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《逼近与还原——人文价值标准的确立与文学史重构》，《海南大学学报》 2003 年第 4 期。《沉闷中的呐喊——杨争光小说综论》，《内蒙古师范大学学报》 2003 年第 5 期。《试论五四启蒙思潮的局限》，《东岳论丛》 2004 年第 2 期。《升腾在乡村大地的精魂——台静农小说集 < 地之子 > 综论》， 《河北师范大学学报》 2004 年第 3 期。《穿透生命表象的价值追问与诗意传达》，《河北师范大学学报》 2004 年第 6 期。6 《立足本土的书写——李锐小说创作简论》，《内蒙古师范大学学报》 2005 年第 3 期。《海男 < 蝴蝶是怎样变成标本的 > 意蕴分析》，《河北师范大学学报》 2005 年第 3 期。《个体生存困境的展现与突围——评李锐小说 < 颜色 > 与 < 寂静 > 》， 《名作欣赏》 2005 年第 9 期。《城乡抉择的焦虑及其想象性解决—— < 阿毛姑娘 > 解读》， 《贵州师范大学学报》 2005 年第 5 期。《个体生命价值的维护与捍卫——李锐小说创作简论》， 《海南师范学院学报》 2006 年第 3 期。《宿命与荒诞的生存——试论李锐小说对人类存在困境的追问》， 《河北师范大学学报》2007 年第 1 期。《成长·性别·父权制——兼论女性成长小说》，《理论与创作》 2007 年第 2 期。《坚守与质疑的双声对话 ——李锐小说对启蒙的深刻表达 》， 《内蒙古师范大学学报》 2007 年第 5 期。《李锐小说叙事结构分析》， 《海南师范大学学报》 2007 年第 4 期。《 李锐小说诗性特征分析》，《小说评论》 2007 年第 5 期。《当下视野中的苦难生存》，《名作欣赏》 2007 年第 12 期。《神圣光环中的魅影——论李锐小说中的“革命”》， 《文艺评论》 2008 年第 1 期。《文学的社会承担和“底层写作”》， 《光明日报》 2008 年 4 月 11 日 第 11 版。《生态视阈中的诗性表达》，《文艺报》 2008 年 4 月 8 日 第 2 版。《 身份确认的危机与个体命运的荒诞——评陈昌平的中篇小说 < 复辟 > 》， 《小说评论》2008 年第 4 期。《论李锐小说 历史阐释 的独异性》，《当代文坛》 2009 年第 2 期。《 “意守世间的精神难点”》，《南京师范大学文学院学报》 2009 年第 1 期。《 论儿童文学中教育主义与游戏精神的关系》，《名作欣赏》 2010 年第 6 期。
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因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=- 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)，其中Y1，2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－10时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T1时，盛金公式④无意义。当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理5：当A0（此时，适用盛金公式②解题）。盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-10时，不一定有A<0。盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 以上盛金公式的结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。
范盛金研究出比世界著名的卡尔丹公式解题法更为实用的“三次方程新解法——盛金公式解题法”：（清晰图片，点击放大。） 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。这一研究成果，于1989年12月发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, C V 2, N 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic Fan S PP·91—98 盛金判别法体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金判别法具有一元二次方程根的判别法的表达形式，简明易记、解题直观，所体现的数学美，令人惊叹！盛金公式具有可靠性、直观性、简洁性、准确性、高效性、广泛性、实用性。特别是盛金公式③，简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式③被称为超级简便的公式。[精彩例题]解方程X^3－4X^2+92X－712=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－4，c=92，d=－712。A=289；B=－4；C=36，Δ=0。根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。应用盛金公式③求解。K=—6。把有关值代入盛金公式③，得：X⑴=8；X⑵=X⑶=8。经检验，结果正确。盛金公式④是漂亮的三角式，解题直观、准确。而此时，卡尔丹公式存在虚数性，虽然可转换为三角式解题，但不直观。[精彩例题]解方程X^3－5X^2+54X－44=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－5，c=54，d=－44。A=63；B=－61；C=8716，Δ=－63<0。根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。应用盛金公式④求解。θ=90°。把有关值代入盛金公式④，得：X⑴=4；X⑵=6；X⑶=5。经检验，结果正确。盛金定理清晰地回答了盛金公式解三次方程中的疑惑问题。如：盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-10。根据盛金判别法，当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。范盛金在研究解一元三次方程问题的基础上，进而深入研究根式解一元五次方程的问题。根式解一元五次方程问题是世界数学史上的最著名难题之一。根据阿贝尔定理，一般五次方程不存在根式表达的求根公式。范盛金对解五次方程问题进行了深入探索与研究，给出了可化为(X+r)^5=R的求根公式，并提出了具有数学美的一般式一元五次方程求根公式的猜想表达式。范盛金给出的“可化为(X+b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。当A=B=C=D=0时，公式⑴：X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d =－5f/e。当A=B=C=0，D≠0时，公式⑵：X⑴=(－b+Y^(1/5))/(5a)；X(2,3)=(－b+Y^(1/5)(－1+√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5+√5)√2i/4/(5a)；X(4,5)=(－b+Y^(1/5)(－1－√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5－√5)√2i/4/(5a)。其中Y=(be—25af)(5a)^3，i^2=－1。这种表达式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。无论a、b、R为任何实数，展开(X+b/(5a))^5=R ，都可以用公式⑵直观求解。重根判别式最简记忆符号：5a…2b…c…d…2e…5f。由最简记忆符号可快速得出重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。[精彩例题]例1、解方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+243=0解：a=1024，b=3840，c=5760，d=4320，e=1620，f=243。∵A=B=C=D=0，∴此方程有一个五重实根。应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4。经检验，结果正确（检验过程略）。例2、解方程X^5+15X^4+90X^3+270X^2+405X—1419614=0解：a=1，b=15，c=90，d=270，e=405，f=－1419614。∵A=0；B=0；C=0，D≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。应用公式⑵求解。Y=(be—25af)(5a)^3=4437053125； Y^(1/5)=85。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=14；X(2，3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4；X(4，5)=(－29+17×5^(1/2))/4±17(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。这是根式表达的精确结果。为了方便用韦达定理检验，取近似结果为宜，就是：X(1)=14；X(2，3)=－7532889±992349289i；X(4，5)=253288904±16796078i。经检验，解得的结果正确（检验过程略）。例3、解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0解：a=1；b=15；c=569；d=30747；e=29558805；f=－49364。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=102400000；Y^(1/5)=40。把有关值代入公式⑵，得：X(1)= 37；X(2,3)=842135955±60845213i；X(4,5)=－102135955±702282018i。用韦达定理检验：X⑴+X⑵+X⑶+X⑷+X⑸=－15，－b/a=－15；X⑴(X⑵+X⑶+X⑷+X⑸)+(X⑵+X⑶)(X⑷+X⑸)+X⑵X⑶+X⑷X⑸=569，c/a=569；X⑴(X⑵X⑶+X⑷X⑸)+X⑴(X⑵+X⑶)( X⑷+X⑸)+X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑷X⑸(X⑵+X⑶)=－307，－d/a=－307；X⑴X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑴X⑷X⑸(X⑵+X⑶)+X⑵X⑶X⑷X⑸=296，e/a=296；X⑴X⑵X⑶X⑷X⑸=494，－f/a=494。经用韦达定理检验，结果正确。例4、编制方程求实根的例子：在(X+r)^5=R中，令r=6，R=3^(1/3)。解方程 (X+6)^5=3^(1/3)解：X=(3^(1/3))^(1/5)－6，X=－8883876826。我们已经知道，这个方程有一个实根是X=－8883876826。展开(X+6)^5=3^(1/3)，得方程：X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0（这个方程显然无法用猜根法或因式分解法求解）解：a=1；b=30；c=360；d=2160；e=6480；f=7776－3^(1/3)。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=658774。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=－8883876826。与我们知道的结果一致，结果正确！如果把方程X ^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0中的f=7776－3^(1/3)换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个；如果把解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0中的f=－49364换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个。范盛金提出简明的、具有数学美的一般五次方程求根公式的猜想表达式是：一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）猜想求根公式：X(1)=(－b+(Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5)+(Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))/(5a)；X(2，3)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))M+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))N±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))G+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))H)i)/(5a)；X(4，5)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))N+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))M±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))H+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))G)i)/(5a)，其中：i^2=－1，M=(－1+5^(1/2))/4；N=(－1－5^(1/2))/4，G=(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4；H=(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4。Y1、Y2、Y3、Y4是方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0的解。（P、Q、R、S是由重根判别式构成）范盛金提出的这个猜想求根公式的特点是：只要推导出一元四次方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0，根式解一般五次方程问题便得到解决，因为解一元四次方程有费拉里公式，这个猜想具有科学性。重要关系式：M=(－1+√5)/4；N=(－1－√5)/4，G=√(5+√5)√2)/4；H=√(5－√5)√2)/4。V=N－Hi=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4；i^2=－1。V^5=1；V^6=V；V^7=V^2；V^8=V^3；V^9=V^4；V^10=V^5=1；……；V^n=V^(n-5) (n≥5)，V+V^2+V^3+V^4=－1；V+V^2+V^3+V^4+V^5=0，V+V^4=(－1－√5)/2；V^2+V^3=(－1+√5)/2，(V+V^4)(V^2+V^3)=－1。以上关系式非常有用！以上重要关系式是一种很自然常规的运算方法。当然，数学运算能力不是很强或不能很好地去运用以上技巧，那么推导过程就会无法进行下去，也就没有可能得出四元四次方程组。为了简化运算，在推导一元五次方程的求根公式的过程中注意运用好以上关系式，这样可以简化运算，大大提高运算效率。关于重要关系式的验证：二十年前，范盛金是用笔算来运算的。为了方便，用科学计算器验证以上关系式的正确性。验证：V=－8090169944－5877852523i；V^2=3090169944+9510565163i；V^3=3090169944－9510565163i；V^4=－8090169944+5877852523i；显然有：V^5= V^2·V^3= (3090169944+9510565163i)·(3090169944－9510565163i)=3090169944^2+9510565163^2=1。即V^5=1。就是说，((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1。这就把复杂化为了简单，非常简洁漂亮。研究数学就是要把复杂化为简单。运算过程是复杂的，结论是简单的。特别有趣的是：((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^5=1。范盛金选择((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1体现在重要关系式来参与运算，是因为这个关系式的括号内的符号都是负号，这是很方便记忆的（一种符号，可以减少记忆负担，不易出错），范盛金认为，研究数学要尽可能地化简，尽可能地使用方便记忆的式子。根式解五次方程的问题是非常复杂而有趣味的问题，完整地解决根式解五次方程的问题，仍需漫长的过程。范盛金用数学美的方法把复杂的数学问题变为简单和直观化，被誉为解高次方程的数学美大师。
范盛金研究出比世界著名的卡尔丹公式解题法更为实用的“三次方程新解法——盛金公式解题法”：（清晰图片，点击放大。） 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。这一研究成果，于1989年12月发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, C V 2, N 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic Fan S PP·91—98 盛金判别法体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金判别法具有一元二次方程根的判别法的表达形式，简明易记、解题直观，所体现的数学美，令人惊叹！盛金公式具有可靠性、直观性、简洁性、准确性、高效性、广泛性、实用性。特别是盛金公式③，简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式③被称为超级简便的公式。[精彩例题]解方程X^3－4X^2+92X－712=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－4，c=92，d=－712。A=289；B=－4；C=36，Δ=0。根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。应用盛金公式③求解。K=—6。把有关值代入盛金公式③，得：X⑴=8；X⑵=X⑶=8。经检验，结果正确。盛金公式④是漂亮的三角式，解题直观、准确。而此时，卡尔丹公式存在虚数性，虽然可转换为三角式解题，但不直观。[精彩例题]解方程X^3－5X^2+54X－44=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－5，c=54，d=－44。A=63；B=－61；C=8716，Δ=－63<0。根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。应用盛金公式④求解。θ=90°。把有关值代入盛金公式④，得：X⑴=4；X⑵=6；X⑶=5。经检验，结果正确。盛金定理清晰地回答了盛金公式解三次方程中的疑惑问题。如：盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-10。根据盛金判别法，当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。范盛金在研究解一元三次方程问题的基础上，进而深入研究根式解一元五次方程的问题。根式解一元五次方程问题是世界数学史上的最著名难题之一。根据阿贝尔定理，一般五次方程不存在根式表达的求根公式。范盛金对解五次方程问题进行了深入探索与研究，给出了可化为(X+r)^5=R的求根公式，并提出了具有数学美的一般式一元五次方程求根公式的猜想表达式。范盛金给出的“可化为(X+b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。当A=B=C=D=0时，公式⑴：X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d =－5f/e。当A=B=C=0，D≠0时，公式⑵：X⑴=(－b+Y^(1/5))/(5a)；X(2,3)=(－b+Y^(1/5)(－1+√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5+√5)√2i/4/(5a)；X(4,5)=(－b+Y^(1/5)(－1－√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5－√5)√2i/4/(5a)。其中Y=(be—25af)(5a)^3，i^2=－1。这种表达式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。无论a、b、R为任何实数，展开(X+b/(5a))^5=R ，都可以用公式⑵直观求解。重根判别式最简记忆符号：5a…2b…c…d…2e…5f。由最简记忆符号可快速得出重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。[精彩例题]例1、解方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+243=0解：a=1024，b=3840，c=5760，d=4320，e=1620，f=243。∵A=B=C=D=0，∴此方程有一个五重实根。应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4。经检验，结果正确（检验过程略）。例2、解方程X^5+15X^4+90X^3+270X^2+405X—1419614=0解：a=1，b=15，c=90，d=270，e=405，f=－1419614。∵A=0；B=0；C=0，D≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。应用公式⑵求解。Y=(be—25af)(5a)^3=4437053125； Y^(1/5)=85。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=14；X(2，3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4；X(4，5)=(－29+17×5^(1/2))/4±17(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。这是根式表达的精确结果。为了方便用韦达定理检验，取近似结果为宜，就是：X(1)=14；X(2，3)=－7532889±992349289i；X(4，5)=253288904±16796078i。经检验，解得的结果正确（检验过程略）。例3、解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0解：a=1；b=15；c=569；d=30747；e=29558805；f=－49364。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=102400000；Y^(1/5)=40。把有关值代入公式⑵，得：X(1)= 37；X(2,3)=842135955±60845213i；X(4,5)=－102135955±702282018i。用韦达定理检验：X⑴+X⑵+X⑶+X⑷+X⑸=－15，－b/a=－15；X⑴(X⑵+X⑶+X⑷+X⑸)+(X⑵+X⑶)(X⑷+X⑸)+X⑵X⑶+X⑷X⑸=569，c/a=569；X⑴(X⑵X⑶+X⑷X⑸)+X⑴(X⑵+X⑶)( X⑷+X⑸)+X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑷X⑸(X⑵+X⑶)=－307，－d/a=－307；X⑴X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑴X⑷X⑸(X⑵+X⑶)+X⑵X⑶X⑷X⑸=296，e/a=296；X⑴X⑵X⑶X⑷X⑸=494，－f/a=494。经用韦达定理检验，结果正确。例4、编制方程求实根的例子：在(X+r)^5=R中，令r=6，R=3^(1/3)。解方程 (X+6)^5=3^(1/3)解：X=(3^(1/3))^(1/5)－6，X=－8883876826。我们已经知道，这个方程有一个实根是X=－8883876826。展开(X+6)^5=3^(1/3)，得方程：X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0（这个方程显然无法用猜根法或因式分解法求解）解：a=1；b=30；c=360；d=2160；e=6480；f=7776－3^(1/3)。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=658774。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=－8883876826。与我们知道的结果一致，结果正确！如果把方程X ^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0中的f=7776－3^(1/3)换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个；如果把解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0中的f=－49364换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个。范盛金提出简明的、具有数学美的一般五次方程求根公式的猜想表达式是：一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）猜想求根公式：X(1)=(－b+(Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5)+(Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))/(5a)；X(2，3)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))M+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))N±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))G+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))H)i)/(5a)；X(4，5)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))N+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))M±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))H+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))G)i)/(5a)，其中：i^2=－1，M=(－1+5^(1/2))/4；N=(－1－5^(1/2))/4，G=(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4；H=(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4。Y1、Y2、Y3、Y4是方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0的解。（P、Q、R、S是由重根判别式构成）范盛金提出的这个猜想求根公式的特点是：只要推导出一元四次方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0，根式解一般五次方程问题便得到解决，因为解一元四次方程有费拉里公式，这个猜想具有科学性。重要关系式：M=(－1+√5)/4；N=(－1－√5)/4，G=√(5+√5)√2)/4；H=√(5－√5)√2)/4。V=N－Hi=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4；i^2=－1。V^5=1；V^6=V；V^7=V^2；V^8=V^3；V^9=V^4；V^10=V^5=1；……；V^n=V^(n-5) (n≥5)，V+V^2+V^3+V^4=－1；V+V^2+V^3+V^4+V^5=0，V+V^4=(－1－√5)/2；V^2+V^3=(－1+√5)/2，(V+V^4)(V^2+V^3)=－1。以上关系式非常有用！以上重要关系式是一种很自然常规的运算方法。当然，数学运算能力不是很强或不能很好地去运用以上技巧，那么推导过程就会无法进行下去，也就没有可能得出四元四次方程组。为了简化运算，在推导一元五次方程的求根公式的过程中注意运用好以上关系式，这样可以简化运算，大大提高运算效率。关于重要关系式的验证：二十年前，范盛金是用笔算来运算的。为了方便，用科学计算器验证以上关系式的正确性。验证：V=－8090169944－5877852523i；V^2=3090169944+9510565163i；V^3=3090169944－9510565163i；V^4=－8090169944+5877852523i；显然有：V^5= V^2·V^3= (3090169944+9510565163i)·(3090169944－9510565163i)=3090169944^2+9510565163^2=1。即V^5=1。就是说，((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1。这就把复杂化为了简单，非常简洁漂亮。研究数学就是要把复杂化为简单。运算过程是复杂的，结论是简单的。特别有趣的是：((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^5=1。范盛金选择((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1体现在重要关系式来参与运算，是因为这个关系式的括号内的符号都是负号，这是很方便记忆的（一种符号，可以减少记忆负担，不易出错），范盛金认为，研究数学要尽可能地化简，尽可能地使用方便记忆的式子。根式解五次方程的问题是非常复杂而有趣味的问题，完整地解决根式解五次方程的问题，仍需漫长的过程。范盛金用数学美的方法把复杂的数学问题变为简单和直观化，被誉为解高次方程的数学美大师。
1．卡丹公式法 （卡尔达诺公式法） 特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R) 判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3 【卡丹公式】 X⑴=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)； X⑵= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2； 标准型方程中卡尔丹公式的一个实根X⑶=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω， 其中ω=(－1+i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。 标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0 令X=Y—b/(3a)代入上式， 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。 【卡丹判别法】 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。2．盛金公式法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 【盛金公式】 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X⑴=X⑵=X⑶=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X⑴=(－b－Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(3a)； X(2，3)=(－2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)－Y⑵^(1/3))/(6a)； 其中Y(1，2)=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X(2，3)=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)； 其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－10时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。 盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-10时，不一定有A<0。 盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, C V 2, N 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic ， Fan S PP·91—98 详情请见：
卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。【费拉里公式】一元四次方程aX^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。令a=1，则X^4+bX^3+cX^2+dX+e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。2X^2+(b+M)X+2(y+N/M)=0；2X^2+(b—M)X+2(y—N/M)=0。其中M=√（8y+b^2—4c）；N=by—d，（M≠0）。y是一元三次方程8y^3—4cy^2—（8e—2bd)y—e(b^2—4c）—d^2=0的任一实根。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3+bX^2+cX+d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3+pX+q=0的特殊型。卡尔丹公式一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)判别式Δ=(q/2）^2+(p/3）^3【卡尔丹公式】X1=(Y1）^（1/3）+(Y2）^（1/3）；X2= (Y1）^（1/3）ω+(Y2）^（1/3）ω^2；X3=(Y1）（1/3）ω^2+(Y2）^（1/3）ω，其中ω=（－1+i3^（1/2））/2；Y（1,2）=－（q/2）±（（q/2）^2+(p/3）^3）^（1/2）。一般式一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0令X=Y—b/（3a）代入上式，可化为适合卡尔丹公式求解的特殊型三次方程Y^3+pY+q=0。【盛金公式】三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。盛金公式 盛金判别法盛金定理当Δ=0(d≠0）时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方（WhenΔ=0,Shengjin’s formula is not with radical sign,and efficiency higher for solving an equation）。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金公式解法的以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,C V 2,N 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic ， Fan S PP·91—98
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,C V 2,N 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic ， Fan S PP·91—98
范盛金研究出比世界著名的卡尔丹公式解题法更为实用的“三次方程新解法——盛金公式解题法”：（清晰图片，点击放大。） 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式2中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。这一研究成果，于1989年12月发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, C V 2, N 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic Fan S PP·91—98 盛金判别法体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金判别法具有一元二次方程根的判别法的表达形式，简明易记、解题直观，所体现的数学美，令人惊叹！盛金公式具有可靠性、直观性、简洁性、准确性、高效性、广泛性、实用性。特别是盛金公式③，简明易记，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式③被称为超级简便的公式。[精彩例题]解方程X^3－4X^2+92X－712=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－4，c=92，d=－712。A=289；B=－4；C=36，Δ=0。根据盛金判别法，此方程有三个实根，其中两个相等。应用盛金公式③求解。K=—6。把有关值代入盛金公式③，得：X⑴=8；X⑵=X⑶=8。经检验，结果正确。盛金公式④是漂亮的三角式，解题直观、准确。而此时，卡尔丹公式存在虚数性，虽然可转换为三角式解题，但不直观。[精彩例题]解方程X^3－5X^2+54X－44=0（用科学计算器辅助运算）解：a=1，b=－5，c=54，d=－44。A=63；B=－61；C=8716，Δ=－63<0。根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。应用盛金公式④求解。θ=90°。把有关值代入盛金公式④，得：X⑴=4；X⑵=6；X⑶=5。经检验，结果正确。盛金定理清晰地回答了盛金公式解三次方程中的疑惑问题。如：盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-10。根据盛金判别法，当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。范盛金在研究解一元三次方程问题的基础上，进而深入研究根式解一元五次方程的问题。根式解一元五次方程问题是世界数学史上的最著名难题之一。根据阿贝尔定理，一般五次方程不存在根式表达的求根公式。范盛金对解五次方程问题进行了深入探索与研究，给出了可化为(X+r)^5=R的求根公式，并提出了具有数学美的一般式一元五次方程求根公式的猜想表达式。范盛金给出的“可化为(X+b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。当A=B=C=D=0时，公式⑴：X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d =－5f/e。当A=B=C=0，D≠0时，公式⑵：X⑴=(－b+Y^(1/5))/(5a)；X(2,3)=(－b+Y^(1/5)(－1+√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5+√5)√2i/4/(5a)；X(4,5)=(－b+Y^(1/5)(－1－√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5－√5)√2i/4/(5a)。其中Y=(be—25af)(5a)^3，i^2=－1。这种表达式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。无论a、b、R为任何实数，展开(X+b/(5a))^5=R ，都可以用公式⑵直观求解。重根判别式最简记忆符号：5a…2b…c…d…2e…5f。由最简记忆符号可快速得出重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。[精彩例题]例1、解方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+243=0解：a=1024，b=3840，c=5760，d=4320，e=1620，f=243。∵A=B=C=D=0，∴此方程有一个五重实根。应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4。经检验，结果正确（检验过程略）。例2、解方程X^5+15X^4+90X^3+270X^2+405X—1419614=0解：a=1，b=15，c=90，d=270，e=405，f=－1419614。∵A=0；B=0；C=0，D≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。应用公式⑵求解。Y=(be—25af)(5a)^3=4437053125； Y^(1/5)=85。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=14；X(2，3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4；X(4，5)=(－29+17×5^(1/2))/4±17(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。这是根式表达的精确结果。为了方便用韦达定理检验，取近似结果为宜，就是：X(1)=14；X(2，3)=－7532889±992349289i；X(4，5)=253288904±16796078i。经检验，解得的结果正确（检验过程略）。例3、解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0解：a=1；b=15；c=569；d=30747；e=29558805；f=－49364。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=102400000；Y^(1/5)=40。把有关值代入公式⑵，得：X(1)= 37；X(2,3)=842135955±60845213i；X(4,5)=－102135955±702282018i。用韦达定理检验：X⑴+X⑵+X⑶+X⑷+X⑸=－15，－b/a=－15；X⑴(X⑵+X⑶+X⑷+X⑸)+(X⑵+X⑶)(X⑷+X⑸)+X⑵X⑶+X⑷X⑸=569，c/a=569；X⑴(X⑵X⑶+X⑷X⑸)+X⑴(X⑵+X⑶)( X⑷+X⑸)+X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑷X⑸(X⑵+X⑶)=－307，－d/a=－307；X⑴X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑴X⑷X⑸(X⑵+X⑶)+X⑵X⑶X⑷X⑸=296，e/a=296；X⑴X⑵X⑶X⑷X⑸=494，－f/a=494。经用韦达定理检验，结果正确。例4、编制方程求实根的例子：在(X+r)^5=R中，令r=6，R=3^(1/3)。解方程 (X+6)^5=3^(1/3)解：X=(3^(1/3))^(1/5)－6，X=－8883876826。我们已经知道，这个方程有一个实根是X=－8883876826。展开(X+6)^5=3^(1/3)，得方程：X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0（这个方程显然无法用猜根法或因式分解法求解）解：a=1；b=30；c=360；d=2160；e=6480；f=7776－3^(1/3)。A=0；B=0；C=0；D≠0。∵A=B=C=0，D≠0。∴应用公式⑵求解。Y=658774。把有关值代入公式⑵，得：X(1)=－8883876826。与我们知道的结果一致，结果正确！如果把方程X ^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0中的f=7776－3^(1/3)换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个；如果把解方程X^5+15X^4+569X^3+30747X^2+29558805X—49364=0中的f=－49364换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个。范盛金提出简明的、具有数学美的一般五次方程求根公式的猜想表达式是：一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）猜想求根公式：X(1)=(－b+(Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5)+(Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))/(5a)；X(2，3)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))M+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))N±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))G+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))H)i)/(5a)；X(4，5)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))N+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))M±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))H+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))G)i)/(5a)，其中：i^2=－1，M=(－1+5^(1/2))/4；N=(－1－5^(1/2))/4，G=(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4；H=(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4。Y1、Y2、Y3、Y4是方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0的解。（P、Q、R、S是由重根判别式构成）范盛金提出的这个猜想求根公式的特点是：只要推导出一元四次方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0，根式解一般五次方程问题便得到解决，因为解一元四次方程有费拉里公式，这个猜想具有科学性。重要关系式：M=(－1+√5)/4；N=(－1－√5)/4，G=√(5+√5)√2)/4；H=√(5－√5)√2)/4。V=N－Hi=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4；i^2=－1。V^5=1；V^6=V；V^7=V^2；V^8=V^3；V^9=V^4；V^10=V^5=1；……；V^n=V^(n-5) (n≥5)，V+V^2+V^3+V^4=－1；V+V^2+V^3+V^4+V^5=0，V+V^4=(－1－√5)/2；V^2+V^3=(－1+√5)/2，(V+V^4)(V^2+V^3)=－1。以上关系式非常有用！以上重要关系式是一种很自然常规的运算方法。当然，数学运算能力不是很强或不能很好地去运用以上技巧，那么推导过程就会无法进行下去，也就没有可能得出四元四次方程组。为了简化运算，在推导一元五次方程的求根公式的过程中注意运用好以上关系式，这样可以简化运算，大大提高运算效率。关于重要关系式的验证：二十年前，范盛金是用笔算来运算的。为了方便，用科学计算器验证以上关系式的正确性。验证：V=－8090169944－5877852523i；V^2=3090169944+9510565163i；V^3=3090169944－9510565163i；V^4=－8090169944+5877852523i；显然有：V^5= V^2·V^3= (3090169944+9510565163i)·(3090169944－9510565163i)=3090169944^2+9510565163^2=1。即V^5=1。就是说，((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1。这就把复杂化为了简单，非常简洁漂亮。研究数学就是要把复杂化为简单。运算过程是复杂的，结论是简单的。特别有趣的是：((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^5=1；((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^5=1。范盛金选择((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1体现在重要关系式来参与运算，是因为这个关系式的括号内的符号都是负号，这是很方便记忆的（一种符号，可以减少记忆负担，不易出错），范盛金认为，研究数学要尽可能地化简，尽可能地使用方便记忆的式子。根式解五次方程的问题是非常复杂而有趣味的问题，完整地解决根式解五次方程的问题，仍需漫长的过程。范盛金用数学美的方法把复杂的数学问题变为简单和直观化，被誉为解高次方程的数学美大师。
解一元三次方程，首先要得到一个解，这个解可以凭借经验或者凑数得到，然后根据短除法得到剩下的项。具体过程：以x³-3x²+4=0为例观察式子，很容易找到x=-1是方程的一个解，所以我们就得到一个项x+1。剩下的项我们用短除法。也就是用x³-3x²+4除以x+1。因为被除的式子最高次数是3次，所以一定有x²现在被除的式子变成了x³-3x²+4-（x+1）*x²=-4x²+4，因为最高次数项是-4x²，所以一定有-4x现在被除的式子变成了-4x²+4-（-4x²-4x）=4x+4，剩下的一项自然就是4了所以，原式可以分解成（x+1）*（x²-4x+4），也就是（x+1）*（x-2）²（x+1）*（x-2）²=0解得x1=-1，x2=x3=2扩展资料解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和总判别式Δ=B^2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。
一般先凑出一个根，再用整式除法分解因式得到一个一元二次方程，解出余下的两根即可。通法见下：
七年级数学题，一元三次方程怎么解？用因式分解的方法
因式分解法因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-另一种换元法对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,盛金公式解题法三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)， 其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K； X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－10时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。盛金定理当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。 盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。 显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。 注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。 盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。盛金公式出处以上盛金公式的结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91―98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。