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舒尔（Schur）不等式 说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：已知x,y,z>=0 则∑(x^t)(x-y)(x-z)>=0 当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。 舒尔(schur)不等式的证明： 不妨设x>=y>=z ∑x(x-y)(x-z) =x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) >=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z) >=x(x-y)(y-z)+y(y-x)(y-z) =(x-y)^2(y-z) >=0 t不是1时同理可证 事实上，当t为任意实数时，我们仍可证明Schur不等式成立。 Schur不等式虽不是联赛大纲中规定掌握的不等式，但在联赛不等式证明题中仍能发挥重要作用。 赫尔德不等式 是数学分析的一条 不等式 ，取名自奥图·赫尔德(Otto H?lder)。这是一条揭示L p 空间的相互关系的基本 不等式 ： 设S为测度空间，，及，设f在L p (S)内，g在L q (S)内。则f g在L 1 (S)内，且有 。 若S取作{1,,n}附计数测度，便得 赫尔德不等式 的特殊情形：对所有实数（或复数）x 1 , , x n ; y 1 , , y n ，有 。 我们称p和q互为 赫尔德共轭 。 若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数 不等式 。 当p = q = 2，便得到柯西-施瓦茨 不等式 。 赫尔德不等式 可以证明L p 空间上一般化的三角 不等式 ，闵可夫斯基 不等式 ，和证明L p 空间是L q 空间的对偶。 [编辑] 备注 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f || p 和||g|| q 表示（可能无穷的）表达式： 以及 如果p = ∞，那么||f || ∞ 表示|f |的本性上确界，||g|| ∞ 也类似。 在 赫尔德不等式 的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。 [编辑] 证明 赫尔德不等式 有许多证明，主要的想法是杨氏 不等式 。 如果||f || p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此 赫尔德不等式 的左端为零。如果||g|| q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f || p > 0且||g|| q > 0。 如果||f || p = ∞或||g|| q = ∞，那么 不等式 的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f || p 和||g|| q 位于(0,∞)内。 如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f || ∞ |g|， 不等式 就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。 分别用f和g除||f || p ||g|| q ，我们可以假设： 我们现在使用杨氏 不等式 ： 对于所有非负的a和b，当且仅当a p = b q 时等式成立。因此： 两边积分，得： 这便证明了 赫尔德不等式 。 在p ∈ (1,∞)和||f || p = ||g|| q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f | p = |g| q 。更一般地，如果||f || p 和||g|| q 位于(0,∞)内，那么 赫尔德不等式 变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g|| q 且β = ||f || p ），使得： μ-几乎处处 (*) ||f || p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g|| q = 的情况对应于(*)中的α = 0。 [编辑] 参考文献 Hardy, GH; JE Littlewood & G Pólya (1934), Inequalities, Cambridge U Press, ISBN 0521358809 H?lder, O (1889), "Ueber einen Mittelwerthsatz", N G W G?ttingen: 38–47 Kuptsov, LP (2001), "H?lder inequality", in Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, ISBN 978-1556080104 Rogers, L J (1888), "An extension of a certain theorem in inequalities", Messenger of math 17 : 145–150 Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra, Online e-book in PDF format, Brigham Young University 邢家省, Young 不等式 在Lp空间中的应用, 聊城大学学报（自然科学版） 2007年 第3期, 第20卷 于2009-10-27访问 张愿章, Young 不等式 的证明及应用, 河南科学 2004年 第01期, 第22卷 于2009-10-27访问 取自“ -cn/%E8%B5%AB%E5%B0%94%E5%BE%B7%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F ”
《聊城大学学报》是山东省教育厅主管、聊城大学主办的综合性社科学术刊物。以马列主义、毛泽东思想和邓小平理论为指导，坚持脚踏实地的思想道路，注重反映社科理论研讨的最新成果。《聊城大学学报（自然科学版）》的办刊宗旨是：依托聊大理、工科各学院，反映自然科学方面的最新研究成果，促进国内外学术交流，活跃学术气氛，培养科技队伍，提升教学和科研水平，为我国现代化建设服务。 主要刊登数学、物理、化学、计算机、生物、地理、通信、工程、农学及体育等学科的基础理论研究、应用研究和教育教学研究方面的学术论文。1990 年本刊获山东省高等学校自然科学优秀学报三等奖， 2000 年本刊被山东省科委、山东省新闻出版局评定为“山东良好期刊”。
（按发表时间顺序）Shi L A novel fructan possessing DB value from roots of Arctium lappa L Open Glycoscience, 2009, 2: 25-魏广金，石磊，张鹏英，陈靠山 拟康氏木霉胞外多糖对黄瓜内源水杨酸的诱导作用 曲阜师范大学学报（自然科学版），2009，35（2）：94-Lei SHI, Kaoshan CHEN, Qun DONG, Jinian FANG, Kan DING Separation, purification and structure elucidation of a polysaccharide from root of Cudrania F C China, 2008, 3(2): 209-Lei Shi, You-li Fu, Kao-shan C A novel water-soluble α-(1→4)-glucan from the root of Cudrania Fitoterapia, 2007, 78: 298-石磊，陈靠山，董群，方积年，丁侃 柘树根多糖的分离纯化及结构表征 高等学校化学学报，2007，28（6）：1088-石磊，傅佑丽，陈靠山 柘树根多糖的分离纯化及组成分析 山东大学学报（理学版），2007，42（5）：74-董国霞，陈靠山，石磊，刘世明，徐誉泰 柘树根多糖CPS-1的分离纯化及理化性质分析 中国药学杂志，2006，41（23）：1831-石磊，傅佑丽 La（Ⅲ）对质粒pUC18复制拷贝数的影响 稀土，2006，27（4）：91-石磊，陈靠山 植物多糖药理作用研究进展 曲阜师范大学学报（自然科学版），2005，31（3）：100-石磊，傅佑丽 生物入侵的危害、原因及防治措施 泰山学院学报，2005，27（3）：84-石磊，傅佑丽 植物春化作用研究进展 聊城大学学报（自然科学版），2005，18（2）：39-石磊 生命中的螺旋 世界环境，2005，2：24-郭敏，石磊，陈靠山 拟康氏木酶胞外多糖对番茄灰霉病的诱抗作用及对几种防御酶活性的影响 曲阜师范大学学报（自然科学版），2005，31（2）：99-董国霞，陈靠山，石磊，宋锦平，李莹辉，徐誉泰 柘树根多糖的体外免疫增强作用 现代免疫学，2005，25（3）：247，石磊，傅佑丽 山东省鸟类资源评价及保护建议 国土与自然资源研究，2004，1：87-卢芹，徐来祥，石磊 MNNG诱发大鼠胃癌前期肝中碱性磷酸酶、酸性磷酸酶同工酶变化的冰冻切片观察 曲阜师范大学学报（自然科学版），2004，30（4）：86-石磊，赵崇奖 砍不尽的挨刀树 植物杂志，2003，1：石磊 巧用毒树制衣裙 植物杂志，2003，2：石磊 山东省南四湖水生维管植物研究 国土与自然资源研究，2002，3：69-赵云峰，石磊，蔡敏，赵云庆 DNA分子遗传标记技术在药用植物学中的应用 曲阜师范大学学报（自然科学版），2001，27（2）：87-石磊 镧（Ⅲ）对工程菌产嗜热脂肪芽孢杆菌蛋白酶活力的影响 中南民族学院学报（自然科学版），2000，19（2）：81-石磊 Folin试剂制备中的一个改进 生物学杂志，2000，17（3）：黄徳盈，吴士筠，何冬兰，罗智富，石磊 氯化钇对质粒pBR322转化的影响 中南民族学院学报（自然科学版），2000，19（1）：47-石磊，黄德盈，吴士筠 一种快速廉价的蛋白质测定方法 分析测试学报，1999，18（3）：61-63会议论文Shi L Isolation, purification, and structural elucidation of a fructan from Arctium lappa L(abstract) 全国糖生物学学术会议，苏州，2008年6月石磊，陈靠山 柘树根多糖的分离纯化及理化性质研究（摘要） 全国糖生物学学术会议，大连，2006年8月教育类论文石磊 不要孤立地看批评与赏识 中国青年报（2002年12月27日）石磊 跨国公司竞相进驻班加罗尔 文汇报（2005年4月11日）
心理健康教育（独立本科）专业代码：B040110 主考院校：山东师范大学，聊城大学学报（自然科学版）课程和学分：专业设置11门课程和论文1，毛泽东思想（2学分）2，马克思主义政治经济学（3学分）3，英语（二） （14学分）4，心理学史（6学分） 5，社会心理学（二）（6学分）6，心理学，研究方法（7学分）7，公关心理学（4学分）8，精神卫生和心理辅导（8学分）> 9，生理心理学（6学分）10，学校心理学（6学分）11，个性心理学（6学分）
来稿应说明研究问题的切入点、创新点；引用他人的成果，须注明出处；引证不能用来构成本人论文的主要或实质部分；不得一稿多投或变相重复发表。 题名：20个字以内为宜，可加副标题；不用“试论”、“浅谈”等表谦词语。 在首页地脚标注作者简介，内容包括：姓名（出生年-），性别，民族，籍贯，工作单位（单位全称，省市名，邮编、电话、Email），职称，学位，研究方向及代表作。理论研究类文章署名作者应为执笔者，一般不得超过2名。 关键词：反映论文主题内容的词或词组3-8个，从题名、层次标题和正文中选出，包括该文所属二级学科名称，研究对象、方法与成果的名称以及有利于检索的其他词。关键词之间用分号分隔。 摘要：100-300字，陈述论文的目的、方法、结论、依据，不谈背景信息、常识性内容，不用第一人称及“本文”、“作者”等字样；不对论文的内容作评价；不使用修饰词，不出现图表、公式、标题层次序号、非公知公用符号。 正文：以8000字左右为宜。正文的各级标题书写样式为：一、（二） (4)。 注释：对正文特定内容的解释与说明，以及未公开发表的资料和“转引自”等类文献的著录，用圈码标引，在页下注文。
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山东理工大学为山东省省属重点大学，是一所以理工学科为主的多科性大学。
《聊城大学学报》是山东省教育厅主管、聊城大学主办的综合性社科学术刊物。以马列主义、毛泽东思想和邓小平理论为指导，坚持脚踏实地的思想道路，注重反映社科理论研讨的最新成果。《聊城大学学报（自然科学版）》的办刊宗旨是：依托聊大理、工科各学院，反映自然科学方面的最新研究成果，促进国内外学术交流，活跃学术气氛，培养科技队伍，提升教学和科研水平，为我国现代化建设服务。 主要刊登数学、物理、化学、计算机、生物、地理、通信、工程、农学及体育等学科的基础理论研究、应用研究和教育教学研究方面的学术论文。1990 年本刊获山东省高等学校自然科学优秀学报三等奖， 2000 年本刊被山东省科委、山东省新闻出版局评定为“山东良好期刊”。
来稿应说明研究问题的切入点、创新点；引用他人的成果，须注明出处；引证不能用来构成本人论文的主要或实质部分；不得一稿多投或变相重复发表。 题名：20个字以内为宜，可加副标题；不用“试论”、“浅谈”等表谦词语。 在首页地脚标注作者简介，内容包括：姓名（出生年-），性别，民族，籍贯，工作单位（单位全称，省市名，邮编、电话、Email），职称，学位，研究方向及代表作。理论研究类文章署名作者应为执笔者，一般不得超过2名。 关键词：反映论文主题内容的词或词组3-8个，从题名、层次标题和正文中选出，包括该文所属二级学科名称，研究对象、方法与成果的名称以及有利于检索的其他词。关键词之间用分号分隔。 摘要：100-300字，陈述论文的目的、方法、结论、依据，不谈背景信息、常识性内容，不用第一人称及“本文”、“作者”等字样；不对论文的内容作评价；不使用修饰词，不出现图表、公式、标题层次序号、非公知公用符号。 正文：以8000字左右为宜。正文的各级标题书写样式为：一、（二） (4)。 注释：对正文特定内容的解释与说明，以及未公开发表的资料和“转引自”等类文献的著录，用圈码标引，在页下注文。
山东理工大学为山东省省属重点大学，是一所以理工学科为主的多科性大学。 学校创建于1956年，为中华人民共和国国务院批准的首批具有学士学位授予权的普通高等院校之一，具有完整的学士—硕士—博士人才培养体系。是山东省6所招收和培养国防生的院校之一，也是山东省唯一一所与中国人民解放军空军签约培养空军国防生的高校。 学校由山东省人民政府领导。现有东西两个校区，校园占地3600余亩，为山东省“花园式单位”。学校现有24个学院，全日制在校生35000余人。 山东理工大学以提供优质教育资源，培养社会需要之优秀人才为根本使命，坚持教学中心地位，在中国率先实行了以张扬学生个性、尊重学生自主选择为特征的完全学分制改革，构建了“知识、能力、素质”三位一体的人才培养体系，致力于培养“明事理、有教养、能干事”的创新型人才。 山东理工大学把建设高水平的师资队伍作为工作的重中之重，按照“汇聚人才、培育团队、成就大师”的师资队伍建设方针，引进、培养、聘用并举，有国际享有盛誉的动力机械和汽轮机专家、中国工程院院士、工程院主席团成员、机械与运载工程学部主任、山东理工大学前校长姚福生先生，中国有限几何研究的创始人、中国最早从事编码学和密码学研究的数学家之一、中国科学院院士万哲先先生，中国力学和复合材料领域的知名专家、中国复合材料力学主要学术带头人、中国工程院院士杜善义先生，中国海底科学（海洋地质地球物理）的学术带头人和学科奠基人之一、中国工程院院士金翔龙先生，中国精细化工学科带头人和创始人之一、中国工程院院士杨锦宗先生，大地测量与地球物理学家、中国科学院院士许厚泽先生，中国最早从事快速成型与制造（RP&M）技术的知名专家和带头人之一、中国工程院院士卢秉恒先生等国家新世纪人才工程入选人才、国家有突出贡献中青年专家、山东省有突出贡献中青年专家、省级拔尖人才。 山东理工大学正门山东理工大学坚持“有所为、有所不为，强化重点、突出特色”的学科建设方针，实施特色学科建设工程，全力打造品牌学科。学校目前拥有10个省级重点学科、3个省级文化艺术科学重点学科、1个中国工程院实验室、20个中央与地方共建实验室、10个省级重点实验室。学校连续四年获得国家级科技奖励，数量位列山东省省属高校第一。 学校坚持“出人才、出成果、出效益”的科研工作方针，基础研究与应用研究并重，不断加强与企业和科研院所的科技合作，积极为区域经济社会发展服务。大力实施《山东理工大学服务山东制造业强省建设行动计划》，充分利用和依托设立在山东理工大学的中国国家工业陶瓷工程技术研究中心、山东工程技术研究院等1个国家级工程技术研究中心、1个省级工程技术研究院，1个山东省低碳经济技术研究院、12个省级工程技术研究中心、3个省级社会科学研究基地的综合科技优势，积极参与山东制造业强省建设，承担了一批大项目、大课题。 学校与科研院所、企业等联合设立了山东省数控技术研究中心、山东省汽车研究设计院汽车研究所、淄博市机电一体化技术创新服务中心、山东工程机械集团有限公司技术中心工程机械研究所、山东省汽车工业集团有限公司车辆测试中心、中国五征产品设计发展中心等20余所科技研发机构，积极开展应用技术研究，解决科技难题，成为山东省重要的科学研究和技术创新基地。 2009年2月24日，山东省学位委员会在济南投票表决立项建设的博士学位授予权单位，山东理工大学以第一名高票入选，一举拿下机械工程、农业工程、化学工程与技术、管理科学与工程4个一级学科博士点（涵盖20多个二级学科博士点），其余入选高校为济南大学、山东经济学院—山东财政学院（联合申请）。 2010年6月23日，教育部在天津召开“卓越工程师教育培养计划”启动会，联合有关部门和行业协（学）会，共同实施“卓越工程师教育培养计划”，山东理工大学成为全国第一批（共61所）“卓越工程师教育培养计划”（简称“卓越计划”）高校，山东省共3所高校入选，其余两所为山东大学、中国石油大学（华东），试点专业包括机械设计及其自动化、采矿工程、计算机科学与工程三个专业。 2010年7月13日，山东理工大学与鲁泰纺织股份有限公司合作成立山东理工大学鲁泰纺织服装学院（简称鲁泰学院），共同培养应用型、创新型的高素质专业人才。 2010年度，山东理工大学自然科学基金项目立项获得突破，获得国家自然科学基金项目17项，项目立项数和资助经费额度比去年均翻一番，山东理工大学获国家自然科学基金项目大幅度增长。获得资助的项目包括面上项目8项、青年科学基金项目7项，专项基金（数学天元基金）2项。山东理工大学徐丙垠等参与申报的国家基金重点项目也获得了资助。在国家自然基金立项取得好成绩的同时，山东理工大学山东省自然科学基金项目立项也喜获丰收，共有40个项目获得立项，其中重点项目1项，面上项目16项，青年基金项目8项，联合专项项目15项。还有6个项目获得山东省中青年科学家科研奖励基金资助。另外，山东理工大学还获得国家农业科技成果转化资金资助项目1项，获得省部级其他项目4项。参与国家973计划项目2项。