可迹图的谱半径条件

本文所讨论的图均为有限简单无向图，设G=(V (G),E(G ) )是一个n阶简单连通图，其顶点集V(G)={v 1,v2,…,vn} ，顶点 v∈V(G)的邻域定义为NG(v)={u :uv∈E(G ) }，顶点v的度dG(v)= | NG(v)|(简写为d(v))。G的最小度记为δ(G )，G的最大度定义为Δ(G)。如果G的所有顶点度都相同，则称G为正则图。如果V(G)可以被划分为互不相交的子集X和Y，使得V(G)=X⋃Y，且任一边uv∈E(G )均满足u∈X，v∈Y或u∈Y，v∈X，则称G为二部图。特别地，若对于任意u∈X，dG(u)相同，对于任意v∈Y，dG(v)也相同，则称G为二部半正则图。定义为G的补图，其中V(Gˉ)=V(G)，E(Gˉ)={x y:x,y∈V(G),xy∉E(G ) }。设G1和G2是两个顶点不相交的简单图，它们的并图G1⋃G2=(V (G1)⋃V(G 2),E(G1)⋃E(G 2 ))，它们的联图G1∨G2是由G1⋃G2添加G1中每个顶点到G2中每个顶点的边构成的图。记Kn为n阶完全图，On=Kˉn为n阶空图（不含边），Kn,m=On∨Om为完全二部图。

图G的度对角矩阵为D(G)=diag(d G (v2),…,dG(vn ) )。图G的邻接矩阵定义为A(G)=(aij)n×n，其中当 vi，vj相邻时，aij=1，否则aij=0。由于A(G)为实对称矩阵，故其特征值均为实数，可进行排序，称A(G )的最大特征值为图G的谱半径，记为 μ(G)，与对应的全正向量成为G的Perron向量。

当今时代，计算机的发展可以说是跨越式的，功能日益强大，对计算机软件的要求也进一步提高，软件开发设计人员对计算机软件的重视程度应该进一步加强，能够实现改进和创新软件开发技术。就从目前的软件技术发展情况来看，计算机软件开发技术在未来的发展过程下，要逐步向以下几个方面发展。

如果图G中任意两点均有一条路连接，则称图G是连通的。如果图G中有一条包含G中所有顶点的路，则称这条路为哈密尔顿路；如果图G含有哈密顿路，则称图G是可迹图。对于哈密顿问题的研究是经典图论中一个非常困难的问题，近年来，谱图理论应用到这个问题，如文献[1-6]。本文主要利用图G补图的谱半径来刻画图G是可迹图的充分条件，此时δ()G ≥k。

其实从田文镜的一生来看，他真正被受用时已经是在中年之后，久任河南布政使，他的政绩主要是在对河南吏治的严厉管理之上，但其中他对黄河水患的治理贡献也不容忽视。

1 相关引理

对于一个整数k≥0，图G的k闭包是指反复连接G中度之和不小于k的不相邻的顶点对直到没有这样的顶点对为止所得的图，记为Ck(G)，它是唯一的，并且图Ck(G)中任意两个不相邻的点对u和v均满足dCk(G)(u ) +dCk(G)(v)≤k-1。

引理1[7]设G是一个n阶简单图，图G含有一条哈密顿路当且仅当Cn-1(G)含有一条哈密顿路。

潮平两岸阔，风正一帆悬。改革开放以来，河南农机化事业将辉煌历程镌刻在万顷田畴上。中国特色社会主义进入了新时代，河南农机将适应新要求，迈出新步伐，围绕乡村振兴战略，以转变发展方式为主线，以全程机械化推进行动为重要抓手，以“四优四化”为发力点，不断推进农机化高质量发展，奋力谱写中原更加出彩新篇章。

给定一个n阶图G，对于向量X∈Rn，如果存在一个从V(G )到X中的值的一一映射φ，使得∀u∈V(G )，有 φ(u)=Xu，则称X定义在G上。因此，由特征值的定义知，若X是A(G)的特征值μ对应的特征向量，则当且仅当X≠0时，对于每一个v∈V(G)，有

下面的引理在文献[1]中可见，但是并没有被证明，为了更好地理解，我们给出它的证明。

如果图G是连通的并且等式成立，有任意点v∈NG(s) ，Xv=Xt，任意点 v∈NG(t)，Xv=Xs。 通过（1）式，得到图G是正则图或是二部半正则图。如果图G是dj正则图，则 μ(G)=d；如果图G是(Δ ,δ)-二部半正则图，则 μ(G)= 。

证明 设H=Cn-1(G )，根据引理1，如果H是可迹图，则G也是可迹图。现在假设H不是可迹图，注意到H是G的(n -1)-闭包，因此H中任意两不相邻的点对u，v度的和最多是n-2，即对任意uv∈E(Hˉ)，有

并且，如果G是连通的，当且仅当G是正则图或二部半正则图时等式成立。

在抑郁样行为相关的抑郁动物模型中关于趋化因子更深入的研究可能有助于揭示趋化因子与抑郁症关系的具体分子机制。

设EPn是下面的一些n阶图，此时n为偶数：

由（1）式可得

假设F是一个二部半正则图，通过（3）式知F=Hˉ是一个完全二部图，则此时 Hˉ=Kk+1,n-k-1。此G=Fˉ∨Fˉ1∈EPn，这与定理条件矛盾。

引理2[1]设G是一个非空图，则有

2 主要结论

证明 设X是图G的一个单位Perron向量，设

（i）度为1的正则图；

由于dH(u)≥dG(u )≥k，dH(v)≥dG(v) ≥k，得到dHˉ(u )≤n-k-1，dHˉ(v) ≤n-k-1。 结合（3）式，有k+1 ≤ dHˉ(u )≤n-k-1 ，k+1≤ dHˉ(v)≤n-k-1，并且对任意uv∈E(Hˉ)，有

定理1 设图G是一个n阶图，n≥2k+2，k≥0。如果 δ(G )≥k，且

则图G是可迹图，除非G=Kk+1+Kn-k-1或G∈EPn且n=2k+2。

7.学生在文化的思想认知上存在缺陷。部分学生追求享乐主义，注重自我感受，用西方文化来装扮自己，把其作为一种风尚，影响了本土文化发展，道德责任和价值观出现了扭曲，中华民族的价值观体系的建立和发展受到了阻碍。

情况 2 u1,…,u10的颜色当中互不相同的仅有两种,不妨设f(ui{1,2}, i=1,2,…,10,则当每个C(vj)是2-子集时,C(vj)不包含颜色1或2,从而可以作为Y中顶点色集合的{1,2,3,4,5,6}的子集的数目为当49≤n≤90时,48个集合不能区分Y中的n个顶点,得出矛盾。令B=B1∪B2∪B3,其中:

(ii)G1∨G2，G1是 n-r阶度为-r的正则图，G2是有r个顶点的图，此时1≤r≤。

设f(x)=x(n -x)。当k+1≤x≤n-k-1时，有f(x)≥f(k +1)（或 f(x)≥ f(n -k-1)），当且仅当x=k+1（或x=n-k-1）时等式成立。因此dHˉ(u) dHˉ(v) ≥ dHˉ(u)(n -dHˉ(u ) )≥(k +1)(n -k-1)，当且仅当 dHˉ(u)=k+1 ，dHˉ(v)=n-k-1时等式成立。

通过引理1、Perron-Frobenius定理和定理1的假设，得到

因此，μ(Gˉ )=μ(Hˉ)= ，并且对任意边uv∈E(Hˉ)，有 dHˉ(u)+dHˉ(v)=n成立，且dHˉ(u)=k+1 ，dHˉ(v)=n-k-1。注意到Hˉ的每一个非平凡连通分部有一个点的度至少是，则每个连通分部的阶至少是+1。这说明Hˉ只有一个非平凡连通分部。设F是Hˉ的非平凡分部，通过引理2，知道F要么是正则图，要么是二部半正则图，并且由于 μ(Gˉ )=μ(Hˉ)，且 Hˉ是 Gˉ的连通生成子图，通过 Perron-Frobenius定理，得到 Gˉ=Hˉ。因此，G=Kk+1+Kn-k-1，这与定理条件矛盾。

接下来假设F是一个正则图。对每一个点v∈V(F)，dF(v)=，并且 n=2k+2。如果 F=Hˉ，和上面的讨论相似，Gˉ=Hˉ，因此G=H是度为-1的正则图，这表明G∈EPn，这与定理条件矛盾。

所 以 Hˉ=F⋃Or ，这 里 r=n- | V(F ) |，1≤r≤-1。 注 意 到 μ(Gˉ )=μ(Hˉ)=μ(F )，有Gˉ=F⋃F1，F1是从Or中加入一些边得到的图。因+1≤ ||V(F)≤n。

因此 μ(G)2XsXt≥d(s) d(t) XsXt。

参考文献：

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虽然我国为了发展会计信息化工作，已经发布了一系列国家标准，但是相关法规和标准并不健全，尤其在网络信息安全监管方面十分滞后，并没有相关法律保护受侵犯者的合法权益。

或许生命中有时候就是如此，轰轰烈烈开始，平平淡淡结束，带着渴望来，留下绝望去，以为远方很美，却不知道那里并不适合你。

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随着科学技术和生活水平的提高，人们开始越来越多的关注环保问题。当前，我国空调主要以电力驱动空调为主，这类空调多以氟利昂为冷媒，而氟利昂等氟碳类物质被认为是破坏臭氧层和造成温室效应的重要原因；另一方面，当前电能主要是以火力发电为主，煤炭燃烧会排放二氧化硫等污染环境的气体。所以利用太阳能驱动空调系统一方面可以大大减少煤炭等不可再生能源消耗，另一方面也大大减少了氟利昂、二氧化硫等对环境的破坏。太阳能制冷空调，最大的优点还在于季节匹配性好，天气越热、越需要制冷的时候，系统吸收的太阳能越多，制冷量越大。