基于Rife算法的跳频信号瞬时频率估计算法研究∗

1 引言

频率是信号的一个重要参量，在信息对抗中，测定截获信号的频率是基本任务之一，因此快速、高精度是频率估计的基本要求［1］。国内外许多学者对正弦信号频率估计问题做了研究。Abatzoglou［2］提出利用最大似然估计（Maximum Likelihood，ML）算法或ML改进算法估计正弦信号频率，估计误差逼近克拉美罗下限（Cramer-Rao Low Bound，CRLB），因此是最优估计，但这些算法复杂度高、计算量大，难以实现实时处理，限制了其进一步应用［3］。

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直接采用DFT谱估计法进行正弦波信号频率估计，计算量小（借助FFT），因而在工程上得到了广泛应用。但DFT中存在能量泄露和栅栏效应，使得这种方法具有很大的误差，并且算法精度在很大程度上依赖于采样长度N。多位学者对正弦波信号频率估计问题作了进一步研究，相继提出了多种频率估计算法。例如Rife算法［4］、Quinn算法［5］、能量重心矫正法［6］、牛顿迭代法［7］、频率校正复比值法［8］、加三角窗的频谱校正算法［9］和三次插值频率估计算法及其改进算法［10］等一系列算法，其中Rife算法因为算法简单且易于实现而被广泛应用于信号处理领域。文献［11］对Rife算法进行了分析，指出Rife算法在被估计信号频率位于量化频率点附近且信噪比较低时，算法的频率估计误差比较大。为此，本文利用频谱细化的方法，提出一种改进的Rife频率估计算法。另外，为了消除Rife算法在信噪比较低时因为插值方向错误而增加的频率估计误差，本文提出对被估计信号进行加窗处理（非矩形窗）的方法对算法进行进一步的修正。理论分析和仿真实验证明了算法的可行性和有效性。

2 Rife算法

单一频率实正弦信号表示为

 

式中：a、f0和θ0分别为正弦信号的幅度、频率和初相。按等间隔Δt=T/N对x(t)在[ ]0，T 区间内进行采样，得到长度为N的序列x(n)，x(n)的N点DFT记为 X(k)，鉴于实序列的DFT对称性，只考虑离散频谱的正频率成份，有

 

取其中的最大谱线值记作X(k0)。Rife算法主要是利用DFT谱中最大谱线与次大谱线的比值求解相对频率偏差δ（-0.5～0.5），对FFT算法进行修正，其计算公式为

 

式中：Δf=1/T，为Rife算法的频率分辨率；正负号根据次大谱线的位置确定。

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4）计算信号频率估计值 f̂与信号频率粗略估计值 k0fs/N差值的绝对值 dif。若1/3⋅Δf＜dif≤2/3⋅Δf ，转向步骤6），否则继续步骤5）；

3 Rife算法的进一步分析

3.1 Rife算法的不足

对Rife算法原理的分析可得Rife算法的频率估计计算公式为

 

具体的算法步骤如下。

  

图1 信号频率位于最大谱线与次大谱线的中心区域

求得最大谱线的位置k0和信号频率的粗略估计 k0Δf，根据式（3）计算信号频率估计值 f̂。因为始 终 有 满 足≤2/3⋅Δf，则认为信号频率估计值 f̂位于其DFT谱中最大谱线与次大谱线之间的中心区域，此时 f̂可作为信号频率的最终估计值。反之，则需要进行修正。

  

图2 信号频率远离最大谱线与次大谱线的中心区域

3.2 白噪声对Rife算法的影响

由图2和图3可知，采样信号DFT谱中的最大谱线和次大谱线都在sinc函数的主瓣内。在没有噪声干扰时，信号DFT谱中的次大谱线的幅度永远大于第一旁瓣内的谱线幅度，因此不会出现插值方向错误的情况。但是当有噪声干扰时，当相对频率偏差δ的绝对值较小时，有可能出第一旁瓣内的谱线幅度大于主瓣内次大谱线幅度的情况，从而造成频率插值方向相反，产生较大的频率估计误差。

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文献［11］给出了Rife算法频率估计的总误差

 

式中erfc()为补误差函数。Rife算法的频率估计均方根误差为

从第2节的分析可知，当信号频率 f位于其DFT谱中两根最大谱线之间的中心区域时，Rife算法的估计性能很高；但当信号频率 f靠近其DFT谱中最大谱线时，算法估计性能急剧下降。针对Rife算法的这一特性，本文提出利用频谱细化的方法对信号次大谱线的位置进行搬移，从而使信号频率 f始终位于其DFT谱中两根最大谱线之间的中心区域。该算法的基本思想是：定义(k0+1/3，k0+2/3)为离散频率点k0和k0+1之间的中心区域，设由Rife算法得到的频率估计值为 f̂，判断 f̂是否位于DFT谱中最大谱线和次大谱线之间的中心区域，如果是，则将 f̂作为最后的频率估计值，否则对信号DFT谱进行适当的细化，使信号的估计频率 f̂始终位于其DFT谱中两根最大谱线的中心区域，这样就可以保证Rife算法一直具有较高的估计精度。

 

4 改进Rife算法

从理论上说，本文首先通过研究相关文献，认真研读“互联网+”、“互联网+教育”、“智慧课堂”和“教学模式”这四个名词的概念和特征，并对其进行总结归纳。然后着重整理了智慧课堂的特征、教学模式的发展历史及其构成，随后整理了智慧课堂教学模式的理论基础，为模式设计提供指导思想。接下来设计出智慧课堂教学模式的基本框架图，这是本研究的核心内容，以期为后续研究提供指导价值。从实践上说，将智慧课堂教学模式应用到大学课堂中去，给予理论模式以实际验证。

假设信号采样序列x(n)经FFT运算法以后的频谱 X(k)为

 

当信号频率 f很接近最大谱线时，即次大谱线的幅度 | X(k0+r)|很小，此时Rife算法的估计精度比较低，如图2所示。

由FFT变换后的幅度谱曲线可知，利用频谱细化的方法可以求出X(k0±0.5)。假设次大谱线位于最大谱线的左侧，则利用 X(k0-0.5)和X(k0)估计信号的实际频率。若X(k0)≥X(k0-0.5)，则

 

若 X(k0)＜X(k0-0.5)，则

 

由式（8）或式（9）求得信号频率的估计值 f̂，如果满足1/3频率估计的最终值，否则还需要对 X(k0-0.5)和X(k0)之间的信号在进行细化，直至求得的信号频率的估计值

为了消除Rife算法由于插值方向错误而增大的频率估计误差，本文提出在对信号进行DFT变换之前对信号进行加窗（非矩形窗）处理。对信号进行加窗处理之后可以使信号DFT谱的主瓣宽度变宽，从而使主瓣内可以包含更多谱线，同时也使得位于最大谱线两侧的次大谱线和第三大谱线更容易区分，从而避免出现插值方向错误的情况。

改进Rife算法的算法流程图如图3所示。

  

图3 改进Rife算法流程图

在合适的信噪比条件下，如果信号的实际频率f处于其DFT谱中最大谱线与次大谱线之间的中心区域时，Rife算法的估计性能比较好，频率估计的误差远小于直接使用DFT算法。反之，如果信噪比较低且信号频率 f十分接近其DFT谱中最大谱线的位置时，频率估计误差有可能大于直接使用DFT算法。Rife算法的这一特性可以总结为：当信号频率 f很接近最大谱线与次大谱线中点时，次大谱线的幅度|与最大谱线 | X(k0)|的幅度很接近，此时Rife算法具有较高的估计精度，如图1所示。

1）对采样信号x(n)进行加窗处理并做FFT运算，得 X(k)；

李栋，山西太谷县人，1969年出生，中国诗歌学会会员，山西省作协会员。1992年发起创办太阳谷文学会。2010年起触网写诗，组诗偶见于《人民文学》《诗刊》《星星》等处。

2）对 X(k)进行模运算，并求其最大值X(k0)；

3）利用Rife算法求得信号频率的估计值 f̂；

译文： A thing is yet to be done until it is done.[2]185

5）当次大谱线位于最大谱线的左侧时，进行一次频谱细化得 X(k0-0.5/i)，其中i为频谱细化的次数（i=1，2，……）。再次利用Rife算法对信号进行频率估计，求得信号频率的估计值 f̂。当次大谱线位于最大谱线的右侧时，进行一次频谱细化得 X(k0+0.5/i)，其中i为频谱细化的次数（i=1，2，……）。再次利用Rife算法对信号进行频率估计，求得信号频率的估计值 f̂，转向步骤4）；

6）此时由改进Rife算法得到的信号频率估计值 f̂即为信号最终的估计频率。

5 仿真及结果分析

设仿真信号为

 

式中：w(t)是均值为0、方差为σ2的高斯白噪声。信号的信噪比定义为 SNR=a2/σ2。采样频率fs=200kHz，采样间隔 Δt=5×10-6s，样本点数N=1024。设载波频率 f0=fs/4=50kHz，令fi=f0+δ⋅Δf，将 δ在区间［0，0.5］上均匀分成20个频率点，对每个分点进行500次蒙特卡洛模拟。实正弦信号的频率估计方差下限（即CRLB）为［12］

 

在信噪比SNR分别为2、0、-2 dB的条件下分别使用Rife算法和改进Rife算法对上述仿真信号进行频率估计，各算法的估计均方误差曲线如图4所示。

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从图4可以看出：当信号的次大谱线幅度比较小，即相对频率偏差δ比较小时，Rife算法的频率估计误差比较大；改进Rife算法在较宽信噪比条件下，无论相对频率偏差δ取-0.5～0.5之间的任何值，该算法都能准确地估计信号的频率。可见：不管在估计的精度还是稳定性上，本文提出的改进Rife算法都明显优于Rife算法。

为了检验算法的抗噪能力，在信噪比范围-5dB～5dB，频率 f0=30kHz的条件下，对每个信噪比独立试验200次，得到2种算法的频率估计均方误差（Mean Square Error）曲线如图5所示。

  

图4 Rife算法和改进Rife算法在不同信噪比下的估计均方误差曲线

  

图5 2种算法频率估计均方误差曲线

从图5可以看出：Rife算法在信噪比较低时，估计性能明显下降；而本文提出的改进Rife算法在很宽的信噪比范围内估计误差都比较小且与CRLB十分接近。因此，改进Rife算法的抗噪能力相比于Rife算法有了较大提高。另外本文对各个频点的频谱细化次数做了统计，并计算出其平均值i=0.4382。从计算结果来看，改进Rife算法的计算量相比于Rife算法增加的并不是很多。

6 结语

Rife算法是一种常用的基于FFT插值的频率估计算法，具有计算速度快、实时性能好、利于硬件实现等特点，在工程领域得到了广泛的应用。本文在对Rife算法进行分析基础上提出了一种改进Rife频率估计算法。仿真结果表明本算法准确有效，能够效地提高Rife算法的频率估计精度和稳定性，估计误差接近CRLB；且算法简单、计算量小、能够较好的解决传统频率估计算法在估计精度和计算量上的矛盾，具有较大的工程应用价值。

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参考文献

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