单值中智软集及其相关性质

0 引 言

随着互联网业务的不断发展，许多信息往往具有数量大、不完整、不确定、不清晰等特征，这使得工程决策问题变得越来越复杂，而常用的模糊理论、粗糙集理论、灰色系统和集对分析等方法已经不能有效满足复杂决策需要。为此，1999年俄罗斯学者D. Molodtsov[1]提出了软集概念并广泛用于处理不确定性问题，其最大的优势是参数具有较强的灵活性，随后大量学者对软集进行了深入地扩展研究。P. K. Maji等[2-3]提出了模糊软集和直觉模糊软集，X. Yang和段梦雅等[4-5]分别提出了单值和多值区间直觉模糊软集。然而上述模糊软集都是静态的，所以张其文等[6]将时间参数引入模糊软集，建立了多属性群决策模型。彭新东等[7]将带有双犹豫度的模糊集同软集相结合，提出了双犹豫度模糊软集，并研究其相关运算。笔者等[8]探讨了区间三角模糊软集动态决策理论，朱捷等[9]在此基础上提出了区间梯形模糊软集的概念，并讨论了其交、并、补的相关运算及性质。最近，王艳平[10]给出了强、弱软集两个概念，从两个不同的角度重新解释了软集的相关运算，具有一定的研究价值。虽然上述文献对软集进行了广泛拓展及应用研究，但都是在模糊集和直觉模糊集的基础上进行，因此无法解决普遍存在的隶属度和非隶属度加和大于1的问题。F. Smarandache[11]提出了中智集，其中隶属度、犹豫度和非隶属度的取值范围均为[0,1]，即隶属度和非隶属度加和可以大于1，所以中智集更加符合决策环境需要。基于此，文中将单值中智集同软集相结合，提出单值中智软集的概念，并探讨单值中智软集的运算性质和相关定理，以期进一步丰富和完善软集理论。

1.4 统计学方法 采用SPSS 20.0统计学软件对数据进行处理。计量资料用均数±标准差表示，组间比较采用t检验；计数资料用例(百分率)表示，组间比较采用χ2检验。以P<0.05为差异有统计学意义。

1 单值中智集

定义1[12] 设X为一个论域，A={x,〈TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}称为单值中智集，其中TA(x)、IA(x)、FA(x)分别表示X中元素x属于集合A的隶属度、犹豫度及非隶属度。对于∀x∈X，TA(x)、IA(x)、FA(x)∈[0,1]，且0≤TA(x)+IA(x)+FA(x)≤3。特别是当TA(x)、IA(x)、FA(x)均取[0,1]中的常数T、I、F时，称α=〈T,I,F〉为单值中智数。

定义2[11] 设两个单值中智数α1=〈T1,I1,F1〉和α2=〈T2,I2,F2〉，若T1<T2，I1>I2，F1>F2，则称α1<α2。

定义3[11] 设两个单值中智数α1=〈T1,I1,F1〉和α2=〈T2,I2,F2〉，则

(1)α1∪α2=〈max(T1,T2),min(I1,I2),min(F1,F2)〉，

赣州澳克泰工具技术有限公司, 注册资金16.5亿元，主要生产硬质合金深加工产品，如硬质合金涂层刀片，硬质合金棒材等。公司具有技术领先的研发团队，致力于开发高效率、优性能的车削刀具、铣削刀具和可转位钻削刀具。并可根据客户需求，提供完善的加工解决方案。拥有世界一流的硬质合金刀具生产技术，产品广泛应用于石油、电力、钢铁、数控机床等领域。强大的售后团队，为客户提供全方位服务。

(2)α1∩α2=〈min(T1,T2),max(I1,I2),max(F1,F2)〉。

黑龙江省龙江电器集团有限公司成立于1996年，为中小型企业，现有职工370人。龙江电器集团有限公司自2002年起开始推行企务公开工作。近年来，该公司以落实“三个代表”重要思想，贯彻党的依靠方针为指导，着力在规范、巩固、深化、创新、实效上下功夫。随着企务公开的不断开展，企业民主管理渠道不断拓宽，广大职工建功立业、奉献企业的热情不断高涨，该公司保持长周期安全稳定可持续发展。该公司先后荣获国家“五一劳动奖章”、省“厂务公开民主管理先进单位”、省、市“文明单位”等多项荣誉。

定义4[12] 设α=〈T,I,F〉是一个单值中智数，则α的补集为αc=〈F,1-I,T〉。且满足(αc)c=α。

定义5[13] 设两个单值中智数α1=〈T1,I1,F1〉和α2=〈T2,I2,F2〉，常数k>0，则

(1)α1+α2=〈T1+T2-T1T2,I1I2,F1F2〉，

根据聚类中各类指标的重要程度以及每种聚类所占比例发现，各聚类中相同的指标在聚类中的重要程度是相同的，但每个指标的重要程度不同，总点赞、平均、最高以及头条这四类指标的重要程度均为1，新榜指数的重要程度为0.61，总阅读数的重要程度为0.58。在总共的六项指标中，新榜指数排名第五，重要程度仅为0.61，显示出在公众号的运营方面，应该更加注重其他四项指标的发展，有了他们作支撑，才能有总阅读数的提高，这就需要公众号不断改变策略，达到提升影响力，增强粉丝黏性、忠诚度、满意度的目的。对聚类指标的重要程度进行分析，要求公众号在发文时侧重重要程度高的几个方面，能有效提升公众号的运营。

(2)α1×α2=〈T1T2,I1+I2-I1I2,F1+F2-F1F2〉，

The tangential velocity of the stator surface is in the following

(3)kα1=〈1-(1-T1)k,(I1)k,(F1)k〉,

(4)(α1)k=〈(T1)k,1-(1-I1)k,1-(1-F1)k〉。

党的十九大报告提出，创新是引领发展的第一动力，是建设现代化经济体系的战略支撑。在中国益生菌领域，科拓恒通瞄准世界科技前沿，强化前瞻性基础研究与应用结合，取得了一系列引领性原创成果重大突破，特别是在中国自有菌株研究领域，突破了自主知识产权匮乏的壁垒，跻身世界益生菌行业前列。

2 单值中智软集

定义6 设U为论域，E为参数集合，Γ(U)表示论域U上所有单值中智集，A⊂E，则(G,A)为论域U上的一个单值中智软集，其中映射G：A→Γ(U)。即∀e∈A，G(e)=〈x,sG(e)(x)〉|x∈U，其中sG(e)(x)是G(e)中x所对应的单值中智数。

定义7 设(G1,A1)和(G2,A2)是论域U上的两个单值中智软集，那么当且仅当A1⊆A2且∀e∈A1，G1(e)是G2(e)的单值中智子集，即∀x∈U，G1(e)和G2(e)中x所对应的单值中智集sG1(e)(x)和sG2(e)(x)满足sG1(e)(x) ≤ sG2(e)(x)，则称(G1,A1)是(G2,A2)的单值中智软子集，记为(G1,A1)⊆(G2,A2)。同时也称(G2,A2)是(G1,A1)的单值中智软父集。

定义8 设(G1,A1)和(G2,A2)是论域U上的两个单值中智软集，如果(G1,A1)⊆(G2,A2)且(G2,A2)⊆(G1,A1)，则称(G1,A1)和(G2,A2)相等，记为(G1,A1)=(G2,A2)。

定义9 设(G,A)为论域U上的一个单值中智软集，称(G,A)c=(Gc,A)为(G,A)的补集，其中Gc：A→Γ(U)，即对∀是G(e)中x所对应的单值中智数。

sG1(α)(x)、sG2(β)(x)、sG3(γ)(x)分别是(G1,A1)、(G2,A2)、(G3,A3)中x所对应的单值中智数。

定义10 设(G1,A1)和(G2,A2)是论域U上的两个单值中智软集，称(G1,A1)∧(G2,A2)为它们的AND运算，且(G1,A1)∧(G2,A2)=(H,A1×A2)，即对∀(α,β)∈A1×A2，有

H(α,β)=G1(α)∩G2(β)=

〈x,sG1(α)(x)∩sG2(β)(x)〉x∈U。

sG1(α)(x)、sG2(β)(x)分别是G1(α)、G2(β)中x所对应的单值中智数。

2.3 新西兰白兔减压病模型行为学、组织学指标观察结果 与正常对照组比较，超声检查发现减压病模型新西兰白兔的静脉气泡量评分、呼吸功能评分、肺损伤评分、脊髓损伤评分、肺湿干质量比均增加，Tarlov 评分降低，差异均有统计学意义（P 均＜0.05，表2）。减压后 24 h，新西兰白兔肺组织可见肺泡腔出血、肺泡间隔增厚，脊髓组织可见空泡样改变（图2）。

定义11 设(G1,A1)和(G2,A2)是论域U上的两个单值中智软集，称(G1,A1)∨(G2,A2)为它们的OR运算，且(G1,A1)∨(G2,A2)=(M,A1×A2)，即对∀(α,β)∈A1×A2，有

M(α,β)=G1(α)∪G2(β)=

〈x,sG1(α)(x)∪sG2(β)(x)〉x∈U。

sG1(α)(x)、sG2(β)(x)分别是G1(α)、G2(β)中x所对应的单值中智数。

3 单值中智软集运算性质

定理1 设(G1,A1)、(G2,A2)和(G3,A3)是论域U上的三个单值中智软集，则有

(1)((G1,A1)∨(G2,A2))∨(G3,A3)=(G1,A1)∨((G2,A2)∨(G3,A3))；

(2)((G1,A1)∧(G2,A2))∧(G3,A3)=(G1,A1)∧((G2,A2)∧(G3,A3))。

证明 仅证(1)，(2)类似可证。

设

(G1,A1)∨(G2,A2)=(M,A1×A2)，

K(α,γ)=〈x,sG1(α)(x)∩sG3(γ)(x)〉|x∈U，

(G2,A2)∨(G3,A3)=(N,A2×A3)，

(G1,A1)∨(N,A2×A3)=(P,A1×(A2×A3))。

对∀(α,β)∈A1×A2，γ∈A3，有

M(α,β)=〈x,sG1(α)(x)∪sG2(β)(x)〉|x∈U，

L((α,β),γ)=〈x,(sG1(α)(x)∪sG2(β)(x))∪

sG3(γ)(x)〉|x∈U。

由定义9可以看出，显然((G,A)c)c=(G,A)。

对∀(β,γ)∈A2×A3，α∈A1，有

N(β,γ)=〈x,sG2(β)(x)∪sG3(γ)(x)〉|x∈U，

所以((G1,A1)∨(G2,A2))∨(G3,A3)=(G1,A1)∨((G2,A2)∨(G3,A3))成立。

sG3(γ)(x))〉|x∈U。

P(α,(β,γ))=〈x,sG1(α)(x)∪(sG2(β)(x)∪

定理2 设(G1,A1)和(G2,A2)是论域U上的两个单值中智软集，则有

(1)((G1,A1)∨(G2,A2))c=(G1,A1)c∧(G2,A2)c；

(2)((G1,A1)∧(G2,A2))c=(G1,A1)c∨(G2,A2)c。

证明 仅证(1)，(2)类似可证。

设

(G1,A1)∨(G2,A2)=(M,A1×A2)，

则

((G1,A1)∨(G2,A2))c=(M,A1×A2)c=

(K,A1×A3)∨(J,A2×A3)=(O,(A1×A3)×(A2×A3))。

(Mc,A1×A2)，

并且

 

(H,A1×A2)。

对∀(α,β)∈A1×A2，有

Mc(α,β)=〈x,sG1(α)(x)∪sG2(β)(x)〉|=

 

 

所以((G1,A1)∨(G2,A2))c=(G1,A1)c∧(G2,A2)c成立。

定理3 设(G1,A1)、(G2,A2)和(G3,A3)是论域U上的三个单值中智软集，则有

(1)((G1,A1)∨(G2,A2))∧(G3,A3)=((G1,A1)∧(G3,A3))∨((G2,A2)∧(G3,A3))；

(2)((G1,A1)∧(G2,A2))∨(G3,A3)=((G1,A1)∨(G3,A3))∧((G2,A2)∨(G3,A3))。

证明 仅证(1)，(2)类似可证。

设

(G1,A1)∨(G2,A2)=(M,A1×A2)，

(M,A1×A2)∧(G3,A3)=(D,(A1×A2)×A3)，

(G1,A1)∧(G3,A3)=(K,A1×A3),

(G2,A2)∧(G3,A3)=(J,A2×A3)，

会议指出，要重点保障教学生活基本条件，学校的中心工作是教学，必须把改善基本教学条件放在首位，同时完善必要的生活设施。

对∀(α,β)∈A1×A2，γ∈A3，有

测量术前伤椎Cobb角。根据术前影像学资料将骨折分为骨质疏松性椎体压缩骨折（osteoporotic vertebral body compression fracture,OVCF）、骨质疏松性椎体爆裂骨折（osteoporotic vertebral body burst fracture,OVBF）和Kummell病三种类型。

诺基亚是一家老牌手机制造厂商，其品质过硬、经久耐用，深受消费者欢迎。意想不到的事，面对新一轮的手机行业革命，诺基亚开始衰落并最终被微软收购。近几年，互联网信息技术的跨越式发展，使得电子商务得到了以往从未有过的发展机会并深刻的改变了人们的生活方式。很多电子商务企业通过传新发展模式，不再需要进行原材料的采购和产品的生产，转而采取代工的模式，节省了很多中间环节以及生产成本，小米就是在这种模式下快速发展起来的，并迅速成为一家成功的互联网公司。

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猴子大言不惭地夸耀道：“他会少林拳。”他指了指我；“他会摔跤。”他又指了指巴克夏；“我……我喜欢音乐！”他忸怩了一下。

D((α,β),γ)=〈x,(sG1(α)(x)∪sG2(β)(x))∩

M(α,β)=〈x,sG1(α)(x)∪sG2(β)(x)〉|x∈U，

sG3(γ)(x)〉|x∈U=

〈x,(sG1(α)(x)∩sG3(γ)(x))∪

(sG2(β)(x)∩sG3(γ)(x))〉|x∈U。

对∀(α,γ)∈A1×A3，(β,γ)∈A2×A3，有

(M,A1×A2)∨(G3,A3)=(L,(A1×A2)×A3)，

数值模拟假定流体为三维不可压缩湍流流动，几何模型采用非结构化网格。控制方程由连续性方程、N-S动量方程和能量方程组成[10]。计算模型采用标准k-ε模型，压力与速度耦合采用Simple算法。

J(β,γ)=〈x,sG2(β)(x)∩sG3(γ)(x)〉|x∈U，

O((α,γ),(β,γ))=

〈x,(sG1(α)(x)∩sG3(γ)(x))∪

(sG2(β)(x))∩sG3(γ)(x))〉|x∈U。

所以((G1,A1)∨(G2,A2))∧(G3,A3)=((G1,A1)∧(G3,A3))∨((G2,A2)∧(G3,A3))成立。

4 结束语

文中提出的单值中智软集概念及其性质，是在模糊软集、直觉模糊软集和三角模糊软集基础上扩展而得到的理论成果，该研究对不确定性条件下多属性群决策方法可靠性提高方面具有一定的促进作用。虽然单值中智软集使决策属性信息的刻画更加灵活适用，但关于其交、并、补运算的其他定义形式还有必要进一步探讨。

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