关于初等数学研究的论文

文武光华数学工作室最新简介　　褚小光老师：男，1963年生，江苏苏州人，中国不等式研究协会现任秘书长。主要研究方向：几何不等式及不等式的证法、证明，兼初、高中数学竞赛辅导。从1994年至今，在中国数学杂志发表论文62篇，在师范学院及国外期刊发表关于不等式的学术论文30余篇。文武光华数学工作室发起人之一。　　　　　　潘成华老师：男，1970年生，江苏高邮人。中国不等式研究协会现任副秘书长。从事数学教学与研究工作二十余年，曾在《数学奥林匹克与数学文化》、《学数学》等刊物上发表数学论文数十篇。至今已有数百名学生在潘老师的指导下，在高考、竞赛和考研中取得优异成绩，进入理想的院校。研究方向：平面几何。经常以“PCHP”、“潘氏定理”等网名，在东方论坛数学模块、奥数之家、AOPS等著名数学论坛发表研究成果。文武光华数学工作室发起人之一。　　　　　　田开斌老师：男，1985年生，河北邢台人。初一时，曾获希望杯数学邀请赛满分，被特招进入人大附中数学实验班学习，高中时被特招进入河北省唐山一中省理科实验班。高中期间，曾获全国高中数学联赛一等奖，保送浙江大学。现从事数学研究与教育教学工作，在《数理天地》、《数学奥林匹克与数学文化》、《学数学》等多种刊物上发表数学论文数十篇。至今已帮助数百名学生进入理想的院校。研究方向：初等数论、组合数学、平面几何。文武光华数学工作室发起人之一。　　注：文物光华数学工作室，成立于2012年10月16日，是由褚小光老师、潘成华老师和田开斌老师联合发起的，立足于数学研究与竞赛数学教学的服务性质的数学结构。“光”，指褚小光老师；“华”，指潘成华老师；“文武”，合而为“斌”，指田开斌老师。本工作室，以“交流知识，共享智慧”为宗旨，立足于数学研究，并积极地将数学的研究形态，转换为适宜于数学教学的教学形态，追求以最适宜的方式，服务于广大学子。　　文武光华数学工作室经常被邀请到许多学校讲学：衡水中学，合肥一中、山西大学附中、泰兴中学、前黄中学、连云港东海中学 、重庆巴蜀中学、温州育英国际实验班 奥林 培尖等培训机构 等　　文武光华数学工作室曾经给国际数学奥林匹克（IMO）提供过赛题、也给其他相关赛事提供过数学竞赛试题，江苏省数学会、江苏大学竞赛班也多次邀请文武光华数学工作室讲竞赛课

微积分在不等式中的应用［摘要］本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明，进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具，在求解不等式中的作用。［关键词］微积分高等数学不等式不等式是数学研究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。不等式的证明方法多种多样，初等数学中常用的方法有恒等变形，使用重要不等式，用数学归纳法等，这些方法往往需要极高的技巧和超强的变形能力。微积分是高等数学的核心，微积分思想方法是高等数学乃至整个数学的典型方法，微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找到了突破口，用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例分析微积分在证明不等式中的应用。1、用导数的定义证明不等式例1．设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，已知f(x)≤sinx，求证：a1+2a2+…+nan≤1。证明：方法1：因为f(0)=0，由已知f(x)-f(0)x-0≤sinxx(x≠0)∴limx→0f(x)-f(0)x-0≤1圯f'(0)≤1即a1+2a2+…+nan≤1。导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形进行证明。方法2：由f(x)≤sinx，得f(x)x≤sinxx(x≠0)，即a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤sinxx两端同时取x→0时的极限得limx→0a1sinxx+a2sin2xx+…+ansinnxx≤limx→0sinxx由重要极限及其变形知：limx→0sinkxx=k∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。2、利用函数的单调增减性定理1：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导（1）若在（a,b）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；（2）若在（a,b）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。由定理1我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)；（2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性；（3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证。例2．设b>a>0，证明：lnba>2(b-a)a+b。分析：当b>a>0时，lnba>2(b-a)a+b圳(lnb-lna)(a+b)>2(b-a)证明：令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a)∵f'(x)=1x(a+x)+(lnx-lna)-2f''(x)=-ax2+1x=x-ax2≥0(x≥a)所以f'(x)单调增加，又f'(a)=0，于是f'(x)≥0(x≥a)因而f(x)单调增加，又f(a)=0，故当b>a>0时，有f(b)>f(a)=0即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0，亦即lnba>2(b-a)a+b。3、用微分中值定理证明不等式定理2（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）f(a)=f(b)；则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。定理3（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)b-a。