螺栓接合面刚度建模方法分析及仿真实验

0　引 言

结合面力学特性对机械制造装备的动、静态特性、抗振性能、运动响应的敏感性等都有不容忽视的影响[1]。研究表明：机械制造装备整机动刚度1/2左右取决于结合面的刚度，机械制造装备整机阻尼的1/2～4/5都源于结合面的阻尼[2]。

Rogers[3]的研究表明结合面切向的动态特征表现出迟滞非线性，结合面间的微观错位移动产生结合面的切向阻尼;杨红平等[4]将分形几何理论与接触力学理论相结合，建立了结合面法向接触刚度计算的数学模型;张学良等[5]根据MB接触分形理论建立了考虑微接触面积分布域扩展因子影响的结合面切向接触阻尼弹塑性分形模型。

本文建立了螺栓结合面实验台，分别以不同的结合面刚度数学模型为基础，设计4种不同结合面刚度计算方案并进行仿真分析，分别得出对应的动态参数；对螺栓结合面实验台进行模态测试实验，获得其实验模态参数；通过分析结果和实验结果的对比，找到适合于两结合面最佳等效刚度计算数学模型；同时研究结合面法向与切向刚度对固有频率的影响。

1　结合面动态接触刚度理论模型

1.1　法向

1)基于分形理论的法向动态接触刚度理论模型。

结合面实际是由2个具有一定粗糙度的表面相接触而组成的，该模型为了处理问题方便，将其中一个接触面简化为理想的接触面，另一平面仍为粗糙平面。

通过“平行四边形面积”的学习，学生可以掌握解决生活中实际问题所需的知识和技能，同时也为接下来学习圆的面积和立体图形表面积打下基础。

经过量纲归一，法向接触刚度为

(1)

式中：D可以近似为1.54/0.042Ra，其中Ra为粗糙表面粗糙度；为真实接触面积的量纲一化值，其中Aa为名义接触面积；为量纲归一临界接触面积，其中k为较软材料的硬度与屈服强度的比值，k=H/σy，φ为较软材料的硬度与复合弹性模量的比值，近似为G=10-5.26/Ra0.042；g1(D)=[(2-D)D/2·D(2-D)/2]/(1-D)。

由于该螺栓结合面是由4个相同的螺栓进行固定的，所以在每个方向上都相应地有4个等效弹簧单元，将各方向的等效刚度加载至相应的等效弹簧单元中，进行有限元模态分析。

3）学习者以自己的方式建构对于事物的理解，从而不同人看到的是事物的不同方面。也就是说，对于同一个学习主题，没有唯一的、标准的理解，不同的学习者会有自己独特的看法，仁者见仁，智者见智。但是我们可以通过学习者的合作而使理解更加丰富和全面。

为使实际接触面积值al与粗糙表面真实接触面积Ar之比能变得更加准确，Wang和Komovopoulos[6-7]引入了微观接触面积a’的接触点大小的分布函数。对法向接触刚度的分形模型进行改进，量纲归一化处理后刚度值为

由上图可知，随着结合面等效弹簧法向和切向的刚度差值逐渐增大，螺栓结合面仿真模型，其前四阶的固有频率值呈递减。

(2)

式中：g2(D)=D2-D/2(2-D)D/2/(1-D)。

1.2　切向

1)基于分形理论的切向动态接触刚度理论模型。

李高明有了自信，开始在城里晃悠。他的目光很快被理发店里的发型师所吸引。“我看到美发店里面，好多年轻人，干干净净的。”体面而干净的工作，还有能想到的稳定收入，李高明特别羡慕这些发型师，他想学这门手艺。

仍按法向动态接触刚度理论模型，将结合面简化为一个粗糙平面和一个理想平面的接触模型。量纲归一化处理，可得切向接触刚度：

使用上述结合面仿真模型对结合面刚度大小对模态固有频率的影响进行研究。固定模型的法向刚度分别为1012和1011，改变切向刚度使法向刚度和切向刚度的差值在1～1010之间，分别取法向刚度与切向刚度差值为10的倍数，进行有限元模态分析，前四阶模态固有频率的变化如图6和图7所示。

蒙古民族素有“马背上的民族”之称，而历史上始终托起蒙古民族的就是蒙古马。蒙古马不畏寒暑、不惧艰险，以坚韧不拔的毅力，穿沙漠过雪原，驰骋在广袤的蒙古高原上，创造了一个又一个传奇。

(3)

式中：μ为摩擦系数；P为结合面法向总载荷；Fτ为结合面总切向力；其余参数按照法向结合面刚度计算过程中参数的计算进行。

2)基于分形理论与域扩展因子的切向动态接触刚度理论模型。

以2016年本中心编写的《卫生运输船医疗队规范化建设试点成果》为依据，设计了物资装载、长途机动、快速展开、批量伤员分类、继承性救治、药材物资补充、分队撤收7个科目。演习共计10 d。

为了避免多个结合面之间相互影响，本文设计了仅含有螺栓结合面的实验模型进行相关的计算、分析和实验。设计的模型结构如图1所示。

(4)

1.3　螺栓结合面等效刚度计算

螺栓的预紧力和机体的重力都是结合面面压的主要来源，因此在计算螺栓结合面刚度时必须进行叠加。不同的螺栓其预紧力的大小、螺栓直径、连接件的厚度许用值均不一样。受这些因素的影响，螺栓结合面等效刚度为：

K0=π[(φ+2htan r)2-d2]·K/4

本次选取部分患者开展研究,分别给予患者硝普钠静脉滴注治疗以及酚妥拉明静脉滴注治疗,其中硝普钠治疗下的患者与接受静脉滴注治疗前比较病情改善效果更为显著,而且没有患者出现严重不良反应,具有较高的安全性,与酚妥拉明进行比较综合应用价值更高,应当得到广泛使用。

(5)

式中：d为螺栓孔直径；h为结合面板厚度；r为影响锥的半锥角度数(通常取20°)；φ为螺栓外切圆直径；K为结合面单位面积刚度。

2　螺栓结合面建模、仿真及实验

根据以上螺栓结合面的动态参数的计算模型和等效计算方法，计算出螺栓结合面的动态参数，并搭建实验台建立简易模型进行数字化建模仿真。通过有限元分析与模态测试实验相结合的方法对螺栓结合面的简易模型进行有限元模态分析和模态测试实验，以验证并优选出与实验误差最小的结合面动态参数获取方法。

2.1　仿真实验台

基于微接触面截面面积的分布函数，将结合面的切向接触刚度进行量化归一：

1—主体结构　2—实验台　3—垫块　4—螺栓 图1　螺栓结合面实验台仿真模型

主体结构1由4块厚为10 mm的钢板焊接而成，其材料为45#钢。下表面4角各有一个直径为20 mm的孔，通过4个大径为20 mm的螺栓与实验台相互连接。为了能够更加准确地模拟螺栓结合面，通过4个50 mm×70 mm×15 mm的垫块将实验主体结构的4个角垫起。垫块材料亦为45#钢。实验台用HT150材料浇筑而成，开有可以使螺栓进行自由移动定位的凹槽，这样的设计可以避免加工误差带来的安装螺栓不便的问题，可以更加准确且方

便地来研究螺栓结合面的特征。

2.2　动态参数计算

对螺栓结合面进行相应的等效处理后进行有限元模态分析及测试实验。采用改进的考虑螺栓受力影响的弹簧法进行结合面处理。下面利用前文所讲述的方法对结合面的刚度进行相关的计算。

研究发现，镁能够减少急性心肌梗塞(AMI)患者心源性休克的发生率，此外，在给一些慢性缺血性心脏病和心力衰竭患者静脉注射氧化镁，给镁后体循环和肺循环血管阻力明显降低，平均动脉压和肺动脉压下降，而左右心室充盈压未受影响。这种血流动力学效应使得心脏后负荷减轻，因而可以改善心肌的氧供/需关系。

首先计算重力下结合面法向所受的面压。试验台主体结构材料为45#钢，通过三维软件测量可得其体积V=3053.348cm3；螺栓的预紧力F预=101.5 kN；复合弹性模量E=1.13×1011N/m2；较软材料屈服强度σy=700 MPa；较软材料布氏硬度H=200 HB；名义接触面积Aa=52200mm2；表面分型维数D=1.47；真实接触面积Ar=22446mm2；临界接触面积ac=139.12mm2。

分别利用前文所介绍的动态参数的提取方法对螺栓的结合面等效弹簧刚度进行相应的计算，然后在考虑螺栓参数影响的情况下计算等效弹簧总刚度。相关计算结果如表1所示。

表1　螺栓结合面动态接触刚度计算结果

理论模型量纲法向接触刚度K∗n法向总刚度Kn/N·mm-1()等效法向总刚度Kn0/N·mm-1()量纲切向刚度K∗τ切向总刚度Kτ/N·mm-1()等效切向总刚度Kτ0/N·mm-1()分形理论1 0722 683×10132 683×10100 551 43×10141 43×1011分形理论与域扩展因子0 29241 688×10121 688×1094 591 73×10131 73×1010

2.3　螺栓结合面仿真模型模态分析与实验

为准确地获得螺栓结合面等效刚度值，现设计如表2的方案进行有限元模态分析。将2种法向刚度计算值和2种切向刚度计算值进行排列组合以获得4种方案。表2所示为刚度分配方法及其计算结果。

表2　螺栓结合面仿真方案及结果

结合面处理方案编号法向切向计算方法Kn∗/N·mm-1()计算方法K∗τ/N·mm-1()1基于分形理论6 71×109基于分形理论3 58×10102基于分形理论6 71×109基于分形理论与域扩展因子4 33×1093基于分形理论与域扩展因子4 22×108基于分形理论3 58×10104基于分形理论与域扩展因子4 22×108基于分形理论与域扩展因子4 33×109

2)基于分形理论与域扩展因子的法向动态接触刚度理论模型。

传统的活动中抽奖方式是利用“抽奖箱”抽奖，玩法低端而无趣，没有新鲜感可言，并且与图书馆的主营业务似乎也没有牵连，也毫无特色，即使读者参加，体验性也不高。这种不能将“抽奖”与“读书”相联系，某种程度上说使得图书馆举办的活动的意义离读者越来越远。浙江绍兴图书馆和泸西县图书馆他们进行了大胆探索和创新，在图书馆活动中推出了微信抽奖平台，取得了很好的效果，他们的做法值得借鉴。

图2　螺栓结合面仿真模型有限元摸态分析前四阶振型

第一阶振型为上表面在XOY平面6节点弯曲，两侧面前后反向弯曲；第二阶上表面整体在沿XOY平面2节点弯曲，两侧面整体反向弯曲；第三阶同第一阶的振型一样，存在共轭现象；第四阶上表面在XOY平面3节点弯曲，两侧面整体同向弯曲。

对模型进行模态测试实验，模态测试按照模型的基本外型，建立了一个由60个点组成的点线面共存的测试分析模型，3个方向总测点数为80。通过预实验，综合考虑测点的响应曲线，选择激振点为17号测点。测点分布和激振点如图3所示。

上述5项，1～3分别为科克田斯科尔斯基岩体内接触带细粒花岗岩、科克田斯科尔斯基岩体内接触带粗粒花岗岩、别塔基津斯基岩体；4～6分别为沃塔马斯基岩体、阿缺卡达马斯基岩体、波日林斯基岩体；7～8分别为梭金斯基岩体、巴亚拉马尔斯基粗粒白岗岩岩体。

提取模态测试的结果，螺栓结合面模型模态测试实验前四阶振型如图4所示。

对上述4种方案分别进行有限元模态分析，发现：这4种方案的模态振型是完全相同的，只在固有频率间存在差异。通常取方案1的前四阶振型进行研究。螺栓结合面仿真模型有限元摸态分析前四阶振型如图2所示。

可见实验结果与有限元数值仿真结果吻合，表明本文选用的结合面建模方法可信。将4种方案的有限元模态分析和模态测试的固有频率进行统计分析，列出前四阶的频率值及分析值与实验值的误差，如表3所示。

图3　模型的模态测试布点图及激振点

图4　螺栓结合面模型摸态测试实验前四阶振型

表3　各方案有限元模态分析结果与模态实验结果对比

实验结果仿真结果方案1方案2方案3方案4结合面绑定频率/HZ频率/HZ误差/%频率/HZ误差/%频率/HZ误差/%频率/HZ误差/%频率/HZ误差/%173 448189 309 14189 229 14187 698 21187 68 16179 293 37562 444681 9821 25681 9821 25681 4821 16681 4821 16654 216 31691 509950 5137 45950 537 45778 3812 56773 6211 87907 3631 21850 218987 5316 15986 8716 15954 8512 31954 6412 28926 478 97

将各方案分析频率与实验频率误差汇总至同一图表内进行比较，其结果如图5所示。

图5　各方案分析频率与实验频率误差

通过表3与图5可知，综合有限元分析结果和模态实验结果的相对误差，虽然结合面绑定时出现三阶误差最小，但在第三阶误差较大，切误差最小值与方案3和方案4的误差值相差不大，因此结合面未绑定并没有方案3和方案4更优。方案3和方案4误差值基本相似，综合考虑整体的误差稳定性，显然方案4为最佳的结合面处理方案。即结合面法向刚度和切向刚度的计算方法应采用基于分形理论与域扩展因子的动态接触刚度理论模型进行计算。故螺栓结合面的处理方法最优计算应同方案4计算过程相同。

2.4　结合面刚度及法向与切向刚度差对模态固有频率的影响

对参加“2018年江苏省定向锦标赛暨江苏定向邀请赛”中的带队教练和教师进行本课题相关的专题访谈，为研究的内容分析和逻辑论证提供理论支持。

图6　法向刚度为1012时螺栓结合面仿真模型前四阶固有频率的变化

图7　法向刚度为1011时螺栓结合面仿真模型前四阶固有频率的变化

步骤2 对子制造任务集合MTask={mt1,mt2,,mtn}进行逐个任务类型判断，获得子制造任务类型矩阵TP(MTask)。

刚度差的以10为底的对数值偏小时，固有频率值变化不大；刚度差的以10为底的对数值适中(在2～6之间)时，固有频率急速下降，变化趋势最为明显；刚度差的以10为底的对数值过大时，固有频率的值基本保持不变。所以在设计螺栓和导轨结合面时，应该控制其法向和切向的刚度差，刚度差过大或过小对固有频率来说都是毫无意义的。

图8　刚度数量级之差固定时螺栓结合面仿真模型前四阶固有频率的变化

为证明结合面刚度最佳取值，保持固定刚度差的以10为底的对数值为2不变，逐渐增大法向和切向刚度，分别取法向刚度与切向刚度值为10的倍数进行有限元模态分析，可以得出前四阶模态固有频率的变化图，如图8所示。可知，在结合面法向和切向等效弹簧刚度差一定时，随着刚度增大，固有频率也随之增大；但在刚度增大到一定程度时，前四阶固有频率会保持不变。所以结合面的刚度过大或过小也是没有意义的，所以应该保持其在有效的范围内才合理。

3　结束语

本文主要研究了螺栓结合面的等效刚度的计算方法。对不同的方法进行了模态分析与测试实验。结果表明：螺栓结合面的刚度最佳计算方法为采用基于分形理论与域扩展因子的动态接触刚度理论模型进行计算。即计算时应考虑微观接触面积分布函数、分形维数和微接触大小分布域扩展因子等要素。

利用最小二乘法、气候倾向率和小波分析等统计方法。采用最小二乘法计算雷暴日数线性回归趋势方程，表达式为［3］：

同时研究了结合面法向与切向的刚度和刚度差对固有频率的影响。结果表明：随着结合面等效弹簧法向和切向的刚度差值的逐渐增大，螺栓结合面仿真模型，其前四阶的固有频率值都呈递减。在设计螺栓结合面时，应该控制其法向和切向的刚度差，刚度差过大或者过小对固有频率来说都是毫无意义的。在结合面法向和切向等效弹簧刚度的刚度差一定时，随着刚度的增大，固有频率也随之增大；但在刚度增大到一定程度时，前四阶固有频率会保持不变。结合面的刚度过大或者过小也是没有意义的，所以应该保持其在有效的范围内才合理。

参考文献：

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[4]　杨红平,傅卫平,王雯,等.基于分形几何与接触力学理论的结合面法向接触刚度计算模型[J].机械工程学报,2013,49(1):102-107.

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[6]　Wang S,Komvoppulos K.A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime:part Ⅰ—elastic contact and heat transfer analysis [J].Journal of Tribology,ASME,1994(116):812-823.

[7]　Wang S,Komvoppulos K.A fractal theory of the interfacial temperature distribution in the slow sliding regime:part Ⅱ—multiple domains,elastoplastic contacts and application [J].Journal of Tribology,ASME,1994(116):824-832.