UP50工业机器人加工大直径螺纹的运动学分析

工业机器人是现代工厂实现生产自动化、信息化的重要装备，可用于焊接、喷涂和搬运等作业。如果在工业机器人末端装上相关驱动装置和刀具，即可代替机床的加工进给运动，这将有助于解决传统机床在施工现场加工大型零部件时存在的装夹困难、运输成本高、耗费时间长等问题。如大直径螺纹[1]在施工现场损坏后，如运用机器人可实现现场直接加工修复，那么以上的问题将会得到较好的解决。本文以机器人在不同进给速度下，加工不同大直径螺纹为实例，分析总结机器人各关节在关节空间的变化情况，以便为进行关节空间螺旋轨迹规划获得更好的基础条件。

由于现在大部分工业机器人采用的插补方式是直线插补和圆弧插补，很少采用螺旋插补，因此可以借鉴工业机器人在笛卡尔空间的轨迹规划方法和数控机床螺旋插补原理，对螺旋线进行插入节点分割，在保证一定精度要求的前提下，在两个分割节点之间运用机器人现有插补方式进行插补，以达到运用工业机器人进行螺旋插补的目的。

1 工业机器人Motoman UP50模型的建立

1.1 机器人运动学正解

采用D-H法[2]建立机器人的运动学方程。定义机器人不同位姿时，坐标系{i+1}与坐标系{i}的变换矩阵为：

 

(1)

式中：zi为坐标系{i}中的z轴；θi为机器人第i个关节角；βi，di，αi，ai为机器人零位时的连杆参数值。本文采用后置坐标系方法[3]建立机器人坐标系，如图1所示，得到的Motoman UP50对应连杆参数[4]见表1。

  

图1 D-H坐标系 表1 机器人连杆参数表

  

αi/(°)βi/(°)ai/mmdi/mmθi/(°)-90-901450θ118008700θ2-9001100θ39000-1025θ4-90000θ518000-175θ6

表中：αi为zi-1轴绕xi-1轴旋转至zi轴时的扭角，正负通过右手法则判断；βi为机器人在零位时各关节的关节角度；ai为zi-1轴与zi轴之间的公垂线长度，正向与xi一致；di为xi-1轴沿zi轴移动至xi轴时的位移，正向与zi一致；θi为xi-1轴绕zi轴旋转至xi时的转角，正负通过右手法则判断。

将表1的连杆参数代入式(1)，得到各连杆变换矩阵：

 

 

 

 

 

 

式中c1为cosθ1，s1为sinθ1，以此类推。

根据以上连杆变换，即可推导机器人末端坐标系与基坐标系之间的变换矩阵，如式(2)所示：

 

(2)

即：

 

(3)

式中：p为刚体在固定坐标系中位置的齐次坐标表示形式；n，o，a为刚体坐标系的轴和固定坐标系的轴之间的方向余弦，并用齐次坐标形式的(4×1)列阵分别表示。式(3)即为UP50型机器人运动学的正解。

1.2 机器人运动学逆解

求解机器人运动学逆解的方法有很多，在此应用代数法[5]来求解Motoman UP50工业机器人运动学逆解。

θ1=arctan[2(175ay-py,175ax-px)]

(4)

θ2=arctan[2(A2,B2)]-arctan{2[C2/ρ,

其实，不光孩子有分离焦虑症，我也有，尤其是我自己带大的孩子，天天在一起，突然他要有他自己的生活小圈子了，我还挺失落，开始的时间我总是找好多事情塞满他没在身边的时间。

诗歌作为一种话语方式，以其特殊的韵律和节奏临摹社会和现实、仿拟自然和世界等具体事物，除此之外，更注重借助韵律和节奏映射诗人的独特感受和对客观世界抽象事物的认知和诠释。[8]诗歌是带有音乐性的思想。[9]诗歌本身就是一种比较注重韵律和节奏感的体裁，所以，构成诗歌的语言成分不仅要有助于表达出诗歌的意义和内涵，而且要使读者感到琅琅上口。诗人通常会借助于具有韵律性的语言词汇，或直抒胸臆或间接委婉地抒发内心的情感，使得诗歌不仅外在形式美观，而且内在表达情感丰富。因此，读者通过朗读诗歌可以跟诗人产生精神上的共鸣。

 

(5)

式(5)中正负号对应于θ2的2个解，在求解具体工业机器人运动学逆解时，可通过数据验证确定正负号[6]。

θ3=arctan[2(110B3+1 025A3,110A3-1 025B3)]

(6)

θ4=arctan[2(B4,A4)]

(7)

θ5=arctan[2(-A4,175B5c4)]

(8)

θ6=arctan[2(B6,A6)]

(9)

其中:

2 普通螺旋线

设螺旋线的半径r=50mm，螺距p=6mm(以下如不特殊说明，都是以mm为单位)，螺旋倾角为ψ0。假设螺旋线轴线与工件坐标系{W}的z轴重合，且起始点从其x轴开始，螺旋线的空间坐标原点为(xt，yt，zt)=(0，0，0)，则螺旋线在工件坐标系{W}中的参数方程[7]如式(10)所示。

 

(10)

式中：φ为参数变量。

螺旋倾角ψ0可由式(11)得出：

 

(11)

φ从0到p变化一次，生成一个螺距的螺旋线。运用MATLAB可显示在基坐标系{o}下的螺旋线图形，如图2所示。

本文通过对不同类型的道床结构的车内噪声进行测试分析，研究车内噪声与道床类型之间的关系，得到主要结论如下：

  

图2 螺旋线

3 倾斜螺旋线各节点的位姿

3.1 截取节点

螺旋线是机器人末端执行器的运动路径，如果要对螺旋线轨迹进行规划，就必须在螺旋线上截取一系列的路径节点，而且这些节点的位姿需用齐次矩阵的形式表示出来。

采用折线拟合螺旋线的方法[8]，向xoy平面投影(如图3所示)。设步进角为αc，控制误差为δmax(普通数控加工误差可取0.01mm)[9]。

在xoy平面上：

2)将与机器人末端执行器固接的直角坐标系再绕空间直角参考坐标系的z轴旋转π，这样会让机器人的末端坐标系z轴方向与空间直角参考坐标系的x轴重合。

 

即：

αc≤2·arccos(1-δmax/r)

现有的研究生新生入学教育主要存在两种现象，第一种为忽视研究生特点的“形式化”教育，入学教育基本采取学校开大会、学院开小会、集中进行讲座的形式。该种现象形成的根本原因是认识不到位，认为研究生有导师一对一的教育，无需再进行完整的入学教育。这种观点忽视了研究生入学教育的重要性，导致研究生入学教育只停留在表面，并没有形成真正合理完整的体系。

(12)

根据步进角选取节点，节点数为：

n=ceil(2·π/αc)

式中：ceil为MATLAB函数。向正无穷取整得到的n为158。

  

图3 投影图

3.2 节点姿态和位置

为了得到更精确的分析结果，取3个螺距的螺旋线进行分析、研究。

假设工件坐标系{W}相对基坐标系{o}的变换

 

3.2.1 节点位置

Tr=angvec2tr(ψ0,k(i,:))·Rot(x,π/6)·Rot(z,π)·Rot(y,-π/2)

当前，世界格局加快演变，世界各国相互依存、休戚与共。推动 “一带一路”建设，各国要秉承 “共商、共建、共享”，牢牢抓住发展这个 “最大公约数”，在国际上， “中国欢迎各方搭乘中国发展的 ‘快车’、 ‘便车’，欢迎世界各国和国际组织参与到合作中来”[1]；在国内，各省市积极响应“一带一路”建设，审时度势、抢抓机遇、顺势而为。湖南作为红色资源大省，充分发挥红色文化中所蕴含的民族精神和历史价值，是坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛的客观要求，也是湖南省开放崛起和建设富饶美丽幸福新湖南的必然需求。

 

(13)

已和TW(:,:,i)，可求得To(:,:,i)，如式(14)所示：

 

(14)

如J的第一列为[0 1 170×dθ1 0 0 0 dθ1]，则表示在位姿q=[0 0 0 0 π/2 0]时，关节1的微分转动dθ1反映到末端在基坐标系下的微分运动为[0 0 0 0 π/2 0]，由此可知速度雅克比是准确的。

3.2.2 节点姿态

假设在开始控制机器人时，机器人末端刀具上空间直角坐标系3个坐标轴的方向与参考坐标系各坐标轴的方向对应一致。已知刀具旋转轴线与关节6轴线夹角为90°，末端坐标系yoz平面是砂轮所在平面，末端坐标系的x轴方向是电主轴所在方向。具体变换如下：

1)空间直角参考坐标系固定不动，使与机器人末端刀具固接的空间直角坐标系绕空间直角参考坐标系的y轴旋转-π/2，这样会让机器人的末端坐标系轴x与空间直角参考坐标系的z轴重合，此时呈竖直向上的形状。

鳗鱼带肉骨→预处理→净鳗鱼带肉骨→烘干→干鳗鱼带肉骨→粉碎、均质→鳗鱼肉骨粉→水提→鳗鱼肉骨粉料液→酶解→酶解液→均质→喷雾干燥→成品。

3)由于工件坐标系相对于基坐标系的变换所以需将机器人的末端坐标系再绕空间直角参考坐标系x轴旋转π/6。

4)以上已经假设过此空间螺旋线的倾角为ψ0，因此使机器人末端坐标系绕空间螺旋轴k旋转ψ0，最终可得到机器人末端坐标系姿态矩阵Tr。

经过以上4步变换后，可以得到与机器人末端执行器固接的空间直角坐标系姿态矩阵Tr。调用MATLAB函数angvec2tr()可得节点姿态矩阵Tr，具体表达式如式(15)所示：

由上可知，在螺旋线上截取的节点数为n，则螺旋线方程式(10)中变量φ的步进为p/n。现假设φ从0每隔p/n取点，到3p为止，然后通过螺旋线方程式(10)可得各节点在工件坐标系的位置坐标(xW(i),yW(i),zW(i))。机器人末端坐标系原点的齐次矩阵序列TW(:,:,i)如式(13)所示：

(15)

式中空间螺旋轴k是在空间螺旋线上随着机器人末端位置改变而不断变化的单位方向向量(机器人末端沿螺旋线上升过程中，出现在每个节点所处圆平面上的圆半径方向，方向朝里)，k的数学计算公式在MATLAB中可用数学函数reshape()[10]得到。具体表达式如式(16)所示：

 

用矢量积法计算Motoman UP50工业机器人的速度雅克比矩阵，并用特殊点验证雅克比矩阵的准确性。

(16)

由此可知，k是一个(3n+1)×3阶矩阵，矩阵的每一个行向量代表对应节点的螺旋轴单位方向向量。

最后，在得到节点位置矩阵和姿态矩阵后，运用MATLAB循环程序将两者融合成节点位姿矩阵T(:,:,i)，矩阵T是4×4×(3n+1)阶矩阵，即(3n+1)个节点在基坐标系{o}的位姿矩阵序列，节点位置如图4所示。

造成列车通信网络故障的原因多种多样。从表面上来看，故障主要表现为整个网络通信不稳定、多个设备频繁离线，或者某一个设备离线。对于第一种故障情况，故障原因往往较为复杂，这里不做详述，本文将重点针对第二种故障情况进行研究和分析，结合现场实际发生的故障深入探究。

  

图4 节点位置

4 验证机器人模型

因为本实验取3个螺距的螺旋线进行分析、研究，所以总节点数为3×158+1=475。

取第一个节点来验证机器人模型正、逆解准确性，并确定唯一逆解。由以上MATLAB程序可得前两个点的位姿序列如下：

 

求节点1在关节空间对应的位移向量。在式(5)的计算中，分别取负号、正号，可得：

而在《十日谈》中，薄伽丘正是在很多时候摆脱了这种二元对立[11]的简单结构，如第七天故事的主题为“妻子捉弄丈夫的故事”，而第八天的故事主题为“互相捉弄的故事”。这二十个故事足足占了整部作品五分之一的笔墨。仔细品味作家的语言，会发现薄伽丘笔下的那些捉弄丈夫的妻子，并非“魔鬼”，她们的结局也不都是悲惨的。相反，她们中有人凭借智慧得到了自己想要的东西，有人沉湎于婚外情中，却无法引起读者的愤恨，有人为自己的蠢笨付出代价，却只是为了博读者一笑。作品中，更多的女性像男性一样享受肉欲满足所带来的快感。可以说，薄伽丘并没有以一种胜利者的姿态对女性抱有同情的态度，在很多时候，他笔下的女性与男性并无差别。

小家伙是个可爱小男孩，如果不是有点儿智障的话，他本来是应该更可爱的。守在一旁的父母都急出了眼泪，小家伙却依旧浑浑噩噩地坐那里傻笑。若不是他喘的利害和不停咳嗽，你简直看不出他还是个小病人。

 

 

将q1代入式(3)中，得

 

将q2代入式(3)中，得

Sage-Husa自适应卡尔曼滤波可以实时地估计和修正系统噪声和量测噪声的统计特性，这一过程的实现，是通过时变噪声估计估值器来实现的，同时利用了量测数据进行递推滤波。从而达到降低系统模型误差、抑制滤波发散提供滤波精度的目的。

 

经过比较发现：取正号时，求解的位姿与实际位姿相差非常大；而取负号时，误差则非常小。综上可知：在求解θ2的式(5)中，取负号满足计算要求。

5 螺旋线各节点的位移、速度、加速度向量图像

5.1 各节点关节空间的位移向量

对运动学逆解表达式(4)～(9)进行编程，可得475个节点在关节空间的位移向量。通过MATLAB可分别显示6个关节在各节点关节角的连线，使6个关节在关节空间的关节角变化更直观，如图5所示。

  

图5 关节角

5.2 各节点关节空间的速度向量

关节速度求解公式，如式(17)所示：

 

(17)

式中：J(q)为机器人雅克比矩阵，是6×n的偏导数矩阵。

工业机器人末端在工作空间的速度表示为：

 

设机器人末端在z轴方向为恒速：

vz=0.2mm/s

(18)

则第i个节点的其余速度分量可表示为：

 

vx(i)=wz(i)·r·sin[(i-1)·αc]

机器人末端加速度方程为：

zeros(1,3n+1)],3n+1,3}

计算J内元素的方法相同，本文只给出J1各元素：

J=[J1 J2 J3 J4 J5 J6]

J1=[j11 j21 j31 j41 j51 j61]

(19)

j11=-145s1-870s1s2-110s1s(2-3)-1 025s1c(2-3)-175s1c(2-3)c5-175c1s4s5-175s1s(2-3)c4s5,j21=145c1+870c1s2+110c1s(2-3)+1 025c1c(2-3)+175c1c(2-3)c5-175s1s4s5+175c1s(2-3)c4s5,j31=0,j41=0,j51=0,j61=1。

为了验证得到的速度雅克比的准确性，计算q=[0 0 0 0 0 π/2 0]时的机器人雅克比，结果为：

 

其中矩阵的最后一列。

已知速度雅克比矩阵、操作空间的机器人末端速度，可获得475个节点在关节空间的速度向量。通过MATLAB可分别显示6个关节在各节点角速度的连线，使6个关节在关节空间的角速度变化更加直观。

为检验数值计算结果的可靠性，将两处地表GPS监测点的计算位移与实测位移进行对比分析(见图12和图13)，可得以下基本认识：

  

图6 关节角速度

5.3 各节点关节空间加速度向量

vy(i)=wz(i)·r·cos[(i-1)·αc]

为了推进农村金融创新，需要构建促进农业农村现代化金融服务可持续发展的配套辅助机制，包括完善金融机构评级体系、现代农业金融服务绩效评价制度、审计监督机制、支付体系、流动性保障机制和信息披露机制等。

 

(20)

其中：

 

(21)

式中：Hmn为雅克比矩阵J的第m行n列元素Jmn对q的偏导数，为6×1矩阵。

广西健身休闲产业尚处于初步发展阶段，还有很大的提升空间。广西健身休闲行业目前存在自主经营、委托经营和合作经营三种模式。2016年，广西实施体育赛事兴旺工程，改革赛事引进机制，着重在有重大影响力的赛事上发力；创建多元主体办赛机制，引导社会力量积极参与，探索政府购买赛事服务等多种途径；探索建立各级联动办赛机制，形成自治区、市、县（市、区）三级联动举办重大赛事机制。自治区体育局与阿里体育、华奥星空等区外优秀体育组织建立战略合作关系，在赛事引进、场馆运营、体育云平台、体育大数据等方面开展全方位合作。

引进矩阵层如下所示：

 

(22)

称H为二阶系数矩阵，并规定

 

(23)

结合式(20)～(23)有：

 

(24)

根据式(24)可算得Hmn，最后可得二阶系数矩阵H。

因为在操作空间里的机器人末端速度为匀速，所以可得：

对式(24)编程，求得475个节点在关节空间的加速度向量。通过MATLAB可分别显示6个关节在各节点角加速度的连线，使6个关节在关节空间的角加速度变化更加直观，如图7所示。

5.4 不同加工速度加工不同直径螺纹

采用上述计算、仿真过程，得到以不同速度vz加工不同直径螺纹的全部结果。例如：用vz=0.1mm/s的速度分别加工直径64mm～280mm的螺纹，其他亦是如此。

vz分别取0.1mm/s、0.2mm/s、0.4mm/s、0.5mm/s、0.8mm/s、2mm/s、3mm/s、4mm/s、5mm/s。

  

图7 关节角加速度

普通大直径螺纹参数见表2。

 

表2 螺纹参数 mm

  

直径64728090100110125螺距4666668直径140160180200220250280螺距8888888

6 结论

1)相同的速度(vz)下，随着加工螺纹直径的增大，各关节位移变化幅度增大，速度变化幅度增大，加速度变化幅度减小。

2)相同加工直径下，随着加工速度的增大，各关节速度增大，加速度也增大。

3)机器人有针对地修复加工大直径螺纹，可大大提高其加工精度和效率。

参考文献：

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