倾斜粗糙壁面上液滴聚并的动力学特性

0　引　言

节能减排是当前工业技术发展的必然要求，有效提高传热性能是其重要措施之一，珠状凝结[1]已成为极具潜力的强化换热方法，其中液滴聚并过程对换热表面上的凝结液滴运动和换热性能具有显著影响。另外，液滴聚并的快慢和效果也是影响喷墨打印质量和乳化剂聚合质量[2,3]的重要因素。因此，深入开展液滴聚并特性及其影响因素的研究具有重要的理论意义和实用价值。

Ghaffaria等[4]通过模拟磁场中两个含铁液滴的下落过程，发现磁场引发聚并，聚并而成新液滴的纵横比随着磁场强度、磁化率和液滴初始尺寸的增加而增加；Mazumdar等[5]研究了重力作用下油滴体积分数和活性剂浓度对油-水聚并过程的影响，实验结果表明油滴体积分数增大而活性剂浓度减小时，将促进液滴聚并；Liao等[6]模拟了等径液滴对在倾斜壁面上的聚并过程，研究表明重力加剧液滴内部流动和振荡，增大表面张力促进液滴聚并；Mohammadi[7]观察了电场力作用下垂直液滴的聚并过程，发现增大电场强度将促进聚并，增大液滴初始间距将延长聚并时间。

Abedini等[8]通过VOF(Volume of Fluid)方法模拟了三维等径液滴的聚并，表明当液滴间距小于临界间距时发生聚并，增大表面张力将导致临界间距增大，提高液滴周围流体运动粘度可减小临界间距；Eiswirth等[9]用高速摄像机拍摄非等径甲苯液滴的聚并过程，观察到小液滴向大液滴的射流现象；宫荣娜[10]针对正弦交流电场中水平液滴对的聚并进行研究，发现外加电场导致静电聚并，随电场强度的增加，聚并时间大大缩短；罗小明等[11]通过对油中水滴在高频脉冲电场中的聚并特性进行实验研究，揭示了单脉冲电场的聚结方式主要为电泳聚结，而方波电场的聚结方式主要是偶极聚结，且随电场强度增加，在方波电场中液滴更容易发生聚并；Chu等[12]研究了平板上液滴聚并与表面湿润度的关系，指出当表面接触角较小而接触角滞后较大时，聚并液滴全程保持接触线钉扎，反之，液滴聚并后易触发自行运动；Lu等[13]通过数值模拟含活性剂液滴的聚并，发现活性剂堆积在“液桥”表面促进聚并，而Marangoni力将限制活性剂的堆积；Zang等[14]利用声悬浮装置实现了多个液体弹珠的聚并，实验表明声场作用在液滴间形成压力梯度促进聚并；Morteza等[15]研究了脉动电场下液滴位于水油交界面处的聚并现象，发现不同的电场强度、频率和波形将导致不同的聚并形态。

上述研究分析了诸多因素对液滴聚并过程的影响，但在涉及液滴位于表面的聚并行为的研究中，多考虑“液桥”的形成。然而，目前文献中关于R和t的关系给出的结论并不一致。Eggers等[16]指出“液桥”半径随时间呈对数规律变化(R～ln(t))，但Aarts等[17]在实验中并未观察到这一规律；而Duchemin等[18]和Liu等[19]在模拟中则得出R和t为平方根关系(R～t0.5)。同时已有研究表明[20,21]，液滴表面上的活性剂和基底不平整性将在很大程度上影响液滴的运动学特征，这也必将影响液滴聚并过程，而目前考虑这两方面因素的研究鲜有报道。为此，本文针对倾斜波纹状基底上含表面活性剂液滴的聚并，采用润滑理论建立两液滴在预置液膜(预置液膜的引入可避免讨论目前尚无统一结论的“液桥”问题)上的聚并模型，借助数值计算模拟液滴在倾斜波纹基底上的聚并历程，与实验结果相比较，研究活性剂和基底不平整性对接触线移动的作用，探讨倾斜角度、预置液膜厚度和Bond数对聚并现象的影响。

1　理论模型

1.1　演化方程组

uzz=px-Bsinθ,

本系统采用MySQL数据库作为数据保存和管理工具。MySQL是一个多用户、多线程的关系型数据库管理系统。将数据保存在不同的表中，表之间有一定的对应关系，增加了存取速度并提高了灵活性。

  

图1　倾斜波纹状基底上含可溶性活性剂液滴初始状态示意图Fig.1　Coalescing of two droplets laden insoluble surfactant on a inclined corrugated substrate

考虑活性剂和表面粗糙度影响下的液滴聚并过程如图3所示，其中θ=30°、D=0.2、B=1。由图可知，箭头代表时间演化方向，当t=0～10时，液滴受毛细力、Marangoni力和重力影响开始聚并，间距不断减小直至铺展前缘发生叠加，液滴间形成凹陷，该过程与水平波纹基底聚并过程类似[30]；随后液滴凹陷处沿基底倾斜方向移动，高度升高，右接触线(图2(a)中Xf)向基底下方移动，液滴x方向长度增大而z方向高度减小；当t=10时，两液滴聚并为一不对称新液滴，整体呈现上侧薄下侧厚的形态；此后新液滴作为一个整体继续下滑，高度不断减小，但覆盖范围增大；整个过程中右接触线移动。

*·u*=0

(1)

*)·u*]+

*p*-μ**2u*-ρ*g*=0

(2)

式中：*代表哈密顿算子，u*=(u*,w*)为速度矢量， t*、p*、g*分别代表时间、压强和重力加速度矢量，下角标表示对该参数求偏导。

在固体壁面处z*=s*，满足无滑移、无渗透边界条件

 

(3)

气液界面上z*=h*+s*，满足切向和法向应力平衡方程和运动学边界条件

n*·T*·t*=*σ*·t*

(4)

n*·T*·n*=k*σ*

(5)

 

(6)

式中：T*为液体的应力张量，n*和t*为界面处单位法向和切向矢量；k*为界面平均曲率。

敢于亮剑。对查实的环境公益损害，依法履行诉前程序，建议有关公益组织提起民事公益诉讼或向有关行政机关发出督促履职的检察建议。对没有公益组织提起民事公益诉讼的，依法提起民事公益诉讼，提出赔偿损失等请求。对有关行政机关怠于履职或未依法履职的，坚决依法提起行政公益诉讼，诉请行政机关依法履行职责。

 

表面活性剂分子浓度的对流-扩散方程为[23]

 

*2Φ*

(7)

式中：Φ*和分别为液滴表面活性剂分子浓度和扩散系数。

低浓度时的表面张力关系式为[24]

 

(8)

式中：σ*为表面张力；αΦ为由浓度引起的表面张力梯度。

定义下列无量纲表达式对上述控制方程及边界条件进行无量纲化

 

式中：为铺展系为初始状态下液滴表面活性剂浓度最高时的表面张力，为特征速度，为液滴表面有可能吸附的最大活性剂浓度。

图6(e)为不同θ值时Xf随时间的变化。由图可知，右接触线移动路程随θ增大而递增，聚并而成新液滴沿基底倾斜方向长度增大，覆盖范围更广。与图6(a)、(b)所反映的现象一致。

ux+wz=0,

(9)

图1为活性剂液滴在倾角为θ的波纹状基底上的聚并示意图，无滑移、无渗透波纹状基底函数为s*，液滴高度为h*，基底高度为d*，该基底上均匀铺有一厚度为D*与液滴物性相同的预置液膜；液滴在毛细力、活性剂、基底和重力的共同作用下聚并。液滴为不可压缩牛顿流体，液膜初始最大厚度H*与流动方向尺度L*相比非常小，即ε=H*/L*<<1，因此适用于润滑理论[22]，上标*代表有量纲量。

(10)

pz=0,

(11)

PeΦt+Pe(usΦ)x=Φxx,

(12)

表面张力关系式为

σ=1-MΦ,

(13)

边界条件为

在他的电影中，无论是流浪汉自己遇到各种“倒霉”的事情，还是他“倒霉”的同时也把别人“拉下水”，甚至是一个衣冠不整的人装模作样表现出的种种窘态，都令观众们发笑。卓别林的成功之处正在于他深深了解大众的“笑点”在哪儿。别小看这个能力，这些都是心理学家们才会专门研究的课题，而卓别林依靠他细致入微的观察和从不停歇的思考做到了。与其说是灵感，不如说是用心！

z=s,u=w=0,

(14)

结合式(1)～(17)，通过积分运算可得液膜厚度和表面活性剂浓度的演化方程组

对图8(e)中Xf-t曲线拟合可知，当B由1提高到4时，Xf-t由t0.5742增加到t0.6413，即随B增大，右接触线移动路程增加，新液滴覆盖范围广，沿基底倾斜方向长度增大。满足图8(a)、(b)对Bond数影响的分析。

(15)

z=h+s,p=-C(hxx+sxx),

(16)

z=h+s,ht+us(hx+sx)=ws,

(17)

式中：气液界面处的Peclet数Pe=U*L*/Ds*，Marangoni数毛细数C=ε2σm*/S*，Bond数

z=h+s,uz=σx,

 

(18)

 

(19)

1.2　数值模拟

数值求解采用PDECOL程序[26,27]。选取-10<x<10的一维区域进行计算，并对网格数进行无关性验证。结果表明，网格数为2 000时偏差仅为0.17%，当网格数提高到3 000时偏差几乎不变，但计算时长增加。因此，综合考虑时长和精度，将计算区域划分为2 000。此外，模拟结果的正确性也可通过计算中液滴体积和活性剂总量守恒来保证。

文中计算所用无量纲参数数量级范围[22,27,29]为C=10-4～10-1，M=0～102，Pes=10-2～104，B=10-2～10，如无特殊说明具体取值如下[22,25,30]：C=0.03，Pes=100，M=0.1。

当液滴比较小时，表面张力对液滴的外形起到决定性的作用，因此放置于物面上的液滴处于平衡态时其外形接近于球形(二维时为半圆)。由于抛物线外形方程较圆的方程更为简单，并且引入的误差很小[28]，因此本文数值模拟的初始条件也采用广泛应用的抛物线外形方程，其表达式如下[29]：

h(x,0)=(1+D-d-|x-a|2)×

[F(1-|x-a|)-F(-1-|x-a|)]+

(D-d)[F(|x-a|-1)+

F(-1-|x-a|)]+d-s(x),

《秀才胡同》选用11个典故，其中除“先天下/后天下”和“黄金屋/颜如玉”两个情感较为中性的典故，其余均为具有悲剧色彩的故事；而《东风破》更是选用8处典故，处处典故都带悲伤情绪。

(20)

s(x)=d/2[cos(k0x)+1],

(21)

Φ(x,0)=Φ0[F(1-|x-a|)-

第二，林业生态建设质量有待提高。现阶段，我国林业资源生态环境建设取得一定成效，主要表现在荒漠化防治、水土保持两方面。但是，林业生态环境建设所取得的成果仅限于重点治理区域，其他绝大部分普遍存在质量不高、树种单一、树种结构不合理的问题。

F(-1-|x-a|)]

(22)

式中：F(x)=0.5[1+tanh(100x)]为海氏阶跃函数。其中，基底高度d=0.1，波数为k0=2， Φ0=1，两液滴间的初始间距a=1。图2为初始时刻的液滴高度和表面活性剂浓度分布。

  

图2　初始时刻的(a)液滴高度(b)表面活性剂浓度分布Fig.2　Initial conditions of (a) droplets height and (b)surfactant concentration

铺展过程中保证活性剂总摩尔质量守恒，即

Φdx=1，

(23)

程序中的边界条件为

hx(∞,t)=hxxx(∞,t)=0,Φx(∞,t)=0.

(24)

  

图3　(a)液滴(b)活性剂浓度在t=0～50内的聚并历程Fig.3　Coalescing process of (a)droplets (b) surfactant concentration in t=0～50

2　结果和分析

下文首先分析含活性剂液滴在倾斜波纹状基底上的聚并历程，与实验模拟结果相对比，分析基底不平整性和活性剂对接触线移动的作用，再讨论基底倾斜角度、预置液膜厚度、Bond数的影响。

2.1　液滴聚并过程

液滴聚并过程满足不可压缩牛顿流体运动的控制方程：

图3(b)为液滴聚并过程中活性剂浓度Φ的变化。初始时刻活性剂分布为双矩形，不发生相互扩散。当t=0～20时，随液滴聚并的进行，活性剂发生扩散，受重力作用，活性剂分子向液滴下方移动，单一活性剂浓度曲线呈上侧薄下侧厚形状，液滴内部形成浓度差，使表面张力增大，促进液滴运动；当t=20时，可认为活性剂浓度完成一次“聚并”，形成的新“液滴”整体仍保持上侧薄下侧厚；当t>20时，活性剂液滴沿波纹状基底下滑，浓度曲线趋于平缓，覆盖范围增大。

2.2　基底作用和活性剂的影响

当s=0，Φ=0时可得无活性剂、倾斜光滑基底液滴聚并过程，如图4(a)所示。液滴在重力和毛细力作用下完成聚并同时下滑，聚并而成新液滴呈现上侧薄下侧厚形态，这与图4(b)Liao等[6]模拟的倾斜均质表面上液滴聚合过程一致；液滴x方向长度相较图3(a)略有减小；其中左图t=0～10对应右图t=0～13 ms，此时液滴间发生聚并，而左图t>10则对应右图t>13 ms，新液滴沿基底下滑，液滴沿滑动方向(左图x方向)拉伸延长。由于液滴聚并过程中右接触线沿基底移动，为将模拟结果与实验进行比较，研究基底作用和表面活性剂对聚并过程的影响，右接触线的移动速度，即Xf-t成为研究聚并特征的重要参考。

  

图4　液滴聚并(a)模拟(b)实验过程[6]Fig.4　Droplet coalescing (a)simulation(b)experiment process

图5为不同情形下液滴聚并过程中Xf随时间变化规律，分别为(1) s=0，Φ=0(2) s=0，Φ≠0(3) s≠0，Φ=0(4) s≠0，Φ≠0。其中图3对应(4)，图4对应(1)，Xf-t的关系分别满足Xf ～t0.5743和Xf ～t0.574 1，即在波纹基底和活性剂的共同作用下，液滴右接触线移动路程增加，新液滴整体沿x方向长度增大，这与上文描述现象一致。由图5可知，无论体系中是否存在活性剂，波纹状基底条件下Xf-t都比平整基底条件下变动剧烈，即基底作用可促进接触线的移动；而当s=0时，活性剂对聚并过程影响较小，Xf随t的变化均满足Xf ～t0.574 1，当s≠0时，活性剂作用下产生从两侧向中心的张力梯度，由Marangoni效应可知，这将驱使液滴向中心(即背离基底倾斜的方向)铺展，减缓了接触线的移动速度，这与Lu等[13]模拟的活性剂对液滴聚并的抑制机理类似。整个过程可概括为毛细力和Marangoni力主导液滴聚并，基底作用和重力通过影响毛细力和Marangoni力影响聚并速度。

  

图5　不同情形下Xf的变化规律Fig.5　Xf changes in different situations

2.3　特征参数的影响

2.3.1　倾斜角度

这是我的第一部长篇小说，成稿于十多年前。动笔写它时我还没有文学梦想，以至于成稿很多年都没有投稿。偶然从一个群里看到有出版商征稿，没顾忌人家只要前五章的要求，就把全稿投了过去。投完许久都没动静，直到出版合同寄来，我才相信可以不花钱正规出版。

  

图6　倾斜角度θ在(a)t=4(b)t=15时对液滴高度(c)t=4(d)t=20时对活性剂浓度(e)对Xf的影响Fig.6　Comparison of droplets coalescing characteristic under different θ at (a)t=4(b)t=15 surfactant concentration at (c)t=4(d)t=20(e)the effect on Xf

为研究基底倾斜角度对聚并过程的影响，θ分别取30°、45°和60°在t=4、15时对液滴高度进行分析。如图6(a)、(b)所示，箭头代表θ增大方向，当t=4时，随θ增加，液滴向基底下方移动，液滴凹陷处升高，将缩短聚并时间；当t=15时，液滴已完成聚并，做为整体沿基底下滑，当θ增加时，液滴向基底下方偏移增加，新液滴x方向长度增大；这与朱恂等[30]模拟的不同倾斜角度下水滴聚合实验结果一致。

活性剂浓度变化与液滴高度类似。随θ增加，活性剂分子向基底倾斜方向移动，液滴内部浓度差增大，活性剂曲线整体形态更为尖锐，铺展范围增大。

小鸡在地板上跑着，特写周泽赡带笑的脸。旁边放着一个装鸡的小纸箱子，墙上的温度计显示三十摄氏度。客厅的电视播放着电视剧。周泽赡将泡好的米放在塑料瓶盖里，喂给小鸡吃。小鸡跑到周泽赡的拖鞋上，屁股一撅，把屎拉在了地板上。周泽赡仍是笑着，拿卫生纸把屎擦了，再到卫生间里按照步骤洗手。这时镜头快剪小鸡拉屎、周泽赡洗手的画面，重复多次后，在最后一次时周泽赡没有立即去洗手，而是等到小鸡再拉一次时再洗，小鸡已经长成有羽毛的样子了，同电视剧的集数变化也可显现时间的流逝。

  

图7　预置液膜厚度D在(a)t=1(b)t=10时对液滴高度(c)t=10(d)t=30时对活性剂浓度(e)对Xf的影响Fig.7　Comparison of droplets coalescing characteristic under different D at (a)t=1(b)t=10 surfactant concentration at (c)t=10(d)t=30(e)the effect on Xf

依据润滑理论进行数量级简化，保留数量级≥O(1)的项，可得

综上所述：当基底倾斜角度增大时，液滴更快完成聚并，新液滴覆盖范围增大。由式(18)、(19)可知，当θ增大时，液滴受重力影响更大，促进了液滴和接触线的滑移；活性剂向基底倾斜方向移动增多，浓度梯度增大，表面张力作用增强，导致两相邻液滴更快接触，加速液滴聚并。

2.3.2　预置液膜厚度

  

图8　Bond数B在(a)t=1(b)t=10时对液滴高度(c)t=1(d)t=10时对活性剂浓度(e)对Xf的影响Fig.8　Comparison of droplets coalescing characteristic under different B at (a)t=1(b)t=10 surfactant concentration at (c)t=1(d)t=10(e)the effect on Xf

预置液膜厚度会影响液滴的聚并过程[31]。由式(21)可知，随D增大，液滴初始位置升高。图7(a)、(b)为θ=30°，D=0.1～0.4液滴分别在t=1、10时的高度轮廓图，箭头代表预置液膜厚度增大方向。当t=1时，D增大将导致液滴整体高度增加，凹陷处位置升高，向基底下方移动增加，更快完成聚并；当t=10时，D=0.1液滴尚未完成聚并，随D增大，完成聚并液滴(D=0.2～0.4)有更多时间沿基底下滑，因此液滴x方向长度增加，覆盖范围增大。

永昌县：大力发展高效节水设施农业 推进生态综合治理……………………………………………………… 李俊武(5.79)

预置液膜厚度对活性剂浓度影响如图7(c)、(d)所示。D增大缩短了活性剂的聚并过程，从而有更多时间沿基底下滑并趋于均匀，因此活性剂整体向基底下方移动增加，曲线横跨范围增大，高度减小。

预置液膜厚度对Xf的影响如图7(e)所示。由图可知，右接触线移动路程随D增大而递增，聚并而成新液滴横跨范围更广。验证了上文对图7(a)、(b)的分析。

近些年来，航海类专业学生毕业实习中频繁发生权益被侵害的问题。这是由于虽然部分航海院校与企业签订了用人合同，但是部分企业出于经济利益考量，仅仅把毕业学生当作临时工和廉价劳动力对待，接纳学生实习的积极性较低，给学生安排的工作岗位技术含量较低，难以真正体现学生的专业水平，使学生的实习效果不佳，影响学生的职业发展，进而发生权益保障问题。

上述分析表明：当预置液膜厚度增大时，液滴更快完成聚并，这是因为液滴整体位置随D增大而升高，液滴所受毛细力、Marangoni力和重力均随初始高度增大而增强，因此增大D将加大液滴在聚并过程中的受力，从而促进聚并，缩短完成时间，右接触线移动路程增加，聚并而成新液滴沿x方向长度增加，覆盖范围广。

2.3.3　Bond数

护理人员要提前告知患者接受坐浴治疗前要将肠便排空,在换药后短时间内避免排便;排便后要将创面部位清除干净,避免细菌进入药液影响疗效[3];药液温度要以患者自身情况作为调节基础,避免温度过高对皮肤和粘膜造成损伤,温度控制在40~45℃为宜[4];若患者为老年人则需要家人陪护,避免发生意外;接受坐浴治疗时,患者心情保持舒畅,确保机体更好的吸收药液;换药时认真观察创面情况,一旦发现问题要实施科学有效的处理;在接受坐浴治疗时保持室内温度[5],切不可受风诱发感冒。

Bond数表示液体重力与铺展系数(即最大表面张力与最小表面张力之差)的比值，将对液滴的聚并过程造成影响。图8(a)、(b)为θ=30，D=0.2，B为1～4液滴在t=1、10时液滴轮廓图。当t=1时，液滴均未完成聚并，但随B增大，液滴向基底下方偏移增加，液滴凹陷处升高，更快完成聚并，液滴整体向基底下方倾斜，高度减小；当t=10时，新液滴沿基底下滑，B越大液滴移动距离越长，新液滴整体沿x方向长度增加而高度减小。

活性剂浓度曲线呈现类似规律。当活性剂间开始聚并，随B增大，活性剂液滴整体向基底下方偏移，单一液滴内活性剂浓度梯度增大，曲线上侧薄下侧厚效果明显，活性剂将更快完成聚并。

交点轴线属于直线类几何要素，变动空间是一个圆柱，因此，其公差域为圆柱域。如图4所示，将交点轴线为记为F，圆柱域大小记为T，圆柱域边界面分别记为上表面f1、下表面f2和圆柱面f3；在圆柱几何中心建立原点为O的局部坐标系Oxyz，圆柱直径d=T，f1和f2之间的距离为l，d相对于l是个微小量。

3.2.3 资产管理 在资产管理部分中主要是建立电子台账，确保资产账物相符。包括资产卡片建立、条码扫描、分户电子账、资产转移、资产报废、资产外调、资产折旧、公用设备租借、资产查询、资产盘点处理等。

可以认为：当Bond数增大时，液滴和活性剂所受重力增加，加速了液滴的演化过程，同时液滴表面张力差增大，表面张力影响作用增强，也促进了液滴间的聚并，右接触线移动路程增加，液滴主体因重力影响发生倾斜，形成的新液滴高度减小，长度增大。

3　结　论

(1)液滴置于倾斜波纹基底，将在毛细力、Marangoni力、基底作用和重力作用下沿基底聚并同时下滑；聚并完成新液滴外形呈现上侧薄下侧厚的形态；活性剂受重力作用向基底倾斜方向移动，液滴内部形成浓度差，使表面张力增大，促进液滴运动；

(2)基底作用可促进接触线的移动，而表面活性剂作用下产生的张力梯度将减缓接触线向基底下方的移动速度；

(3)增大倾斜角度将缩短聚并完成时间，右接触线移动路程增加，新液滴覆盖范围增大；增大预置液膜厚度使液滴演化过程中受力增强，加快液滴聚并，促进右接触线移动，新液滴高度增大，长度增加；增大Bond数将加强重力影响，促进液滴聚并，加速液滴主体倾斜和接触线移动，新液滴趋于扁长。

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