发明与创新小学生杂志电子版数学二年级

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数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合； 很多“数数”问题的解决，如果能跳出题设所限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，从而使问题的解决呈现出“柳暗花明”的格局． 指数学模型，任何日常生活问题都可以通过“数学思想方法”进行建模，也就是常说的数模，通过对模型的求解或者模拟来得到问题的解答。常说数学可以表达任何东西也就是这个意思，数学思想方法因该就是数学建模的方法。我记得给我们上数模课的教授是这么说的。 数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。<一>常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；<二>常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，建模思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。<三>数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。 一、创设学生熟悉的生活情境，在实际中解决数学问题 新教材增加了联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系，增加对数学的亲近感，体验用数学的乐趣，提供了丰富的教学资源。例如，一年级上册教材第114～115页的实践活动“我们的校园”，根据教材我在教学中是这样处理的，选出六个学生都喜欢的活动，每个学生喜欢哪个活动就参加哪个，活动完毕，我马上提出问题：“哪个活动参加的人数最多，哪个活动参加的人数最少？活动人数最多的组比活动人数最少的组多多少人？”立刻，学生的注意力由玩转移到了思考问题上。教室里开始互相争执，各执一词，互不相让。接着我又问：“能不能想出一个好主意，能清楚、明了地看出结果？”这时候，我就开始引导学生如何进行统计，在不知不觉中，让学生经历了数据的收集、整理过程。学生不仅学习了收集和整理数据的简单方法，而且初步感受到了用统计方法解决问题的过程，为形成统计观念打下了基础。 又如，一年级下学期的“位置”这一节课也是创设学生熟悉的生活情境。在教室里排座位，给每个学生发一张票按号就坐，学生在寻找座位时就会思考、观察、理解第几组第几个，坐好座位后会很好奇地看看前后左右都是谁。所以这一节课学生们的兴趣也很浓厚。第7页“布置房间”这一题我根据素材，把这幅图设计成活动画面内容，学生可以按自己的想法随意摆放，然后告诉大家，自己怎样布置的房间，在这里既使学生明确了方位，又体会了解决实际问题的乐趣。 二、在富有儿童情趣的童话中，感受数学的美 “故事是儿童的第一大需要。”生动的数学故事令人终生难忘，故事中有生动的情节，丰富的情感，寓知识于故事之中，不仅吸引学生，也符合学生形象记忆的特点。打开实验教材，可以看到许多有趣美丽的童话内容，如一年级上册的第6、7页小兔盖房子，第14、15页野生动物园，一年级下册第20页热闹的小河边，第41页小熊的一家，这些都是儿童喜欢、熟悉的情境，而在这里也包含了许多奇妙的数学知识，需要探索才能完全理解，这就容易激发儿童主动探究的欲望。 在欣赏这些有趣、美丽的画面的同时，我鼓励学生去创作画，从画中感受到数学的无处不在。一年级下学期讲过“找规律”这一单元后，我给学生留了一个画画的任务，要求发挥自己的想像力画出一幅画，要体现出有规律的美，并且取一个好听的名字。第二天，我发现学生的能力真的是不可低估，《金色的秋天》中向日葵在阳光下有规律地昂首而立，《丰收的果园》中一棵棵苹果树、梨树像哨兵似的排列着，河里的小鱼俏皮地吐着水泡也是那么的有规律……这些都证明孩子已经有了欣赏数学美的意识，已经对数学产生了浓厚的兴趣。 三、以猜为动力，引导学生探索数学的奥秘 众所周知，每一个孩子都爱问为什么，每一个孩子都想探究一些秘密，根据孩子的这种心理，教材编排了一些数学游戏：如一年级上册第13页的“比长短”，第19页的“猜数”，一年级下册第44页的“估一估，猜一猜”，等等。 一年级上册第13页的“比长短”，通过猜铅笔的长短，使学生明白在比长短时，要注意各种不同的情况。教学第19页的“猜数”时，我先告诉学生我一共有几个玻璃球，左手有几个，让学生猜猜右手有几个，这样反复进行几次，学生就在“猜”中掌握了数的分解和组成以及加、减法，加深了对数的认识，为今后学习用数学做好了铺垫。 在教材的启发下，我多次创设这样的情境，让学生在好奇中思考，在思考中得到逐步的提高。如教学“猜数”，我先在卡片上写上45，然后告诉大家：“我写的数个位上是6前面的数，十位上的数比个位上的数少1，猜猜我写的数是几？”这样的游戏丰富多彩，使学生获得了愉悦的数学学习体验。 四、在动手动脑中体验数学的乐趣 利用数学学具进行操作实验，让学生动手动脑，看一看，摆一摆，想一想等，感知学习内容，动中促思，玩中长知，乐中成材，使学习内容在有趣的实验中牢牢记住。一年级下册第27页“图形的拼组”中就有一个做风车的手工活动。活动开始时，先拿出一张长方形纸和一张正方形纸，让学生沿所标虚线折一折，或自己通过活动体会长方形、正方形边的特征，从而了解到：长方形的对边相等，正方形的四条边都相等。在此基础上，让学生用一张长方形纸做出一个风车。在这个过程中，学生既体会了平面图形的特征又看到了它们之间的关系。把长方形纸折成正方形纸利用了正方形四边相等的特征，把正方形纸剪成四个三角形时，又看到了三角形和正方形的关系。转动风车时，又惊奇地发现风车所转动的路径是一个圆。 在平面图形和立体圆形拼组中，学生在各种操作、探索活动中，观察，感知，猜测，感受空间方位的含义及其相对性，激发学生探索数学的兴趣，发展了学生的创新意识。 五、在比赛中增长信心，培养竞争意识 儿童的好胜心、自尊心强，爱表现自己，课本就有意引进竞争意识，激发学生学习兴趣，例如，一年级上册中第13页“谁摸得高，谁摆得高”，第113页“用相同的时间，看谁算得又对又快”，一年级下册中第26页“夺红旗”等游戏都适合小学生争强好胜的心理特征。当然，教师在组织比赛时，要给学生充分表现自我的机会，让他们在心理上得到满足，不断鼓励他们树立信心，增强勇气，做到胜不骄，败不馁，认真总结经验教训。如果比赛完就了事，那么长才干的只是少数学生，大多数学生仍得不到提高，易产生自卑感。 我们也可以利用学具来帮助学习。学具袋中的小卡片、小棒棒等都可以在学知识的同时为我们的课堂增添趣味。在一年级下册配套的学具袋中有一副扑克牌。为了发挥这副扑克牌的最大作用，让这副扑克牌成为学生的好朋友，我主要采用四人小组合作形式，两人比赛，一人做裁判，一人记录。比赛的学生每人抽两张或三张牌做加、减法或连加、连减，看看谁的数据大。学完“100以内的数的认识”后做抽牌比大小游戏，我们常常活动一节课，课中，学生不知道做了多少口算题，练了多少比大小，这比让他们单纯做题有趣也有效得多。 总之，新教材为我们提供了相当丰富的教学资源，只要教师把真诚的爱献给学生，把全部精力和热情倾注在课堂教学中，有效利用教学资源，合理安排课堂教学，一定能使学生对数学产生浓厚的兴趣。“把学习的乐趣还给天真活泼的学生”，这是我们课程改革的信念，也是我们教师所要追寻的目标。 数学这门基础学科，自小学、初中、高中直至大学伴随着每个学生的成长，学生对它投入了大量的时间与精力，然而每个人并不一定都是成功者。考上高中的学生应该说基础是好的，然而进入高中后，由于对知识的难度、广度、深度的要求更高，有一部分学生不适应这样的变化，由于学习能力的差异而出现了成绩分化，有一部分学生由众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，多次阶段性评估考试不及格，有的难以提高，直至在高考中再次体现出来，甚至有的家长会不断提出这样的困惑：" 我的××以前初中怎么好，现在怎么了？" 尤其对高一学生来讲，环境可以说是全新的，新教材、新同学、新教师、新集体……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外，经过紧张的中考复习，考取了自己理想的高中，必有些学生产生"松口气"想法，入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理，他们在入学前，就耳闻高中数学很难学，高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念，如映射、集合、异面直线等，使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。以上这些因素都严重影响高一新生的学习质量。那么怎样才能学好高中数学呢？ 一、认清学习能力状态 1 、心理素质。由于学生在初中特定环境下所具有的荣誉感与成功感能否带到高中学习，这就要看他（或她）是否具备面对挫折、冷静分析问题、找出克服困难走出困境的办法。会学习的学生因学习得法而成绩好，成绩好又可以激发兴趣，增强信心，更加想学，知识与能力进一步发展形成了良性循环，不会学习的学生开始学习不得法而成绩不好，如能及时总结教训，改变学法，变不会学习为会学习，经过一番努力还是可以赶上去的，如果任其发展，不思改进，不作努力，缺乏毅力与信心，成绩就会越来越差，能力越得不到发展，形成恶性循环。因此高中学习是对学生心理素质的考验。 2 、学习方式、习惯的反思与认识 （1 ）学习的主动性。许多同学进入高中后还象初中那样有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动性，表现在不订计划，坐等上课，课前不作预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，忽略了真正听课的任务，顾此失彼，被动学习。 （2 ）学习的条理性。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵外延，分析重点难点，突出思想方法，而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是忙于赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，也有的晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 （3 ）忽视基础。有些" 自我感觉良好" 的学生，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的" 水平" ，好高骛远，重" 量" 轻" 质" ，陷入题海，到正规作业或考试中不是演算出错就是中途" 卡壳" 。 （4 ）学生在练习、作业上的不良习惯。主要有对答案、不相信自己的结论，缺乏对问题解决的信心和决心；讨论问题不独立思考，养成一种依赖心理素质；慢腾腾作业，不讲速度，训练不出思维的敏捷性；心思不集中，作业、练习效率不高。 3 、知识的衔接能力。 初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。 另一方面，高中数学与初中相比，知识的深度、广度和能力的要求都是一次质的飞跃，这就要求学生必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。由于初中教材知识起点低，对学生能力的要求亦低，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，有的内容为应付中考而不讲或讲得较浅（如二次函数及其应用），这部分内容不列入高中教材但需要经常提到或应用它来解决其它数学问题，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。如不采取补救措施，查缺补漏，学生的成绩的分化是不可避免的。这涉及到初高中知识、能力的衔接问题。 二、努力提高自己的能力 1 、 改进学法、培养良好的学习习惯。 不同学习能力的学生有不同的学法，应尽量学习比较成功的同学的学习方法。改进学法是一个长期性的系统积累过程，一个人不断接受新知识，不断遭遇挫折产生疑问，不断地总结，才有不断地提高。" 不会总结的同学，他的能力就不会提高，挫折经验是成功的基石。" 自然界适者生存的生物进化过程便是最好的例证。学习要经常总结规律，目的就是为了更一步的发展。通过与老师、同学平时的接触交流，逐步总结出一般性的学习步骤，它包括：制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面，简单概括为四个环节（预习、上课、整理、作业）和一个步骤（复习总结）。每一个环节都有较深刻的内容，带有较强的目的性、针对性，要落实到位。 在课堂教学中培养听课习惯。听是主要的，听能使注意力集中，把老师讲的关键性部分听懂、听会，听的时候注意思考、分析问题，但是光听不记，或光记不听必然顾此失彼，课堂效益低下，因此应适当地笔记，领会课上老师的主要精神与意图，五官能协调活动是最好的习惯。在课堂、课外练习中培养作业习惯，在作业中不但做得整齐、清洁，培养一种美感，还要有条理，这是培养逻辑能力，必须独立完成。可以培养一种独立思考和解题正确的责任感。在作业时要提倡效率，应该十分钟完成的作业，不拖到半小时完成，疲疲惫惫的作业习惯使思维松散、精力不集中，这对培养数学能力是有害而无益的，抓数学学习习惯必须从高一年级抓起，无论从年龄增长的心理特征上讲，还是从学习的不同阶段的要求上讲都应该进行学习习惯的指导。 2 、加强4 5 分钟课堂效益。 要提高数学能力，当然是通过课堂来提高，要充分利用好这块阵地。 （1 ） 抓教材处理。学习数学的过程是活的，老师教学的对象也是活的，都在随着教学过程的发展而变化，尤其是当老师注重能力教学的时候，教材是反映不出来的。数学能力是随着知识的发生而同时形成的，无论是形成一个概念，掌握一条法则，会做一个习题，都应该从不同的能力角度来培养和提高。通过老师的教学，理解所学内容在教材中的地位，弄清与前后知识的联系等，只有把握住教材，才能掌握学习的主动。 （2 ） 抓知识形成。数学的一个概念、定义、公式、法则、定理等都是数学的基础知识，这些知识的形成过程容易被忽视。事实上，这些知识的形成过程正是数学能力的培养过程。一个定理的证明，往往是新知识的发现过程，在掌握知识的过程中，就培养了数学能力的发展。因此，要改变重结论轻过程的教学方法，要把知识形成过程看作是数学能力培养的过程。 （3 ） 抓学习节奏。数学课没有一定的速度是无效学习，慢腾腾的学习是训练不出思维速度，训练不出思维的敏捷性，是培养不出数学能力的，这就要求在数学学习中一定要有节奏，这样久而久之，思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。 （4 ） 抓问题暴露。在数学课堂中，老师一般少不了提问与板演，有时还伴随 着问题讨论，因此可以听到许多的信息，这些问题是现开销的，对于那些典型问题，带有普遍性的问题都必须及时解决，不能把问题的结症遗留下来，甚至沉淀下来，现开销的问题及时抓，遗留问题有针对性地补，注重实效。 （5 ）抓课堂练习、抓好练习课、复习课、测试分析课的教学。数学课的课堂练习时间每节课大约占1 / 4 - 1 / 3 ，有时超过1 / 3 ，这是对数学知识记忆、理解、掌握的重要手段，坚持不懈，这既是一种速度训练，又是能力的检测。学生做题是无心的，而教师所寻找的例题是有心的，哪些知识需要补救、巩固、提高，哪些知识、能力需要培养、加强应用。上课应有针对性。 （6 ）抓解题指导。要合理选择简捷运算途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确性的需要，运算的步骤越多，繁度就越大，出错的可能性就会增大。因而根据问题的条件和要求合理地选择简捷的运算途径不但是提高运算能力的关键，也是提高其它数学能力的有效途径。 （7 ）抓数学思维方法的训练。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象力以及运用所学知识分析问题、解决问题的重任，它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性与广泛的适用性，对能力的要求较高。数学能力只有在数学思想方法不断地运用中才能培养和提高。 3、体验成功，发展学习兴趣 "兴趣是最好的老师"，而学习兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的。如听懂一节课，掌握一种数学方法，解出一道数学难题，测验得到好成绩，平时老师对自己的鼓励与赞赏等，都能使自己从这些"成功"中体验到成功的喜悦，激发起更高的学习热情。因此，在平时学习中，要多体会、多总结，不断从成功（那怕是微不足道的成绩）中获得愉悦，从而激发学习的热情，提高学习的兴趣。 三、 几点注意。 1、提高学生数学能力的过程是循序渐进的过程，要防止急躁心理，有的同学贪多求快，囫囵吞枣，有的同学想靠几天冲刺一蹴而就，有的取得一点成绩沾沾自喜，遇到挫折又一蹶不振，针对这些实际问题要有针对性的教学。 2、知识的积累、能力的培养是长期的过程，正如华罗庚先生倡导的" 由薄到厚" 和" 由厚到薄" 的学习过程就是这个道理。同时近几年高考试题中应用性问题的出现，更对学生把所学数学知识应用到实际生活中解决问题能力提出了更为严峻的挑战，应加强对应用数学意识和创造思维方法与能力的培养与训练 参考资料： 回答者：赤V霄 - 初入江湖 二级 7-31 10:25试析数学思想的含义及基本特征 江苏省连云港教育科学研究所 臧雷 近几年数学教育界议论的热门话题之一是“数学思想”这一术语。那么，究竟什么是数学思想呢？目前还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识。为了深化数学思想的教学，有必要对数学思想的基本含义、特征进行探讨。 一、数学思想的基本含义 如何理解数学思想是人们对“数学科学的本质及规律的深刻认识”呢？笔者认为应该从以下两个方面来理解。一种是狭义理解，主要是就中学数学知识体系而言。中学数学思想往往是指数学思想中最常见、最基本、较浅显的内容。比如函数思想、化归思想等等。这些最常见、最基本的数学思想也是从某些具体的数学认识过程中提升出来的认识结果或观点，并在后继的认识活动中被反复运用和证实其正确性。例如当我们具体求解方程2x+3=0时，认识到解形如ax+b=0这种方程就是转化为x=A这种形式，并且还能进一步认识到解形如ax2+bx+c=0的方程，实质上也是转化为x2=A再转化x2=B这种形式。因而，确认这种认识（化归思想）是解方程的“法宝”。所以，在中学数学教学中，人们普遍比较重视这种认识结果的应用的数学。我们经常会在各种数学期刊上发现“浅谈××思想的教学”、“××思想的应用”这类文章，也就不足为怪了。另一种是广义理解，即数学思想除以上所述内容外，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识。“数学思想的历史是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是哲学家和数学家的数学观发展的历史”[1]，从数的概念的形成和发展，到微积分的产生及现代数学各分支的形成，即对数学发展中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识都可以纳入数学思想范畴。就中学数学知识内容而言，数的演变与形成，负数产生的背景，数轴概念的形成直至函数理论体系的发展过程等，都体现数学研究和发展的思想。又如数学中的许多规定。如a0=1(a≠0),0!=1等，探究规定的合理性、必要性、优越性也就是探究者数学思想的发展过程。数学知识的发展过程也是参与者数学思想的孕育、发生过程。因此，数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”[2]，又包括对数学的起源和发展，数学的本质和特征，数学内容各分支各体系之间对立统一关系的认识，数学与现实世界的关系及地位作用的认识。 顺便再谈谈对数学思想方法的认识。一般来讲，数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段。我们可以作一个比喻，数学思想相当于建筑的一张蓝图，数学方法则相当于建筑施工的手段。数学思想的内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华。若从狭义角度理解数学思想，往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法。比如，用“化归”去解方程 ,就是化归方法，而当评价它在数学体系中的自身价值的意义时，又可称之为数学思想，比如考察“化归”在整个方程体系中的价值和意义时，就会自然将其升华为化归思想。若从广义角度理解，人们比较注重数学发展中的重大贡献、数学家的创见和发明，突出其文化功能、思想价值，以及对社会、科技进步、发展的意义，因而更多称之为数学思想。 二、数学思想的基本特征 1．导向性。所谓数学思想的导向性是指：它是研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略。数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限思想是微积分理论的基础，又是解决许多数学问题的重要方法。而在解决具体问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。例如，解一元二次方程问题，尽管化归思想指导思维活动定向于目标x=A,但具体采用哪种化归方法如配方法还是因式分解，还需具体问题具体分析。数学思想的导向性的重要价值被爱因斯坦的名言所佐证：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。” 2．统摄性。数学思想对于具体的数学知识和方法具有巨大的凝聚力，它是联系知识的纽带，具有举一纲而万目张的作用。数学思想的统摄性主要表现在两个方面。一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即是有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也是造成学生数学能力发展不平衡的主要因素。正像金刚石和石墨都是由六个碳原子组成，但由于碳原子的结构方式不同，前者十分坚硬，后者非常松软，用映射思想可以将纵横两方面的数学知识联结。起到化繁为简、化难为易、化不可能为可能的作用。例如，用对数（映射）方法可将来问题中乘、除、乘方和开方分别化为较低层次的加、减、乘、除运算。用坐标法（映射）可将几何问题转化为代数中的数量关系。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则他们很难真正理解知识，深刻认识知识，因而，就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力就不可能得到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。比如学生在掌握了用降次、消元、有理化等方法解一般代数方程之后，对化归思想有了进一步的认识，因而就会把这种思想用于解其他超越方程中去，这就推动着学生数学认知结构的不断发展。 3．概括性。人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。例如，几何中研究各种各样的角，两角线相交所成的角，两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，这些角的度量方法最终可由化量思想的概括性统一为两相交直线的角来度量。数学思想的概括性还表现在客观存它能反映数学对象之间的联系和内部规律上，例如有关二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式等问题往往都可以归纳为一元二次函数图象与坐标轴交点间问题的探究，同时也反映了函数思想是对数学知识的高度概括。再如数学中一些基本方法：配方法、换元法、构造法、参数法等，进一步上升概括为化归方法，再进一步上升概括为映射思想。 4．迁移性。高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。例如，对几何中有关角的度量的概括性认识可以指导我们对二面角的研究，导致二面角平面角概念的

试析数学思想的含义及基本特征江苏省连云港教育科学研究所 臧雷 近几年数学教育界议论的热门话题之一是“数学思想”这一术语。那么，究竟什么是数学思想呢？目前还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识。为了深化数学思想的教学，有必要对数学思想的基本含义、特征进行探讨。一、数学思想的基本含义如何理解数学思想是人们对“数学科学的本质及规律的深刻认识”呢？笔者认为应该从以下两个方面来理解。一种是狭义理解，主要是就中学数学知识体系而言。中学数学思想往往是指数学思想中最常见、最基本、较浅显的内容。比如函数思想、化归思想等等。这些最常见、最基本的数学思想也是从某些具体的数学认识过程中提升出来的认识结果或观点，并在后继的认识活动中被反复运用和证实其正确性。例如当我们具体求解方程2x+3=0时，认识到解形如ax+b=0这种方程就是转化为x=A这种形式，并且还能进一步认识到解形如ax2+bx+c=0的方程，实质上也是转化为x2=A再转化x2=B这种形式。因而，确认这种认识（化归思想）是解方程的“法宝”。所以，在中学数学教学中，人们普遍比较重视这种认识结果的应用的数学。我们经常会在各种数学期刊上发现“浅谈××思想的教学”、“××思想的应用”这类文章，也就不足为怪了。另一种是广义理解，即数学思想除以上所述内容外，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识。“数学思想的历史是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是哲学家和数学家的数学观发展的历史”[1]，从数的概念的形成和发展，到微积分的产生及现代数学各分支的形成，即对数学发展中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识都可以纳入数学思想范畴。就中学数学知识内容而言，数的演变与形成，负数产生的背景，数轴概念的形成直至函数理论体系的发展过程等，都体现数学研究和发展的思想。又如数学中的许多规定。如a0=1(a≠0),0!=1等，探究规定的合理性、必要性、优越性也就是探究者数学思想的发展过程。数学知识的发展过程也是参与者数学思想的孕育、发生过程。因此，数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”[2]，又包括对数学的起源和发展，数学的本质和特征，数学内容各分支各体系之间对立统一关系的认识，数学与现实世界的关系及地位作用的认识。顺便再谈谈对数学思想方法的认识。一般来讲，数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段。我们可以作一个比喻，数学思想相当于建筑的一张蓝图，数学方法则相当于建筑施工的手段。数学思想的内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华。若从狭义角度理解数学思想，往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法。比如，用“化归”去解方程 ,就是化归方法，而当评价它在数学体系中的自身价值的意义时，又可称之为数学思想，比如考察“化归”在整个方程体系中的价值和意义时，就会自然将其升华为化归思想。若从广义角度理解，人们比较注重数学发展中的重大贡献、数学家的创见和发明，突出其文化功能、思想价值，以及对社会、科技进步、发展的意义，因而更多称之为数学思想。二、数学思想的基本特征1．导向性。所谓数学思想的导向性是指：它是研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略。数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限思想是微积分理论的基础，又是解决许多数学问题的重要方法。而在解决具体问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。例如，解一元二次方程问题，尽管化归思想指导思维活动定向于目标x=A,但具体采用哪种化归方法如配方法还是因式分解，还需具体问题具体分析。数学思想的导向性的重要价值被爱因斯坦的名言所佐证：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”2．统摄性。数学思想对于具体的数学知识和方法具有巨大的凝聚力，它是联系知识的纽带，具有举一纲而万目张的作用。数学思想的统摄性主要表现在两个方面。一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即是有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也是造成学生数学能力发展不平衡的主要因素。正像金刚石和石墨都是由六个碳原子组成，但由于碳原子的结构方式不同，前者十分坚硬，后者非常松软，用映射思想可以将纵横两方面的数学知识联结。起到化繁为简、化难为易、化不可能为可能的作用。例如，用对数（映射）方法可将来问题中乘、除、乘方和开方分别化为较低层次的加、减、乘、除运算。用坐标法（映射）可将几何问题转化为代数中的数量关系。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则他们很难真正理解知识，深刻认识知识，因而，就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力就不可能得到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。比如学生在掌握了用降次、消元、有理化等方法解一般代数方程之后，对化归思想有了进一步的认识，因而就会把这种思想用于解其他超越方程中去，这就推动着学生数学认知结构的不断发展。3．概括性。人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。例如，几何中研究各种各样的角，两角线相交所成的角，两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，这些角的度量方法最终可由化量思想的概括性统一为两相交直线的角来度量。数学思想的概括性还表现在客观存它能反映数学对象之间的联系和内部规律上，例如有关二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式等问题往往都可以归纳为一元二次函数图象与坐标轴交点间问题的探究，同时也反映了函数思想是对数学知识的高度概括。再如数学中一些基本方法：配方法、换元法、构造法、参数法等，进一步上升概括为化归方法，再进一步上升概括为映射思想。4．迁移性。高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。例如，对几何中有关角的度量的概括性认识可以指导我们对二面角的研究，导致二面角平面角概念的建立，又如由圆内接正多边形边倍增而趋于圆来求圆面积的极限思想可以进一步发展为分割求和的微积分思想。希尔伯特的巨著《几何基础》是迄今为止用公理公思想建立数学体系的最典型的著作。另一方面，这种迁移性表现在数学外部：它还能沟通数学与其他科学，与社会的联系，产生更加广泛的迁移。如公理化思想已超越数学理论范围，渗透到其他学科领域。17世纪的唯心主义者斯宾莎仿效《几何原本》的公理化思想，把人的思想、情感和欲望等当作几何学中的点、线、面来研究，写出了名著《伦理学》；20世纪50年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化。参考文献1．周述岐数学思想和数学哲学北京：中国人民大学出版社，19932．张奠宙、数学方法论稿上海：上海教育出版社，1996 出处：中学数学教学参考 1998年第5期 P1

《发明与创新》始终坚持办刊宗旨和正确的舆论导向，认真执行党的基本路线和新闻出版政策，为宣传我国的科技发明事业，提高广大群众的创新意识，推动群众性的发明创造活动，促进精神文明建设和物质文明建设作出 了积极贡献，多次受到宣传出版部门和上级领导的肯定和表扬，也得到了社会各界的好评和广大读者的欢迎。在由中宣部、国家科委、国家新闻出版署联合组织的首届全国科技期刊评比中被评为全国优秀期刊，在历次湖南省组织的科技期刊评比中 ，均被评为优秀期刊一等奖；核定为一级期刊。《发明与创新》杂志每年承担中国发明协会举办的全国发明展览会和组织出国展览的专题报道任务，与全国的发明创新人士和科技宣传媒体联系密切，每年收集新发明新产品信息约2000项，已成为发明人、科研院所、大中小学校与企业联系的重要桥梁和纽带。由于《发明与创新》以弘扬创新精神，普及创造学知识，开发人的创造力为宣传主线，有着鲜明的特色和个性，在我国众多的科技刊物中，至今独树一帜，赢得了各行各业的发明人和创新者的喜受，为树立发明创新者的形象，维护他们的知识产权权益，促进科技发明商品化，营造有利于创新的社会氛围等方面发挥重要的作用。

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