数学文化 人类共同的精神财富——数学,数学是人类智慧的结晶，它表达了人类思维中生动活泼的意念,表达了人类对客观世界深入细致的思考,以及人类追求完美和谐的愿望。 早在古希腊时代,哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说:“几何学可以将灵魂引向真理,并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真,也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己,使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时,也认识人类自己。在这个认识过程中,数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的,它是现代科学技术的语言和工具,它的成果为众多学科所共识,积极推动着这些学科理论的建立和深化,它的思维方式和方法渗透到各学科,为这些学科的发展增添了活力。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念,作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰,推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊,整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然,任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨,但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此,数学方法成为人们一种典范的认识方法,帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来,人类的思想发生了巨大变化,人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中,数学思想和方法却一直延续发展了几千年,表现出了强大的生命力。数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内,人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律,以此来描述物体多种多样的运动,解释各种现象,同时借助于数学探求事物的机理,预测事物未来的发展变化,探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算,在数学思想方法的启发和帮助下,解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信,世界的合理性可以用数学来描述。数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式,而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论,记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机,危机似乎动摇了数学的基础,而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础,使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中,也形成了像数理逻辑这样的数学新分支,推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性,这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样,其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维,影响一个民族文化进步。解析几何和微积分的创立,使变量成为数学的研究对象。数学思想、内容、方法上的革新,使数学的面貌焕然一新。而数学研究运动、变化的思想和方法,以及数学所取得的进展,对打破科学研究中形而上学的枷锁,把辩证法引入到科学的思维中,起到了推波助澜的作用。今天,恐怕没有一个有文化的人不懂得“增长速度”,“变化率”的含义,人们己经习惯从运动和变化的观点来研究事物。数学促进了几乎所有学科的发展,直接或间接地影响了每一个有文化的人的思维。影响人类的精神生活,提高和丰富了人类的整个精神文明水平。(2)数学对人的文化素养影响面对飞跃发展的科学技术,人必须具备必要的数学知识和技能,以训练心智、陶冶情操,更好的理解周围的世界,从而更客观的认识人类社会。例如“今年前六个月的居民存款比去年同期增速下降1个百分点。”“今天降水概率是50%”。“信息高速公路”、“数字信息”等他们的含义都是什么?数学对人的文化素质的影响,至少表现在如下几个方面:有利于培养严谨的思维方式。尽管大多数人将来不会成为数学家,但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。同时,数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。如圆是一个完美的图形,可用方程来表示,我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质,进一步还可以用方程来表示球,那么我们为什么不考虑下列方程以及。仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间,从有形进入了无形,从现实进入了虚拟世界。有利于培养人的创新精神。数学是人类理性文明高度发展的结晶,又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展,都需要研究新问题,根据实际情况做出恰如其分的分析,并由此找到解决问题的途径。这就体现出人的巨大创造力。有利于培养科学的审美观。人对美的理解各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等相联系。而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异一,数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。二,数学:一种思想方法数学是研究量的科学。它研究客观对象量的变化、关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。这些表现方式主要有:提供数量分析和计算工具;提供推理工具;建立数学模型。任何一种数学方法的具体运用,首先必须将研究对象数量化,进行数量分析、测量和计算。毛泽东同志曾指出:“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面,要有基本的数量的分析。任何质量都表现为一定的数量,没有数量也就没有质量。”(注:《毛泽东选集》第4卷第1443页,人民出版社1990年版。)例如太阳系第八大行星——海王星的发现,就是由亚当斯(J C Adams)和勒维烈(U J Leverrier)运用万有引力定律,通过复杂的数量分析和计算,在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。数学作为推理工具的作用是巨大的。特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界,推理更有其独到的功效,例如正电子的预言,就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。值得指出的是,数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法,已经成为应用数学最本质的思想方法之一。模型这一概念在数学上已变得如此重要,以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。怀特海(A N Whitehead )认为:“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持;文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)并进一步指出:“数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)物理学家博尔茨曼(LE Boltzmann)认为:“模型,无论是物理的还是数学的,无论是几何的还是统计的,已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”这一观点目前不仅流行于自然科学界,还遍布于社会科学界。为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型,是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。在欧洲,在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动,雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。在美国,社会科学自夸有更坚实、定量的东西,这通常也是用数学模型来表示的。从模型的观点看,数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”,那么,数学概念的本质也在发生嬗变。数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系,其涵盖的科学对象也必然随之增加。数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标,即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。在某些框架下,利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。数学中有一个分支叫应用数学,主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。如对客观事物的必然现象,人们用确定性模型去描述,而对或然现象,人们建立了随机性模型。模糊数学被用于刻画弗晰现象。而各种突变现象,如地震、洪灾等,则可以由突变理论给出数学模型。三,数学:理性的艺术通常人们认为,艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。两者一个处于高度理性化的巅峰,另一个居于情感世界的中心;一个是科学(自然科学)的典范,另一个是美学构筑的杰作。然而,在种种表面无关甚至完全不同的现象背后,隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。数学与艺术确实有许多相通和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语言来表达内容。难怪有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。事实上,由于数学(特别是现代数学)的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”,因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。对此,我们还可做出如下进一步的分析。艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物,是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具,有着不同的方式,但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果,都是在其自身价值的弘扬中,不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上,审美地掌握世界。艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中,还同时发展并完善着自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有:(1)跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。(2)整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。(3 )简约性。它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩。(4 )象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的感受,而意义则在于把注意力引向思维,升迁为理念,成为表现人类内心意图的方式。(5)形式化。在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值,这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来,其共同的特点有:(1)自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的;艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。(2)超越性。它们可以超越时空,显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中,现实被扩张、被延伸。人被重新塑造,赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。(3)非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。(4)多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下,艺术与数学的价值也开始发生嬗变,出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。在人类思维的全谱系中,艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。特别是真正的艺术品和数学创造,一般都不是某种单一思维形式的产物,而是多种思维形式综合作用的结果。人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔,并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体,呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的,而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时,艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材四,数学韵味——数学的美说到数学美,人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割;雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何;数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……数学美可以分为形式美和内在美。数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美,数学中的对称美反映的是自然界的和谐性,在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美,数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。数学的内在美有数学的和谐美,数量的和谐,空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美,严谨美是数学独特的内在美,我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密,数学定义准确揭示概念的本质属性,数学结构系统的协调完备等等。总之,数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的,数学是一个五彩缤纷的美的世界。美(有限美、神秘美等)会给学生以美的熏陶。数学所揭示的规律会加深学生对美的理解,而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。数学精神是一种理性精神,对完善人的精神品格有着不可估量的作用,主要体现在严谨求实、理智自率、直着求真、开拓创新等方面,通过解题实践既巩固了知识,培养了能力,同时也发展了坚持公正、终于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质,这都是造就人不断追求进取的品质所必备的前提。
数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇。晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人也都是20世纪数学文明的缔造者。数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做？一个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理性无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（LAWhite）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（MKline）的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》，汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。认识和实施数学文化教育进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。那么，如何在中小学数学教学中进行数学文化教育呢？笔者认为应该从以下几个方面加以认识和实施。认识数学文化的民族性和世界性每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。古希腊和古代中国的不同政治文明孕育了不同的数学。古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（广大奴隶不能享受这种民主）。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理的因素。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。 中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。古希腊的文化时尚，是追求精神上享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。 同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法，以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。 我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要溶入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来。揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影数学的内涵十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生们把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实-运用算法-执行记忆得来的公式-算出答案”的模式[1]，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说，一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！数学的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。半个多世纪以前，著名数学家柯朗（RCourant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。” 2002年8月20日，丘成桐接受《东方时空》的采访时说：“我把《史记》当作歌剧来欣赏”，“由于我重视历史，而历史是宏观的，所以我在看数学问题时常常采取宏观的观点，和别人的看法不一样。” 这是一位数学大家的数学文化阐述。 《文汇报》2002年8月21日摘要刊出钱伟长的文章《哥丁根学派的追求》，其中提到：“这使我明白了：数学本身很美，然而不要被它迷了路。应用数学的任务是解决实际问题，不是去完善许多数学方法，我们是以解决实际问题为己任的。从这一观点上讲，我们应该是解决实际问题的优秀‘屠夫’，而不是制刀的‘刀匠’，更不是那种一辈子欣赏自己的刀多么锋利而不去解决实际问题的刀匠。”这是一个力学家的数学文化观。和所有文化现象一样，数学文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。优秀的数学文化，会是美丽动人的数学王后、得心应手的仆人、聪明伶俐的宠物。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。多侧面地开展数学文化研究谈到数学文化，往往会联想到数学史。确实，宏观地观察数学，从历史上考察数学的进步，确实是揭示数学文化层面的重要途径。但是，除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化底蕴。以下将阐述一些新视角，力求多侧面地展现数学文化。 数学和文学。数学和文学的思考方法往往是相通的。举例来说，中学课程里有“对称”，文学中则有“对仗”。对称是一种变换，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？无非是上联变成下联，但是字词句的某些特性不变。王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，没有变。形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各词均如此。变化中的不变性质，在文化中、文学中、数学中，都广泛存在着。数学中的“对偶理论”，拓扑学的变与不变，都是这种思想的体现。文学意境也有和数学观念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆远影碧空尽”，正是极限概念的意境。欧氏几何和中国古代的时空观。初唐诗人陈子昂有句云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下。”这是时间和三维欧几里得空间的文学描述。在陈子昂看来，时间是两头无限的，以他自己为原点，恰可比喻为一条直线。天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千。数学正是把这种人生感受精确化、形式化。诗人的想象可以补充我们的数学理解。 数学与语言。语言是文化的载体和外壳。数学的一种文化表现形式，就是把数学溶入语言之中。“不管三七二十一”涉及乘法口诀，“三下二除五就把它解决了”则是算盘口诀。再如“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”，但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。此外，“指数爆炸”“直线上升”等等已经进入日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），正是所需要研究的。“事业坐标”“人生轨迹”也已经是人们耳熟能详的词语。 数学的宏观和微观认识。宏观和微观是从物理学借用过来的，后来变成一种常识性的名词。以函数为例，初中和高中的函数概念有变量说和对应说之分，其实是宏观描述和微观刻画的区别。初中的变量说，实际上是宏观观察，主要考察它的变化趋势和性态。高中的对应则是微观的分析。在分段函数的端点处，函数值在这一段，还是下一段，差一点都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛顿力学与量子力学，电影中有全景和细部，国画中有泼墨山水画和工笔花鸟画，其道理都是一样的。是否要从这样的观点考察函数呢？ 数学和美学。“1/2+1/3=2/5 ？”是不是和谐美？二次方程的求根公式美不美？这涉及到美学观。三角函数课堂上应该提到音乐，立体几何课总得说说绘画，如何把立体的图形画在平面上。欣赏艾舍尔（MCEscher）的画、计算机画出的分形图，也是数学美的表现。总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
数字化这个词是香农《数学通信理论》这篇论文中的，克劳德·艾尔伍德·香农是美国数学家、信息论的创始人。1936年获得密歇根大学学士学位 。
[一】韩国的习俗文化论文韩国的传统家庭通常是一家3~4代共同生活在一起的大家族，因为喜欢家族人丁旺盛是当时韩国的风俗习惯。 但伴随着20世纪6、70年代产业化、城市化的飞速发展及人口控制政策的确立，大家族式的传统文化逐渐消失。到1980年，平均每户人家的子女数减少为1人或2人。但重男轻女的思想至今仍有迹可寻，如长男为重、儿子为重。为了破除这种思想，政府立法规定男女在遗产继承上享有平等的权利。 如今的韩国年轻人几乎都从大家族的制度下解放出来，单独建立自己的小家庭。现在韩国的家庭形态主要是以夫妇为中心的小家庭。 姓名韩国人的姓氏以金(21%)、李(14%)、朴(8%)、崔、郑、张、韩、林为最，姓名多由姓氏及双音节名字构成。韩国妇女婚后并不随夫姓，但子女须随父姓。婚姻 婚姻对韩国人来说是人生中的一大重要仪式。虽然有统计显示近代韩国的离婚率激增，但离婚对当事人及双方各自的家人来说还是一件不太光彩的事情。韩国现在的婚礼方式同以往有所不同: 身着白色婚纱和新娘和身着燕尾服的新郎在婚礼厅或教堂按西方仪式举办典礼后，再转移到名为“币帛室”的房间，换上华丽的传统婚礼服饰进行传统的结婚典礼。(币帛，可理解为韩国的一种传统，指婚礼时新郎新娘向男方家长及亲戚长辈行礼的风俗，是新娘首次正式地拜见男方亲属的仪式) 祭祖(拜祭先祖) 在韩国人的传统信仰里，人死后是有灵魂存在的。因此，除先祖的忌辰外，每逢春节、中秋等传统节庆日，子孙后代都会通过祭拜来召唤先祖的灵魂。韩国人相信凭借这种特殊的仪式能和逝去的亲人再次相聚，并借此祈愿得到先祖在天之灵的庇佑。 暖炕(ondol) 韩国住宅设计最具代表性的特征是[Ondol]式的暖炕。原本是利用厨房或屋外设置的灶坑烧柴产生的热气通过房屋面下的管道而烘暖整个房间。[Ondol]式的暖，冬暖夏凉，有益于健康。因此现代化城市的高级公寓区或建筑中，依然使用现代化暖气设备传热的[Ondol]式的暖 韩国传统服装 韩服是从古代演变到现代的韩民族的传统服装。韩服的线条兼具曲线与直线之美，尤其是女式韩服的短上衣和长裙上薄下厚，端庄闲雅。如今，大部分国民是以习惯穿着洋装西服，但是在春节秋夕（中秋节）等节庆日，或行婚礼时，仍有许多人喜爱穿传统的民族服装。女性的韩服是短上衣（jeogori）搭配优雅的长裙（chima）；男性则是短褂搭配长裤，而以细带（daenim）缚住宽大的裤脚。上衣，长裙的颜色五彩缤纷，有的甚至加刺明艳华丽的锦绣。韩国传统住房 传统韩式住宅从三国时期（公元前57年~668年）到朝鲜王朝（1392~1910年）后期一直没有大的变化。只是在某些方面略加改进，以适应北部寒冷和南部温暖的不同气候。建造传统风格住宅的主要材料是泥土和木头。泥土将室内同室外的热气隔开。房顶所用黑色瓦片是用泥土做的。通常是红色。而且，韩式住宅的框架不用钉子而只靠木桩支撑而成。简单的传统住宅里有一块长方形地板，一间厨房，有一边是卧室从而形成一个 'L'形，后来又形成了‘U'形或中间有一个院子的方形。上层社会的住宅由几个独立建筑物构成，一处供妇女和孩子住，一处供家庭中的男子和他们的客人使用，称作“厢房”，还有一处是给佣人们的。所有这些都在一座围墙内。韩国民俗 韩国传统风俗习惯方面, 像其他许多国家一样, 拜年元月一日是新年开始。韩国自古以来使用阴历, 然而自十九世纪末叶以来, 由於深受外来文化的影响, 迄今已演变成任由百姓选定过阳历的新年或旧历的新年。阳历一月一日起连续三天休假, 阴历一月一日, 也被定为休假日, 连休两天。每逢新年, 家家户户都准备隹肴, 换上新衣, 全家团聚在一起, 行新年祭祖之礼, 这是拜年。阴历正月十四日, 韩国每家都做很多混合各种杂粮的「五谷饭」及菜肴, 以招待访客及邻里乡人, 以增进村里人之间彼此友谊, 加强团结, 以祈求另一个丰收年。阴历四月初八是佛教释迦如来佛的诞生日, 因此, 这一天称为佛诞日或佛浴日, 许多佛教信徒们在全国各地寺庙中, 厌祝、祈求,同时信徒们悬挂许多灯笼。阴历五月五日是端午节, 这天除了摔角的活动外, 尚有专为女子而办的荡秋千活动。而阳历五月五日是儿童节, 为了鼓励儿童们成长强健, 这一天通常举办运动会或游艺节目。 阴历六月十五日称为流头日, 人们在从东方流来的清澈的河水中洗头发, 以除去暑热, 洗去一年的恶运。在这一段暑期中人民可以暂时休假, 在流头日的宴会上, 吟诗作乐, 在酷热的三伏中必须吃人浍、糯米和鸡做成的浍鸡汤, 抑止酷暑热天, 此种风俗已流传迄今, 风行全国许多地方。阴历七月七日称为七夕, 有些家庭, 在这一天也向着北斗七星祭拜, 为不孕的妇女求子。阴历八月十五是秋夕(即中秋节)。自古以来韩 国人就非常重视秋夕, 在丰盛的秋收后, 准备很多隹肴祭祀其祖先。冬至是表示冬季 以到, 其特色是在一年中昼短夜长最明显的一日, 而和冬至刚好相反的是夏至, 夏至 在这一年中白昼最长, 夜最短。在冬至这一天, 韩国人家家户户都吃红豆汤圆粥, 按 照韩国传统习俗, 相传鬼魅恨红色, 因而用红豆汤圆粥来祭祀,驱除和防止漫长夜里 鬼魅的侵扰。 阴历十二月的最后一天是除夕, 这一天, 家中年青人须向长者行跪拜大礼, 以表示对长辈们的祝福, 这种风俗礼节称「旧岁拜」。这一天, 为了守岁驱除鬼魅的接近, 厨房的灶内彻夜都要保持薪火不断。此外, 全家都要大扫除, 以迎接明日的新年纳福 【二】韩国是个具有悠久历史和灿烂文化的国家，在文学艺术等方面都有自己的特色。韩国的美术主要包括绘画、书法、版画、工艺、装饰等，既继承了民族传统，又吸收了外国美术的特长。韩国的绘画分东洋画和西洋画，东洋画类似中国的国画，用笔、墨、纸、砚表现各种话题。此外还有各类华丽的风俗画。与中国、日本一样，书法在韩国是一种高雅的艺术形式。韩国人素以喜爱音乐和舞蹈而著称。韩国现代音乐大致可分为“民族音乐”和“西洋音乐”两种。民族音乐又可分为“雅乐”和“民俗乐”两种。雅乐是韩国历代封建王朝在宫廷举行祭祀、宴会等各种仪式时由专业乐队演奏的音乐，通称“正乐”或“宫廷乐”。民俗乐中有杂歌、民谣、农乐等。乐器常用玄琴、伽耶琴、杖鼓、笛等。韩国民俗乐的特色之一是配上舞蹈。韩国舞蹈非常重视舞者肩膀、胳膊的韵律。道具有扇、花冠、鼓。韩国的舞蹈以民族舞和宫廷舞为中心，多姿多彩。韩国的戏剧起源于史前时期的宗教仪式，主要包括假面具、木偶剧、曲艺、唱剧、话剧等5类。其中假面具又称“假面舞”，为韩国文化象征，在韩国传统戏剧中占有极为重要的地位 。 韩国人民十分喜欢运动，尤其爱好参加民间游戏。主要民间游戏有荡秋千、踩跷跷板、放风筝、踏地神等。韩国的民间体育活动种类颇多，主要有围棋、象棋、掷棋、摔跤、跆拳道、滑雪等。 韩国人民十分喜欢运动，尤其爱好参加民间游戏。主要民间游戏有荡秋千、踩跷跷板、放风筝、踏地神等。韩国的民间体育活动种类颇多，主要有围棋、象棋、掷棋、摔跤、跆拳道、滑雪等。 韩食以泡菜文化为特色，一日三餐都离不开泡菜。韩国传统名菜烧肉、泡菜、冷面已经成了世界名菜。 【三】韩国饮食文化
文化 韩国庆尚北道安东市民俗村 韩国在文学艺术等方面都有自己的特色。韩国的美术主要包括绘画、书法、版画、工艺、装饰等，既继承了民族传统，又吸收了外国美术的特长。其中假面具又称“假面舞”，为韩国文化象征，在韩国传统戏剧中占有极为重要的地位。 韩国的文化受中国影响十分明显，早在唐朝时期，朝鲜半岛的新罗国就专门派人到中国学习中国的文化以及治国的策略，甚至有些东西直接照搬照抄地拿回去，中国的文化对新罗国影响十分久远，新罗也因为吸收了中国的文化而强大起来因此统一了朝鲜半岛。 韩国是一个十分重视教育的国家。全国各类大专院校数以千计。国立首尔大学是韩国排名第一的综合类院校。延世大学和高丽大学也比较有名，此外，还有成均馆大学、西江大学、中央大学、庆熙大学、汉阳大学、檀国大学、建国大学、忠国大学、世宗大学、梨花女子大学、庆北大学、忠北大学、浦项工业大学、釜山大学、全南大学、釜山外国语大学、仁荷大学、仁济大学、培材大学在他们韩国有些名誉。 服饰 朝鲜服是韩国、朝鲜、以及中国朝鲜族的传统服装，起源于中国明朝的服装，比较有民族特色。近代被洋服替代，一般只有在节日 韩国长鼓舞 和有特殊意义的日子里穿。女性的传统服装是短上衣和宽长的裙子，看上去很宽松；男性以裤子、短上衣、背心、马甲显出独特的风情。白色为基本色，根据季节、身份，所选用的材料和色彩都不同。在结婚等特别的仪式中，一般平民也穿戴华丽的衣裳和首饰。最近，增加实用性的生活朝鲜服很受欢迎。 韩服的种类:朝鲜服可以根据身份、功能、性别、年龄、用途、材料进行分类。在现代使用观点中，按用途分最具代表性。根据生活风俗用途，朝鲜服可分为以下几种 1 节日服 2 花甲宴服 3 周岁服 4 仪式礼服 5 婚礼服
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中国文论传统及其现代命运 中国古代文论话语体系与中国古代文人士大夫的精神特征密切相关。可以说,作为文学观念之理论化形态的文论话语乃是文人士大夫精神世界的直接体现。具体言之,与古代士人“社会导师”的文化认同直接相关,形成了儒家工具主义文论话语系统;与古代士人维护个体精神自由与超越意识直接相关,形成了以道家、佛释之学为思想依托的审美主义文论话语系统;与士大夫诗文酬唱的文人情趣直接相关,形成了以文本分析为核心的诗文评话语系统。 儒家的工具主义文论系统 儒家的工具主义文论系统,是中国古代居于主导地位或者官方意识形态地位的文论话语。就其产生的动因而言,主要有两个方面:一是西周文化之遗存。我们知道,西周是政文合一的社会,文化系统与政治系统密不可分,国家意识形态直接表现为政治的与文化的制度以及人们的行为方式。所以,诗歌在西周时期乃是作为国家意识形态话语系统与礼乐制度的重要组成部分而受到尊崇的。 就现存《诗经》作品来看,西周诗歌的功能首先是沟通人与神的关系,那些以祭祀上帝、山川日月之神以及祖先神灵为目的的颂诗和部分“大雅”之作就属于这类作品。其意识形态功能在于:向天下诸侯证明周人统治的合法性,向周人证明贵族等级制的合法性。对神的祭祀从来都是一种特权,因此,祭祀活动本身就已经具有意识形态功能了。西周诗歌的第二个重要功能是沟通君臣关系。这里又分为“美”、“刺”两个部分。“美”是臣下对君主的肯定性评价;“刺”是臣下对君主的批评与规谏。根据郑玄《六艺论》和《毛诗序》等汉儒的记载我们知道,西周时期之所以采用诗歌的形式来沟通君臣关系,主要是因为这种形式比较委婉文雅,便于言说与倾听。现在看来,这大约是贵族社会一种言说的特殊方式或权力——可以“言之者无罪,闻之者足戒”。根据《诗经》可以知道,在西周后期,诗的这种功能得到了十分充分的实现。对于诗歌这种功能,我们可以理解为国家意识形态内部的自我调节机制。十分清楚,西周时期诗歌的这两种主要功能都是意识形态性质的。这意味着,西周诗歌本来就是彼时国家意识形态的话语形式。这对于以继承和弘扬西周礼乐文化为天职的儒家思想家来说自然会产生莫大的影响——在他们看来,诗歌具有意识形态功能就像母鸡有下蛋的功能一样是天经地义的。 促成儒家工具主义文论观形成的另一个主要动因则是儒家士人的身份认同。儒家士人作为一个知识群体, 自产生之日起就是以“克己复礼”——通过个人的道德修养达到改造社会的政治目的为最高任务的。他们的一切话语建构与阐释活动无不以这一目的为核心。对诗歌的阐释自然也不例外。从现存的《论语》、《孟子》、《荀子》和被定名为《孔子诗论》的楚简等涉及诗歌的论述来看,先秦儒家已经在诗歌阐释过程中形成了一套工具主义文论话语系统。从孔子的“兴观群怨”说到孟子的“知人论世”、“以意逆志”说,再到荀子的“诗言是,其志也”之说,都不离“克己复礼”之宗旨。 儒家的工具主义文论从产生之日起就成为中国古代文论话语的主流,其影响至为深远。汉代是儒家知识群体擎着儒学大旗与统治集团讨价还价、形成“共谋关系”,从而建立起新型官方意识形态的关键时期。所谓经学,实际上乃是统治集团与知识阶层在政治上终于形成联盟关系的话语表征,是知识阶层进入权力系统的意识形态保证,也是权力集团获得合法性的直接产物。经学是政治权力正式承认知识阶层话语之权威性的标志,是“势”对“道”的妥协;经学也是知识阶层话语压制了其固有的乌托邦精神之后的结果,是“道”向“势”的让步。因此,经学在中国古代文化史上具有划时代的伟大意义:它最终确定了中国主流文化始终在政治与知识之紧密联系中发展的基本格局,从而也决定了这种文化始终不能获得纯粹的知识形态而向自然领域拓展的命运。 在经学语境中的文论话语自然是彻底的工具主义的。从《毛诗序》和郑玄的《诗谱序》、《六艺论》等文论话语来看,在汉儒的心目中,诗歌直接就是一种规范君权、教化百姓的政治工具。诗歌存在的合法性依据不能在个体情感世界中去寻找,而必须在人伦关系,特别是君臣关系中去寻找。汉儒说诗,非美即刺。无论美或刺,都是一种具有明显政治性的话语建构,是对儒家给出的价值秩序的维护与阐扬。汉代《诗》学四家,无论存在怎样的差异,其主旨都是用工具主义的眼光来解说《诗经》作品,其目的都是借助于对古代诗歌的解说来实施对现实君主的约束与引导。总之,是出于现实的政治策略。手段是文化的,目的是政治的——这就是经学语境中文论话语的根本特征。 隋唐之时,儒家工具主义文论大体上继承了汉儒传统。但由于诗文自身的发展,文论话语也相应出现了一些新的特征。经过了魏晋六朝的诗文创作大繁荣局面之后,儒家文论家所面临的问题早已不再是如何阐释已有的诗文作品,而是如何创作新的作品。因此,隋唐儒家不再满足于通过阐释古代诗歌来表达自己的工具主义文论观点。他们直接提出诗文要为现实政治服务的观点。所谓“文章合为时而著,歌诗合为事而作”之说,乃是此期工具主义文论的典型口号。这是一种典型的实用主义或功利主义文论观。在这时的价值坐标中,建功立业乃居于最高位置。因此,“有补时政”也就自然而然地成为工具主义文论的基本宗旨。 宋代的情况发生了变化。此期的儒家已经不再把建功立业视为人生最高理想,因此也就不再满足于仅仅赋予诗文直接的政治功能。从社会地位看,宋儒与汉唐儒者根本不同之处在于:他们有幸成为君主集团唯一的合作和依靠对象;而汉唐时代的功臣、外戚、宦官、世族才是君主集团最重要的依靠对象,文人士大夫常常处于被压制与被排挤的地位。宋儒的这种社会地位,决定了他们不再以进入仕途、建功立业为人生最高理想,而是要追求更加高远的目标。一般说来,成圣成贤是宋儒普遍存在的人生理想。如此,则宋儒所主张的工具主义文论观也就有别于汉唐儒者。其根本之处是宋儒不仅仅要诗文服务于社会政治,而且更要服务于具有形而上学色彩的“道”。宋儒的文论处处离不开对“道”的阐扬。这个“道”可以说乃是宋儒乌托邦精神的话语表征而不是现实社会秩序。这种将“道”视为“文”之本体、将“文”视为“道”之发用的观点,本来是唐代中后期韩愈等人提出来的,是所谓“古文运动”的核心主张。但是这种观点在唐代并没有被发扬光大,而只是昙花一现。只是到了宋代,由于言说者的社会境遇发生了变化,才成为人人言之的普遍性的文论观点。 这样一来,在中国古代儒家的工具主义文论观内部就出现了两种倾向:一是要求诗文直接服务于现实政治,成为“治教政令”的工具;一是要求诗文从属于某种超验的精神价值,成为载道之具。这两者之间存在着某种紧张关系:为现实政治服务与为某种高远难达的理想服务是迥然不同的。可以说,这种不同就是意识形态与乌托邦的差异所在。自宋直至晚清,儒家工具主义文论观的发展即是这两种倾向的此消彼长。
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三大文献检索数据库是以下三个： 1、SCI(科学引文索引 )：(Science Citation Index, SCI)是由美国科学信息研究所(ISI)1961年创办出版的引文数据库，其覆盖生命科学、临床医学、物理化学、农业、生物、兽医学、工程技术等方面的综合性检索刊物。 2、EI(工程索引 )：(EngineeringIndex，EI),1884年创刊，由美国工程信息公司出版，报道工程技术各学科的期刊、会议论文、科技报告等文献。 3、ISTP(科技会议录索引 ) 是世界著名的三大科技文献检索系统，(Index to Scientific & TechnicalProceedings，ISTP)，也是由ISI出版，1978年创刊，报导世界上每年召开的科技会议的会议论文。
美国《科学引文索引》(SCI-E)；美国《化学文摘》(CA)；日本《科技文献速报》(JICST)；俄罗斯《文献杂志》(AJ)。 《中国科技论文与引文数据库(CSTPCD)》(中国科学技术部中国科技信息研究所主办)；《中国学术期刊(光盘、网络版)》(清华大学主办)；《中国学术期刊文摘》(中国科协和国家自然基金委主办)；《中文科技期刊数据库》(科技部西南信息中心主办)；《中国学术期刊文摘》；《中国生物学文摘》(中国生物学文献数据中心主办)；台湾华艺CEPS中文电子期刊。