泛函分析小论文题目

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和谐社会的价值取向 价值理念在当今社会越来越受到人们的重视，因此，讨论和谐社会的构建，我们不能不关注和谐社会的价值取向问题。 人是有理性的动物，人的任何行为和实践都是在一定的价值理念支配下进行的。价值理念是理想理念和实践行动的中介。价值目标的确立,既反映人们对事物发展方向的态度和期盼，又会成为人们的行动指南。当我们选择和认同某种价值理念时，实际上就意味着我们确认了某种行为意义和作用，确认了我们对事物发展方向的抉择。由此，我们可以得出这样一个结论，价值理念的差异也是社会发展取向上的差异，价值取向将直接影响着社会的发展方向，影响着我们对某种行为是否具有意义的判断，我们不能等闲视之。 和谐社会的价值取向，我们不能不予以高度关注的问题 中国目前正处于社会转型期，社会的各种矛盾凸现，处理得不好，就会引发社会的动荡，延缓社会的发展，因此，在这个历史阶段提出构建和谐社会的理论，自然有着它的现实意义。 但我们必须注意到，构建和谐社会的作用不能仅限于此，中国共产党作为执政党提出构建和谐社会理论的深远意义还在于它是为了实现社会发展客观规律的一种目标追求，是中国社会发展到今天的水到渠成的理念实践，是把中国社会建设成为更为先进的社会形态的价值体现。 有鉴于此，构建和谐社会不仅要着眼于当前的现实需求，更要着眼于中国社会长远发展的目标追求，从而为中国社会的持续稳定和健康有序发展奠定良好的基础。 但我们必须认识到，和谐社会目标的实现是一个艰巨的任务，从和谐社会理念的提出到和谐社会的实现，中间还有很长的路要走，一个家庭的和谐，一个集体的和谐，都需要做很多工作，何况一个社会呢？ 因此，在和谐社会的设计上，我们必须要有一个通盘的考虑、必须要有更为广阔的思维，必须要在中国历史发展甚至是在世界历史发展的大背景下去思考如何构建我们的和谐社会。 当然，对构建和谐社会的认识和讨论可以从各个层面、各个角度来加以展开，但在这里特别需要强调的是，我们切不可忽略价值理念在和谐社会构建中的导向作用，构建和谐社会必须要有先进的价值观念作支撑。和谐社会的构建呼唤先进的价值理念，也需要先进的价值理念。可以毫不夸张地说，选择什么样的价值理念，决定着我们对待和谐社会的基本态度，决定着我们所构建的和谐社会的发展方向。 从世界历史发展的角度来看，一个基本的历史事实就是，当年的欧洲行将以一个新的制度取代一个旧的制度的时候，最先登上历史舞台的就是不同于以往的全新的价值理念。 从中国近代社会发展的历史来看，以孙中山先生为代表的民族资产阶级在中国社会发展的历史关头，提出了民主、平等、博爱、共和的价值理念，就同封建社会的专制、等级观念形成了泾渭分明的区别，按照这两种不同的价值理念所构建的社会形态必是两种不同的社会。 同样，在中国四十年代的中期，在共产党同国民党对决的历史关头，毛泽东写出了《两个中国之命运》的文章，代表中国共产党昭示了对中国社会未来发展的价值取向，那就是要把中国建设成为一个独立、自由、民主、统一、富强、人民群众当家作主的国家。这种符合中国社会发展方向的价值取向赢得了人民群众的拥护和支持，得民心者得天下，中国共产党最终战胜了国民党取得了在中国的执政地位。中国共产党的胜利即与其制定和执行了正确的路线、方针和政策有着直接的关系，更与其选择了符合社会发展要求、符合人民群众利益的价值取向有着直接的关系。 因此，可以明确的是，反映着时代理性的、代表着历史发展方向的价值理念，可以为人们的社会行动提供动力和导向。以此为出发点，我们可以有充分的理由说，正确的价值理念是和谐社会的灵魂，是和谐社会的内在基础，提出和选择正确的价值取向对构建和谐社会有着重要的意义。 和谐社会的价值取向，我们必须明确和坚持的一些原则 价值理念和价值取向在社会发展中的地位和作用是毋庸置疑的，那么，在构建和谐社会的过程中，我们需要什么样的价值取向呢？从根本上讲，和谐社会的价值取向必须着眼于“和谐”的客观需求，因此，有利于和谐社会的价值理念都是我们应该追求的理念，而有悖于和谐社会的价值理念都是应该被摒弃的的理念。 具体地讲，构建和谐社会的价值体系，从价值取向的原则上讲，必须着重体现以下几个方面的基本要求。 第一，符合社会的发展规律，符合历史的发展方向。 马克思曾讲过这样一句话，他说，每一个原理都有其出现的世纪。也就是说，一种思想的核心理念，就是它所处的时代背景的反映，时代精神的凝结。 价值理念也是如此，一定历史时期的价值理念既是社会变迁的风向标，又是时代精神的晴雨表，在今天，我们所提倡和追求的价值理念，必须要体现时代进步的特点，反映世界发展的潮流，使我们所秉承的价值理念能从独特的角度勾勒出社会精神氛围的风貌，透视出社会运行机制的效能，反映出社会凝聚力的状况。 在中国构建和谐社会是中国历史发展到今天的一个逻辑的必然结果，因此，体现在这个社会中的价值理念必须和这个社会的内在要求相一致，必须和历史发展的方向相一致，它是科学的，合理的、进步的，在中国和谐社会的价值体系中，既要传承中华民族的优秀文化，也应该容纳和反映当今世界时代的精华。 第二 符合人民群众的利益需要，符合人民群众的福祉诉求。 我们今天所提倡的价值理念必须以满足人民群众的最大利益为出发点和落脚点。中国共产党作为执政党，其基本的执政理念就是以人为本、执政为民，这种执政理念应该体现在价值理念中来，价值的取向应该获得人民群众的认同，应该反映人民群众的共同愿望。 从我们对旧制度的批判中，我们可以归纳出一个结论，那就是以往社会最大的弊端就是摧残人性、扭曲人性，社会中少数人的幸福是建立在多数人的痛苦之上的，这种不合理的社会现象必须得到纠正。理想的社会就是让所有的人都能够过上幸福的生活，让社会中的每一个成员都能够获得自由而全面的发展，因此。由中国的先进分子构成的中国共产党在自己的旗帜上鲜明地写下了这样的建党宗旨：全心全意为人民服务。 事实上，中国共产党从成立之日起，就是朝着构建一个以人为本的社会一步一步地走来，尽管在这个过程中，有过曲折，有过浮躁，但却始终不渝地朝着这个目标迈进。结束中国的旧制度，并成为中国的执政党，是中国共产党向着这个理想社会迈进的关键一步。以执政地位的有利条件为基础，中国共产党获得了实现自己价值理念、实现理想抱负的广阔空间和舞台。 第三，符合促进社会整体充满生机与活力的需要，符合激活公民个体生机与活力的需要， 一个和谐的生活也必定是一个充满生机与活力的社会，因此，和谐社会所遵循的价值理念就是要能够调动社会的一切积极因素，努力消除传统的封闭和僵化，通过协调社会的各个阶层、各个地区、各种利益群体的关系，使社会具有较强的生存能力、应变能力和除旧布新的变革能力，从而快节奏地促成我们的民族和国家向现代化的方向推进。 和谐社会需要活力，而活力源自于社会公民个体的活力。我们必须以激发公民个体的活力为目标来重新构筑我们的价值体系，这包括尊重公民个体的权利和自由，包括尊重公民个体的选择权和创造权，包括以宽容和理解的精神对待每一位公民，可以想象，当社会中的每个细胞都充满生机与活力，当每个公民的聪明才智都得以充分地发挥，我们的社会必定是一个昂扬向上和奋发进取的社会，这个社会一定能够使中华民族和中国人民重新获得她应有的尊严和骄傲。 第四，符合现阶段中国的具体国情，符合现阶段人民群众的觉悟水平。 我们党认识客观世界的最基本方法就是实事求是。现实的国情、现实的人的社会存在形式，才是一定时期里决定着人们价值取向的根据，也才是我们构筑价值体系的出发点和落脚点。 因此，我们在现阶段提出和倡导的价值理念必须要和我国的现实情况相吻合，和人民群众的素质以及觉悟水平相吻合，落后的价值观念我们要克服，但超越现阶段的价值观念也不宜在目前阶段强求一致。 事实证明，我们所提出的价值理念如果和现阶段的国情、和人民群众的觉悟水平不相吻合，即使是正确的理念，也难以达到理想的效果，更何况一些貌似正确实则不正确的理念。 和谐社会的价值取向，不同的社会层面要有不同的要求 价值取向渗透于社会的各个层面，从公民个人一直到政党和国家，从价值取向的层面上看，针对不同的社会主体，要有不同的价值取向要求。有区别的价值取向将有助于和谐社会的构建和发展， 一是社会管理层面。 执政党和政府既是构建和谐社会的倡导者和设计者，同时也是构建和谐社会的参与者与践行者，执政党和政府所秉持的价值理念是社会最高层面的价值观念，反映着和谐社会的发展方向，是构建和谐社会的价值基础，是构建和谐社会的灵魂，是贯穿社会总体构建的红线。 和谐社会管理层面价值理念的取向应该体现如下原则。 其一，坚持秩序和制度的价值取向。和谐社会必须井然秩序，一个混乱的社会肯定不会是和谐的社会。秩序的价值就在于它能够使社会的各个构成要素各安其所、各归其位，并形成相互协调、良性互动的关系。以构建和谐社会为出发点，探索新的社会运转和社会服务机制，进而形成一套与经济市场化、政治民主化和文化多样化相适应的新型社会秩序，具有重大的理论和实践价值。 秩序必须以制度为基础，只有建立新的社会制度规范，才能为和谐社会提供体制保障。如果在我们的社会中出现了秩序的混乱，那一定是我们的制度存在问题。无规矩难以成方圆，和谐有序的社会一定是建立在一整套的民主制度、法律制度和其他各项制度之上的，就当前而言，以法治取代人治，显得尤为关键和重要。 其二，制定制度和秩序的价值准则。无论哪种性质的社会，都会有秩序和制度，区别在于是遵循怎样的价值理念来制定制度和形成秩序，不同的价值理念必然会导致不同的秩序和制度，从而对社会的发展产生不同的作用和影响。 那么，我们和谐社会要形成合理的秩序和制度需要体现那些基本的价值理念呢？最为重要的是人民主权的价值理念，这个理念应该是和谐社会秩序和制度架构的核心价值理念，这个理念既和中国共产党的宗旨相一致，又和社会主义共和国的性质相一致，还有就是公平正义的价值理念。凡是中华人民共和国的公民都应该享有平等的公民权利，在社会中不应存在权利不对等的群体，所有公民都应享有在教育、卫生、就业、社会保障等方面的平等权利和待遇。 其三、治国理政方式方法的价值取向。在国家管理和社会管理的具体运作过程中，应该采取怎样的方式、方法和手段，对和谐社会的稳定和发展至关重要。当前中国社会已经发生了前所未有的深刻变化，出现了很多新的特点。尤其是各种社会矛盾正在积聚，处理不当，将会产生严重后果。因此，毫不夸张地说，管理层面的治理理念正面临着空前的挑战。 显然，仍然停留于原来的治理理念、继续沿用传统的方式、方法和手段，已不合时宜，也难以取得较好的效果。因此，顺应时代的潮流，与时俱进地形成新的治国理政的思路，乃是我们破解难题的切入点。

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浅谈中学数学中的反证法数学选择题的利和弊浅谈计算机辅助数学教学论研究性学习浅谈发展数学思维的学习方法关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法

1、选题尽量与日常工作结合起来一是便于收集数据，二是通过论文写作，对考生今后工作也有帮助，一举两得。反之，选一个与工作毫不相干的题目，从头开始，只能落得个事倍功半的结果。2、选择感兴趣的题目做论文是原创性的工作，因此，考生对某个方面感兴趣，会促使自己积极主动地探讨这方面的问题，强烈的成就动机将是做一篇优秀论文的基础。3、学术类文献综述类题目尽量不要选对所有参加自学考试的考生来讲，做学术论文是一件极具挑战性的工作，绝不是想象中那样轻松。自考过程中，考生可以通过强化复习通过考试，但做研究是完全不同的过程。只有在考生花费精力查阅大量文献后，才能知道可以做什么课题，还需要考生自己去收集数据，分析数据，撰写报告。综述性论文需要查阅大量的参考文献，从选题到提交论文，一般仅有3个月时间，真正码字可能就一两个星期的时间，在这么短的时间内要查阅到写综述的参考文献，难度相当大。时间短难度大，很少考生能将这些类型的论文写得好和有一定深度。不过，如果你实力很强，那也是可以的。当然，每次没能通过论文答辩的考生，绝大部分都是选择了这些雷区类型题目，希望大家吸取教训。

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论数学与物理学的关系

教育专业毕业论文题目只是需要题目吗？论文呢？

启迪每个认得一生中都会有一件事能给他或者是她一个启示。我就遇到过一件让我深受启发的事情，至今我还难以忘却。那件事就发生在五月一日的时候，那天风和日丽，正好是出去逛街的好时候。我和妈妈商定了出去买东西，去逛街，我们在大街上逛着。快到中午了，这时，迎着面走来了一对母子，他们穿着外国进口的最新潮流款式的衣服，脖子上面挂着一条金项链，手上带着两枚金戒指。他们的打扮迎来了旁边人们的注意，他们走路的时候是趾高气扬的，以显示出来那个样子十分威风。就在这时，他们的目光落在了桥上，那儿有一个人正在推者煤气输运三轮车吃力地走着，还不时地发出“嗨哟嗨哟”的气喘的声音。那位阿姨见了这个情景便立刻跟正在一旁看的儿子说了起来：“那，你看，你看见了吧，这个人从小不好好学习，只顾着玩，大学也考不上，工作也找不到，现在只能在这里干这些粗的累的活。你如果现在不好好学习，将来呢也只能去干这一些下等活粗活了。”那孩子本来想去帮那个人一下，但是听见了他妈妈的话之后，就把他那只伸出援助之手又收了回来，并胆怯地对他的妈妈说：“我知道了。”当他的妈妈知道哪那个送煤气的工人是她单位里面的张科长时，（因为张科长正在为那个小区义务劳动呢！）便连忙跑过去去拍那个所谓的科长的马屁。。。。。。 今天，我没有去逛街。刚才发生的那一幕幕，我至今还难以忘却。高傲的奉承小人（阿姨），呆板的听话儿子（小孩）。在那个阿姨身上，我明白了所谓的两面人的含义，那种人是最可恨、最可耻的，那种人是中华人民的耻辱，我发誓以后我绝对不会去当那种人的。

800字太少了吧。你可以写下桅杆在风力作用下的受力分析。

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你就交一篇关于拓扑学的文章吧！　　以下是资料，自己挑挑拣拣点有用的吧！我就不帮你了，　　（飘走~~~~）　　拓扑学　　拓扑定义　　是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。　　举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。　　简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。　　编辑本段拓扑性质　　拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。　　在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。换句话讲，就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。　　在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。　　应该指出，环面不具有这个性质。比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。　　直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。　　我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。　　拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在介绍。　　编辑本段拓扑发展　　拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。　　二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。　　因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。　　拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。　　拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。　　编辑本段发展简史　　拓扑学起初叫形势分析学，这是GW莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。L欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;CF高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。拓扑学这个词（中文是音译）是JB利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。这是萌芽阶段。　　1851年起，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。得出许多拓扑概念，　　组合拓扑学的奠基人是H庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，　　拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。这终于导致抽象空间的观念。这样，B黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。这是萌芽阶段。　　一般拓扑学 最早研究抽象空间的是M-R弗雷歇，在1906年引进了度量空间的概念。F豪斯多夫在《集论大纲》（1914）中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。L欧拉1736年解决了七桥问题，随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量化问题也得到了深入的研究。公理化的一般拓扑学晚近的发展可见一般拓扑学。　　欧氏空间中的点集的研究，例如，一直是拓扑学的重要部分，已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域，也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来，即问两个映射，以RH宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识，是问两个给定的映射是否同伦，在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究，习惯上也看成一般拓扑学的分支。　　代数拓扑学 LEJ布劳威尔在1910～1912年间提出了用单纯映射逼近连续映射的方法， 许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数υ-e+ƒ>则是）。成为引人瞩目的学科。紧接着，JW亚历山大1915年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连通性、紧性），　　随着抽象代数学的兴起，1925年左右AE诺特提议把组合拓扑学建立在群论的基础上，在她的影响下H霍普夫1928年定义了同调群。从此组合拓扑学逐步演变成利用抽象代数的方法研究拓扑问题的代数拓扑学。如维数、欧拉数，S艾伦伯格与NE斯廷罗德1945年以公理化的方式总结了当时的同调论，后写成《代数拓扑学基础》(1952)，对于代数拓扑学的传播、应用和进一步发展起了巨大的推动作用。他们把代数拓扑学的基本精神概括为：把拓扑问题转化为代数问题，通过计算来求解。同调群，以及在30年代引进的上同调环，都是从拓扑到代数的过渡（见同调论）。直到今天，三角形与圆形同胚；而直线与圆周不同胚，同调论（包括上同调）所提供的不变量仍是拓扑学中最易于计算的，因而也最常用的。不必加以区别。　　同伦论研究空间的以及映射的同伦分类。W赫维茨1935～1936年间引进了拓扑空间的n维同伦群，其元素是从n维球面到该空间的映射的同伦类，而且ƒ同它的逆映射ƒ-1:B→A都是连续的，一维同伦群恰是基本群。同伦群提供了从拓扑到代数的另一种过渡，确切的含义是同胚。其几何意义比同调群更明显， 前面所说的几何图形的连续变形，但是极难计算。同伦群的计算，特别是球面的同伦群的计算问题刺激了拓扑学的发展，产生了丰富多彩的理论和方法。1950年JP塞尔利用J勒雷为研究纤维丛的同调论而发展起来的谱序列这个代数工具，最简单的例子是欧氏空间。在同伦群的计算上取得突破，为其后拓扑学的突飞猛进开辟了道路。　　从50年代末在代数几何学和微分拓扑学的影响下产生了K 理论，解决了关于流形的一系列拓扑问题开始，出现了好几种广义同调论。它们都是从拓扑到代数的过渡，就是一个广义的几何图形。尽管几何意义各不相同，如物理学中一个系统的所有可能的状态组成所谓状态空间，代数性质却都与同调或上同调十分相像，是代数拓扑学的有力武器。从理论上也弄清了，同调论（普通的和广义的）本质上是同伦论的一部分。　　从微分拓扑学到几何拓扑学 微分拓扑学是研究微分流形与微分映射的拓扑学。这些性质与长度、角度无关，J-L拉格朗日、B黎曼、H庞加莱早就做过微分流形的研究；随着代数拓扑学和微分几何学的进步， 以上这些例子启示了：几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。在30年代重新兴起。H惠特尼1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间作为光滑的子流形。为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与上同调（示性类）和同伦问题联系起来了。　　1953年R托姆的协边理论(见微分拓扑学)开创了微分拓扑学与代数拓扑学并肩跃进的局面，许多困难的微分拓扑问题被化成代数拓扑问题而得到解决，同时也刺激了代数拓扑学的进一步发展。从动点指向其像点的向量转动的圈数。1956年JW米尔诺发现七维球面上除了通常的微分结构之外，还有不同寻常的微分结构。每个不动点也有个“指数”，随后，不能赋以任何微分结构的流形又被人构作出来，这些都显示拓扑流形、微分流形以及介于其间的分段线性流形这三个范畴有巨大的差别，微分拓扑学也从此被公认为一个独立的拓扑学分支。1960年S斯梅尔证明了五维以上微分流形的庞加莱猜想。JW米尔诺等人发展了处理微分流形的基本方法——剜补术，使五维以上流形的分类问题亦逐步趋向代数化。　　近些年来，有关流形的研究中，几何的课题、几何的方法取得不少进展。突出的领域如流形的上述三大范畴之间的关系以及三维、四维流形的分类。80年代初的重大成果有：证明了四维庞加莱猜想，发现四维欧氏空间竟还有不同寻常的微分结构。这种种研究，通常泛称几何拓扑学，以强调其几何色彩，而环面上却可以造出没有奇点的向量场。区别于代数味很重的同伦论。　　拓扑学与其他学科的关系 连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。　　拓扑学与微分几何学有着血缘关系， target="_blank">向量场问题 考虑光滑曲面上的连续的切向量场，它们在不同的层次上研究流形的性质。就看其中是否不含有这两个图之一。为了研究黎曼流形上的测地线，一个网络是否能嵌入平面，HM莫尔斯在20世纪20年代建立了非退化临界点理论，把流形上光滑函数的临界点的指数与流形本身的贝蒂数联系起来，并发展成大范围变分法。莫尔斯理论后来又用于拓扑学中，证明了典型群的同伦群的博特周期性(这是K 理论的基石)，并启示了处理微分流形的剜补术。微分流形、纤维丛、示性类给É嘉当的整体微分几何学提供了合适的理论框架，也从中获取了强大的动力和丰富的课题。G皮亚诺在1890年竟造出一条这样的“曲线”，陈省身在40年代引进了“陈示性类”，就不但对微分几何学影响深远，随一个参数（时间）连续变化的动点所描出的轨迹就是曲线。对拓扑学也十分重要。朴素的观念是点动成线，纤维丛理论和联络论一起为理论物理学中杨－米尔斯规范场论（见杨－米尔斯理论）提供了现成的数学框架， 维数问题 ">维数问题 什么是曲线？犹如20世纪初黎曼几何学对于A爱因斯坦广义相对论的作用。规范场的研究又促进了四维的微分拓扑学出人意料的进展。　　拓扑学对于分析学的现代发展起了极大的推动作用。随着科学技术的发展，需要研究各式各样的非线性现象，分析学更多地求助于拓扑学。要问一个结能否解开（即能否变形成平放的圆圈），3O年代J勒雷和JP绍德尔把LEJ布劳威尔的不动点定理和映射度理论推广到巴拿赫空间形成了拓扑度理论。后者以及前述的临界点理论，纽结问题 ">纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线，都已成为研究非线性偏微分方程的标准的工具。所以这颜色数也是曲面在连续变形下不变的性质。微分拓扑学的进步，促进了分析学向流形上的分析学(又称大范围分析学)发展。在托姆的影响下，然后随意扭曲，微分映射的结构稳定性理论和奇点理论已发展成为重要的分支学科。S斯梅尔在60年代初开始的微分动力系统的理论，要七色才够。就是流形上的常微分方程论。MF阿蒂亚等人60年代初创立了微分流形上的椭圆型算子理论。著名的阿蒂亚－辛格指标定理把算子的解析指标与流形的示性类联系起来，是分析学与拓扑学结合的范例。现代泛函分析的算子代数已与K 理论、指标理论、叶状结构密切相关。在多复变函数论方面，来自代数拓扑的层论已经成为基本工具。　　拓扑学的需要大大刺激了抽象代数学的发展，并且形成了两个新的代数学分支：同调代数与代数K 理论。 四色问题 在平面或球面上绘制地图，代数几何学从50年代以来已经完全改观。把曲面变形成多面体后的欧拉数υ-e+ƒ在其中起着关键的作用（见%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%Ehtml target=_blank>闭曲面的分类)托姆的协边论直接促使代数簇的黎曼－罗赫定理的产生，后者又促使拓扑K 理论的产生。现代代数几何学已完全使用上同调的语言，在连续变形下封闭曲面有多少种不同类型？代数数论与代数群也在此基础上取得许多重大成果，例如有关不定方程整数解数目估计的韦伊猜想和莫德尔猜想的证明（见代数数论）。　　范畴与函子的观念，是在概括代数拓扑的方法论时形成的。范畴论已深入数学基础、代数几何学等分支（见范畴）；对拓扑学本身也有影响，通俗的说法是框形里有个洞。如拓扑斯的观念大大拓广了经典的拓扑空间观念。凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，　　在经济学方面，这说明，J冯·诺伊曼首先把不动点定理用来证明均衡的存在性。在现代数理经济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学、微分拓扑学、大范围分析的工具。在系统理论、对策论、规划论、网络论中拓扑学也都有重要应用。　　托姆以微分拓扑学中微分映射的奇点理论为基础创立了突变理论，为从量变到质变的转化提供各种数学模式。在物理学、化学、生物学、语言学等方面已有不少应用"欧拉的多面体公式与曲面的分类 ">欧拉的多面体公式与曲面的分欧拉发现，　　除了通过各数学分支的间接的影响外，拓扑学的概念和方法对物理学(如液晶结构缺陷的分类)、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。　　拓扑学与各数学领域、各科学领域之间的边缘性研究方兴未艾。

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