计算罚函数值；

8)通过一维搜索，确定步长α，得到xk+1；

9)更新矩阵Bk，转2)。

SQP算法在实际运用中，需要适当选取初始参数，如果选取得当，能够加速迭代过程。参数的选取应符合实际问题的物理意义，否则，可能会得到不正确的结果。根据具体问题的物理意义和实际经验，有助于较好地选取初始参数。

LncRNA ASB16-AS1是一个较新颖的lncRNA，国内外尚无肿瘤相关报道。仅有的报道指出lncRNA ASB16-AS1可能与低骨密度相关[13]。

图 2 序列二次规划算法流程图 Fig.2 Sequential quadratic programming algorithm flow chart

3 算例仿真与分析

假设飞行器投放高度为9km，投放初始速度为Ma0.7，投放时刻弹道倾角为0°，取末端攻角约束-1°≤α(tf)≤1°，末端高度约束15km≤H(tf)≤18km，控制约束分别取-16°≤α(t)≤20°，并以末端弹道倾角最小作为优化指标。仿真结果如图3所示。

(a)速度随时间变化曲线

(b) 弹道倾角随时间变化曲线

(c)高度随水平位移变化曲线

(d) 攻角随时间变化曲线

(e)动压随时间变化曲线 图 3 弹道仿真结果 Fig.3 Trajectory simulation results

图3中，红色的点为通过伪谱法得到的各状态变量在离散点处的值，蓝色曲线为将优化得到的最优控制变量代入到动力学方程，对各状态变量进行数值积分得到的各状态变量变化曲线。仿真结果表明，各状态变量随时间变化曲线平缓，在满足动压、攻角、过载等变量约束的前提下，能够很好地收敛到终端约束值。末端弹道倾角为0，实现了末端弹道倾角最小这一性能指标。

采用伪谱法能够同时得到控制变量和状态变量。飞行器在实际飞行过程中，在已知飞行状态初始值的前提下，状态变量可以通过控制变量对飞行器动力学方程中的状态进行积分获得。如果优化得到的状态变量和通过积分得到的状态量值相等，优化结果精确可信，算法有效。基于上述思想，比较蓝色曲线和红色点组成的曲线，两者基本吻合，从图中难以区分差异，可以说明该方法精度较高，且结果正确。

在弹道设计过程中，该方法只需对控制变量、状态变量在某性特定阶段的约束进行限制，通过优化算法可得到满足约束条件的弹道，最大限度地发挥飞行器的性能。同时，以非解析形式，能够更为精细地调整优化弹道。

4 结论

文中建立了以末端弹道倾角最小为性能指标的吸气式高超声速飞行器弹道优化模型，采用高斯伪谱法对该模型进行了求解，对控制变量进行诸多约束限制。仿真结果表明，该算法优化得到的弹道的状态变量能够在满足过程约束和终端约束的情况下，使得性能指标达到最优；计算精度高，相比传统的方案弹道设计方法，避免了反复，提高了设计效率，可为吸气式高超声速飞行器弹道设计提供参考。

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