初等数论论文研究方向

文武光华数学工作室最新简介　　褚小光老师：男，1963年生，江苏苏州人，中国不等式研究协会现任秘书长。主要研究方向：几何不等式及不等式的证法、证明，兼初、高中数学竞赛辅导。从1994年至今，在中国数学杂志发表论文62篇，在师范学院及国外期刊发表关于不等式的学术论文30余篇。文武光华数学工作室发起人之一。　　　　　　潘成华老师：男，1970年生，江苏高邮人。中国不等式研究协会现任副秘书长。从事数学教学与研究工作二十余年，曾在《数学奥林匹克与数学文化》、《学数学》等刊物上发表数学论文数十篇。至今已有数百名学生在潘老师的指导下，在高考、竞赛和考研中取得优异成绩，进入理想的院校。研究方向：平面几何。经常以“PCHP”、“潘氏定理”等网名，在东方论坛数学模块、奥数之家、AOPS等著名数学论坛发表研究成果。文武光华数学工作室发起人之一。　　　　　　田开斌老师：男，1985年生，河北邢台人。初一时，曾获希望杯数学邀请赛满分，被特招进入人大附中数学实验班学习，高中时被特招进入河北省唐山一中省理科实验班。高中期间，曾获全国高中数学联赛一等奖，保送浙江大学。现从事数学研究与教育教学工作，在《数理天地》、《数学奥林匹克与数学文化》、《学数学》等多种刊物上发表数学论文数十篇。至今已帮助数百名学生进入理想的院校。研究方向：初等数论、组合数学、平面几何。文武光华数学工作室发起人之一。　　注：文物光华数学工作室，成立于2012年10月16日，是由褚小光老师、潘成华老师和田开斌老师联合发起的，立足于数学研究与竞赛数学教学的服务性质的数学结构。“光”，指褚小光老师；“华”，指潘成华老师；“文武”，合而为“斌”，指田开斌老师。本工作室，以“交流知识，共享智慧”为宗旨，立足于数学研究，并积极地将数学的研究形态，转换为适宜于数学教学的教学形态，追求以最适宜的方式，服务于广大学子。　　文武光华数学工作室经常被邀请到许多学校讲学：衡水中学，合肥一中、山西大学附中、泰兴中学、前黄中学、连云港东海中学 、重庆巴蜀中学、温州育英国际实验班 奥林 培尖等培训机构 等　　文武光华数学工作室曾经给国际数学奥林匹克（IMO）提供过赛题、也给其他相关赛事提供过数学竞赛试题，江苏省数学会、江苏大学竞赛班也多次邀请文武光华数学工作室讲竞赛课

刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征 （小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用 被除数=除数×商+余数（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理 （2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和循环小数等几个知识点。在没接触初等数论学习之前，我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。在小学中主要体现在余数的运用上，余数是小学数学中的重要概念，也是数学竞赛的热门话题，其中有关概念多，方法性强。在小学，关于余数问题我们知道：如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm+r，其中q与r都是自然数，并且0≤r＜而现在我们学的同余知识是：如果两个正整数a,b被非零自然数m除时所得的余数相同，a=qm+r,b=pm+r，那么就说a与b关于模m同余,记为a≡b（mod m）此时a与b的差能被m整除，记为a-b ≡0（mod m）因此同余问题常常转化为整除问题求解。下面，我以一个例题来反应同余在小学数学教学中的应用：例题、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？ 这道题目出现在小学奥数中，小学生一般的解答方法是：方法一：凑数法。取a为6，取b为9，这样b满足了条件a除以5余1，b除以5余4，3a-b=9,9/5余数为4。方法二、设a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1 3a－b除以的余数是4 a=5x+1 （x为正的整数） b=5y+4（ y为正的整数 ） (3a-b)/5 =(15x+3-5y-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5 根据x,y均为正的整数,并且3a>b，所以余数为4。 而在初等数论中的解法： 解：∵a≡1（mod5）， ∴3a≡3（mod 5）， 或者3a≡8（mod 5）．（1） 又∵ b≡4（mod 5），（2） ∴（1）－（2）得： 3a－b≡8－4≡4（mod 5）．因此，3a－b除以5余4．在小学生解法中我们可以看出，两种方法，尤其是第二种，都是以同余知识出发去处理问题，只是在形式表达上相对于大学里初等数论练习中较为简单化。在小学的奥数思维训练中，同余思想的应用更是数不胜数，如“抽屉原理”是同余应用中最典型的例子，可以说，同余理论是近世代数中一个很重要的数学模型。除此之外，其他很多数学知识都涉及到了同余，比如像欧拉函数，它也是初等数论中的重要函数之一，在证明过程中就大量地体现了同余的思想。学过初等数论的人应该都知道，小学数学和初等数论之间最大的不同在于小学数学在于如何应用定理、法则，而初等数论则要明白为什么这么应用。显然，初等数论是更为深层次的学习，在难度上有了一个跨越。那么数论部分在小学数学考试题型中占据什么地位呢？可以说，翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。有专家在小学各类数学竞赛中研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题中，这一分值比例更高。出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔性考试中成绩的好坏。综上所述，初等数论作为一门为小学教育专业的学生开设的课程，在培养学生扎实的数学基础之外，更多的是有利于师范生更好地将初等数论的理论灵活地应用于小学教育中，进一步培养科学的人生观、价值观。

基本上没有什么联系，主要学习的内容不一样，初等数论是研究数素，而初等代数式研究线性方程，初等数论要比初等代数难

楼主是学数学的吧,能不能认识一下,以后有机会向你请教以下是复制的 中国数论研究的历史最早是从什么开始的?在中国早在20世纪30年代,华罗庚就开始研究数论问题了他的老师杨武之就是研究数论问题的华罗庚是中国学派——这个数论研究团队的领军人物,除了他自己的三角和估计与《堆垒素数论》等重要贡献外,华罗庚还对中国数论研究的方向与具体问题以及长期研究的后备人才的培养等均做出了重要的部署同时他组织一批年轻的数学家冲击“哥德巴赫猜想”这个世界难题,并取得了重要的进展中国近代数论的研究是由杨武之开始的他在1928年获得美国芝加哥大学博士学位,曾师从狄克逊（LE Dickson）他曾经证明了,“每个正整数都是由九个形如（x-1)x(x+1)/6的非负整数之和”,这是最早的中国近代数论的结果 1929年杨武之受聘到清华大学数学系执教1931年华罗庚来清华大学数学系先任图书管理员、后任助理员,边工作,边学习系里的华罗庚与柯召对数论比较感兴趣,杨武之就指导他们进行数论研究1936年,华罗庚与柯召去英国,分别进入了剑桥大学和曼彻斯特大学,师从哈代(GHHardy)与莫德尔（LJMordell)研究数论华罗庚在去英国前,就已经开始研究当时的主流数论,即哈代-李特伍德-拉马努金圆法与维诺格拉朵夫指数与估计方法方面的工作,这使他掌握了数论的制高点,所以他的数论工作,无论是在广度与深度上,在中国都是最为突出的,他的数论工作在解析数论中有着持久的影响力,同时也受到国际同行的尊敬另外华罗庚广招学生,撰写“数论导引”等入门书,所以在中国的数论发展中,他起到了领军的作用解放后,华罗庚、闵嗣鹤在这一研究上奠定了基础华罗庚到剑桥大学世界数论研究中心学习进修1936年,在著名数学家维纳推荐下华罗庚以访问学者身份去英国剑桥大学进修那里有著名解析数论专家哈代,还有其他的数论专家他在剑桥大学听了许多课,参加讨论班,得到著名学家哈代等人的指导而华罗庚的刻苦努力以及取得的发表的文章也得到大家的赞许与认可40年代他本人在美国作过不少杰出的数论工作他终于登上了数学研究的世界舞台在云南联大开设初等数论的课程华先生很重视做学问需要有“看家工夫”所谓看家工夫指的是作科研时必不可少的最基本而有用的本事据他的学生回忆,说华罗庚在青年时期阅读兰道（ELandau）的《数论教程》三大卷时候,共作了6大本笔记,可见他下的功夫之深而这本《数论教程》使他获得了从事数学研究的分析功底据华罗庚的学生徐利志回忆,1940年华罗庚在云南联大开设过“初等数论”的课,他选修了这门课华先生讲课姿态很灵活,喜欢在黑板前面走来走去,边走边讲他在黑板上写字不多,只写出那些最必要的算式,而很注重讲问题的来龙去脉和论证思想,有时也穿插讲点小故事所以听他讲课我感到是一种愉快的享受1941年华罗庚完成了数论巨著《堆垒素数论》1941年,华罗庚曾把手稿寄给苏联的维诺格拉多夫,维诺格拉多夫立即以电报回复：“我们收到了你的优秀专著,待战争结束后,立即付印”因此,这本书最早是1947年以苏联科学院“斯捷克洛夫数学研究所”第22号专著出版的中国数学界对华罗庚的专著给予崇高的评价而当时的教育部几乎无人能够评审此书老一辈数学家何鲁冒着灼人的炎热,曾在重庆的一幢小楼上挥汗审勘,阅稿时不时地击案叫绝,一再对人说：“此天才也!”他爱不释手,居然亲笔将《堆垒素数论》抄了一遍,何氏的手抄本曾存于中国科学院数学研究所图书馆中,不幸在“文革”劫难中散失华罗庚的《推垒素数论》荣获教育部的一等奖据报载,华罗庚在西南联大曾讲授过他的《堆垒素数论》,开始慕名而来的学生将教室挤得水泄不通,后来一天天减少,减到4个,一星期后,只剩下2个,即后来成为著名数学家的闵嗣鹤和钟开莱教室里只剩下师徒三人,因昆明天天空袭不绝,华罗庚干脆把教室搬到华家附近,租屋而居,进行讲授华氏的这本书实在是太深了1946年华罗庚接受了访问苏联的邀请,在这几个月里,他与维诺格拉朵一起进行研究,并取得了很大的成果他们对三角和方法的发展改变了解析数论的中心主题1946年,华罗庚赴美国访问,先在普林斯顿高等研究所搞研究并讲授数论,1948年转入依利诺大学,也对维诺格拉朵的中值公式做了重要的简化、改进与应用1952年组织“数论”与“哥德巴赫猜想”两个讨论班1953年冬中国科学院数学研究所数论组成立后,华罗庚亲自组织并领导了两个讨论班,一个是“数论导引”,一个是“哥德巴赫猜想”讨论班,每周一次,这两个讨论班一直坚持到了1956年虽然数学研究所成立时还没有图书馆,但是华罗庚从美国带回不会少书,杂志与单印本,数学所的人可以去自由借阅,只要在他办公室的小本上签个名就行了这对数论组的人来说就更占便宜了因为华罗庚的大部分书是跟数论有直接或间接的关系的特别他有一个《解析数论》未发表的部分手稿,其中赛尔贝格的方法和素数定理初等证明的最新成果等当时能够读到这些东西,在全世界来说都是相当早的 按照华罗庚计划与安排,哥德巴赫猜想讨论班分为四个单元来进行：1、史尼尔曼密率,曼恩定理与赛尔贝格方法2、布伦筛法、布赫夕踏布方法3、林尼克大筛法,瑞尼定理4、素变数的三角和的估计方法、西革尔定理、维诺格拉朵三素数定理华罗庚计划在讨论班进行完了之后,将这四个方面的材料写成综合性论文,在数学所的数学进展上发表那时在世界上的数论著作中,还只有包含了这四个方面成就的某些著作,所以这确实是一个颇吸引人的计划 讨论班是由一个人主讲,华罗庚等则不停地提问题,务必使得每一个点都完全弄清楚为止华罗庚这种打破沙锅问到底的搞法,常常使主讲人讲不下去,长时间在讲台上思考,这叫做“挂黑板”有些报告材料往往在讨论班上就得到了简化,所以讨论班进行得很慢,但参加者得益很大这是培养人才的好形式既可以集思广益,又可以活跃学术空气当时,他经常参加讨论班,经常不断地提出问题和疑点,把大家的思想推向一个更为积极、活跃的境界 哥德巴赫猜想讨论班的计划并没有完成,只进行了一、二、四单元,就因“反右斗争”的到来而中断了华罗庚选择“哥德巴赫猜想”作为数论组讨论班的主题是很有眼光的十几年后,华罗庚回忆他的这个决定时仍然流露出满意的神情他说：“我不是要你们在这个问题上作出成果来,我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系以哥德巴赫猜想为主题来学习,将可以学到解析数论中所有的重要的方法”,他说“ 哥德巴赫猜想真是美极了,现在还没有一个方法可以解决它”他还指出：“你们弄懂了解析数论,再学一点代数数论,就可以将解析数论的结果推广到代数数域上去关于代数数论,除了《数论导引》的第十六章外,再学两条定理,狄里赫雷定理与戴德金定理就可以边学习边工作了”华罗庚教授组织研究“哥德巴赫猜想”这个难题,是非常具有长远的战略眼光的,它也带动解析数论的研究,不仅推动了数学的发展,同时在国内也培养中国的数论研究人才之后这个讨论班的三个成员都在数论研究中作出了重要的贡献与《哥德巴赫猜想》的研究也取得了重要的进展从1954年开始,闵嗣鹤在北大开设了“数论专门化”,共有四个学生他开这门数论课,指导他们做毕业论文,引导他们从事解析数论的研究闵嗣鹤鼓励他的学生多与数学所的数论组的人交流,多向华罗庚学习数学所数论组的年青人也常向闵嗣鹤老师请教,彼此间的关系很密切北大数论专门化的学生潘成洞、尹文霖与邵品琮也来数学所参加过哥德巴赫猜想讨论班 1957年,华罗庚的《数论导引》出版,书中包括了不少未发表的结果及关于三角和、丢番图方程、模变换及华林与他利问题的基本材料后来华罗庚发现了陈景润,并将其调入数学所陈景润经过多年的努力,最后终于证明了1+2,取得了世界上关于证明哥德巴赫猜想的最好成果 吴文俊曾说过：“陈景润同志本来是一个无名小卒,华罗庚同志知道了他的某些工作,就把他引到数学所来在数学所这样一个环境里,在华罗庚先生亲自指导之下,陈景润同志做出了许多重要的工作其中最突出的就是大家都知道的,所谓哥德巴赫猜想（1+2）的证明这出现于1965年我相信如果当年陈景润同志没有被华罗庚同志引到数学所来,他的成长奇迹是不可能的1962年华罗庚科大开设数论与代数专业培养后备人才华罗庚的学生冯克勤教授回忆说,1962年华罗庚想在我们年级开设数论与代数专业,由于我从中学就喜欢数论,就报了名,于是包括我在内的15位学生从四年级起进入该专业,由华罗庚亲自讲授“典型群”,王元讲“数论导引”,万哲先和曾肯成讲“抽象代数”,吴方讲解析数论,这集中了当时国内最强大的数论和代数教师阵营大学五年级,吴方指导我作了一篇论文,内容是把当时陈景润关于圆内整点问题余项估计的最新成果作到椭圆上去,这是我所写的第一篇论文华罗庚1963年来科大任副校长,并把他在科学院数学所的研究生带到科大,连王元的关系也临时转到科大,准备以科大为基地集中力量培养学生从事科学研究他给我的任务是学习代数数论,这是20世纪40年代他在美国做教授的一个数论研究领域,回国后,组织了解析数论的队伍,但由于种种原因,代数数论的研究未能充分开展此外,华罗庚和王元这时也正把数论用于积分近似计算,其中也用到代数数论工具,所以他这时希望在科大的三届共十一位研究生中有人能研究代数数论这是一个用代数方法研究数论的一门学问,很合我的胃口中国的数论研究取得了丰硕的成果1973年,陈景润关于哥德巴赫猜想的著名论文发表后,潘承洞又开始了解析数学论研究这一时期工作的代表性论文是“一个新的均值定理及其应用”他的主要贡献是提出并证明了一类新的素数分布的均值定理,给出了这一定理对包括哥德巴赫猜想在内的许多著名数论问题的重要应用1979年7月,在英国达勒姆举行的国际解析数论会议上,潘承洞应邀以此作了一小时的报告,受到华罗庚和与会者的高度评价1982年,潘承洞发表了论文“研究哥德巴赫猜想的一个新尝试”,提出了与已有研究截然不同的方法,对哥德巴赫猜想作了有益的探索在1988到1990年间,华罗庚与潘承彪以“小区间上的素变数三角和估计”为题发表了三篇论文,提出了用纯分析方法估计小区间上的素变数三角和,第一次严格地证明了小区间上的三素数定理,这是他对论文“堆垒素数论的一些新结果”的进一步完善和改进华罗庚与他的学生在数论方面的工作展示中国数学家在数论方面具有的很高的水平与才华,被世界数学界称为“以华为首的中国学派”,这是中国数学家研究团体在世界数学发展的过程中第一次得到的肯定与赞扬而这个结果是数学家们通过几十年的努力才获得的华罗庚系统地研究了华林问题——哥德巴赫问题在19世纪40年代,懂得堆垒素数论的圆法与维诺格拉朵夫的两个指数和估计方法的人还很少华罗庚撰写的专著《堆垒素数论》,包含了数论领域所有重要的研究成果,其中有华罗庚用一个很优美的方法证明了一般三角和定理这本书不仅结果是当时最新的,而且写得十分通俗易懂,除了西革尔关于 L- 函数的实零点估计外,所有定理都给出了证明,所以该书是自给自足的,是一本很好的数论专著就像哈贝斯坦在悼念华罗庚时说的：“几代数论学家都从华罗庚的至今仍有影响的1947年的专著《堆垒素数论》中学到了圆法的知识”华罗庚在1958年改进与简化了维诺格拉朵夫关于魏尔（HWeyl）和的估计,华罗庚关于华林问题研究成果与“华氏不等式”等都是数论十分重要的成果,被很多人引用华罗庚的学生王元在1956年先证明了（3+4）,在1957年又证明了（3+3）,（2+3）1962年潘承洞证明了（1+5）,之后潘承洞与王元又合作证明了（1+4）1966年,陈景润运用庞比尼中值公式,非常出色地证明了（1+2）中国数学家在探索哥德巴赫猜想过程中,取得了重要的进展,但是最后谁能摘下这个明珠,攻克这个世界难题,会不会是中国人?这些仍旧还是未知的谜,等待有人来回答