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基于序列二次规划优化阈值的NSCT 高斯噪声图像滤波方法

更新时间:2016-07-05

0 引言

图像在获取和传播的过程中通常会出现被各种噪声污染的情况。为了得到高质量的图像,图像去噪作为图像处理的重要部分受到了人们的广泛关注。图像去噪的关键在于如何在去除噪声的同时尽可能地保留图像的原始信息。小波变换(Wavelet Transformation,WT)是常用的图像去噪算法之一,具有很好的处理点状奇异性的能力[1]。然而,对于二维图像等高维对象,小波变换缺乏良好的方向性和各向异性。研究已经证明小波变换更适合处理各向同性的对象,但对于处理数字图像中边缘和线特征等各向异性对象时表现不佳[2]。这也是许多基于小波变换的方法在图像压缩和去噪等应用中会引入模糊的原因[3]。近年来的研究中,基于多尺度变换的图像去噪方法受到了人们的广泛关注,许多基于Ridgelet、Curvelet和Contour-let变换的方法都表现出了很好的应用价值。

2002年,Donoho等提出了一种新的二维图像表示方法——Contourlet变换[4],该方法能够使用轮廓片段得到图像多分辨率、多方向性的表示。然而,由于基础的Contourlet变换在奇异点附近缺乏移不变性,因而引入了伪吉布斯效应[5]。针对这一问题,2006年Cunha等提出了非下采样Contourlet变换(Nonsubsampled Contourlet Transform,NSCT)[6]。该方法实现了完全移不变性、多方向多尺度的图像表示,通过非下采样金字塔分解(Nonsubsampled Pyramids, NSP)和非下采样方向滤波器(Nonsubsampled Directional Filter Banks, NSDFB)将图像分解为不同的子带。经过分解之后,噪声部分相对于源图像将具有较小的Contourlet系数[7]。基于Contourlet变换的图像去噪的关键就在于如何选择合适的阈值和阈值去噪函数对噪声进行分离。

本文提出了一种基于NSCT的图像去除高斯白噪声的新方法。由于大多数图像的纹理特征都是非对称的,为每个方向子带选取各自的阈值会比使用全局阈值的方法得到更好的去噪效果[8]。本文利用交叉验证准则作为目标函数,基于序列二次规划(Sequential Quadratic Programming,SQP)优化算法得到各个方向子带的去噪阈值。在阈值确定之后,为了避免硬阈值和软阈值去噪函数各自的缺点,本文采用非线性阈值函数对图像的Contou-rlet系数进行处理,进而通过Contoutlet逆变换得到去噪之后的图像。

1 非下采样Contourlet变换

经典的Contourlet变换首先通过拉普拉斯金字塔(Laplacian Pyramid,LP)对图像进行分解以捕获点奇异,接着由方向滤波器(Directional Filter Banks,DFB)将分布在同一个方向的奇异点合成为一个系数[4]。Contourlet变换允许每层金字塔变换有不同的分解方向数目,因此相对小波变换有更好的灵活性,只要选择合适的去噪阈值就能获得比小波变换更好的图像去噪效果。然而,由于金字塔变换和方向滤波器的下采样和上采样过程,经典的Contourlet变换缺乏移不变性而在奇异点附近导致了伪吉布斯效应。

为了克服这个缺点,基于Contourlet变换提出了非下采样Contourlet变换。NSCT的结构分为非下采样金字塔分解和非下采样方向滤波器组分解两部分。与Contourlet不同的是,NSCT在图像的分解和重构过程中没有对NSP及NSDFB分解后的信号进行分析滤波后的降采样以及综合滤波前的上采样。而是对相应的滤波器进行上采样,再对信号进行分析滤波和综合滤波。NSCT分解的结构如图1所示,其中NSP为非下采样金字塔分解,NSDFB为非下采样方向滤波器组,分别实现了图像的多尺度、多方向性分解。

子项目教学方案不再突出知识目标,而是突出能力目标,兼顾知识目标和素质目标,基于单片机流水灯的设计与制作教学项目的培养目标见表1。

图1 NSCT分解的结构示意图 Fig.1 The structure of NSCT decomposition

1.1 非下采样金字塔分解

非下采样金字塔分解实现了图像的多尺度分解,保证了NSCT的多尺度特性。NSCT采用二通道移不变非下采样滤波器组实现NSP分解。下一级的滤波器由对前一级滤波器进行上采样得到,使得NSCT具有了多尺度特性[6]。图2所示为一个三层金字塔分解结构示意图。图2中,一个三级金字塔能够得到4层子图像带(y0,y1,y2,y3),包括与源图像尺度一致的1层低频图像和3层高频图像。金字塔分解的层数为3,H0H1分别为不同尺度下的低通和带通输出。

图2 三级NSP分解结构示意图 Fig.2 The three-stage NSP decomposition

1.2 非下采样方向滤波器组

非下采样方向滤波器组结构实现了NSCT的多方向性。NSDFB去掉了DFB中的降采样和上采样过程,使用扇形方向滤波器组将二维频域平面分割为多个具有方向性的楔形结构,每个楔形块包含该方向上的图像细节特征,从而形成一个由多通道NSDFB组成的树形结构[9]。NSDFB可以对任一尺度下NSP分解后的子带图像进行l级方向分解,从而得到2l个与源图像具有相同尺寸大小的方向子带图像。图3所示为一个四通道NSDFB方向分解示意图,由几组扇形滤波器和棋盘滤波器级联而成,灰色部分代表滤波器的频域通带,实现了图像的多方向分解。

我随着她沿着细石铺成的路,穿过一大片草坪,眼前是一个有喷泉的游泳池。池边摆着桌椅和凉篷。灯光从池水中向上射出,明亮而柔和。

图3 四通道NSDFB方向分解示意图 Fig.3 Four-channel NSDFB decomposition

2 基于SQP优化阈值的NSCT图像去噪

步长αk基于可行性优先准则确定,持续迭代过程即可使得目标函数不断减小。即使算法选取的初值不满足约束,通过迭代优化后依然可以得到满足约束的解,如果评价函数或解的更新梯度小于设定的阈值则结束迭代。

y=x+η

(1)

式中,y是观测的含噪声图像,x为原始图像,η为噪声。图像去噪的目的就是从含噪图像y中恢复原始图像x

NSCT图像去噪主要包含3个步骤:噪声图像的NSCT分解、NSCT系数的处理和NSCT逆变换得到去噪图像。其中最为重要的部分在于NSCT系数的处理,关系到能否从含噪图像中有效地去除噪声并保留原始图像信息。阈值去噪是一种简单有效的系数处理方法,在图像去噪问题中有着广泛的应用。阈值去噪问题的关键在于如何选择一个合适的阈值,较小的阈值能够保留更多的图像细节但同时一部分噪声也会保留下来;较大的阈值能够有效地去除噪声但可能导致源图像信息的丢失。为了解决这个问题,本文采用序列二次规划算法为Contourlet域的图像去噪选择合适的阈值。

2.1 序列二次规划算法

序列二次规划方法是一种求解有约束的非线性优化问题的有效方法,起源于1963年Wilson提出的牛顿拉格朗日方法,后来经过Han与Powelld等的修改完善得到。序列二次规划法从诞生至今经过了国内外学者非常深入的研究,是一种十分成熟的优化算法,对大多数等式和不等式约束优化问题都能取得较好的求解效果,非常适合解决中小型非线性优化问题,在许多领域有着非常广泛的应用。

为了验证所提出的新型SPAD结构的优点,我们结合TCAD仿真和理论计算对该SPAD结构和传统P+/Nwell结构[5]的光子探测效率和暗计数率两个最重要的参数进行了对比分析。

SQP算法主要思想是利用原优化问题的信息构造一个二次规划子问题,通过在迭代过程中求解该子问题对当前解进行修正来优化性能指标[11]。二次规划子问题的约束由原规划问题的约束线性化得到,子问题的目标函数是拉格朗日方程的二次近似。

非线性规划问题的拉格朗日函数如式(2)所示

(2)

式中,λi是Lagrange乘子,gi为等式与不等式约束条件。在每次迭代中,计算拉格朗日函数的Hessian矩阵Hk的近似。这样,原问题就转化为一个如式(3)~式(5)所示的二次规划子问题。

这般田园光景,自然会唤醒一些游客尘封心底的愿望。感慨乡愁难系也好,希冀诗和远方也罢,都市人怅然若失,所失其实即一小块自主拥有、自由耕耘的心田。无论种菜栽花,亲自收获的方是不枉此生的精神慰藉。然而滚滚红尘之匆匆过客,即便在都市拥有豪宅,终究上无片瓦下无立锥之地。游客触景生情,难免感慨良深。

min

(3)

s.t. ceqi(xk)+ceqi(xk)Tdk=0 iE

工草隶,善丹青。七八岁时学书,羲之密从后掣其笔,不得,叹曰:“此儿后当复有大名。”尝书壁为方丈大字,羲之甚以为能,观者数百人。桓温尝使书扇,笔误落,因画作乌驳犊牛,甚妙。[9](《王献之传》,P2105)

其中,xk是第k次迭代的解,dk表示第k次迭代时的搜索方向。之后通过求解二次规划子问题根据式(6)调整当前的解。

(4)

GCV函数可以看作图像均方差的估计,可以反映去噪后的图像质量。Jason等已经证明,当N→∞时通过最小化GCV函数得到的阈值即等于使MSE(δ)最小的去噪阈值[12]。利用这个原理,就能够在噪声方差等先验信息未知的条件下,通过最小化函数GCV(δ)为每个图像子带选择合适的去噪阈值T

俗语道,“哑巴吃黄连,有苦说不出”。可见黄连是非常苦的,黄连是中医常用的一味中药,也属于名贵中药的一种,有清热解毒的功效。关于黄连的来历,还有一段趣闻呢!

(5)

中空纤维离心超滤-HPLC法测定盐酸伊立替康脂质体的包封率 …………………………………………… 孙 婷等(16):2220

xk+1=xk+αkdk

(6)

高斯白噪声图像去噪问题中一般采用式(1)所示的模型[10]

2.2 广义交叉验证准则

本文利用广义交叉验证(General Cross Validation,GCV)准则建立序列二次规划算法的目标函数模型。GCV准则提供了一种仅通过观测到的含噪图像获取去噪阈值的方法,能够在缺乏噪声方差等先验信息的条件下选择合适的去噪阈值。

如今,“美声唱法”、“民族唱法”的界定与区分已经不再是那么明确,而且出现了许多新的名词,例如“民美”、“美通”等,这些都是本民族与传统美声相结合的产物。同样也出现了许多这样的作品,例如《玛依拉变奏曲》,完全就是运用美声的唱法演唱具有强烈新疆民族风格的一首作品,无论是在旋律还是节奏上,都体现着民族韵味,花腔部分就是借鉴了美声发声技巧体现的,这在过去是没有的。再比如近些年来创作的一些大型歌剧《文成公主》、《玉鸟兵站》、《花木兰》、《星》等,表演者都是在运用结合了美声唱法的民族新唱法演唱这些作品。由此可见,按照风格来划分唱法的趋势愈加明显,而不再只是依靠发声方法。

在对式(1)中模型进行非下采样Contourlet变换之后,可以得到

(7)

其中,的函数表达形式如式(8)所示

取5份100 g的藕片,放入300 g水中,分别加入浓度为1.0%,1.1%,1.2%,1.3%,1.4%的硬化剂,在硬化温度为30 ℃的条件下[15],硬化2 h,根据感官评价选择合适的硬化剂浓度。

(8)

其中,N为图像子带中Contourlet系数的总数目,N0代表进行阈值变换之后被置0的Contourlet系数的数目,ωωδ分别代表阈值变换前后的Contourlet系数矩阵。

2)设置SQP算法初始参数,计算每个图像子带中最大的Contourlet系数wmax,并将[0,wmax]作为阈值寻优的搜索区间;

(9)

ci(xk)+ ci(xk)Tdk≥0 iI

T=argmin(GCV(δ))

(10)

2.3 非线性阈值函数

在此前的研究中,硬阈值函数和软阈值函数是最常用的阈值去噪函数[13]。硬阈值去噪函数如式(11)所示。

开始全书的讨论,“若有神明,恶从何来?若无神明,善从何来?”,为何会发生作恶之徒得势,行善之人蒙冤的境况?恶的根源在何处?

(11)

软阈值去噪函数如式(12)所示:

(12)

其中,wi,j为含噪图像的Contourlet系数,为阈值去噪之后的Contourlet系数。

可以看出,在硬阈值函数去噪中,小于阈值的系数被直接置0,而大于阈值的系数保留不变,这种不连续性会使得去噪图像有较大的方差;另一方面,在软阈值函数去噪中,大于阈值的系数整体减去了一个阈值的大小,使得去噪图像与源图像有较大的偏差[14]。与软阈值和硬阈值函数相比,非线性阈值函数是连续的,经过非线性阈值函数处理后的均方误差曲线比较光滑。本文将非线性阈值函数应用于NSCT图像去噪问题中,非线性阈值函数如式(13)所示:

(13)

式中,Tm,n为图像子带Sm,n的阈值,权重因子αi,j定义为

(14)

2.4 本文图像去噪方法流程

经过NSCT分解之后,在分解的每个子带中以GCV函数作为优化目标函数,使用SQP优化算法为每个图像子带选择合适的去噪阈值。在所有阈值确定之后,使用式(13)的非线性阈值函数处理图像的NSCT系数。本文提出的基于SQP优化阈值的NSCT图像去噪方法流程如下:

1)设定合适的NSP与NSDFB分解层数,对噪声图像进行多尺度NSCT分解;

总而言之,情境教学法对小学数学知识的教学具有十分重要的作用,一线的小学数学教师应当在实践教学的过程中,积极应用多样的形式构建教学的情境,促进学生在情境之中,深化对数学知识的认知,提高课堂教学的效果。

图像的均方差(Mean Square Error, MSE)定义为

3)基于GCV准则,使用SQP优化算法通过最小化函数GCV(δ)为每个图像子带选择合适的去噪阈值;

4)根据以上确定的阈值,使用式(13)的非线性阈值函数处理图像的NSCT系数;

对面形复杂的佛像进行测量,图9(a)为CCD相机获取的受佛像面形调制的一帧正交光栅像;图9(b)为正交光栅像的频谱.可以看出4 mm光栅间距产生频谱卷积项较小,不影响正交光栅基频的提取.利用上面所讲的方法对图9(a)进行傅里叶分析,分别得到水平和竖直方向的调制度,计算其调制度比MR,然后查找调制度比和高度映射表就可以恢复物体的三维面形,恢复结果如图9(c),实验证明,该方法可以快速且准确地恢复物体三维面形,与传统的调制度测量轮廓术相比,该方法只需采集一帧图像就可恢复物体三维面形,还可有效避免物体表面不均匀反射率对测量的影响,实现对物体实时快速测量.

5)对阈值处理后的系数进行NSCT反变换得到去噪图像。

3 实验结果与分析

基于本文提出的图像去噪方法对一组叠加不同程度高斯白噪声的标准测试图像(Lena, Barbaba, Peppers)进行了实验,这3组图片包含较多的图像细节信息,可以对去噪效果进行对比。噪声标准差分别设为20、40、60,可以模拟一般图像获取和传播的过程中产生的不同程度的高斯噪声污染。

使用平滑指数(FI)评价图像经过滤波器后的噪声平滑能力,其计算公式如下

(15)

其中,M代表图像滤波后某区域所有像素的平均值,SV代表所有像素的标准差。FI值越高,表示滤波器的平滑作用越强。

经过实验表明随着分解层的增加,平滑指数逐渐增大[15],同时考虑到Contourlet系数数目越多GCV准则也越适用,实验中NSP和NSDFB的分解层数设为[4 8 16]。实验结果与标准CT和NSCT去噪方法进行了对比,使用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)对图像去噪效果进行评价

(16)

使用边缘保持指数(Edge Preservation Index,EPI)评价去噪后图像对原始图像水平和垂直方向边缘的保持能力:

(17)

(18)

式中,Imax为图像的最大灰度值,Ii,j分别为像素点(i,j)处在去噪前后的灰度值。MN分别为输入图像的行数和列数,EPIHEPIV分别表示水平和垂直方向上的图像边缘保持指数。不同去噪方法得到的PSNR结果如表1所示。对于叠加噪声标准差40的图像,不同方法得到的图像边缘保持指数如表2所示,图像去噪效果如图4所示。

表1 不同去噪方法得到的PSNR结果

Tab.1 PSNR (dB) of images using different denoising methods

ImageStandarddeviationofnoiseNoisyimageStandardCTStandardNSCTProposedmethodLena2028.16828.66732.68434.2604022.12925.42727.76230.1056018.73726.13127.36027.603Barbara2028.18028.59930.34832.6884022.20325.15026.94528.0936018.83325.03425.53025.633Peppers2028.27328.74732.47833.6844022.35425.69227.89129.9536018.93626.32926.52427.505

表2 不同去噪方法得到的EPI结果

Tab.2 EPI of images using different denoising methods

ImageParametersNoisyimageStandardCTStandardNSCTProposedmethodBarbaraEPIH1.54020.67430.75770.8449EPIV1.74090.56170.65870.7751LenaEPIH1.72570.52570.66360.6952EPIV1.62740.53250.67870.7158PeppersEPIH1.37680.74450.76740.7734EPIV1.42760.63720.65360.6598

表1列出了三种去噪算法对于叠加不同标准差高斯噪声图像得到的PSNR结果,表2所示为三种去噪算法得到的图像边缘保持指数。可以看出本文提出的算法在所有测试图像中都得到了最好的PSNR结果,并且保留了最多的原始图像边缘信息。

图4所示为不同去噪方法对于噪声标准差40的Barbara图像的去噪结果对比。图4(a)和图4(b)分别是源图像和含噪图像,图4(c)和图4(d)分别是标准CT和NSCT得到的去噪结果,PSNR值分别为25.150和26.945,图4(e)为本文方法得到的图像去噪结果,PSNR值为28.093。通过对比可以发现,本文图像去噪方法相对于另外两种去噪方法有着更好的去噪效果。

项目建设以来,福建省2010年、2011年度50个县(市、区)共新建795个自动雨水情监测站、1万个简易雨量站、865个简易水位站;完善50个县级监测预警指挥中心,新建726个乡镇预警指挥平台;配置1万个预警广播、4.67万面铜锣和0.9万个手摇警报器;编制25个县级预案、726个乡级和1万个村级防御预案;制作发放宣传材料,并开展多种形式的宣传、培训和演练等。通过项目建设,构建了更加完善的监测预警系统和有效的群测群防体系。

(a)源图像 (b)含噪图像, PSNR=22.203

(c)CT去噪图像, (d)NSCT去噪图像, PSNR=25.150 PSNR=26.945

(e)本文方法去噪图像,PSNR=28.093 图4 不同方法得到的去噪图像 Fig.4 The denoising results of different methods

4 结论

本文提出了一种新的基于NSCT的图像高斯白噪声去除方法。首先通过SQP优化算法对GCV目标函数进行寻优,从而为每个NSCT图像子带选取合适的去噪阈值,进而使用非线性阈值函数对分解后的NSCT系数进行处理。该方法不需要图像噪声方差等先验信息,能够仅利用观测噪声图像实现阈值的选取。实验结果表明本文提出的方法能有效去除图像的高斯白噪声,与传统基于Contourlet变换的图像去噪方法相比能够得到更高的峰值信噪比,并较好地保留原始图像的细节特征。

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杨晨,董希旺,李青东,任章
《导航定位与授时》 2018年第03期
《导航定位与授时》2018年第03期文献

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