一种空间直角坐标转换至大地坐标的简捷算法研究

0 引言

在同一坐标系中，经常需要用到空间直角坐标与大地坐标之间的相互转换。关于空间直角坐标转换至大地坐标时，纬度的计算公式在许多大地测量的文献中都有提及，常采用迭代的方式进行解算。但由于公式推导方法的不同，使得最终的计算公式不尽相同。其中空间直角坐标转换至大地坐标时，纬度及大地高一般采用迭代的方式，即先计算出纬度值，然后由纬度值计算大地高，忽略了两者的相关性。本文提出了一种纬度计算的简化推导算法，该方法公式推导简单，便于理解和记忆。同时，本算法将纬度与大地高绑定参与迭代计算，考虑了纬度与大地高之间的相关性，并编写了相应的计算程序，经实例验算得到了与传统公式计算相同的精度。

1 纬度与大地高计算公式

1.1 纬度计算公式

 

式中，B为纬度，X、Y、Z分别为3个方向的空间坐标值，e2为椭球的第一偏心率，N为卯酉圈曲率半径，其计算如式（2）所示。[2]

 

同一坐标系中由空间直角坐标计算纬度的公式如式（1）所示。[1]

传统算法是将式（1）采取迭代的方式展开计算，迭代初值tanB1的取值如式（3）所示，用计算出的纬度初值B1计算N1及sinB1，之后按照式（1）进行逐次迭代，直至前后两次纬度值B的差值满足允许的误差为止。

水生态文明建设的关键问题包括两个方面，一是科学理解和评价水生态文明，包括水生态文明建设由哪些内容组成、如何建立符合区域的评价指标体系、如何科学评价水生态文明等；二是建设水生态文明，包括区域水生态文明建设的原则如何设定、针对某一地区或流域，设计什么样的水生态文明建设方案以及应采取哪些关键技术措施等。

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上述的纬度值计算公式较复杂，具有3个变量，分别是X、Y、Z。为了减少变量个数，作如下推导。因Z=N（1-e2）sinB，将其代入式（1），则式（1）可简化为式（4）。

矩形空心墩配筋率为0.96%，不同轴压比、剪跨比(剪跨比大于4的墩)时，空心墩位移延性随空心墩壁厚t与空心墩边长b之比变化如图9所示。在轴压比、纵筋配筋率不变的情况下，壁厚变化对空心墩极限变形能力影响不大[12]，空心墩延性变形能力基本保持稳定。

 

式中，a为椭球的长半径。将式（4）左右平方，如式（5）所示。

 

由于式（5）两端具有的是不同的三角函数，对于迭代很不方便。为了克服这一缺点，建议采用如下的迭代公式，如式（6）、式（7）所示：

参观巴黎卢浮宫的中国游客或许会疑惑：那些精美绝伦的人体雕塑和旷世画作，会不会是复制品呢？如此多的奇珍异宝，就陈设在游客触手可及的地方，没有管理员看守，允许游客拍照，法国人也太不爱惜这些艺术品了吧？的确，除了三大镇馆之宝之一的《蒙拉丽莎》作了较为明显的隔离外，卢浮宫里的文物大多是以一种开放的姿态展现在世人面前。对于习惯了透过厚厚的玻璃罩观赏文物的我们来说，卢浮宫的这种大方简直令人怀疑其文物的真伪了。

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（1）根据式（6）与式（7），将变量 X、Y、Z 及常数 a、e代入公式，第一次迭代初值令 ti=t0，计算 t1；

 

用计算出的纬度初值B1计算sinB1，之后按照式（6）、式（7）进行逐次迭代，直至前后两次纬度值B的差值满足允许的误差为止。

1.2 大地高计算公式

大地高H的计算如式（10）所示。[3]

 

大地高H直接依据式（6）、式（7），最终迭代计算出纬度值B代入式（10）获得。考虑纬度及大地高之间的相关性，提出大地高Hi可依据式（6）、式（7）各次迭代计算出的纬度值Bi代入式（10）计算获得。

2 简捷算法程序编辑流程

针对本文提出的纬度值及大地高的计算方法，采用Visual C++语言编写程序的步骤。

式中，ti为前一次迭代值，第一次迭代初值令ti=t0。t0的计算如式（8）所示，为方便编程，设P为如式（9）所示的表达式。

(1)结合图8与图1可知，任务较少分布在远离市区的郊区，但是价格高的任务也偏偏都在任务分布少的地方。究其原因，大概是由于交通不便，导致人流量较小，会员数量也较少。所以要给较高的价格才会有会员愿意去完成相应的任务。

（2）方案 2：先按照本文介绍的式（6）、式（7），采用迭代算法，考虑计算纬度值，然后按式（5）计算大地高；

（3）根据最终计算得出的ti，计算纬度值Bi。

夯实水泥土桩地基技术的特点包括：（1）夯实水泥土桩地基技术具有较大的承载力，有较强的稳定性和强度，可以承受较大的荷载；（2）夯实水泥土桩地基技术具有一定的压缩性，可以降低施工材料的使用效率，对材料的要求较低且便于就地取材，大大节省了材料的采购成本和运输成本；（3）夯实水泥土桩地基技术在施工过程中，对机械设备与辅助工具的要求不高，工程施工的具体操作方法比较便捷简单，并且具有施工效率高与施工成本低优势[2]。

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图1 简捷算法流程图

3 实例计算

已知某点取北京54坐标系参数，其空间直角坐标值分别为（X，Y，Z）=（302 726.854 413，5 636 102.390 135，2 979 527.619 433）。[4]为了对比新算法与传统算法之间的精度情况，拟定以下三个方案。

流程图如图1所示。

（1）方案1：按照传统算法中的公式编写程序，计算纬度值及大地高；

（2）依次计算ti（i≥2）及Hi（i≥1），当k 为给定的常数，如：10-5）时，继续迭代；反之，结束程序；

（3）方案 3：按照本文介绍的式（6）、式（7）和式（10），同时考虑编写程序计算纬度值及大地高。

上述三种计算方案下，该点在大地坐标系下的坐标值如表1所示。

 

表1 三种计算方案精度情况对比

  

方案纬度值B（°′″）大地高H/（m）方案 1 27°59′16.942 41″ 8 821.401 6方案 2 27°59′16.942 406 84″ 8 821.401 821方案 3 27°59′16.942 412 613″ 8 821.401 601 52

从表1中的方案对比情况可以看出，方案1的纬度值精度达到10-5s，大地高精度达到10-4m；方案2的纬度值精度达到10-8s，大地高精度达到10-6m；方案3的纬度值精度达到10-9s，大地高精度达到10-8m。由此可见，方案2与方案3在去除三角函数、简化算法的基础上，增加了作为迭代截止条件，有效提高了坐标计算精度。

4 结束语

本文给出了一种同一坐标系中由空间直角坐标计算纬度及大地高的推导算法，公式推导简单，便于记忆、理解和程序编写。同时，将ti与大地高Hi作为条件值，使得新算法计算精度能够与传统的公式媲美。因此，本文提出的算法为空间直角坐标转换至大地坐标提供了新的思路与借鉴。

参考文献：

[1]孔祥元,郭际明,刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉:武汉大学出版社,2006.

[2]潘正风,杨正尧,程效军,等.数字测图原理与方法[M].武汉:武汉大学出版社,2004.

[3]张华海,王宝山,赵长胜,等.应用大地测量学[M].徐州:中国矿业大学出版社,2007.

[4]王仲锋，杨凤宝.空间直角坐标转换大地坐标的直接解法[J].测绘工程,2010,(2):12-14,17.