加权Besov函数的Carleson刻画

0 引言

人们在研究实际问题时，总是在寻找合适的函数空间，所以函数空间理论一直是数学各分支的一个重要研究课题，特别是解析函数论和调和分析等分支。在单位圆盘上，Zhao R[1]引入了一类解析函数，记为F(p,q,s)。这类解析函数空间包含很多已知的空间，如块空间、Bergman空间和加权的Dirichlet空间。在上述解析函数空间中，Yang Q等[2]利用调和函数替换解析函数，引入了一类所谓的加权Besov函数空间本文将引入一类新的Besov函数空间， 并利用Carleson测度对其进行刻画。

在描述定义和定理之前，先介绍一些必要的数学符号。对于1≤q<+∞，我们定义上函数f(x,t)的空间梯度为:

通过上述几个范畴的分析，我们可以看出鲁迅在《野草》中一系列的哲学思想并不是单独存在的，而毋宁说是互为因果、相互交融的。它们都指向了鲁迅生命中的一个永恒的悖反，那就是为着人的解放与自由而对自我进行深深地剖析，在反抗绝望的不懈努力中完成自身的人格塑造，如野草于不幸中寻求生存意义一般既腐朽无矣又无可腐朽。人的一生或许都在回答那些一开始就在困扰我们的问题，鲁迅也选择了这样的命运。《野草》既是一个终结，又是一个开始，诗人对于人生的探索并没有就此停止。面对虚妄的世界，鲁迅选择的个体生存准则就是独立自强的自我、执着现在的真实、承担痛苦的能力、拯救世界的大爱以及直面人生的勇气……

|▽f(x,t)

(1)

再引入如下的加权Besov函数空间。

定义1.1 令 1≤q≤p<+∞,0≤γ1<,γ2≤和λ≥加权的Besov空间是指所有满足如下条件的函数:

,,<+∞,

(2)

反过来，固定一点(y,u)∈，令I是以y为中心，2μ为边长，各边平行于坐标轴的方体。对任何的非负整数m，我们用Im表示与I同心且边长为2ml(I)的方体，也就是I的2m倍扩张。那么:

(f,(y,u)=

港区东北部设有消防泵房，离码头区域约300m，消防水泵工作流量为108m3/h，扬程为80m。经计算，满足《装卸油品码头防火设计规范》6.5.7.1，水泵起动后将泡沫混合液输送到最远灭火点的时间不超过5min的要求。柴油库区有一套泡沫消防设施（该泡沫消防系统属于深圳市中南石油有限公司）。本工程消防栓用水管接原港区消防管道，泡沫栓管道接原有泡沫系统管道。

 

(3)

注 1.1 取，即为文献[2]中的加权Besov空间。进一步地，如果q=p=1，λ=0，γ1=0,则这个空间为Bergman空间；如果q=p=∞，λ=0，γ1=0,则这个空间为经典的块空间。

为了得到Besov函数空间的Carleson刻画，先介绍Carleson测度的定义。 对于1个方体I，Carleson盒子定义为：

S(I)=I×(0,l(I)]={(x,t)∈∶x∈I,t∈(0,l(I)]}。

东半壁店小流域施用的农药主要有乙草胺、2,4-D丁脂、吡虫啉、毒死蜱、丁草胺、克百威、氟虫氰等，此外，还使用一些其他有机磷类、有机氯类、菊脂类和其他类农药；化肥以氮肥和磷肥为主。据大兴区农业面源污染普查数据，东半壁店小流域化肥施用强度为1 413.37 kg/hm2，大大高于生态清洁小流域化肥施用强度250 kg/hm2的标准，面源污染严重。

(4)

这里的方体是指各边平行于坐标轴的正方体。

给定p>0,我们称正Borel测度μ是一个p-Carleson测度，是指存在正常数C，使得对任何的方体I都有：

μ(S(I))≤C|I|p。

(5)

注1.2 当p=1时，μ就是经典的Carleson测度[3]。

三通两平台指的是实现开通校园宽带网络、班级资源、学习范围网络、教学资源服务平台、教学管理服务平台，其直接关系着信息化教育教学的环境好坏。力争创建出设施先进、资源充足的信息化教育教学的外围环境,达到教师在进行信息化教学条件，对学生的学习过程创造有利条件。

1.教学的简约化是时代的需要。简约化已经是具有时代气息的价值理念，人类的认识总是经历简单——复杂——简约的过程，而简约决不是回到从前，而是超越与进步，力避繁琐、崇尚简约作为一种新的时代精神要求，已经渗透到生活的各个领域，课堂教学作为教师向学生传播人类价值理念的平台，理应发现、发扬、崇尚这一真正以学生为本的基本理念，教师和学生应该过一种简约轻松而深刻自由的教学生活。

当且仅当μ=|▽f(x,t)|qtq-1-qγ1dxdt时，μ是一个测度。

世宗的筑墙和拒绝贡市政策，违背了蒙汉人民向往和平的意愿，延缓了民族交流和民族融合的步伐，是一种两败俱伤的“双输”的封闭政策。实际上，这种封闭政策，并未能完全断绝明蒙之间的交流，特别是蒙方控制的丰州滩地区建立起“板升”农业聚落，与大同地区保持着经济文化交流的渠道。这种军事对峙坚冰下的潜流，在一定程度上为隆庆和议的转折铺平了道路。

因此，

推论 1.1 令1≤q≤p<+∞,0≤γ1<,γ2<和λ,则函数空间与参数λ无关。

1 定理的证明

定理1.1的证明：首先证明必要性。假设f(x,t)∈, 令I是以y为中心，l(I)为边长的方体，设2μ=l(I)，当(x,t)∈S(I)时，有

1)建设厂级数据中心的硬件支撑架构。根据顶层的规划设计，建成能够支撑未来3-5年的数据采集、数据存储、数据分析计算、数据分析应用开发所需的硬件支撑环境，确保新技改完成前的数据增长及数据分析环境的硬件支撑需求，支持动态扩容，随时能够增强整个硬件体系的服务能力，包括未来数据中心要承担的“实时数据处理”的能力，如设备实时运行数据、实时生产数据、实时环境数据等的采集、处理能力[3]。

≤(x-y)2+(u+t)2≤

≤

(6)

由于定理1.1中的Carleson测度与参数λ无关，所以立即有如下推论。

μ▽f(x,t)|qtq-1-qγ1dxdt≤

定理1.1 令1≤q≤p<+∞,0≤γ1<,γ2<,且λ,则f(x,t)∈

 

(n+4)l(I)2。

(7)

式(2)中，

(f,(y,u)=

≤

 

 

(8)

当(x,t)∈S(I)时，有:

≤(x-y)2+(u+t)2≤

船舶《保安计划》要求船舶生活区、驾驶台、机舱等水密门均能够从里边很方便地栓死，而从外边不能打开。这一点主要是为了防海盗和登船控制船舶核心部分，以及伤害在船人员。通常对水密门的锁闭，有几点要求：1.是要求从内部可以很方便地打开和锁闭。2.一旦从里边锁死后，从外部轻易打不开。3.正常航行期间，特别是靠离码头，狭水道机动航行时，严禁随意从里边锁死。4.安保通道控制期间，未经许可不可以随意打开，谁打开谁负责从里边锁死。船舶每层水密门均应安排专人在紧急情况下从里边锁死。

(n+4)l(I)2；

(9)

当(x,t)∈S(Im)S(Im-1)时，有：

2m-2l(I)2≤(x-y)2+(u+t)2≤(n+2m+1)l(I)2。

(10)

于是,

深圳莲花山公园的可进入性还有待提高，主要在于视觉障碍系统和行动障碍系统两个方面.基于残障人士休闲特征和无障碍设计规范，讨论了莲花山公园无障碍环境建设的重要方面，科学合理地建设和改造公园无障碍环境、提高公园的服务意识和服务水平对于提高残障人士城市公园可进入性感知水平有重要意义.

(f,(y,u)≤

严重呼吸困难、缺氧伴有心力衰竭较重的宝宝应暂时停止进食，待病情稳定后再喂养，注意给予高热量、高蛋白、易消化、高维生素富有营养的食物（包括母乳），喂养要少量、多次、定时进行，不要过饱而妨碍呼吸功能及加重心脏负担。

▽f(x,t)|qtq-1-qγ1dxdt+

由表3可知,日本各领域论文的作者人数均值皆大于2,各领域高被引论文的作者人数均大于普通论文;在全部领域中,高被引论文的作者人数均值为普通论文的2倍。除计算机科学和数学领域外,各领域高被引论文作者人数的最大值也都大于普通论文。上述情况说明,高被引论文的作者人数超过了普通论文。

▽f(x,t)|q

tq-1-qγ1dxdt)≤

(11)

这里，

|▽f(x,t)|q

tq-1-qγ1dxdt。

(12)

由于μ=|▽f(x,t)|qtq-1-qγ1dxdt是一个测度, 故C存在。同时由于γ2-λ<0，所以不等式中级数收敛。 至此即完成了定理的证明。

2 结束语

近年来，人们对Besov-Q空间的研究越来越感兴趣，详情见文献[4-5]。我们还可以进一步研究与加权Besov空间之间的联系。如果考虑Poisson积分，即对于Poisson核p(y)与可测函数f的卷积Pt f [6]，我们将在后续文章中建立如下等价关系：

 f( x)∈   n)⟺ P t  f( x)∈  

参 考 文 献

[1] Zhao RH.On a general family of function spaces[J].Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.Diss,1996,105:54-56.

[2] Yang QX,Tao Q,Li PT,Spaces of harmonic functions with boundary values in[J].Applicable Analysis,2014,93(11):2498-2518.

[3] 周民强.调和分析讲义(实变方法)[M].北京：北京大学出版社，2003:235-236.

[4] Li P,Xiao J,Yang Q.Global mild solutions of modified Navier-Stokes equations with small initial data in critical Besov-Q spaces[J].Electronic Journal of Differential Equations,2014(S2):1-3.

[5] Lin C,Yang Q.Semigroup characterization of Besov type Morrey spaces and well-posedness of generalized Navier-Stokes equations[J].Journal of Differential Equations,2013,254(2):804-846.

[6] Lu SZ.Four Lectures on Real Hp Spaces[M].Singapore:World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd.,1995:2.