“自动控制原理”之奈氏稳定判据的教学

0 引言

“自动控制原理”课程教学中，频域分析部分占较大比重，其特点是知识多，难度高[1-2]。难度主要体现在公式复杂，计算抽象，理论性强。频域分析部分中的奈氏稳定判据知识点尤其具有这样的特点[3]。如果学生对这部分的消化理解产生困难，将直接影响到后续稳定裕度、带宽等频域分析核心内容的理解与应用。然而，笔者通过多方调研了解的结果是，此部分内容的教学效果往往并不理想。因此，文献[3]针对这一教学问题，提出了递进探究式讲授教学法以改进教学效果。本文中，笔者也根据自身教学实践经历，分析总结了产生这一问题的主要原因，提出了一些新的可供参考的教学策略和建议。

1 奈氏稳定判据的教学现状分析

奈氏稳定判据相关知识主要包括幅角定理、奈氏稳定判据推导、映射曲线绘制方法、含有开环积分环节的极坐标图补画等内容。根据多方调研了解，这部分内容引起学生理解困难的主要原因有如下两个方面。

登高远眺，心中涌起一种难以形容的感觉，豪迈而畅快，心中又有一种在大自然面前的敬畏之感。我问正在最高的山石上做展翅状的朋友：“什么感觉？”我原本以为，他一定会说“会当凌绝顶，一览众山小”之类的感受，没想到他很慎重地吐出了三个字：“渺小感！”

1)幅角定理比较抽象

在讲解奈氏稳定判据时，首先要介绍幅角定理。根据文献[1]的调研及笔者在教学过程中的验证，由于幅角定理比较抽象，如果直接利用教材中所提供的内容进行教授，教学效果往往不佳[4-5]。笔者通过与学生交流，发现学生对于映射封闭曲线F(s)旋转方向与零、极点间的关系往往并不清晰。而教材及众多电子课件对定理内容一般都是直接介绍：映射封闭曲线F(s)包围原点的圈数N等于封闭曲线Γ内包围的零点数目Z与极点数目P之差[4-5]。这样的表述造成学生对幅角定理理解不透彻，从而影响学生对奈氏稳定判据的理解和应用。

同样地，我们还可以利用仿真工具绘制单一极点系统F(s)的变化曲线。并让学生总结出，沿Γ(s)顺时针变化一周，极点的存在会使F(s)逆时针旋转，且旋转周数同极点个数相关。

Step4：完成上述教授环节后，利用仿真工具进行实例讲解，同时进行简单的单元测验，以强化学生对奈氏稳定判据的理解与记忆。

“自动控制原理”教材相关章节为了确保内容严谨，常常提供较多的数学公式推导过程。这种方式能够帮助学生形成理论严谨的良好学术作风，但将其用于教学，却容易使课堂气氛沉闷枯燥，降低了学生对相关知识的学习兴趣。另外，虽然教材中有较多的图形实例帮助学生理解奈氏稳定判据的应用，但教师在介绍相关内容时，却常常使用“数学计算+概要绘制”的形式进行表述，使学生对于奈氏稳定判据的应用产生畏难心理。事实上，在当前众多成熟仿真软件的基础上，得到一个系统的开环幅相曲线并不困难[6-7]；工程应用上也常利用这些仿真软件获取并分析系统的各项特征[8]；因此我们可以利用这些仿真软件，给出实际系统的开环幅相曲线，以加深学生对这一理论的理解。

将奈氏稳定判据教学环节分为四个步骤：

2 奈氏稳定判据的教学探讨

1)由简至繁，逐层切入

笔者基于这一教学思想，针对奈氏稳定判据教学过程中存在的问题，提出了“由简至繁，逐层切入，形象教学”的教学改进方法和建议。教学改进主要包括以下几方面。

对于本科生教学，文献[9]指出：教学目的主要是帮助学生掌握新的控制理论的基本内容和实用方法，不需要像研究生那样追求理论的严谨和前沿内容；在保证科学性的基础上，面向本科生教学应该尽量用通俗的语言深入浅出地进行讲解。这一教学思想得到不少教学人员的认可[1-2,7]。

不同于文献[3]中由问题出发递进式讲授的教学方法，笔者对于奈氏稳定判据的教学思路如图1所示。

采集病死羊的病变组织，带回实验室，进行常规涂片镜检[1]，可以发现呈现小杆状、有荚膜、革兰氏阴性染色的小杆菌。将病料粉碎后，划线接种到血液琼脂平板、血清琼脂平板、麦康凯琼脂平板和肉汤培养基中，恒温箱温度控制在37 ℃，培养24 h，肉汤均匀混浊。在试管底部存在黏稠的沉淀物，在麦康凯琼脂平板和血液琼脂平板上，分别生长出了圆形、湿润光滑、中间隆起、似露珠状的灰白色致病菌菌落，菌落周围不存在溶血现象。将血清琼脂平板上生长出的菌落45°析光下观察，呈现蓝绿色荧光变化，结合该种变化，可以判断为多杀性巴氏杆菌感染引起的羊巴氏杆菌病。

1、直接燃烧。直接燃烧主要包括炉灶燃烧、焚烧垃圾、锅炉燃烧压缩成型燃料、联合燃烧。炉灶燃烧是传统的用能方式，因其效率低而在逐渐被淘汰。焚烧垃圾是锅炉在800℃-1000℃高温下燃烧垃圾可燃组分，将释放的热量来供热或发电。压缩成型燃料燃烧是先将生物质压缩成密度大的性能接近煤的物质，再将其燃烧发电，因其排放的污染尾气小而发展前景良好。联合燃烧是将生物质掺入燃煤中燃烧发电，此法可减少SO2、NO2等污染气体的排放。

图1 奈氏稳定判据的教学思路分析图

上述四步若想获取较好的教学效果，通过仿真工具将理论形象化尤为重要。

Step2：通过映射定理对Γ(s)内部包含有开环传递函数G(s)H(s)零点或极点的情况分析，利用坐标变换得到Γ(s)内部包含有辅助函数F(s)= 1+G(s)H(s)的零/极点时F(s)的变化规律(由绕原点旋转转换为绕(-1, j0)点的旋转)；接着引入奈氏回线(包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线)，并指明奈氏回线的用意；最后给出奈氏稳定判据，同时给予较为严谨的数学推导证明。

Step3：指明存在开环积分环节时，原有奈氏回线的不足之处；接着提出奈氏回线改进策略(增补：无穷小量ε为半径的，绕虚轴上开环极点的，在s平面右半部的小半圆)；然后利用Step1中的方法指明开环积分环节阶次与极坐标图补画间的关系，阐明存在开环积分环节时，奈氏稳定判据的应用方法。

整合结果显示：护生在实习过程中常疲于进行大量基础护理和与工作、学习无关的事情，导致其专科护理知识、技能掌握有所欠缺，可能与部分医院或科室没有严格执行责任制带教或实行传统功能制带教有关。在严格的责任制带教模式下，实习护生需全程负责分管固定床位病人，有明确的工作职责。在自己分管病人的整体性护理过程中，实习护生不仅能获得更多专科性操作机会，系统掌握专科疾病护理技能，还能获得更多与病人接触机会，拉近护患关系，帮助实习护生赢得病人尊重和信赖，产生自我成就感。

从文本逻辑上看，这两则神话解释了为什么拉祜族没有文字的原因，一是文字写在粑粑上吃进肚子里了，二是被黄牛吃了，从此拉祜就失去了文字。有趣的是拉祜人认为文字是神圣的，而且是与族群福祸相关的福种之一，由于文字被丢失，福也就没有了，从此生活变得艰难。阿佤(佤族)、爱尼(哈尼族支系)的文字同样因为被吃掉了，所以没有流传下来。而傣、汉的文字因为不能吃，所以得以保留下来了。

上述四步均由简单的示例入手，逐步对示例丰富，最终得到期望教授的知识点；各步之间逐层切入，紧密衔接。

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2)形象教学

Step1：通过复变量s沿封闭曲线Γ(s)顺时针变化一周时单一零点或极点系统F(s)的变化规律，总结出F(s)逆(顺)时针旋转周数与零点(极点)个数间的关系；然后将其推广至一般系统函数F(s)，并指出Γ(s)内部包含有零点或极点对F(s)变化规律的影响；最后得到映射定理，同时给予较为严谨的数学推导证明。

以Step1为例，对于复变量s顺时针变化一周Γ(s)时，单一零点系统F(s)的变化规律，我们可以利用仿真工具绘制相应变化图形(在此使用的是Matlab工具软件)如图2所示。从图形中，学生可以很容易总结出，沿Γ(s)顺时针变化一周，零点的存在会使F(s)顺时针旋转，且旋转周数同零点个数相关。

(a)Γ(s)曲线 (b) F(s)=s2-s+1

(c) F(s)=s+1 (d) F(s)=s-1 图2 单一零点系统F(s)变化规律

2)教学过程不够形象

在废水pH值为6、石墨烯加入量为3 mg/L、H2O2加入量为7 mL/L、n(Fe2+)∶n(H2O2)为1∶1.5条件下进行反应动力学分析，并以最适条件下的传统Fenton反应体系作为对照。

在得到上述规律后，可以由教师引申，这种规律的背后是零(极)点系统与复变量的正(负)相关导致的(背后的数学理论依据)。

然后推广至一般系统(函数)，这时通过观察一些示例(参见图3)可以得出F(s)的旋转方向与周数同曲线Γ(s)内部含有的零点与极点相关。从而进一步得到映射定理。这样就可以帮助学生较为清晰地理解映射封闭曲线F(s)旋转方向与零、极点间的关系。

再以Step3为例，其中开环积分环节阶次与极坐标图补画间的关系可以用图4进行描述。从图4中，可以很容易看出相应的规律。在此基础上，再辅以较为严谨的数据推导过程，将使学生加深对相关知识点的理解。

(a)Γ(s)曲线 (b) F(s)=(s+10)/(s2-s+1)

(c) F(s)= (s+10)/(s) (d) F(s)= (s)/(s+10) 图3 一般系统F(s)变化规律

(a)Γ(s)曲线 (b) F(s)=1/s

(c) F(s)=s+1 (d) F(s)=s-1 图4 开环积分环节阶次对补画的影响

3 教学效果验证

笔者通过课堂上选择题测试方法，对比了教学方法改进前后授课班级的答题情况(表1所示)。(崔建峰等文)

表1 传统与改进方法下随堂测试情况

传统方法改进方法测试对象2013级2014级测试人数/(人)5189平均用时/(分钟)87百分制平均分47.174.8

由表中数据可见，采用改进方法进行教学后，学生对于奈氏稳定判据知识点的掌握程度有明显提高。

3 结语

本文对奈氏稳定判据知识点的教学方法进行了探讨；分析了学生理解奈氏稳定判据知识点困难的原因；在分析的基础上，提出了“由简至繁，逐层切入，形象教学”的教学改进方法和建议，并通过随堂测试验证了改进方法的有效性。

参考文献:

[1] 丁世宏, 杨年法, 赵德安, 马莉. “自动控制原理”课程的频域部分教学探讨[J]. 南京: 电气电子教学学报, 2012, 34(3): 106-108.

[2] 杨艳丽, 郭一锋, 张国良, 廖守亿. 自动控制原理教学中的工程化思想[J]． 石家庄: 教育教学论坛, 2017(2): 202-203.

[3] 张倩. 递进式讲授教学法在Nyquist稳定判据教学中的设计及应用[J]. 南京:电气电子教学学报, 2016, 38(5): 69-71.

[4] 夏德钤, 翁贻方. 自动控制理论(第4版) [M]. 北京: 机械工业出版社, 2016.

[5] 胡寿松. 自动控制原理(第5版)[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

[6] 周军, 钱惠敏, 任祖华, 孙永辉. “自动控制原理”课程的工程可视化教学探讨[J]. 南京:电气电子教学学报, 2016, 38(4): 33-35.

[7] 吴宪祥, 郭宝龙, 闫允一, 朱娟娟, 孟繁杰. 基于Matlab的自动控制原理课程辅助教学探讨[J]. 南京:电气电子教学学报, 2016, 38(6): 135-137.

[8] 李信栋, 苟兴宇. 基于天线驱动组件的多体卫星MIMO控制及稳定裕度应用研究[J]. 北京: 空间控制技术与应用, 2014, 40(2): 20-25.

[9] 王万良. “自动控制原理”课程教学中的几个关键问题[J]. 北京: 中国大学教学, 2011(8): 48-51.