变分数阶非局部边值问题的再生核配置法

1　引言

随着研究的问题越来越复杂，近年来提出的一些分数阶模型中，分数阶导数的阶不再是一个固定的常数，而是会随时间或空间变化而变化的一个函数，这就出现了变分数阶微分方程. 变分数阶微分方程可以更好地模拟蛋白质的松弛过程、人造橡胶的磁力流变性质、地下水的运动过程等很多现象，为实际应用中很多复杂问题的研究提供帮助. 变分数阶微分方程已经成功应用于物理、数据处理、信号处理等领域，应用前景十分广阔，因此，对变分数阶微分方程的研究是非常有意义的. 关于变分数阶非局部问题存在唯一性的研究已经有了一些成果[1－3]. 由于变分数阶微分方程含有变阶指数部分，相应的数值求解方法的研究更为复杂，相关的研究成果也相对较少，还有待进一步深入研究.

再生核希尔伯特空间及其相关理论不仅在信号分析、统计与优化、机器学习理论等方面具有重要的应用，也是函数逼近的理想空间框架，该空间的函数近似具有一致收敛性，而且，近似函数的Caputo型分数阶导数仍然具有一致收敛性. 因此，再生核希尔伯特空间也是Caputo型分数阶导数数值处理的理想空间框架. 近年来，在此空间框架下，充分利用再生核希尔伯特空间相关理论的优势，我们研究了微分方程边值问题的数值方法，取得了一定的研究成果[4－8]. 本文将在再生核希尔伯特空间框架下研究变分数阶非局部边值问题的再生核配置法.

表3结果表明，两种捕收剂体系下，随着浮选温度提高，选择性捕收效率都逐渐增大。但CM-5的捕收体系下温度对选择性捕收效率的影响较小，在15 ℃下也能达到较好的分选指标，表明CM-5具有更好的低温适应性。

2　数值方法

考虑下面的变分数阶非局部问题：

其中Dα(x)表示α阶Caputo型分数阶导数，是线性非局部边界条件算子，f( x)满足解的存在唯一性.

安装水路无需拧、缚等固定方式，无需螺丝、螺母等工具，直接将水管拔插入管路接口即可完成安装，有经验的成人甚至无需厂家安装，自行在家即可完成净水器的初次使用。

Caputo型分数阶导数Dα(x)u( x)定义为：

趾墩和消能墩结合在一起，通过试验研究，证明辅助消能工的消能效果更加明显，这种辅助消能工的消力池就是美国垦务局推荐的USBR-Ⅲ型消力池。

其中ci ，di 是待定常数，

设{x1, x2,…,xN}是区间[0,1]上的点集，记ψi(x)=K( x, xi),i=1,2,…,N，其中K( x, y)是再生核空间W3[0,1]再生核函数，我们寻求如下形式的近似解：

令（2）在内部点满足（1），边界满足定解条件，可得

小童的话反映了蒙古史诗中对“智”的崇尚和追求，没有理由将其看作史诗的后期成分，更没根据说它是外来文化的影响。

结合（3）和（4）便可求得未知系数ci ，di.

为了分析近似解uN,M(x)的误差，我们定义余项函数为

因为ψi(x),pl ( x)∈C4[0,1]，从而可得RN,M(x)∈C2[0,1].

定理1.1 如果则存在一个正常数c，满足

其中已知且满足问题的精确解是使用本文提出的方法，取本例所有的计算通过Mathematica 7.0完成，所得的近似解的绝对误差见图1.

（4）系统根据性能评分排序选中的节点，对不同的节点进行数据分发，并将分发的信息返回给智能合约，包括数据分片存储的IP地址、分片存储的绝对路径和数据分片的哈希值等。

参考文献：

命题得证.

其一，民俗的本质是民众主体的文化创造，自无可疑。民俗传统，即是民众在长期生活实践中，以约定俗成的方式，促使某种价值规范发生从世俗到超验的升华过程。当然，这一升化过程绝非短期所能成就，也非一成不变，而是始终呈现出活态性质。我们可以断言，再有力的国家行政运作，也无法改变民俗的民众主体地位，也不能随心所欲地改变民俗的民众实践性质与总体发展态势。

3　数值算例

考虑下面的变分数阶非局部问题

注意到未知数ci ，di 的个数有N+M 个，而（3）的方程个数为N，剩下的M 个方程通过下面的限制获得

证明 注意到

图1　近似解的绝对误差

根据文献[9]，可以得到

[1]BAI Z. On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem[J]. Nonlinear Anal， 2010， 72： 916－924.

[2]ZHONG W， LIN W. Nonlocal and multiple－point boundary value problem for fractional differential equations[J]. Comput Math Appl，2010， 59： 1345－1351.

[3]ZHANG X G， HAN Y F. Existence and uniqueness of positive solutions for higher order nonlocal fractional differential equations[J]. Appl Math Lett， 2012， 25： 555－560.

[4]GENG F Z， QIAN S P， LI S. A numerical method for singularly perturbed turning point problems with an interior layer[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 2013， 255：97－105.

同时，信息网络涉及到国家的政府、军事、文教等诸多领域，存储、传输和处理的许多信息是政府宏观调控决策、商业经济信息、银行资金转账、股票证券、能源资源数据、科研数据等重要的信息。其中有很多是敏感信息，甚至是国家机密，所以难免会吸引来自世界各地的各种人为攻击（例如信息泄漏、信息窃取、数据篡改、数据删添、计算机病毒等）。因此，网络信息安全在每个国家基本上都会上升到国家安全层次。

[5]CUI M G， LIN Y Z. Nonlinear Numerical Analysis in Reproducing Kernel Space[M]. New York： Nova Science Pub. Inc.，2009：15－50.

[6]GENG F Z， CUI M G. Solving a nonlinear system of second order boundary value problems[J]. J Math Anal Appl， 2007，327：1167－1181.

[7]LI X Y， WU B Y. A continuous method for nonlocal functional differential equations with delayed or advanced arguments[J]. J Math Anal Appl， 2014， 409： 485－493.

[8]LI X Y， WU B Y. A new numerical method for variable order fractional functional differential equations[J]. Appl Math Lett，2017， 68： 80－86.

[9]LI X Y， WU B Y. Error estimation for the reproducing kernel method to solve linear boundary value problems[J]. J Comp Appl Math， 2013， 243： 10－15.

总之，标准是MyGDI的关键，没有标准，MyGDI就不能实现空间数据的共享和转换。MyGDI标准的顺利制定在很大程度上取决于用户组织、马来西亚国家测绘与空间数据委员会（TC12）及马来西亚科技与创新部（MOSTI）所属的马来西亚标准和工业研究院（SIRIM BERHAD）的共同努力和合作。