舰载无人机着舰轨迹跟踪鲁棒控制器设计

1 引言(Introduction)

舰载无人机的着舰控制是舰载无人机研究的一个重要方向.与传统无人机着陆相比,舰载无人机着舰时姿态时刻发生变化,同时受到舰尾流、甲板运动等影响,为使其准确的降落在指定的区域,要求着舰控制系统具有较高的下滑轨迹控制精度,并且同时满足迎角、速度的要求,因此无人机着舰控制难度更大,精度要求更高[1].

针对舰载无人机着舰控制的研究现状,需要设计鲁棒性强、准确度高、跟踪快速的自动着舰控制方法.目前舰载无人机着舰控制律主要采用经典线性控制方法[2–3].然而,模型的非线性特征和模型参数的不确定性使得经典线性方法效果不是很理想.少有的非线性控制方法,如文献[4]采用指令滤波方法处理反步引起的计算膨胀问题,然后引入滑模控制来解决外界扰动和匹配不确定性问题,并引入积分过程降低滑模控制带来的抖颤;文献[5]采用反演控制方法针对小型舰载无人机的非线性模型,分别对其速度和航迹角设计了着舰控制律,并通过仿真分析了着舰的影响因素,如外界扰动和无人机空气动力学参数等影响;文献[6]从工程实现易行性出发,采用了新的积分滑模方法,旨在降低传统滑模方法带来的抖颤问题,并结合自适应模糊方法抵消了外界干扰带来的误差.另外,文献[7–9]等也采用了非线性控制方法.但以上研究或是将非线性模型配平进行线性化分析,或是没有考虑非线性模型的瞬态性能.

本文引入了受限指令方法,该方法在飞行控制律的设计中已经有所应用[10–12].L.Sonneveldt研究了受限指令方法在飞控中的应用,在文献[10]中设计了综合控制器,该方法能有效的解耦纵向和侧向控制;该学者又在文献[11]中采用B条神经网络设计了受限反演飞控控制律;文献[12]中对外环的惯性位置、飞行轨迹角、速度和角速率分别设计了控制律,并且只采用一个Lyapunov函数进行稳定性的证明.但是该方法不足是无法分析瞬态性能,只能进行稳定性分析.

综上,舰载无人机受限指令方法的研究,特别是受限指令方法的瞬态性能有待进一步研究.为此本文在研究舰载机非线性模型基础上,系统地提出了新的控制律设计方法,为了符合实际工程背景,考虑了舰载无人机舵机受限和角速率受限等实际问题,并采用光滑连续的正切双曲线函数来代替传统的不光滑的饱和函数;同时采用了预设性能反演等非线性控制方法分析非线性模型,并设计自适应律分析了模型的不确定性.该方法的提出使得设计舰载无人机控制律时,在讨论最终稳态性能的基础上进一步分析了瞬态性能,确保实现着舰轨迹的精确控制和对复杂环境的鲁棒性.

本文的结构如下:第2节进行了模型描述及转换;第3节给出姿态角控制器设计过程及稳定性证明;第4节给出速度控制器设计及稳定性证明;第5节给出着舰过程中仿真结果;第6节给出本文的结论.

2 模型描述及转换(Model description and transformation)

舰载无人机非线性数学模型为[13]

 

 

定义1 中间变量控制作为受限指令滤波器的输入,得到考虑约束的及其一阶导数输入u是未考虑受限的控制量,作为受限指令滤波器的输入便可得到考虑受限的控制量uf及其一阶导数.滤波器表达式为

 

本文之所以选取1980年至2015年间，流行歌手于北京和台北所举办的个人演唱会作统计，是因为两地分别作为中国大陆和台湾地区的演出市场中心，在整个中国流行乐坛中，均具有举足轻重的地位。北京和台北常常被流行歌手作为巡回演唱会的首站或最终站。

由于传统的饱和函数是不光滑的[1],而本文的双曲正切函数优势在于饱和函数是连续光滑的.而引入饱和函数导致的近似误差1将在综合扰动项中进行分析.

由于本文只分析纵向控制,因此Y=β=µ=0,并忽略侧滑角、滚转角.综上分析,得到纵向的迎角α和俯仰角θ以及俯仰角速率q的动力学表达式[14],并令x1=α,x2=q,x3=θ,u=δz,并考虑∆α和∆q,则式(2)–(4)可以表示为

 

注1 文献[1,5]需要假设并忽略δz对升力L的影响,即忽略了项,而本文通过假设1将该项的影响合并到有界干扰项∆α进行分析,并没有直接忽略掉.而其他项如LCy也在∆α进行综合分析,这样保证了模型的完整性.

首先引入受限指令滤波器的定义:

2015年股市大跌期间，A股停牌上市公司停牌数达到高峰。部分上市公司以股价异常波动为由申请临时停牌，一度造成“千股停牌”奇观。统计显示，2015年7月7日开盘前，沪深两市2781家上市公司中，停牌公司一度达到764家。

其中:L,D,Y,T分别是升力、阻力、侧向力和推力;α,β,ϕ,θ分别为迎角、侧滑角、滚转角和俯仰角;p,q,r分别滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度;m,g分别为飞机重量和重力加速度;VT是舰载机速度;M为俯仰力矩;Iyy为绕俯仰轴转动惯量;δz为舵面偏角.另外,

 

其中:q1和q2为滤波器状态,ξ为阻尼比,ωn为自然频率,SM(·)和SR(·)分别为幅值与速率饱和函数[11],其中uM为饱和函数中的饱和幅值.

本文采用双曲正切函数对饱和函数SM近似处理,描述如下:

 

式中1(v)=sat(v)−h(v)为有界函数,其界为

 

假设1 ∆α和∆q为构建严格反馈模型的忽略项以及未建模动态项,假设∆α和∆q为未知有界函数,但其上界无需已知.

考虑式(7)–(9),式(5)可以等效于

 

注2为本文假设的综合干扰项,通过以上的有界性假设和分析,得到∆1,∆2均有界.但本文不需要已知其上界,这样的假设拓展了本文方法应用范围.

“老头媳妇去世后，一般比老太太还可怜，很多自己不会做饭、洗衣，干不了家务，也不受儿子、媳妇欢迎”。 （C4,女，62岁）

注3 速度VT的控制器在第4章节单独进行设计,因此未体现在模型(10)中.

假设2期望轨迹及其一阶导数连续有界.

假设3[15] 存在常数g20>0,使得|g2(x1,x2)|>g20成立.

假设4 输入和状态受限的幅度和速率已知.

定义2[16] 连续函数ρ(t):R+→R+称为性能函数,并且同时满足以下两个条件:

1)ρ(t)为正且严格递减;

2)

本文对未知参数Θ1进行估计,且

在对元曲的推尊形式上，朱权《太和正音谱》与贾仲明《续录鬼簿》是明初最主要的两部曲学论著，前者以评价作家整体风格面貌为主，后者以描述作家人生传略为主，均没有就具体作品、典型词句展开细致分析，可见当时“尊元”倾向还处于粗线条的作家作品概况描绘阶段，尚未转入对作品字斟句酌的细节品评。而且两部著作均以杂剧作家为主要评述对象，也可以看到当时“尊元”的主要视野范畴在于北曲系统，罕涉南戏。换言之，元人以北曲为声音正统的“中原正音”观念，也明显为明初曲学所承袭。

 

其中M∈[0,1]为设计参数.同时,性能函数取为ρ(t)=(ρ0−ρ∞)e−lt+ρ∞,其中:ρ0,ρ∞,l>0为预先设定的常数;跟踪误差z(t)收敛速度的下界等于ρ(t)的衰减速度,同时保证z(t)的最大超调量不大于Mρ(t).因此,通过选择合适的性能函数ρ(t)和常数M,便可以实现对跟踪误差的稳态性能和瞬态性能进行限制.

将式(11)和式(12)所示的约束不等式,通过误差转换函数转化为非约束形式,转换函数定义为

 

综上,建立原系统(10)的全状态等效误差模型

对于货车，满载和空载时各前轮定位参数均有变化，而在检测时汽车是空载运行。为符合车辆实际运行状态，应检测汽车满载运行时的前轮定位参数。即空载时侧滑量偏大，而满载时汽车正常运行不受影响。对此类汽车，也应具体问题

1)设计舵面偏转角u,当满足受限条件:u6|uM|,xi6|Mi|(i=1,2)时,迎角x1能跟踪期望的迎角同时保证闭环系统中的所有信号都有界.

2)迎角和俯仰角速度的补偿跟踪误差i(i=1,2)(具体定义见式(15))满足预先设定的稳定性能和瞬态性能.

CUI Xiaowei， DI Yanqing， LENG Xinyan, et al. Study on the stabilization of Pb2+ by cementitious materials prepared with metallurgical slag[J]. Conservation and utilization of mineral resources, 2018(6):103-106.

  

图1 纵向着舰系统结构图Fig.1 Structure of longitudinal landing control

3 姿态角控制器设计及稳定性证明(Attitude angle design and stability analysis)

3.1 姿态角控制器设计(The controller of attitude angle design)

本文假设跟踪误差为

 

并定义补偿跟踪误差为

 

其中为了对受限引起的影响进行补偿,引入补偿变量ζi如下:

由上述实验得出，亚硝酸盐替代效果最好的发色剂为红曲红，最优的发色剂复配组合为红曲红与蛋黄粉以1∶2复配，因此选取最优的这2组替代品，添加量均为0.008%，进行光稳定性实验。由图6可知，将肉脯暴露在光照条件下11天，红曲红组的肉脯红度值远高于其他组，说明红曲红的发色性及光稳定性均优于其他组。红曲红与蛋黄粉复配组的红度值在4天之前高于亚硝酸盐，但在6天之后的红度值则低于或接近亚硝酸盐，因此，红曲红与蛋黄粉以1∶2复配的稳定性低于亚硝酸盐。

 

其中:Pi>0为待设计参数,ud是未考虑受限的控制量输入,uf是考虑受限的控制量输入,是考虑受限的状态量.的具体定义将在控制器设计过程中给出.

首先,对式(13)进行转化,得到ε1的表达式为

 

并对其求导可得

 

代入得

 

结合式(10)(19)可得

 

同理可得

 

图1为本文纵向着舰系统结构图.本文设计的控制目标:

 

vi为关于状态和时间的已知函数.

结合假设2–4和新的等效误差模型(22),在此基础上进行舰载机预设性能分析并进行控制器设设计.

图2为纵向受限指令预设性能控制器设计图,从图中可以看出,本文是在新的等效误差模型基础上设计控制律,不同于之前的着舰控制律设计方案.

其中:为动压,S为舰载机气动参考面积,为空气动力学参数.

  

图2 舰载无人机纵向受限指令预设性能控制器Fig.2 Controller of constrained command prescribed performance of UAV longitudinal

步骤1 考虑系统(22)的第1个式子,代入得到

 

为了表示方便,下文fi(xi),gi(xi)表示为fi,gi.定义在ε1中引入变量式(23)表示为

 

重新整理为

 

进一步可以表示为

 

代入式(16)中的1,得到

 

由于模型f1存在未知参数LCy等,因此不能直接在控制律中使用.未知参数为

 

为实现定义2中的条件2),可以进一步考虑如下不等式:

为使式(22)的系统稳定,设计虚拟控制量为

 

并设计自适应律

我校会计学课程建设加大了管理会计课程的比重，增加管理会计专业知识的比重，构建财务转型时期的会计学人才培养体系。在会计学专业与CMA管理会计相关课程有机整合的基础上，形成新的课程体系。当前课程体系培养财务人员财务管理能力、战略思维能力、分析判断能力、组织管理能力等。

 

其中λ1,λ2为设计的正常数.

步骤2 考虑系统(22)的第2个式子

 

由于模型f2存在未知参数Mα z等,因此不能直接在控制律中使用.未知参数为

 

未知参数的估计,且同时也未知,在控制律设计中用对其估计,且5=5−θ5.

南水北调工程供水息税前利润（EBIT 调）＝工程供水价-水资源费-工程成本-管理维护费。这里，水资源费应充分考虑给南水北调工程水价带来的成本压力，应免征或延后低征。

代入式(16)可得

 

设计实际控制量为

下过大雨，你来看看葡萄园吧，那叫好看！白的像白玛瑙，红的像红宝石，紫的像紫水晶，黑的像黑玉。一串一串，饱满、瓷棒、挺括，璀璨琳琅。

 

m2为设计的正参数,具体含义将在下文稳定性证明过程给出.

设计自适应律

 

λ3,λ4为设计的正常数.

设计控制增益的自适应律

 

其中λ5为设计的正常数.

3.2 稳定性分析(Stability analysis)

定理1 对于全状态等效误差模型(22),在假设1–4的前提下,采用控制律(26)(29)以及自适应律(27)(30)–(31),使得系统中所有信号有界,且补偿跟踪误差1,2满足预先设定的性能要求.

证 选取Lyapunov函数为

 

对式(32)求导得到

 

将式(22)代入式(33)得到

1.正面示范法（镜面示范法）。也就是老师和学生面对面站立，老师要做与学生相反的动作，学生看老师就像照镜子一样，老师的动作方向和自己完全一致，学生看着清晰，学起来容易，不过增加了老师示范的难度，毕竟是做的反方向动作，如徒手操，要求学生做左脚左移半步成开立时，老师示范就反方向做右脚右移半步成开立，给学生呈现的是左脚左移半步成开立的视觉效果，正面示范法适用于简单的体育动作，要求老师意图清晰，思维敏捷。

 

等式右边第1项展开成如式(25)的形式,继续分析可得

 

 

由于且

 

式(35)进一步为

 

将设计的控制律(26)(29)代入式(36),可得

2型糖尿病是一种慢性疾病，多为成人发病，占糖尿病患者的大多数。2型糖尿病主要由于胰岛素产生量减少或胰岛素量不少，但有胰岛素抵抗，胰岛素的作用较正常人明显减弱。2型糖尿病主要是由于代谢紊乱引起，对多器官、多组织具有慢性的损害，严重影响患者的生存质量。

 

将自适应律(27)(30)–(31)代入式(37),可得

POD的基本数学思想为：假设空间上有m个离散采样点x1,x2,…，xm，单次采样即可同时得到这m个离散点的值u(x1),u(x2),…，u(xm)；共采集N次，得到空间场(u1(x1),u1(x2),…，u1(xm))，(u2(x1),u2(x2),…，u2(xm)),…, (uN(x1),uN(x2),…，uN(xm))，以矩阵的形式表示为

 

因此式(38)进一步写成

 

则式(39)进一步可得

 

由式(40)可知,接下来需要确定析的正负号.

首先对误差函数进行分析,选择

 

其中a1为设计的参数(本文选择a1=1).对其图像进行分析,其函数通过原点.这样选择S2(ε)对接下来分析尤为重要.

由S(ε)性质可知为光滑、严格递增且可逆,因此是有界的.因此可引入拉格朗日中值定理,得到

 

因此存在常数使得m2.结合式(17),易知

 

因此式(40)进一步可得

 

由注2推出∆1,∆2为有界干扰,并且未知常数

 

有界.假设上述有界项的和的上界为B,则式(41)最终变为?

 

其中

 

由Lyapunov稳定性定理分析可得:有界.结合误差函数S(ε)和性能函数ρ的性质可得1,2有界,并且满足预先设定的稳态性能的要求;文献[16]证明了ζ1的有界性,因此由1=z1−ζ1可知z1有界,由z1=α−αc及αc的有界性可知状态α有界,中间控制律(26)中每一项都是连续有界的,由于虚拟控制量qd及其通过受限滤波器后的qc,˙qc有界,结合z2=q−qc和2=z2−ζ2以及ζ2有界性(由ζ1有界可类比推出)可知状态q有界,控制律(29)中每项连续有界.因此控制量δ有界.综上可得系统中所有信号有界,且补偿跟踪误差1,2满足预先设定的性能要求.

4 APCS速度控制(APCS velocity control)

另外,安全着舰还与着舰速度有关,舰载机仅仅依靠自动飞行控制系统不能精确控制飞机的下滑轨迹,需要采用动力补偿系统(automatic power compensator system,APCS)来控制舰载机的着舰速度.速度的动力学方程为

 

参考文献[17],假设跟踪误差zV=V−Vr求导得

 

 

θV为未知参数向量,φV(α)∈R3是可获得的向量.由于D=CD0+CDαα +D=CDα2α2,因此定义

 

并且参数

 

控制增益kV>0并且ΓV=ΓTV>0,通过采用式(45)确保V有界,并且误差zV收敛到0.

注4 由于针对速度单独设计控制律的文献成果较多,速度控制器设计不是本文设计的重点,本文参考了文献[17]的成果.

5 仿真验证(Simulations)

着舰过程中需要考虑舰尾流的影响,本文采用的是目前使用较多的军标MIL--HDBK--1797[18]中描述的舰尾流模型,包括雄鸡尾流、尾流随机分量、周期分量和随机自由大气紊流分量.在此不再列出模型和表达式.

注5 由于本文分析的着舰轨迹跟踪的阶段,与文献[4]设计整个着舰过程不同,不涉及最后的甲板跟踪运动,因此不需要考虑加甲板跟踪补偿运动.

为了验证本文控制器设计的正确性,具体模型参数见参考文献[19].预设性能函数为

 

参数k1=4,k2=10,kV=1.5;自适应律参数λ1,2,3,4,5=0.1;受限参数选取为

δL= −25,δU=35,qU=25(◦)/s,qL= −25(◦)/s;受限指令滤波器参数设置为ζ=1,ω=10;初始值

 

跟踪目标为

 

为验证控制器的跟踪性能,在20 s之后加入舰尾流扰动信号,并在仿真结果中和未加入舰尾流信号进行对比.

由于舰载机下滑需要保持下滑轨迹角恒定[20],下滑角和迎角以及俯仰角的关系为γ=θ−α.本文将下滑轨迹角设定−3◦,即图9和图6相差3◦.

由图3得到采用新的误差模型的迎角补偿跟踪误差最大超调量不到0.1,从图3第2个图得到采用预设性能方法的误差在预设的范围内,只在10 s时跟踪目标改变出现了较大变化;图4迎角的误差会超出预设的范围是因为物理受限限制角速度,但是由于采用预设性能方法,在13 s左右时间内迅速收敛到预设范围;图5虚线为未加入预设性能的误差曲线,实线为考虑预设性能的误差曲线,对比可发现采用预设性能后收敛速度较快,且超调量较小;图6迎角很好的跟踪了目标迎角,且收敛速度较快;图7由于采用了受限指令滤波方法,使得实际角速度不能无限增大,本文设计的方法使得幅值在限制的范围内;图8表示控制舵面随时间变化的情况,从图8得到在受限指令滤波和补偿误差的作用下,舵机指令在要求的控制边界内,符合实际工程中舵面偏转角度在一定的范围内;图9为俯仰角控制曲线;图10为自适应曲线.

  

图3 迎角误差及预设性能曲线Fig.3 Angle of attack error and prescribed performance

  

图4 俯仰角速度误差及预设性能曲线Fig.4 Pitch angle rate error and prescribed performance

  

图5 预设性能对比图Fig.5 Compariton of prescribed performance

  

图6 迎角及跟踪目标曲线Fig.6 Angle of attack and tracking curve

  

图7 受限俯仰角速度曲线Fig.7 The constrained pitch angle rate curve

  

图8 舵偏角曲线Fig.8 Rudder angle curve

  

图9 俯仰角曲线Fig.9 The pitch angle curve

  

图10 参数自适应曲线Fig.10 Parameters adaptation

6 结论(Conclusions)

本文针对存在建模误差和外界环境扰动的着舰非线性模型,提出了一种新的受限指令预设性能分析方法,旨在确保着舰时准确地跟踪目标轨迹并且保证鲁棒性.本文不足是在设计控制器过程中涉及的参数过多,在手动调整控制器参数时会比较费时.该方法通过设计自适应律对模型中动力学未知参数进行估计;考虑舵机受限和角速率受限等实际工程问题,采用了双曲正切函数对传统饱和受限系统近似;创新性地引入预设性能分析方法,在稳态分析的基础上重点对瞬态性能进行了分析.稳定性分析和仿真研究均验证了设计方法的有效性.

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