两类Mycielski图的邻点强可区别E-全染色

0 引言

在图染色理论中，邻点强可区别全染色[1-4]是指对于一个图，其相邻点不能染同色，相邻边不能染同色，点和其关联边不能染同色，相邻点的色集合不相同，这里的色集合指的是该点的颜色与其相邻点和相邻边的颜色的总和.而邻点强可区别E-全染色是将邻点强可区别全染色的概念中的其中一个条件弱化了，即相邻边可以染同色，其在文献[5]中有一些研究结果.研究了距离为三的扇图和轮图的广义Mycielski图的邻点强可区别E-全染色.

只有学生在真正的理解与掌握了电荷作用力后，才可以明确的找到库仑定律中所包含的关键性的知识点。因此，在引导学生探索库仑定律之前，首先要对电荷作用力进行深入的探究。教师在设计课堂实验的时候，可以选择悬挂小球的实验，将3个小球悬挂在铁支架下侧的位置，接着让学生分析小球自身承受的作用力。通过这一实验的演示，对于电荷彼此的作用应以f来表示，悬挂线和竖直方向的夹角以a来表示，小球的质量以m来表示。由此可见，通过观察夹角的大小，便可以归纳出电荷作用力。

1 基本概念

定义1[1-4] 设图G是阶数至少为2的连通图，映射f∶V(G)∪E(G)→{1,2,…,k},其中k为正整数，如果f满足：

（三）经济结构和贸易状况持续改善。一是产业结构逐渐优化。从制造业方面看，德国劳动力实际工资水平已大幅降低，德国制造业成本显著下降。此外，“双元制”职业教育体系为德国制造业提供源源不断的高素质技术工人，制造业已成为德国实体经济支柱，德国制造品出口竞争力优势明显。从服务业方面看，服务业占国民经济比重保持稳定。2005年以来，除金融危机期间，德国服务业增加值占GDP比重一直保持在69%左右。二是贸易状况持续改善。自2005年默克尔上台以来，除2009年外，德国商品和服务贸易顺差不断扩大。其中，2016年为2970亿美元，创“二战”以来最高水平，超越中国成为全球最大贸易顺差国。

1)对任意的uv∈E(G),f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv),f(v)≠f(uv);

2)对任意的uv,uw∈E(G),u≠w,f(uv)≠f(uw);

3)对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v).

C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}.

则称f为图G的k-邻点强可区别全染色，简记为k-AVSDTC,称

通过对蚊虫的标记、释放、回捕研究发现，由于蚊虫不具有对宿主和孽生地位置的记忆能力，所以蚊虫在初期是通过随机扩散搜寻吸血目标；一旦蚊虫飞行到足以感应目标所在位置的距离之后，蚊虫通过定向飞行接近宿主并完成吸血活动［10］。本研究以蚊笼中饲养的斯氏按蚊为研究对象，旨在通过对比不同条件下的按蚊吸血率，讨论影响按蚊吸血行为中定向飞行阶段的诸多因素。

χast(G)=min{k|G有k-AVSDTC}

为G的邻点强可区别全色数.

定义2[5] 设图G是阶数至少为2的连通图，映射f∶V(G)∪E(G)→{1,2,…,k}，其中k为自然数，如果f满足：

威廉斯在作品中反复提到了“中国哲学”或“中国人的哲学”等字眼，这是他对中国的第一类想象。然而这些所谓的中国哲学并不是以儒释道为核心的中国传统哲学思想，也不是普通中国人为人处世的观念，而是美国人从经验的角度、按照自己的理解对中国人进行的想象。

1)对任意的uv∈E(G),u≠v,f(u)≠f(v),f(u)≠f(uv);

2)对任意的uv∈E(G),u≠v,C(u)≠C(v).

则称f为G的k-邻点强可区别E-全染色，简记为k-E-AVSDETC,又称

{G有k-E-AVSDETC}

为图的邻点强可区别E-全色数.这里

C(u)={f(u)}∪{f(v)}∪{f(uv)|uv∈E(G),v∈V(G)}.

由图的邻点强可区别全染色和图的邻点强可区别E-全染色的概念，有下面引理成立：

推荐理由:本书是基于传统家户制度大型专题实地调查而形成的调查报告，主要内容围绕“中国家户制度”，从家户的由来与特性、经济制度、社会制度、文化制度、治理制度等入手，研究在从传统社会向现代社会的转型过程中，其变迁过程、特点、动力及其对国家治理提出的要求。本书入选《“十三五”国家重点图书、音像、电子出版物出版规划》增补项目和2018年天津市重点扶持出版项目。

引理1[5] 对于无孤立边的简单图G，有

 

定义3[6] 设G的顶点集合为V(G)={u1i|i=1,2,…,n}的简单图，n是正整数，如果

V(Mk(G))={u1,1,u1,2,…,u1,n;u2,1,u2,2,…,u2,n;…;uk,1,…,uk,n}∪{w},

E(Mk(G))=E(M(G))∪{uijui+1,l|u1ju1l∈E(G),1≤j,l≤n,1≤i≤k-1}∪{wvkj|vkj∈V(G),1≤j≤n}.

当i≡2(mod 4)时,

2 主要结论

定理1 设Fn是n(n≥4)阶的扇图，则有

 

证明 易知由引理1可知

(2)端横梁靠近跨中一侧人洞周边区域存在较大竖向拉应力，设计时应加强这一区域配筋，且竖向配筋应强于横向配筋，防止出现裂缝。

 

若设色集合C={1,2,3,4,5,6,7}，令：

φ(w)=7；4≤j≤n.

由图的结构知，|C(w)|≥6.下面分两种情形考虑：

世有君子，亦有小人。子曰：“君子坦荡荡，小人长戚戚。”小人者，心狭窄、善嫉妒，不修自身。如此，我们该如何对待小人？

情形1 当|C(w)|=6时，点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n},使得

C(u1j)=C(u1,j+1),

由引理1可知

情形2 当|C(w)|=7时，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(ukj)=C(w),与定义矛盾.故

 

下面给出图的一个8-E-AVSDETC染色法，令f如下：

1≤i≤k;4≤j≤n.f(w)=6.f(u1ju1,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u12u1j)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u1j)=1,5≤j≤n,j≠6.

边uijui+1,l的染法如下：

f(u11u2j)=f(u1ju21)=2,3≤j≤n.f(u1ju2,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u1ju2,j-3)=1,5≤j≤n.f(u12u2j)=f(u1ju22)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u2j)=f(u1ju23)=1,5≤j≤n,j≠6.

当i≡0(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=7,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

当i≡1(mod 4)或i≡2(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=8,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

显然，对∀uv∈E(G)，有C(u)≠C(v),故结论成立.

当i≡0(mod 4)时,

将黑米清洗干净后于适量温水中浸泡4h，然后用电饭锅进行预煮熟制，以黑米糊化开始且颗粒完整为准，捞出后冷水漂洗沥干水分备用，要现用现加工，防止营养成分的损耗和腐败变质。

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

当k≡0(mod 4)或k≡1(mod 4)时,

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

称Mk(G)为G的k重Mycielski图，其中k≥2，

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

当k≡0(mod 4)或k≡1(mod 4)时,

 

当k≡2(mod 4)或k≡3(mod 4)时,

10) quadrophonic [,kwɔdrə'fɔnik] adj.四声道的11) underlay ['ʌndəleɪ] n.衬垫物

 

显然，对∀uv∈E(G)，有C(u)≠C(v),故结论成立.

定理2 设Wn是n(n≥4)阶的轮图，则有

 

证明 下面分两种情形讨论：

情形1 当n≡1(mod 2)时，易知

 

由引理1可知

 

如果

 

则会出现与定理1类似的矛盾，故

 

下面给出图的一个8-E-AVSDETC染色法，令f如下：

情形2 当n≡0(mod 2)时，易知

1≤i≤k;4≤j≤n.f(w)=6.f(u1ju1,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u12u1j)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u1j)=1,5≤j≤n,j≠6.f(u12u1n)=f(u14u1n)=1.

边uijui+1,l的染法如下：

204例精神分裂症患者服用利培酮分散片的血药浓度监测及其影响因素分析 …………………………… 贾晓妮等（17）：2407

f(u11u2j)=f(u1ju21)=2,3≤j≤n.

f(u1ju2,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u1ju2,j-3)=1,5≤j≤n.f(u12u2j)=f(u1ju22)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u2j)=f(u1ju23)=1,5≤j≤n,j≠6.

f(u12u2n)=f(u1nu22)=f(u14u2n)=f(u1nu24)=1.

当i≡0(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=7,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

当i≡1(mod 4)或i≡2(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=8,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

此时，各点色集合的补集为：

当前，人工智能正处于高速发展阶段，其发展方向、发展边界尚不清晰，导致规范什么和怎么规范并无统一认识。尽管争论不断，但人工智能在很多方面开始受到监管，相关法律法规正在孕育。这些努力不一定是制定规范人工智能发展的普遍原则，更多的是对涉及人工智能技术应用的具体领域的规范，如隐私保护、网络安全、反商业和金融欺诈行为，以及交通、健康、就业等领域的安全保障等。大多数规范并不特别适合人工智能，随着人工智能的发展还在不断引发新的问题。可以认为，人工智能应用到哪里，人工智能引发的问题出现到哪里，人工智能的立法领域就应延伸到哪里。目前讨论来看，人工智能涉及的法律问题主要有以下几个。

当i≡0(mod 4)时,

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

当i≡1(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

某市按以下规定收取水费：用水量不超过3吨的，每吨收费2.5元；超过3吨不超过10吨的部分，每吨收费3.5元，超过10吨的部分，每吨收费4元。小强家9月份的用水量是12.5吨，应付水费多少钱？

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

当i≡2(mod 4)时,

2≤i≤k-1;1≤j≤n.

当i≡1(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

 

当k≡2(mod 4)或k≡3(mod 4)时,

 

此时，各点的色集合的补集为：

1.企业核心能力整体上相当匮乏。具有自身独特核心能力的企业才是健康拥有活力的，然而，纵观国内众多企业，虽然有些时候一些企业也表现出很大优势，获得了很大利润，但对于企业核心能力，多数企业仍然没有建立起来。快速成立又快速破产的企业比比皆是，并由此造成我国就业市场持续严峻的形势。

χ(Mk(Wn3))=7.

与定义矛盾.

 

如果设色集合C={1,2,3,4,5,6,7,8},令：

φ(w)=8.4≤j≤n-1.

由图的结构知，|C(w)|≥7.下面分两种情形考虑：

情形2.1 当|C(w)|=7时，点uij(除了u1j)和点w在邻点强可区别E-全染色的条件下，必存在j∈{1,2,…,n},使得

C(u1j)=C(u1,j+1),

与定义矛盾.

情形2.2 当|C(w)|=8时，必存在j∈{1,2,…,n},使得C(ukj)=C(w),与定义矛盾.

故

 

下面给出图的一个9-E-AVSDETC染色法，令f如下：

1≤i≤k;4≤j≤n-1.f(w)=7.f(u1ju1,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u12u1j)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u1j)=1,5≤j≤n,j≠6.f(u12u1n)=f(u14u1n)=1.

边uijui+1,l的染法如下：

f(u11u2j)=f(u1ju21)=2,3≤j≤n.f(u1ju2,j+3)=1,2≤j≤n-3.f(u1ju2,j-3)=1,5≤j≤n.f(u12u2j)=f(u1ju22)=1,4≤j≤n-1,j≠5.f(u13u2j)=f(u1ju23)=1,5≤j≤n,j≠6.f(u12u2n)=f(u1nu22)=f(u14u2n)=f(u1nu24)=1.

当i≡0(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=8,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

当i≡1(mod 4)或i≡2(mod 4)时,

f(uijui+1,l)=9,1≤j,l≤n,2≤i≤k-1.

此时，各点的色集合的补集为：

当i≡0(mod 4)时,

 

当i≡1(mod 4)或i≡3(mod 4)时,

 

当i≡2(mod 4)时,

 

当k≡0(mod 4)或k≡1(mod 4)时,

 

当k≡2(mod 4)或k≡3(mod 4)时,

 

显然，对∀uv∈E(G)，有C(u)≠C(v),故结论成立.

参考文献：

[1] 张忠辅,程辉,姚兵,等.图的邻点强可区别全染色[J].中国科学,2007,37(9):1073-1082.

[2] ZHANG Zhong-fu, CHENG Hui, YAO Bing, et al. On adjacent -vertex-strongly-distinguishing total coloring of graphs[J]. Science in China(Series A: Mathmatics),2008,51(3):427-436.

[3] 强会英,王洪申.图的邻点强可区别全色数的一个上界[J].数学进展,2013,42(6):801-805.

[4] 陈小强,张园萍,王枭翔.路和圈的笛卡尔积的邻点强可区别全染色[J].科技信息,2013(6):142-143.

[5] 顾忠栋.若干图的邻点强可区别E-全染色[D].兰州:兰州交通大学,2017.

[6] 强会英,晁福刚,张忠辅.完全图的广义Mycielski图的邻点可区别全色数[J].兰州大学学报:自然科学版,2005,41(6):102-105.

[7] 张婷,朱恩强,刘晓娜,等.若干联图的邻点可区别I-全染色[J].吉林大学学报:理学版,2017,55(2):267-272.