PBD闭集H1(6)的有限生成集

设v 与λ为给定的正整数, K为一些正整数的集合，又设D=(V,B)为一个区组设计.若以下条件满足：

(i) │V│＝ v;

互联网引入教育领域促进继续教育模式的变化，打破学习者资源限制，并摆脱了学习时空制约，使学习者可以在自身教育完成后根据需要选择继续教育，进而实现终身学习。而互联网和终身学习融合的趋势逐渐明显，拓展了继续教育的发展空间。

(ii) B是V 的一些子集的集合，且对任意B∈B,都有│B│ ∈K，其中B中的元素称为区组;

随着城市化的深入推进,城市发展不再盲目追求地区生产总值的增长,转而以提高城市化质量以及以人为本的城市化理念为发展目标[16]．在此背景下,许多城市都提出了休闲空间的发展理念,推广建设休闲城市,提高居民生活水平[17]．公园绿地作为城市居民日常生活中不可或缺的公共空间,为居民提供休憩、锻炼以及文教等活动的场所.公园绿地空间的质量与居民户外游憩体验息息相关．高质量的城市公园绿地能够吸引更多的居民进行户外休闲活动,促进居民对公园绿地空间的依赖[17]．

用SPSS 22.0软件处理数据，结果以表示，采用单因素方差分析进行多组间比较，采用LSD‐t检验进行两两比较。

(iii) V中任意一个点对恰好同出现在λ个区组中.

那么称D为一个成对平衡设计(pairwise balanced design),简称PBD设计,记作(v,K , λ)−PBD . v叫做设计的阶，λ叫做相遇数.λ=1的PBD通常记作（v,K）-PBD .对于B=V情形，即B中只有一个区组时，是定义中的平凡情况，此时PBD通常称为平凡的PBD.

例设V={1,2.3,4,5,6,7,8,9,10},B= {{1,2,3,4 },{1,5,6,7},{1,8,9,10},{2,5,8},{2,6,9},{3,5,10},{3,6,8},{3,7,9},{4,5,9},{4,6,10},{4,7,8}}. 则 (V,B)是 一 个(10,{3,4},1)-PBD .

进一步，设K正整数集合，定义B(K)={v│存在（v,K）-PBD} ,显然，如果L ⊂ K则B(L ) ⊂ B(K).若B(K ) =K,则称K为PBD闭集. R.M.Wilson在文献[1]中证明了对于任意一个PBD闭集，都包含一个有限生成集.也就是说,如果K是一个PBD闭集,则存在K的一个有限子集K0(K0称为PBD闭集的有限生成集),使得B（K0）=K .

设K为PBD闭集,u ∈ K,记K＜u={{k ＜ u :k ∈ K},如 果 存 在u ∈ B(K ＜u ),则 称u在K 中是非必要的，否则称u在K中是必要的.由此，可以从K中去掉非必要的数值u，从而得到 的最小的有限生成集.

下面的引理给出TD（k,n）和正交拉丁方的关系：

主要的构造方法称为SIP(Singular Indirect Product)构作法.可以从文献[6]看到它的主要结论.

1 预备知识

首先给出关于横截设计,正交拉丁方一些基本概念和相关结论.定义1.1～1.3可以参考文献[5].

问题导向，专项整治成果丰硕。围绕热点问题，该处重拳出击，开展专项治理行动，查处的卞某非法生产、销售无注册证书的医疗器械案被国家总局列入全国十大案件。此外还开展了违法添加罂粟壳（粉）食品专项整治、壮阳类假药及有毒有害食品专项整治、保健食品“打四非”、农村食品“扫雷”等系列专项行动，共查办案件1777起，曝光典型违法案件23起，有力地打击和震摄了违法犯罪分子。

定义1.1 设v与λ为给定的正整数，K与M 为给定的正整数集.设D={V,G,A}是一个区组设计,如果下述条件满足：

(i) V为一个 元集合;

(v)不同在一个组中,也不同时属于的两个元素x,y恰好出现在A的一个区组中.

(iii)对任意B∈A ,有|B |∈ K, A的元素称做区组(block);(iv) 对任意B∈A和G∈G，都有|B ∩G|≤1;(v) V中任意一对来自不同组的点对恰好出现在λ个区组中.

那么称D是一个可分组设计(group divisible design),即GDD设计，记作GD(K , λ,M ;v)，也称为K−GDD.进一步，如果K = { k},M = {m}时，对应的GD设计称为均匀可分组设计，记作GD(k , λ,m;v).当v=km时叫做λ重横截设计,简称TD设计,记作TD(k , λ;m).λ＝1时,记为TD(k,m).横截设计TD(k,m)和正交拉丁方之间有十分密切的联系.

定义1.2 设S为一个n元集，A为S上的一个n×n方阵. A中每个位置都包含S中的一个元素，并且S中每个元素恰好在A的每一行和每一列中出现一次，则称A为S上的一个n阶拉丁方（Latin square）.

定义1.3 设S1与S2为两个n元集， S1与S2可以相同.又设A=（aij) 与B=（bij)分别为S1与 S2上的 n×n方阵 .令 C=（cij) 为 S1×S2上的 n×n 方阵，此处，Cij=（aij，bij）,1≤i,j≤n.若方阵C的n2个元素cij互不相同,则称A与B正交.当A与B为两个n阶拉丁方且正交时,称A与B为一对n阶正交拉丁方(orthogonal Latin square).若 A1, A2,…, At为 t个两两正交的n阶拉丁方,则称它们为n阶正交拉丁方的一个正交组,记作t−MOLS(n).记N(n)表示两两正交拉丁方的最大个数,当N(n)= n-1时，任何一组n-1个两两正交的拉丁方都叫一个n阶正交拉丁方完备组（complete set of orthogonal Latin square）.

可以从文献[5]中，得到以下结论：

引理1.4[5] 设正整数n≥2,当

PBD闭集是重要的组合性质,许多组合设计的存在性问题的证明都应用到PBD闭集的有限生成集.

引理1.5[5] 存在TD（k,n）等价于存在k-2个两两正交的n阶拉丁方.

这种“中尺度时代”一般以数百年甚至更长计。奴隶社会中的奴隶为主时代和隶农为主时代，封建社会中农奴为主时代和佃农为主时代，都达到数百年甚至更长。在资本主义社会，自由资本主义从1640年到1870年达230年，垄断资本主义从1870年代到二战后第三次科技革命开始大概100年，国际垄断资本主义到现在大概半个世纪，还在向前发展。社会主义社会之全盘公有制的计划经济时代在前苏联有74年，如果算上其他国家 （如朝鲜）则已超过100年，转变为公有制为主体的市场经济时代从中共十一届三中全会算起已近40年。

引理1.6[5] 若q为素数幂，则存在q阶正交拉丁方完备组，即N(q)=q-1 .

为证明论文的结论，还需要不完全横截设计(ITD)和不完全成对平衡设计(IPBD).

定义1.7 不完全横截设计TD(k,n ) − TD(k,m)( imcomplete transversal design，简记为 ITD)是一个四元组(X,G,H,A),它满足以下条件：

(i) X是一个kn个元素的集合;

(ii) G ={G i:1 ≤ ii≤ kk}将X划分为k个组,每个组n个元素;

(iv) A是n2-m2个长度为k的区组的集合,每个区组同每一组只有一个交点;

(ii)G={G 1 , G 2 , … ,G n}构成V的一个划分，并且|G i |∈ M,1≤ i≤ n，G的元素称做组(group)；

通常不完全横截设计TD(k,n ) − TD(k,m)也记为ITD(k,n;m).特别地,当m=0 时,TD(k,n ) − TD(k,m)就是TD(k,n).

定义1.8 不完全成对平衡设计（ v,w,K）-IPBD( imcomplete parirwise balanced design，简记为IPBD)是一个三元组(X,Y,A),其中X是v元点集,Y是w元点集，且Y ⊂X, A是区组集合.它满足条件：

易非把妈拦着，她看着妈，拿出了她平生所有的勇气，看着妈，直视着妈的眼睛，说：妈，你不能这么坑我吧？您给我首付，就把房子买过去了？

(i) 对于任意B∈A,有|B |∈ K;

另一方面，需要PBD构作，可以从横截设计TD(k,n)出发，利用填充组的方法构作PBD.

(iii) 不同时属于Y的两个元素x,y恰好出现在A的一个区组中.

(2) 橡胶粉掺量在10%以内时，复合材料抗压强度及压缩韧性略高于PVA-ECC。掺量超过10%时，虽然抗压强度低于基准试件，但压缩韧性大致接近。因此，当橡胶粉掺量在10%以内时，对提高试件压缩韧性指数及抗压强度有利。

特别地,可以从(v,K ) −PBD中去掉一个长度为h的区组,就可以得到一个(v,h,K ) −IPBD.

2 主要构造

令H 1( a ) ={v:v ≥ a,v ≡11((moda)},易知它是一个PBD闭集.R.C.Mullin在文献[2]给出了a=5,6,7时H1(a )的有限生成集，对于a=6,得到一个包含98个数值的H1(6)的有限生成集.在文献[3]、[4]中，B. Du和王建将1(6)的有限生成集数值减少到69个.文章将证明这69个数值中，其中4个是非必要的，从而得到包含65个数值的H1(6)的有限生成集.

引理2.1[6] (SIP构造). 设K是一个正整数,u ∈ K, v,w和a都是整数,且满足,如果下列0≤a≤w≤v设计存在：

(1)TD(u,v − a ) − T D(u,w −a);

(2)(v,w,K ) −IPBD;

根据地表出露的隐爆-侵入角砾岩特征分析，现阶段出露的角砾岩部位应为角砾岩筒的上部或旁侧，深部可能存在隐爆角砾岩筒或斑岩型矿体。

通过对大型卧式加工中心床身铸件进行的实型消失模工艺设计、切活料填砂设计及关键过程控制等，总结了生产此类铸件的铸造工艺及质量的控制要点，得到了合格的铸件，为此类铸件的批量生产提供了技术支持。

(3)(u(w − a ) + a ,K ) −PBD ;

则存在(u(v − a ) + a ,K ) −PBD ,即u(v − a ) + a ∈ B(K).

为了应用SIP构作法,需要不完全横截设计ITD和PBD的构作.在文献[7]中A. E.Brouwer给出了有效的构作ITD的方法.

引理2.2[7] 若存在TD(k,m) ,TD(k,m+1) ,TD(k,k+1,t) ,其中(0≤u≤t),那么存在TD(k,m t+ u ) − TD(k,u).

引理2.3 存在不完全横截设计TD(7,114)-TD(7,6), TD(7,110)-TD(7,2), TD(7,109)-TD(7,1) .

证明：在引理2.2中，取k=7,m=12,t=9,根 据 引 理1.6,引 理1.5，引 理1.4，存 在TD(7,12), TD(7,13), TD(8,9)，再 分 别 取 u=6,2,1，则 114=12×9+6，110=12×9+2，109=12×9+1，根据引理2.2，分别存在TD(7,114)-TD(7,6)，TD(7,110)-TD(7,2)和TD(7,109)-TD(7,1).

私人、个体医疗机构可以作为我国医疗体系的重要组成部分，是公有制医疗机构的补充和完善，不能与公有制医疗机构享有同等地位。在医疗领域，不能以市场经济的观念来对待公有制医疗与私营、个体医疗。生病、看病不能看作是商品，不能由市场来主导，不能通过价格竞争、独特服务，让私人或个体医疗来引导或冲击公有制医疗。

(ii) 对于任意B∈A,|B ∩Y|≤1;

引理2.4 如果存在TD(k,n)，则存在(kn+1,K)-PBD其中K = { k,n +1}.

3 主要结论

文献[8]中给出了由69个数构成的H1(6)的有限生成集.

引理3.1[8] 表1中的69个数构成的H1(6)的有限生成集.

我们使用了定焦镜头配合大光圈（f/1.8和f/2.8），确保前景或背景是模糊的。要想让二者在构图中同时发挥作用，可以采用一反常规的做法，不把焦点对准人物让背景模糊，而是对准背景让人物模糊。

记V={127,781,787,811}为表中4个划线的数值.给出文章的主要结论：

土壤盐碱化是制约农业生产的主要障碍之一，土壤盐碱度的随机性分布、高度空间变异性加大了农田土壤改良及培肥的难度。研究土壤盐碱化的空间变异性，有利于调整农业各项管理措施和物质投入。地统计学是研究空间异质性的良好方法。

表1 H1(6)的有限生成集（69个数）

127 139 145 157 163 181 193 199 205 211 229 235 241 265 271 277 283 289 313 319 331 349 355 373 391 397 409 415 445 451 457 487 493 499 643 649 661 667 685 691 697 709 733 739 745 751 7 13 19 25 31 37 43 55 61 67 73 79 97 103 109 115 121 781787811 1315 1321 1327

定理 3.2 对于v∈V={127,781,787,811},v在H1(6)是非必要的.

(3)梁弯曲挠度分布在裂纹处存在尖点,且对于开裂纹,当载荷较小时,挠度在裂缝处的尖点现象并不明显,但随着载荷的增加,尖点现象愈加明显.同时,梁横截面转角在裂纹处发生突变,转角不连续.

证明：只需要证明对应于v值，v ∈ B(K ＜v )即可.

1.对于v=127 ，由参考文献[9]知道存在5个MOLS(18),根据引理1.5知，存在TD(7,18) .根据引理2.4,得到 (127,{7,19})-PBD,即127 ∈ B({7,19}),即v=127在H1(6)是非必要的.

2.对于v=781,787,811.根据IPBD的定义，从(127,{7,19})−PBD中去掉一个长度为19的区组,从而得到(127,19,{7,19})−IPBD .取K={7,19,25,31,55},另外的3个数值可由表2给出：

表2 3个数值

v表达式 a w IPBD ITD 7（w-a）+a 811=7*(127-13)+13 13 19 (127,19,{7,19})-IPBD TD(7,114)-TD(7,6) 55 787=7*(127-17)+17 17 19 (127,19,{7,19})-IPBD TD(7,110)-TD(7,2) 31 781=7*(127-18)+18 18 19 (127,19,{7,19})-IPBD TD(7,109)-TD(7,1) 25

表中所需要的3个不完全横截设计ITD可以由引理2.3得到.所需要的（7（w-a）+a,K）-PBD按照PBD的平凡情况得到.根据引理2.1（SIP构造），可知存在(811,{7,19})-PBD， （787,{7,19}）-PBD， （781,{7,19}）-PBD，即v=781,787,811在H1(6)是非必要的.

从而得到了包含65个数值的H1(6)的有限生成集.

参考文献：

[1] R. M. Wilson. An existence theory for pairwise balanced designs II:The structure of PBD-closed sets and the existence conjectures [J]. Journal of Combinatorial Theory , 1972 , 13 (2) :246-273.

[2] R. C. Mullin. Finite bases for some PBD -closed sets [J].Discrete Mathematics, 1989, 77(1-3): 217-236.

[3] 王建. 一个PBD闭集的有限生成集[J]. 南通职业大学学报(综合版), 2005, 19(2): 1-3.

[4] B. Du. On finite bases for some PBD -closed sets [J].JCMCC., 1996(20):217 -224.

[5] 沈灏. 组合设计理论[M]. 2版.上海:上海交通大学出版社, 2008: 11-12, 16-23, 158-159, 180-181.

[6] R. C. Mullin, D. R. Stinson. Pairwise balanced designs with blocks sizes 6t + 1 [J]. Graphs Combinatorics, 1987,3 (4):365–377.

[7] A. E. Brouwer, G.H. J van Rees. More mutually orthogonal Latin squares [J]. Discrete Mathematics, 1982,39 (3):263-281.

[8] R.J.R. Abel, C.J. Colbourn and J.H. Dinitz. PBDClosure, in: CRC Handbook of Combinatorial Designs(C.J. Colbourn and J.H. Dinitz, 2nded.)[M]. Boca Raton:FL,CRC Press,2007:247-255.

[9] R. J. R . Abel. Existence of five MOLS of orders 18 and 60 [J]. Journal Of Combinatorial Designs, 2015, 23(4):135-139.