倒向随机微分方程的研究与应用

1 引言

倒向随机微分方程BSDEs(Backward Stochastic Differential Equations)在经历了多年的发展，成为一个重要的独立分支，引起了大量的数学家、金融家以及经济学家的广泛关注和研究。它在随机微分对策、随机最优控制、偏微分方程以及金融数学等方面的应用中起到了重要的作用。倒向随机微分方程是在1978年由法国的Bismut教授研究出来的，Bismut教授是随机分析和控制专家，他在研究对随机最优控制的过程中得到倒向随机微分方程，倒向随机微分方程是与正向系统方程对偶的[1]。与倒向随机微分方程对应的是正向随机微分方程，倒向随机微分方程与正向随机微分方程在方程的结构上具有本质的区别。在应用上，正向随机微分方程是对一个客观存在的随机过程的认识。然而，倒向随机微分方程研究的是在随机干扰的环境中为了达到预期目标需要如何实现的问题。因此，对倒向随机微分方程的研究滞后于对正向随机微分方程的研究。对倒向随机微分方程的研究虽然在时间上滞后，但是后期的发展很迅猛。究其原因，主要是它具有很好的数学性质，另外具有很多重要的应用。倒向随机微分方程可以应用在不确定的环境中的消费偏好，还可以利用它处理反应扩散方程等偏微分方程。Karoui和Quenez研究了此微分方程在金融学和随机控制中的应用[2]，使倒向随机微分方程的应用前景更加广阔。在金融的应用中，正向随机微分方程可以用来描述可交易资产的价格，倒向随机微分方程可以用来表达投资证的财富过程[3]。

2 倒向随机微分方程

倒向随机微分方程的基本公式如式(1)所示[4]。

yt=ε+g(s,ys,zs)ds-zsdWs,t∈(0,T)

(1)

与此公式相对应的微分方程如式(2)所示。

 

(2)

假设g(w,t,y,z):Ω×[0,T]×R×R→R，则需要满足如下条件。

条件(1)：(y,z)∈R×R,g(·,y,z)作为R-的(Ft)的适应过程，需要满足

假设U={v(·)∈M2(k)|v(t)∈U,a.s.}，其中U是k中的非空子集。对任意可行控制v(·)，倒向随机微分方程如式(5)所示：

2、机具种类较多，更新较快，既有的教学器具未必能及时跟上教学最前沿。无人植保机、自动驾驶插秧机以及国三国四发动机等先进的农业机械装备，部分培训单位还没有配备。如果培训单位需要教授这部分内容，有教学需求时需要联系厂家、维修点或者外地的高等院校，并不方便，人员和经费开支较大。由于校内教师平时也不容易接触到具体实物，他们往往对机器的理解并不深刻。即便是传统的农业机械，因为种类繁多，农机培训单位也不可能全部配齐。

3 BSDEs的一般性结论

在概率空间n和(Ω,F,)上d维布朗运动W:=(Wt)0≤t≤T。W的自然σ-代数为关于测度P的完备化为(Ft)0≤t≤T。

向量空间是d)是由可预料的过程φ:Ω×[0,T]d所组成的，且满足

(1)PCR扩增LncRNA-GHET1全长后双酶切，同时pcDNA3.1(－)质粒双酶切后，两者经琼脂糖电泳，结果如图1，其中第1泳道为Marker，第2、3泳道为质粒酶切产物，第4～7泳道为PCR酶切产物。(2)构建好的重组真核表达载体pcDNA3.1-GHET1经双酶切验证，结果如图2所示，其中泳道1、2由于未连接目的片段仅有5 427 bp大小的一个片段，鉴定为空质粒;而重组质粒(泳道3、4)经双酶切后可以见到大约1 903 bp和5 427 bp大小的2个片段，片段大小与理论上目的重组质粒酶切后相匹配，表明重组质粒构建成功，泳道5为Marker。

3.3 在医学行业大力提倡人性化服务的今天，PVF海绵的应用不仅是科技的进步，同时也体现了对人性的尊重。传统凡士林油纱条在填塞时强行将油纱条逐层填塞于鼻腔中，易给患者造成痛苦，心理带来一定创伤，术后几日内患者完全被痛苦困扰，一般只能被动接受治疗，无法与护理人员进行积极有效的沟通交流［8］。而使用PVF海绵填塞术腔的患者，填塞期疼痛程度比凡士林组轻，术后能较快地从手术创痛中走出，积极主动地按照护理人员的指导配合治疗和护理，达到早日康复治愈的目的［9］。

对于∀β>0且被定义为Eeβt|φ|2dt<+∞；

满足||X||2=E(|X|2)<+∞(X:ΩRd)的FT-随机变量X组成的向量空间为d)；

d)被定义为向量空间，此向量空间被赋予了范数||·||β。

BSEDs是作为Pontryagin随机版本的共轭变量方程，很多学者使用倒向随机微分方程进行了很多的应用。此部分介绍BSEDs的一般性结论，包括BSEDs解的价差先验估计，进而验证解的唯一性和存在性。对于∀x∈d,|x|为Euclidian范数，内积符号为<x,y>，n×d的矩阵y∈n×d，此矩阵的Euclidian范数为在概率空间n和(Ω,F,)上，是布朗运动W生成的{Fu;t∈[0,T]}增域流[6]。

常数C是大于等于0的，当∀y,y′∈R,z,z′∈R，则有|g(t,y,z)-g(t,y′,z′)|≤C(|y-y′|+|z-z′|)[5]。

定义1：m-m-的实值终端条件为m-的值系数为g，且关于Pm⊗B(m×m×d)-可测。m-维倒向随机微分方程参数为(g,ξT)，它的解满足如下(3)所示公式。

(3)

f(x,v,t):n×k×[0,T]→n,

(4)

对于所研究的问题，假设存在f,σ,g,l,h和γ，使得存在如下表达式：

4 倒向随机微分方程在最优控制中的应用

倒向随机微分方程应用在随机控制问题中是很多学者重点关注的，此部分研究控制系统处于被倒向随机微分方程描述状态时的最优控制。建立随机系统的最优控制，即最优值理论。

定理1：在标准条件假设(4)下，倒向随机微分方程存在唯一解(Y,Z)，参数为(g,ξT)。

在给定位系数g下，倒向随机微分方程(3)具有唯一解，假设如式(4)所示

σ(x,v,t):n×k×[0,T]→ζ(d;n),

g(x,y,z,v,t):n×m×ζ(d;n)×[0,T]→m,

无锡阳山气候温和、四季分明，雨水充足，1月平均气温在2.8℃左右，7月平均气温在28℃，近40多年，温湿指数最高值为63，最低值为60，处于该区域的表示非常舒适，属于春秋舒适型，即春秋气候适宜，且持续时间较长，适宜老年人养老旅游活动。

l(x,y,z,v,t):n×m×ζ(d;n)×[0,T]→,

h(x):n→,

(x):n→。

假设f,σ,g,l,h和γ为连续的，其所对应的(x,y,z,v,t)为连续可微的，f,σ,g导数有界，且l的倒数有界，能够被C(l+|x|+|y|+|z|+|v|)控制，h和γ能够被C(l+|x|)控制，且导数有界。

条件(2)：假设(y,z)和g都能够满足如下条件:

犯罪主观方面，是指犯罪主体对自己的行为及其危害社会的结果所抱的心理态度。其包括罪过以及犯罪的目的和动机这几种因素。其中，行为人的罪过是一切犯罪构成都必须具备的主观要件要素，是刑事责任的主观根据。正确认定犯罪的主观方面，既有利于准确地定罪，也有利于合理地量刑。基于此，有必要对与拐卖妇女、儿童犯罪相关联的渎职犯罪的主观方面问题作详细分析。司法实践中关于犯罪主观方面的争议通常集中于罪过。本文仅对与拐卖妇女、儿童犯罪相关联的渎职犯罪的罪过形式进行分析，而不涉及犯罪的目的和动机。鉴于不解救被拐卖、绑架妇女、儿童罪与阻碍解救被拐卖、绑架妇女、儿童罪的主观罪过并不完全相同，以下对此分别进行论述。

 

(5)

此方程被称为状态方程。

由定理可知，存在唯一的{x(·),y(·),z(·))∈M2n×M2m×M2(ζ(d;m)}使公式(4)成立，x(·),y(·),z(·)成为状态变量。成本函数为J(v(·))=E[l(x(t),y(t),z(t),v(t),t)dt+h(x(T))+γ(y(0))]。

p(bω)(·)和p(fω)(·)分别表示后向和前向预测模型，与标准解码器不同的是，在解码的过程中加入了匹配到的事实三元组全局信息：st=f(yt-1，st，c)；p(yi/·，T，Q)=g(yi，st，c，[s，p，o])。其中s，p和o表示匹配到的事实三元组通过知识库表示学习得到的向量表示。

因此，倒向随机微分方程的最优控制问题是对于方程(4)能够找到使成本J(v(·))最小的可行控制。找到的这个可行控制为最优控制。U为最优控制，存在ρ-1[J(u(·)+ρv(·))-J(u(·))]≥0。

假设f,σ,g,l,h和γ为连续的，其所对应的(x,y,z,v,t)为连续可微的，f,σ,g导数有界，且l的倒数有界，能够被C(l+|x|+|y|+|z|+|v|)控制，h和能够被C(l+|x|)控制，且导数有界。则有表达式(5)和(6)成立。

E[lx(x(t),y(t),z(t),u(t),t)ξ(t)+ly(x(t),y(t),z(t),u(t),t)η(t)+lz(x(t),y(t),z(t),u(t),t)ζ(t)+lv(x(t),y(t),z(t),u(t),t)υ(t)]dt+Ehx(x(T))ξ(t)+Eγy(y(0))η(0)≥0

自信是一个人对自身能力与特点的肯定，是一种积极向上的心理品质，对一个人能否成功起着至关重要的作用。目前，有一部分学生由于种种原因给自己的精神世界蒙上了层层阴影。由于形象不佳、成绩不好、家境贫困、父母离异等原因，觉得事事不如意，处处不如人，总感到一种无形的压力，畏缩不前，并由此怀疑自己的能力，使自己陷入自我挫折的误区难以自拔。而人一旦失去了自信，便失去了积极的心态，失去了学习的动力，否定了自我的价值，从而怨天尤人，得过且过，从而阻塞了自己的成功之路。

(6)

 

(7)

对上述问题进行证明，证明过程如下：

假设令ρ→0，由的估计可以得到

“十人成桌”早已成为中国宴席的固定模式，觥筹交错，人声鼎沸的千年时空中，却似乎无人知晓，这种风俗习惯起源于何时？

 

→E(hx(x(T))ξ(T)

5 结语

倒向随机微分方程是研究随机控制、偏微分方程和计算机等领域中问题的有效方法。在实际生活中，运用倒向随机微分方程来解决为了达到某些目标，来确定实施方法的问题是非常有效的。倒向随机微分方程成为随机分析领域的重要分支。本文研究的是倒向随机微分方程及其应用，首先对倒向随机微分方程的研究现状进行简要说明，阐述了对其研究的重要性。然后研究了倒向随机微分方程的基本数学原理，对它的一般性结论进行分析。最后对倒向随机微分方程在最优控制中的应用进行详细说明，对倒向随机微分方程在最优控制中应用的问题进行分析，给出最优控制问题的条件假设以及状态方程，最后进行了证明。

冰臼规模大小不一，大的开口高可达2 m，宽可达5 m，深1.5 m，小的仅开口10 cm×8 cm左右，深仅1 cm。

参考文献：

[1]Bismut J M.An introductory approach to duality in optimal stochastic control[J].SIAM Review,1978,20(1):62-78.

[2]EI Karoui N,Peng S,Quenez M C.Backward stochastic differential equations in finance[J].Mathematical Finance,1997,7(1):1-71.

[3]陈鑫.倒向随机微分方程及其在最优控制中的应用[D].合肥：中国科学技术大学，2017.

[4]介梦迪.倒向随机微分方程的基本理论及若干应用[D].合肥：中国科学技术大学，2017.

[5]徐丽平,李治,罗交晚.不连续单调算子的反射正倒向随机微分方程(英文)[J].数学进展,2016,45(5):787-796.

[6]徐顺利.倒向随机微分方程及其应用[D].合肥：中国科学技术大学,2017.