浅谈数学文化中的和合思想和合是我国传统文化的一个重要概念。“和”是平和、和谐、祥和、协调的意思。“合”是合作、对称、结合、统一的意思。和合思想认为,整个物质世界是一个和谐的整体,宇宙、自然、社会、精神各元素都处在一个和谐的优化结构中。而数学文化系统就是一个完美的和谐优化结构。数学文化中的数学发展史、数学哲学思想、数学方法、数学美育等重要内容蕴含着丰富的和合思想。其具体体现是整体系统性、平衡稳定性、有序对称性。一、整体系统性数学公理系统的相容性数学的公理化系统具有相容性、独立性和完备性。在这三项基本要求中,最主要的是相容性。相容性就是不矛盾性或和谐性,是指各公理不能互相抵触,它们推导的真命题也不能互相矛盾,公理系统的相容性是数学系统和谐的基础,也是基本要求。除了数学各分支自身要形成相容的公理系统之外,数学还要求各分支之间互相协调,不能互相抵触。有的系统之间,还形成密切的同构关系,在不同的数学系统之间,相容性是一致的。例如欧氏几何与非欧几何(罗式几何、黎曼几何)中平行公理是互否的命题,可在欧氏几何中构造非欧几何的模型,所以可以这样说只要欧氏几何无矛盾,那么非欧几何也是无矛盾的。数学运算系统的完整性数学的运算法则、运算公式、运算结论都是完整的、准确的。特别是数学的运算语言,它把文字语言、符号语言、图像语言完全融合到一个统一体中,互相印证、互相诠释、互相转化,达到了天衣无缝的完美。当扩充数系时,要建立新的理论和运算拓广原有运算和关系时,要尽量保持原有的运算、关系的一致性,如有不一致,必须作一规定,使新系统与原有系统和谐。数学推理系统的严密性在我们日常的数学活动中,常常用到反证法,在这种方法中,往往不仅要用到系统的公理和定理,而且要用到其他分支的知识。在整个推理过程中要和谐。例如古希腊三大著名问题之一化圆为方,即作一个与给定圆面积相等的正方形。要证明用圆规和直尺不能作出等面积的正方形就需要用到数“=”的超越性。在数学上的等式、解析式中出现“=”是和谐的体现。二、平衡稳定性“和合思想”认为天地自然万物处于平衡、和谐、有序的状态。各个事物、要素互依、互涵、互补,处于全面的、立体的相互作用的过程之中。而数学的平衡稳定性很好地体现了和合思想。数学发展的平衡稳定数学科学与其它学科相比,一个重要的特点就是历史的累积性、发展的平衡稳定性。也就是说重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的,他们不仅不会推翻原有的理论,而且总是包容原有的理论。比如天文学的“地心说”被“日心说”所代替,物理学中关于光的“粒子说”被“波动说”代替,化学中的“燃素说”被“氧化说”代替等等,而数学从来没有发生过这样的情况。这正如一位数学史家H?汉科尔所说:“在大多数学科里,一代人的建筑为下一代人所拆毁,一个人的创造被另一个人所破坏,唯独数学,每一代人都在古老的大厦上添加一层楼”。数学的这一平衡稳定性,正是数学学科能不断焕发出无限活力和强大生命力根源。数学学习过程的平衡稳定人们对知识的学习过程都含有一定的认知结构。而学生学习数学知识的过程不外乎“同化—顺应—平衡”这样一个相对稳定的过程。同化就是把新的知识纳入已有的认知结构,使原有的知识体系不断得到充实丰富。顺应就是新的知识不能纳入原有的认知结构,就要对原有认知结构进行改造和提高,从而建立新的认知结构。平衡就是同化和顺应后,都有一个巩固阶段,在这一阶段对知识的理解和内化是平衡稳定的。人们对数学知识的学习正式在“同化—顺应—平衡”这样一个循环往复的过程中发展的。数学方法的平衡稳定数学方法是认识数学客体过程中某种有规律的程序和手段,使理论用于实践的中介,各种方法都和谐地存在在数学这个共同体中。比如常用的数学思维方法:观察、分析、综合、抽象、猜想、类比、归纳、演绎;还有常用的数学解题方法:比较方法、结构方法、模型方法、构造方法、化归方法、映射反演法、几何变换法、公理化方法等。这些方法,无论是在初等数学中,还是在高等数学中;无论是在几何学中,还是在代数学中,都在广泛的运用,始终处于平衡稳定状态中,不会因时间、空间、以及学科的变化发生变异。几何变换思想和方法,就是用运动和变化的观点去研究几何对象及其相互关系,探讨图形运动过程中不变的关系、不变量和变化关系、变化量,从中找出规律。在解题过程中,对图形有关部分进行变换,化不规则为规则,化一般为特殊,化不利条件为有利条件。三、有序对称性“凡物必有合”,“合”就是对称、结合、统一。整个世界不仅和谐合理,而且阴阳和合的对称。数学的有序对称美在初等数学中研究的对称性,可以描述的是一个图形、一个式子各个部分的关系,也可以描述两个图形、式子的关系。图形、式子的变换显示着数学中的对称美。图形对称可称为狭义对称,例如中心对称图形、轴对称图形、旋转对称图形是图形位置的一种对称。显示一种对称的美。在许多概念中和方法、命题、公式、法则中也存在对称性,也可称为一种对称。在数学中,许多概念都是一正一反,相辅相成,成对出现的。例如数学运算中加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等,都可认为是一阴一阳的对称;减一个负数可变成加一个正数,除可以变成乘的运算,所以说它们之间又是统一有序的。在二元运算中通过交换律、结合律、分配律来反映其对称性。数学解题过程的有序结构从文化的角度审视数学解题过程它是数学策略、数学逻辑、数学方法、数学知识、数学技能与程式化的有机结合,是一个有序结构的统一体。比如解方程过程的基本步骤是:去分母、去括号、移项合并、两边同除以未知数的系数。这是一个和谐的有序结构。破坏了这个有序结构,就会发生解题障碍。从思维过程看,它是“观察———联想———转化”这样一个有序过程。观察是联想的基础,在观察中认识所给题目的特征;联想是转化的桥梁,在联想中寻找解题途径;转化是解题的手段,在转化中确定解题方案,从而最终解决问题。数学无论是从整体和局部,形式和内容,还是结果和过程都体现着和合思想的精神和内涵。我们用“和合思想”重新认识数学,发挥数学文化在教学中的教育功能,就能有效地培养学生科学素养和文化素养。参考文献:[1]齐民友数学文化[M]长沙:湖南教育出版社,[2]张维忠数学文化与数学课程[M]上海:上海教育出版社,[3]郑毓信数学文化学[M]成都:四川教育出版社,[4]李文林数学史教程[M]高教出版社
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数学文化 人类共同的精神财富——数学,数学是人类智慧的结晶，它表达了人类思维中生动活泼的意念,表达了人类对客观世界深入细致的思考,以及人类追求完美和谐的愿望。 早在古希腊时代,哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说:“几何学可以将灵魂引向真理,并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真,也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己,使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时,也认识人类自己。在这个认识过程中,数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的,它是现代科学技术的语言和工具,它的成果为众多学科所共识,积极推动着这些学科理论的建立和深化,它的思维方式和方法渗透到各学科,为这些学科的发展增添了活力。数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念,作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰,推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊,整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然,任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨,但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此,数学方法成为人们一种典范的认识方法,帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来,人类的思想发生了巨大变化,人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中,数学思想和方法却一直延续发展了几千年,表现出了强大的生命力。数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内,人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律,以此来描述物体多种多样的运动,解释各种现象,同时借助于数学探求事物的机理,预测事物未来的发展变化,探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算,在数学思想方法的启发和帮助下,解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信,世界的合理性可以用数学来描述。数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式,而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论,记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机,危机似乎动摇了数学的基础,而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础,使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中,也形成了像数理逻辑这样的数学新分支,推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性,这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样,其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维,影响一个民族文化进步。解析几何和微积分的创立,使变量成为数学的研究对象。数学思想、内容、方法上的革新,使数学的面貌焕然一新。而数学研究运动、变化的思想和方法,以及数学所取得的进展,对打破科学研究中形而上学的枷锁,把辩证法引入到科学的思维中,起到了推波助澜的作用。今天,恐怕没有一个有文化的人不懂得“增长速度”,“变化率”的含义,人们己经习惯从运动和变化的观点来研究事物。数学促进了几乎所有学科的发展,直接或间接地影响了每一个有文化的人的思维。影响人类的精神生活,提高和丰富了人类的整个精神文明水平。(2)数学对人的文化素养影响面对飞跃发展的科学技术,人必须具备必要的数学知识和技能,以训练心智、陶冶情操,更好的理解周围的世界,从而更客观的认识人类社会。例如“今年前六个月的居民存款比去年同期增速下降1个百分点。”“今天降水概率是50%”。“信息高速公路”、“数字信息”等他们的含义都是什么?数学对人的文化素质的影响,至少表现在如下几个方面:有利于培养严谨的思维方式。尽管大多数人将来不会成为数学家,但是条理性、逻辑性作为一种文化素质对人们将来从事任何一种职业都是需要的。同时,数学思维能力的培养对人的智力发展起着关键的作用。如圆是一个完美的图形,可用方程来表示,我们可以从这个方程中找出圆的所有美妙的性质,进一步还可以用方程来表示球,那么我们为什么不考虑下列方程以及。仅仅靠类比就使我们从三维空间进入了高维空间,从有形进入了无形,从现实进入了虚拟世界。有利于培养人的创新精神。数学是人类理性文明高度发展的结晶,又是人类创新的锐利工具。无论数学知识的应用或是数学知识的发展,都需要研究新问题,根据实际情况做出恰如其分的分析,并由此找到解决问题的途径。这就体现出人的巨大创造力。有利于培养科学的审美观。人对美的理解各不相同,但总之美和完善、完美、和谐、秩序……等相联系。而数学本身体现出的简洁美(抽象美、符号美、统一美等)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异一,数学文化的存在价值在即将公布的高中数学课程标准中,数学文化是一个单独的板块,给予了特别的重视。许多老师会问为什么要这样做?一个重要的原因是,20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向,并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化,使人错误地感到数学只是少数天才脑子里想象出来的“自由创造物”,数学的发展无须社会的推动,其真理性无须实践的检验,当然,数学的进步也无须人类文化的哺育。于是,西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特(White)的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因(Kline)的《古今数学思想》、《西方文化中的数学》、《数学:确定性的丧失》相继问世,力图营造数学文化的人文色彩。国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼,她和邓东皋等合编的《数学与文化》,汇集了一些数学名家的有关论述,也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》,主要从非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值,特别指出了数学思维的文化意义。郑毓信等出版的专著《数学文化学》,特点是用社会建构主义的哲学观,强调“数学共同体”产生的文化效应。以上的著作以及许多的论文,都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来,重点是分析数学文明史,充分揭示数学的文化内涵,肯定数学作为文化存在的价值。二,数学:一种思想方法数学是研究量的科学。它研究客观对象量的变化、关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。这些表现方式主要有:提供数量分析和计算工具;提供推理工具;建立数学模型。任何一种数学方法的具体运用,首先必须将研究对象数量化,进行数量分析、测量和计算。毛泽东同志曾指出:“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面,要有基本的数量的分析。任何质量都表现为一定的数量,没有数量也就没有质量。”(注:《毛泽东选集》第4卷第1443页,人民出版社1990年版。)例如太阳系第八大行星——海王星的发现,就是由亚当斯(J C Adams)和勒维烈(U J Leverrier)运用万有引力定律,通过复杂的数量分析和计算,在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。数学作为推理工具的作用是巨大的。特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界,推理更有其独到的功效,例如正电子的预言,就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。值得指出的是,数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法,已经成为应用数学最本质的思想方法之一。模型这一概念在数学上已变得如此重要,以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。怀特海(A N Whitehead )认为:“模式具有重要性的看法和文明一样古老……社会组织的结合力也依赖于行为模式的保持;文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)并进一步指出:“数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术。”(注:林夏水主编《数学哲学译文集》第350页,知识出版社1986年版。)物理学家博尔茨曼(LE Boltzmann)认为:“模型,无论是物理的还是数学的,无论是几何的还是统计的,已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。”这一观点目前不仅流行于自然科学界,还遍布于社会科学界。为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型,是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。在欧洲,在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动,雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。在美国,社会科学自夸有更坚实、定量的东西,这通常也是用数学模型来表示的。从模型的观点看,数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”,那么,数学概念的本质也在发生嬗变。数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系,其涵盖的科学对象也必然随之增加。数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标,即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。在某些框架下,利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。数学中有一个分支叫应用数学,主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。如对客观事物的必然现象,人们用确定性模型去描述,而对或然现象,人们建立了随机性模型。模糊数学被用于刻画弗晰现象。而各种突变现象,如地震、洪灾等,则可以由突变理论给出数学模型。三,数学:理性的艺术通常人们认为,艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。两者一个处于高度理性化的巅峰,另一个居于情感世界的中心;一个是科学(自然科学)的典范,另一个是美学构筑的杰作。然而,在种种表面无关甚至完全不同的现象背后,隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。数学与艺术确实有许多相通和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语言来表达内容。难怪有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。事实上,由于数学(特别是现代数学)的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”,因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。对此,我们还可做出如下进一步的分析。艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。艺术与数学作为人类文明发展的产物,是人类认识世界的一种有力手段。在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。尽管艺术家与数学家使用着不同的工具,有着不同的方式,但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果,都是在其自身价值的弘扬中,不断地实现着对世界图式的有力刻画。这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上,审美地掌握世界。艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。艺术与数学在描绘世界图式的过程中,还同时发展并完善着自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。其共同特征有:(1)跨文化性。艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。(2)整体性。艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。(3 )简约性。它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩。(4 )象征性。艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的感受,而意义则在于把注意力引向思维,升迁为理念,成为表现人类内心意图的方式。(5)形式化。在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。艺术与数学具有普适的精神价值。有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。艺术与数学同时具备这三种价值,这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。概括起来,其共同的特点有:(1)自律性。数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的;艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。(2)超越性。它们可以超越时空,显示出永恒。在艺术与数学的价值超越过程中,现实被扩张、被延伸。人被重新塑造,赋予理想。艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。(3)非功利性。艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显著特征之一。(4)多样化、物化与泛化。在现代技术与商业化的冲击下,艺术与数学的价值也开始发生嬗变,出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。在人类思维的全谱系中,艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。特别是真正的艺术品和数学创造,一般都不是某种单一思维形式的产物,而是多种思维形式综合作用的结果。人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔,并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体,呈现出整体多样性的统一。人类思维谱系不是线性的,而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。当我们想要探索人类思维的奥秘时,艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材四,数学韵味——数学的美说到数学美,人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割;雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何;数学皇冠上的明珠“哥德巴赫猜想”……数学美可以分为形式美和内在美。数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美,数学中的对称美反映的是自然界的和谐性,在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美,数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。数学的内在美有数学的和谐美,数量的和谐,空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美,严谨美是数学独特的内在美,我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密,数学定义准确揭示概念的本质属性,数学结构系统的协调完备等等。总之,数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的,数学是一个五彩缤纷的美的世界。美(有限美、神秘美等)会给学生以美的熏陶。数学所揭示的规律会加深学生对美的理解,而学习数学的过程也会使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美。数学精神是一种理性精神,对完善人的精神品格有着不可估量的作用,主要体现在严谨求实、理智自率、直着求真、开拓创新等方面,通过解题实践既巩固了知识,培养了能力,同时也发展了坚持公正、终于科学、一丝不苟、不懈探索的优良品质,这都是造就人不断追求进取的品质所必备的前提。
着名科学家爱因斯坦指出:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已,而提出新的问题、新的可能性,从新的角度去看待问题,却需要有创造性的想象力,而且标志着科学的真正进步。”从中我们可以认识到,要培养学生提出问题的能力,首先要从培养学生的问题意识入手。在高等数学教学活动中,只有使学生意识到问题的存在,才能激发他们学习中思维的火花,学生的问题意识越强烈,他们的思维就越活跃、越深刻、越富有创造性。因此,随着课程改革的不断深入,创设数学情境以及让学生在生动具体的情境中学习数学,这一教学理念已经被广大教师接受和认可,并且在教学实践中加以应用。可以说,情境创设已成为高等数学教学的一个焦点。在高等数学的教学中我们知道很多同学反映数学单调、枯燥、不好学,实际上,情境创设的好,能吸引学生积极参与和主动学习,让他们从数学中找到无穷的乐趣。因为情境创设强调培养学生的积极性与兴趣,提倡让学生通过观察、不断积累丰富的表象,让学生在实践感受中逐步认识知识,为学好数学、发展智力打下基础。 在高等数学课堂创设数学问题情境的方法教学中,要使学生能提出问题,就要求教师必须为学生创设一个良好的数学问题情境来启发学生思考,使学生在良好的心理环境和认知环境中产生对数学学习的需要,激发起学习探究的热情,调动起参与学习的兴趣。好的数学问题情境应遵循以下原则。 1 创设数学问题情境的原则 1符合学生最近发展区的原则 维果斯基的“最近发展区理论”,认为学生的发展水平有两种,一种是学生的现有水平,另一种是学生可能的发展水平。两者之间的差距就是最近发展区。作为一名高等数学教师,应着眼于学生的最近发展区,在对教材深刻理解的基础上,创设与学生原有的知识背景相联系,贴近学生的年龄特点和认知水平的数学问题情境,以调动学生的积极性,促使学生去自主探讨数学知识,发挥其潜能。 在高等数学教学中,数学问题情境还要根据具体的教学内容和学生的身心发展需要来设置,教师在以原有的知识为基础之上,以新知识为目标,充分利用数学问题情境活跃课堂气氛,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习主动性和创造性,进而促进学生智力和非智力因素的发展。数学问题情境的创设,必须符合学生的心智水平,以问题适度为原则,问题太深或太浅都不利于学生创造性水平的发挥。 2遵循启发诱导的原则 在高等数学教学中,数学问题情境的创设要符合启发诱导原则,启发诱导原则是人们根据认识过程的规律和事物发展的内因和外因的辩证关系提出的。教师要根据学生的实际情况,在与教材相结合的基础上利用通俗形象、生动具体的事例,提出对学生思维起到启发性作用的数学问题,激发学生自主探索新知识的强烈愿望,激活学生的内在原动力,使学生在教师的启发诱导下,充分发挥主观能动性,积极主动的参加到数学情境问题的探索过程中。 在高等数学教学过程中,教师要善于创设具有启发诱导性的数学问题情境,激发学生的学习兴趣和好奇心,使学生在教师所创设的数学问题情境中自主的学习,积极主动的探索数学知识的形成过程,进而把书本知识转化为自己的知识,真正做到寓学于乐。 3遵循理论联系实际的原则 大学生学习数学知识的最终目的是应用于实际,数学知识来源也生活,数学知识也应该应用于生活。在高等数学教学中,教师要创设真实有效的数学问题情境,引导学生利用数学知识去分析问题、解决生活中的实际问题,使数学问题生活化,真正做到理论与实践相联系。于此同时,学生在具体的数学问题情境中去学习数学知识,带着需要去解决实际问题,这样不仅可以提高学生学习的主动性和积极性,而且可以使他们更好的接受所要学习的新知识,让理论知识的学习更加深刻。 一个好的问题情境要遵循以上的原则,那我们在遵循以上原则的基础上,应用什么方式来创设情境呢?下面仅就自己在高等数学教学中,初步运用过的几种情景创设的方式作简要的探讨。 2 创设数学问题情境的方式 1创设问题悬念情景 悬念作为一种学习心理机制,是由学生对所接触的对象感到疑惑不解,而又想急于解决它从而产生的一种积极心理状态。它对大脑皮质有强烈而持续的刺激作用,使你一时对问题既猜不透、想不通,又甩不开、放不下。因此,悬念的设置,能激发学生的学习动机和兴趣,使思维活跃,丰富想象,追溯记忆,有利于培养学生克服困难的毅力。教师在课堂教学中,善于捕捉时机,恰当利用问题,创设悬念,可以触动学生探索新知识的心理,提高课堂教学效率。例如,在学习变上限函数的定积分■f(t)dt时,可以提出这样的问题让同学思考:① ■f(t)dt中自变量是什么?②对■f(t)dt其导数如何求? 对于前一个问题比较好回答,后一个问题在讲授中,我们可以先回忆一元复合数 y=(φ(x))的求导,在提醒同学y=(φ(x))可以看成y=■f(t)dt,u=Φ(x)的复合函数。关键处点明,同学们自然得出了结论。从而,我们可以看出在课堂教学中设置学生已经了解的原理作为提问的情境,可以启发大多数学生进行积极思维,调动同学们学习的积极性。 2创设类比情境 类比推理是根据两个研究对象具有某些相同或相似的属性,推出当一个对象尚有另外一种属性时,另一个对象也可能具有这一属性或类似的思想方法,即从对某事物的认识推到对相类似事物的认识。 高等数学中有许多概念具有相似的属性,对于这些概念的教学,教师可以先让学生研究已学过的概念的属性,然后创设类比发现的情境,引导学生去发现,尝试给新概念下定义。例如,在讲授多元函数的导数以二元函数z=f(x,y)的导数为例,我们可以和一元函数的导数联系起来,在讲授中可以先复习一下一元函数的求导,在求二元函数的导数的时候,把其中的一个自变量看作是常数,对另一个自变量求导的过程就和一元函数类似了。这样,新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建,使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,同时为概念的理解和进一步研究奠定基础。 3创设直观情境 根据抽象与具体相结合,可把抽象的理论直观化,不仅能丰富学生的感性认识,加深对理论的理解,且能使学生在观察、分析的过程中茅塞顿开,情绪高涨,从而达到培养学生的创造性思维的目的。如在讲解闭区间上连续函数性质中的零点定理时,单纯的讲解定理学生往往体会不深,定理的含义也理解不透彻,这时教师可以举身边常见的例子加以讲解,比如我们知道冬天气温常常零摄氏度以下,到了春天气温渐渐升到零摄氏度以上,那么气温由零摄氏度下升到零摄氏度上,中间肯定要经过一点零摄氏度,这个零摄氏度就是我们所说的零点。 4创设变式情境 所谓变式情境就是利用变换命题,变换图形等方式激起学生学习的兴趣和欲望,以触动学生探索新知识的心理,提高课堂教学效率。如在讲授中值定理时,在学习完罗尔定理后,教师可以进一步指出罗尔定理的三个条件是比较苛刻的,它使罗尔定理的应用受到了限制,如果取消“区间端点函数值相等”这个条件,那么在曲线上是否依然存在一点,使得经过这点曲线的切线仍然平行与两个端点的连线。变化一下图形,可以很容易得到结论,那么这个结论就是拉格朗日中值定理。进一步地如果有两个函数都满足拉格朗日中值定理,就可以得到两个等式,那么这两个等式的比值就是柯西中值定理。这样经过问题的变换一步步地引出要讲授的内容,学生就可以很容易地接受新知识。 上述创设教学情境的方法不是孤立的,而是相互交融的。教师应根据具体情况和条件,紧紧围绕住教学中心创设适合于学生思想实际内容健康有益的问题,而又富有感染力的教学情境。同时,要使学生在心灵与情境交融之中愉快地探索,深刻地理解,牢固地掌握所学的数学知识。 当然,在高等数学教学中创设情境的方法还有很多,但无论设计什么样的情境,都应从学生的生活经验和已有的知识背景出发,以激发学生好奇心,引起学生学习兴趣为目标,要自然、合情合理,这样才能使学生学习数学的兴趣和自信心大增,学生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力得到提高。
数学源于生活、根植于生活。数学教学就要从学生的生活经验和已有的知识点出发，联系生活讲数学，把生活经验数学化，数学问题生活化。激发学生学习数学的兴趣，让学生深刻体会到生活离不开数学，数学是解决生活问题的钥匙，从而增强学习数学的趣味性。 当我打开一年级的数学课本时，给我的印象好像一本童话书一样漂亮，每一课的内容，都有一个场景故事表现出来，把数学知识融入到了学生非常熟悉的生活中，与学生身边的生活联系较为密切。刚入学的一年级学生，大部分都受到学前教育，在生活中也学到一些与数学有关的生活知识，所以他们对数学并不是一无所知。我在第一单元实际数学教学中，尝试如何将学生已有的生活经验引导学生学习认数，取得了较好的效果。一、培养学生主动学习的愿望，让学生体会到身边有数学数学教学中，要善于引导学生观察生活中的实际问题，感受数学与生活的密切联系。在学习第一单元《快乐的校园》之前，我先带领学生熟悉美丽如画的校园和参与各种课内外活动，让学生体验感受学校生活的丰富多彩，从尔喜欢即将开始的校园生活。教授信息窗2《老鹰捉小鸡》这一课时，我把学生领到操场这个“大课堂”，实地做游戏组织教学活动。通过学生非常熟悉喜爱的“老鹰捉小鸡”的游戏，来学习1—10数的认识。在游戏中让学生数一数“有几个小朋友参加游戏？”“男同学有几人？”“女同学有几人？”等等，在数扎长辫女孩“排第几”的过程中感知数的另一个含义——“序数”。整节课，学生们“玩”的很开心，“大课堂”气氛很活跃，改变了以往枯燥乏味的被动式课堂，每一位学生都积极主动的参与到游戏学习中去，“学习”热情很高。学生在不知不觉中圆满完成了整节课的学习任务。这样的数学课堂，让学生深切体会到原来数学就在自己身边，身边就有数学，而且离得很近，使学生对数学逐渐产生亲切感，从而培养学生主动学习的愿望。二、发现生活中的数学问题，借助生活经验，学会探索解决数学问题学生的学前数学知识，生活中的数学常识，经验的建立，是依赖于实际生活实践，是学生看得见，摸得着，听的到的现实。生活中的数学问题具有形象性和启发性，它能唤醒学生已有的生活经验增强学习动机和信心，有助于引导学生进入数学情境，也有利于学生思维发展。教师要善于挖掘数学内容中的生活画面，让数学贴近生活，在组织学生活动中，引导学生讨论解决数学问题：我在信息窗1《科技小组活动》的教学中，学生在解决红点标示的问题“天上有几架飞机？”时，引导学生去看一看数一数，让学生充分利用情境图中的信息体会1－10各数的意义，再联系生活，广泛选取学生身边生活中非常熟悉的问题，进一步体会数的意义。如“我们的教室有几扇窗？几盏灯？教室门前有几棵树？”“你家里有几口人？你有几只铅笔……”等等。在教学中我注意选择学生身边的感兴趣的事物，提出数学问题，为学生在生活中寻找探索新知识的依托，使学生学会借助生活经验思考探索问题。三、有意识创设活跃的学习氛围和生动有趣的学习情境“好玩”是孩子的天性，托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的学习兴趣。”兴趣是人对客观事物产生的一种积极的认知倾向。怎样才能让孩子在玩中获得知识呢？我针对每课不同的学习内容，安排了很多不同的游戏、故事……在第一单元《快乐的校园－10以内数的认识》中，我带学生到操场上做他们非常熟悉、喜欢的“拔河、老鹰捉小鸡、小小运动会”等等 ，让他们边玩边数数“拔河比赛，左边有几个小朋友？右边呢？运动会上，6号运动员排在第几？第1名是几号运动员？等等……”使学生在活跃的学习氛围和有趣、喜爱的“玩”中学会了1－10各数的认识。四、培养孩子数学的生活实践能力许多孩子在上学前，就会做100以内的加减，数100以内的数甚至更多，但是如果把它们拿到具体的生活中就不是那么尽如人意，一般5岁以后数学的思维能力才开始蒙发，上一年级的学生部分只能机械的数数，但对数的意义就不一定清楚，因此，就要加强数学与生活的联系，让学生在自己的身边熟悉的环境中寻找数。如3个人，1枝铅笔，5朵花等等，在生活中慢慢建立数的概念，认识数的含义。使学生在生活实践中得到锻炼，把数学真正融入现实生活中更好的为生活服务，同时用生活经验更好的为数学学习服务打好了结实的基础。 总之，数学教学让学生的生活经验走进数学课堂，为学生提供了亲身体验和动手操作的机会，指导学生更好的学习数学。在这方面，我受益良多，通过上学期的教学实践活动，我们班的学生学习数学的兴趣非常浓厚，改变了以往数学学习的枯燥乏味，学生在思想上有了从“要我学”-----到“我要学和我喜欢学”质的飞跃，学生变的喜欢学习数学。我的教学工作也变很顺利，学生中没有了见了数学就头疼的“老大难”，工作效率有了很大的提高，学生的学习成绩有明显的进步。新《课标》也给我们明确提出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动。使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学角度去观察事物，思考问题。激发对学习数学的兴趣，以及学好数学的愿望，树立学好数学的自信心。
这个我也不知道，你问一下你的老师或者你是你的同学找百度搜一下。
数学与生活 自从懂事以来，数学就已进入了我们的生活，数学无处不在影响着我们的生活，指引着智慧的方向，陪伴我们度过学习与成长的各个阶段。 数学是一门给人智慧、让人聪明的学科，在数学的世界中，我们可以探索以前所不知道的神秘，在这个过程中我们变得睿智、变得聪明。 由于以前选择了文科，所以到大学才接触到危机分的知识，也开始了对微积分的探索，现在可以说是略知一、二了，在此期间间间的了解到微积分的美好，以及新引力的强大。但学习微积分的过程是困难与艰辛的，与此同时，我也了解到——数学是一种寻求众所周知的公理法思想的方法，这种方法包括明确的表述出将要讨论的概念的含义，以及准确的表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。同时数学是一门需要创造性的科学，而数学的这些创造性的动力往往来自于生活。反过来，数学的这些创造性地成果往往又作用于生活的各个方面。例如，商业和金融事务、航海和历法的计算、桥梁、水坝、教堂和供电的建造、作战武器和工事的设计，以及许多人类的需要。与此同时，数学又能对这些问题给出最完满的解决。在我们高速发展的社会中，数学被当作普遍工具的事实更是毋庸置疑的。 在我们的日常生活中，微积分确确实实的存在着，只是我们缺少善于发现的精神而已。比如说，我们在养花，而花瓶中水过多了，我们这时就要倒出部分水，这是上活中的公式就产生了，这个问题是：我们要将瓶子倾斜多少度时才能降水倒出一半来？这是微积分就派上用场了。 假设花瓶的纵截面是抛物线 Y=ax^2(a>0) 首先，先算出瓶子直立水满时的体积用一个积分就可以了，结果等于V=πh^2/(2a);第二步，假设倾斜角为α，正好倒掉了一半的水，重新建立坐标系，令此时瓶的对称轴为y轴，垂直于瓶的对称轴的射线为x轴，然后将坐标系还原为常规正立的图形，此时瓶里水的横截面图像为抛物线和水面所在直线的公共部分，注意此时水面所在直线与x轴的倾角是刚好为题目所提到的倾斜角α(如原图所示，倾斜后的水平面此时与x轴平行，因此水面与瓶的对称轴的夹角为90-α，也即在新建坐标系下，水面所在直线与y轴的夹角也为90-α，因此它与x轴的夹角为α)。所以可以设该直线方程为y=tanα*x+b假设直线与抛物线的交点为A(x0,y0),B(sqrt(h/a),h))(左A,右B)(B点的纵坐标显然等于瓶子的高度h)，先利用B点坐标求出直线的截距b,然后联立直线与抛物线方程可以求的A点坐标；第三步，就是求此时瓶中水的体积，可以将图像分为两部分，一部分是直线y=y0与抛物线所交部分，第二部分是直线y=y0、直线y=tanα*x+b及抛物线y=ax^2（a>0)相交部分。第一部分体积为V1=∫π*(x^2)dy=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）;第二部分体积为V2=∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h);因此根据： V1+V2=V/2=π*h^2/(4a)=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）+∫π*((sqrt(y/a)-(y-b)/tanα)/2)^2dy(积分上下限为y0和h)可以解得所求α值。 这就是数学于生活紧密联系在一起了，如果数学不能和生活紧密联系在一起，那么数学将变得空洞无力。 著名数学家罗素曾说：“数学如果正确看待他，则具有……至高无上的美——正像雕像的美，是一种冷而严肃的美，这种每部石头和我们的天性的微弱的美，这些煤没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种精神上的喜悦，一种精神上的亢奋，一种高于人的意识的，这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到”这就表明伟大的人物因为有一双善于发现美的眼睛所以他看到了数学隐藏的魅力。除了创造性和发现，想象也是可以使数学在我们思想中得到升华的。 学了很久的数学了，明卖弄百数学的源远流长于高深莫测，他引领着前进的道路。Hankel，Hermann 说：数学沿着他自己的道路而无拘无束的前进着，这并不是因为他有什么不受法律约束之类的种种许可证，而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由无益的是数学在生活中独特而不可或缺，失去了数学科技水平将倒退。这不是耸人听闻，这是对数学这门使人精密学科的肯定，这是不可置否的。 数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学确实规律和假说的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张，然后等待数学的裁判。如果没有数学的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。（来自数学的文化） 数学是重要的，生活不能离开数学，国防发展与科技进步也不能离开数学。在遥远的古代中国是引领世界的，因为那时的勤劳人民已发现了数学算筹、《九章算术》……这都是历史留下来的论据。一个国家的强大离不开数学的精密计算。21世纪的今天中国已傲然屹立于世界民族之林，为了使国际地位不断提升，我们必须坚定的发展研究数学。
最好从课本上的某一习题入手，对其推广还是很有价值，三千字随便够，因为推广涉及到证明和举例。
数学与生活 自从懂事以来，数学就已进入了我们的生活，数学无处不在影响着我们的生活，指引着智慧的方向，陪伴我们度过学习与成长的各个阶段。数学是一门给人智慧、让人聪明的学科，在数学的世界中，我们可以探索以前所不知道的神秘，在这个过程中我们变得睿智、变得聪明。 由于以前选择了文科，所以到大学才接触到危机分的知识，也开始了对微积分的探索，现在可以说是略知一、二了，在此期间间间的了解到微积分的美好，以及新引力的强大。但学习微积分的过程是困难与艰辛的，与此同时，我也了解到——数学是一种寻求众所周知的公理法思想的方法，这种方法包括明确的表述出将要讨论的概念的含义，以及准确的表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。同时数学是一门需要创造性的科学，而数学的这些创造性的动力往往来自于生活。反过来，数学的这些创造性地成果往往又作用于生活的各个方面。例如，商业和金融事务、航海和历法的计算、桥梁、水坝、教堂和供电的建造、作战武器和工事的设计，以及许多人类的需要。与此同时，数学又能对这些问题给出最完满的解决。在我们高速发展的社会中，数学被当作普遍工具的事实更是毋庸置疑的。 在我们的日常生活中，微积分确确实实的存在着，只是我们缺少善于发现的精神而已。比如说，我们在养花，而花瓶中水过多了，我们这时就要倒出部分水，这是上活中的公式就产生了，这个问题是：我们要将瓶子倾斜多少度时才能降水倒出一半来？这是微积分就派上用场了。 假设花瓶的纵截面是抛物线 Y=ax^2(a>0) 首先，先算出瓶子直立水满时的体积用一个积分就可以了，结果等于V=πh^2/(2a)； 第二步，假设倾斜角为α，正好倒掉了一半的水，重新建立坐标系，令此时瓶的对称轴为y轴，垂直于瓶的对称轴的射线为x轴，然后将坐标系还原为常规正立的图形，此时瓶里水的横截面图像为抛物线和水面所在直线的公共部分，注意此时水面所在直线与x轴的倾角是刚好为题目所提到的倾斜角α（如原图所示，倾斜后的水平面此时与x轴平行，因此水面与瓶的对称轴的夹角为90-α，也即在新建坐标系下，水面所在直线与y轴的夹角也为90-α，因此它与x轴的夹角为α）。所以可以设该直线方程为 y=tanα*x+b 假设直线与抛物线的交点为A(x0,y0),B(sqrt(h/a),h））（左A，右B）(B点的纵坐标显然等于瓶子的高度h)，先利用B点坐标求出直线的截距b，然后联立直线与抛物线方程可以求的A点坐标；第三步，就是求此时瓶中水的体积，可以将图像分为两部分，一部分是直线y=y0与抛物线所交部分，第二部分是直线y=y0、直线y=tanα*x+b及抛物线y=ax^2(a>0)相交部分。第一部分体积为V1=∫π*（x^2）dy=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）； 第二部分体积为V2=∫π*（（sqrt(y/a)-(y-b)/tanα）/2)^2dy（积分上下限为y0和h）；因此根据： V1+V2=V/2=π*h^2/(4a)=∫π*y/ady（积分上下限为0和y0）+∫π*（（sqrt(y/a)-(y-b)/tanα）/2)^2dy（积分上下限为y0和h）可以解得所求α值。这就是数学于生活紧密联系在一起了，如果数学不能和生活紧密联系在一起，那么数学将变得空洞无力。 著名数学家罗素曾说：“数学如果正确看待他，则具有……至高无上的美——正像雕像的美，是一种冷而严肃的美，这种每部石头和我们的天性的微弱的美，这些煤没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种精神上的喜悦，一种精神上的亢奋，一种高于人的意识的，这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到”这就表明伟大的人物因为有一双善于发现美的眼睛所以他看到了数学隐藏的魅力。除了创造性和发现，想象也是可以使数学在我们思想中得到升华的。学了很久的数学了，明卖弄百数学的源远流长于高深莫测，他引领着前进的道路。Hankel,Hermann 说：数学沿着他自己的道路而无拘无束的前进着，这并不是因为他有什么不受法律约束之类的种种许可证，而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由无益的是数学在生活中独特而不可或缺，失去了数学科技水平将倒退。这不是耸人听闻，这是对数学这门使人精密学科的肯定，这是不可置否的。 数学不是规律的发现者，因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者，因为它不是假说。但数学确实规律和假说的裁判和主宰者，因为规律和假说都要向数学表明自己的主张，然后等待数学的裁判。如果没有数学的认可，则规律不能起作用，理论也不能解释。（来自数学的文化） 数学是重要的，生活不能离开数学，国防发展与科技进步也不能离开数学。在遥远的古代中国是引领世界的，因为那时的勤劳人民已发现了数学算筹、《九章算术》……这都是历史留下来的论据。一个国家的强大离不开数学的精密计算。21世纪的今天中国已傲然屹立于世界民族之林，为了使国际地位不断提升，我们必须坚定的发展研究数学。
高数学习应该按照这些套路来。课前有的同学喜欢预习，这点在初高中数学，非常有效，可是在面对高数的时候蒙圈了，因为根本看不懂，不过没关系，高数不用课前预习，因为你也看不懂，但是，上课一定要 认真的听讲，记得是认真的听讲，特别是认真听讲老师的推倒过程，这点是非常重要的，高数不仅仅要知道结果，重要的是过程。至于在课后，当然还是和普通的数学学习方法一样，及时的复习，复习当天的内容，特别是要做一定量的题目，理解消化和吸收。当然作业也是一项非常重要的事情，做作业一定要认真，虽然大学抄作业不丢人，因为还有不写作业的，但是，你如果是抄作业那还不如不写，建议认真完成高数的作业，因为实在太重要了。数学中的无穷以潜无穷和实无穷两种形式出现。在极限过程中，变量的变化是无止境的，属于潜无穷的形式。而极限值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是数列和函数的极限。数学分析以它为基础，建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论，初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。数学的计算性方面。在初等数学中甚至占了主导的地位。它在高等数学中的地位也是明显的，高等数学除了有很多理论性很强的学科之外，也有一大批计算性很强的学科，如微分方程、计算数学、统计学等。在高度抽象的理论装备下，这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。以上内容参考 百度百科-高等数学
牛顿、莱布尼茨和微积分微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。 牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。 牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。 莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发用的。 牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10 年，但论文的发表要晚 3 年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。 牛顿的“流数术” 数学史的另一次飞跃就是研究“形”的变化。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克?牛顿（1642~1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念 直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力不概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形――线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。 牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。 （1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。 （2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。 （3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。 牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。 牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。 莱布尼茨使微积分更加简洁和准确 而德国数学家莱布尼茨（GW Leibniz 1646~1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度――阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。 留给后人的思考 从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作《流数术和无穷极数》是1671年写成的，但因1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书1736年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。另外也有书中记载：牛顿于1687年7月，用拉丁文发表了他的巨著《自然哲学的数学原理》，在此文中提出了微积分的思想。他用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率，后来他把变量X称为流量，X的瞬时变化率称为流数，整个微积分学称为“流数学”，事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。最后还应当指出的是，牛顿的“流数术”，在概念上是不够清晰的，理论上也不够严密，在运算步骤中具有神秘的色彩，还没有形成无穷小及极限概念。牛顿和莱布尼茨的特殊功绩在于，他们站在更高的角度，分析和综合了前人的工作，将前人解决各种具体问题的特殊技巧，统一为两类普通的算法――微分与积分，并发现了微分和积分互为逆运算，建立了所谓的微积分基本定理（现今称为牛顿――莱布尼茨公式），从而完成了微积分发明中最关键的一步，并为其深入发展和广泛应用铺平了道路。由于受当时历史条件的限制，牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念比较模糊，因此引发了长期关于微积分的逻辑基础的争论和探讨。经过18、19世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。 不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后，历史上发生了优先权的争论，从而使数学家分为两派，欧洲大陆数学家两派，欧洲大陆的数学家，尤其是瑞士数学家雅科布?贝努利（1654~1705）和约翰?贝努利（1667~1748）兄弟支持莱布尼茨，而英国数学家捍卫牛顿，两派争吵激烈，甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。牛顿死后，经过调查核实，事实上，他们各自独立地创立了微积分。这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法，英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具，而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，并使微积分更加完善，在这100年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。 莱布尼兹 莱布尼兹 (1646-1716) 莱布尼兹是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 生平事迹莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。 20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。 始创微积分 17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表明了微积分基本 示的微积分运算法则。 然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。 1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。 莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。 莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。 丰硕的物理学成果 莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。 发明乘法计算机 德国人莱布尼兹发明了乘法计算机，他受中国易经八卦的影响最早提出二进 制运算法则。莱布尼兹对帕斯卡的加法机很感兴趣。于是，莱布尼兹也开始了对计算机的研究。1672年1月，莱布尼兹搞出了一个木制的机器模型，向英国皇家学会会员们做了演示。但这个模型只能说明原理，不能正常运行。 1674年，最后定型的那台机器，就是由奥利韦一人装配而成的。莱布尼兹的这台乘法机长约1米，宽30厘米，高25厘米。它由不动的计数器和可动的定位机构两部分组成。整个机器由一套齿轮系统来传动，它的重要部件是阶梯形轴，便于实现简单的乘除运算。莱布尼兹设计的样机，先后在巴黎、伦敦展出。由于他在计算设备上的出色成就，被选为英国皇家学会会员。 中西文化交流之倡导者 莱布尼兹对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼兹写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过。”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了。”在这里，莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。 由于莱布尼茨在牛顿完成其前两段工作之后曾访问巴黎（1672年）和伦敦（1673年），并且和了解牛顿微积分工作的科学家们通过信，因而被指责为“剽窃者”。这使他起而为自己的名誉辨护，因而使这场争论达到了相当激烈的地步。许多数学家都被牵扯了进来，直到使欧洲数学家分成两派，大陆的数学家们为莱布尼茨辩护，英国的数学家们则捍卫牛顿，以至长期对立，形成学术上的门户之见，达到双方停止了学术思想交流的程度，影响了此后一段时间的数学进展。在牛顿和莱布尼茨都已逝世之后进行的调查表明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但莱布尼茨也是微积分主要思想的独立创立者，他们都同样地接受了前辈数学家的启发，同样地作出了自己的独立贡献。在以前的科学史上我们已经看到，在以后的科学史上我们还将一再地看到这种同一发现在大致相同的时间被完全不同甚至互不相识的人们独立完成的现象。这种现象的大量出现，最好不过地说明：是科学的发展造就了杰出的科学家，而不是杰出科学家的个人天赋决定了科学的发展。
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可以写
我会
民族风情,我知道可以写成
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给你个提纲你自己挑着写 一、传统文化的内涵 中国传统文化是指中国历史上以个体农业经济为基础、以宗法家庭为背景、以儒家伦理道德为核心的社会文化体系。它有着悠久历史。是中华民族在历史长河中集体劳动和智慧的结晶。它从时间上讲，中国传统文化大致是指19世纪40年代鸦片战争前的中国文化。因为鸦片战争后由于西方文化的剧烈冲击。中国文化开始大幅度的震荡，调整。这种变化一直持续至今。从地域范围看，中国传统文化不仅包括传统的中国地理概念，还包括深受中国文化影响的越南、朝鲜等国家和地区，没有一个清晰的地域界限。她是我们的祖先传承下来的丰厚遗产，曾长期处于世界领先的地位。一方面具有强烈的历史性、遗传性；另一方面又具有鲜活的现实性、变异性。无时无刻不在影响着今天的中国人．为我们开创新文化提供历史的根据和现实的基础。今天中国人的思维与行为仍在不自觉中深受其影响。纵观历史，传统文化主要包括儒学、美德、礼仪、民族精神、榜样、诚信、和谐观、负面道德经验等方面。 二、多视角看传统文化教育的德育价值和体现 传统文化教育的德育价值，众说纷纭，许多专家和学者从不同的角度对此各抒己见。有些学者们论证了儒学教育思想的现实意义。认为儒学对构建和谐社会的目标、思想政治课程改革、提高思想政治教育的实效性等具有极为有益的作用。还认为新儒学伦理道德思想有助于建立中国特色社会主义道德教育，对当代大学生思想道德教育也有启示。改革开放以来和加入WTO以后，中国的人文精神及传统文化思想受到挑战。对学生进行儒学教育，坚定信仰教育有利重建精神家园，凸显人文精神，要求我们加强儒学伦理教育，倡导道德体验教育。 〔1〕有学者从美育及传统美德的角度看其德育的促进作用。也认为当代德育的社会文化环境受以现代传媒为特征的大众文化影响，人的审美受到侵蚀、精神世界也被无情的挤压着。青少年的奋斗精神、进取精神、创造精神受到巨大影响，自我意识强全局意识差、竞争意识强合作意识差、好胜心强抗挫折能力差等不健全人格结构。而美育与德育的终极价值取向是一致的，都是为了人的全面发展和最终实现人的自由；审美教育与价值观的培养及形成有密切的关系，这也是我国把美育作为学校素质教育的重要组成部分的原因；当前可以通过艺术教育、经典导读、看经典戏剧电影、文学导读、注重课程教材改革、重视校园文化建设等措施来实施美育。 〔2〕对于美德作为知识可教性，有学者论证了其可教的限度和方式。苏格拉底说：“美德即知识”。但美德作为知识被教师有限度的。原因是它主要通过理性去获得、美德本身的内涵在当代社会中的失落、合格的美德教育教师的失落。所以传授也有其特殊的方式，需要在实践中不断摸索。 〔3〕香港中文大学刘国强教授阐述了中华美德教育的理论意义和现实意义，指出儒家伦理教育之特点，尤其分析了仁的不同层面的含义和与诸德的关系，认为它们都是相互关联和融通的一个体系。他的关于中华美德的当代意义提醒了我们不要一味的追求现代的、西方的、流行的价值观，而忽略中华传统美德所蕴涵的价值。 〔4〕 至于道德榜样、榜样教育问题，部分学者论述了榜样的道德价值，道德榜样的类型、可能和功能。一般的榜样并不特指道德榜样，它们是一般与个别的关系。只有具有正面价值的榜样都有道德的崇高性或崇高的道德价值。从道德主体的角度看，可分为个体道德榜样与群体道德榜样：从社会生活的实际来看，不可能人人都成为道德榜样，主要是：掌握和控制社会道德资源者、对社会负有重大责任和具有重要影响者以及成年人。道德榜样有几种产生的可能，即先验论、发现论、需要论、实践论。不管怎样，道德榜样产生的条件至少应该是理性主义和普遍主义的诉求。道德榜样的功能如下：传统优秀道德的典型承载者，现实主导价值的积极弘扬者，未来理想道德的开拓创新者。这三种内在功能决定了道德榜样具有示范和激励的外在功能。 〔5〕现实教育中要积极发挥道德榜样的外在功能，使其转化为内在功能，以不断扩大的道德榜样的力量和影响力。但如何处理好榜样教育与偶像崇拜呢？有学者指出要合理运用它们之间的耦合，来建设新时期的文化和进行学校道德。需正确认识偶像崇拜语境下的榜样教育。随着现代传媒技术的发展和现代传播媒介产品的普及，新的文化形态和现象的出现冲击并改变着传统的文化模式和文化观念。时下榜样曲高和寡，偶像却层出不穷。这就要求找出新时代文化背景下榜样与偶像的差异与共生，建构它们间的耦合机制。需要我们贯通理性思维与情感体验；协调价值目标与现实生活。 〔6〕民族精神有其深刻的历史渊源和重要价值，当前有学者对学校如何进行民族精神教育作了研究和思考。指出民族精神教育应具有生活性、综合性、发展性，体现民族性和全球性的统一，且要设置专门的民族精神教育课程。拟定民族精神教育目标，不同的学习阶段，目标层层深入。至于其教育方法，不能脱离学生实际，而要从学生生活出发，尊重学生的主体性，在活动中开展教育，这样民族精神才可能真正被内化。 〔7〕在崇尚个人自由的现代社会里和以消费者需求为导向的教育市场化改革的影响下，当代学校民族精神教育面临着危机和价值困境，即如何处理好国家认同和个人自由的关系。学者认为，当代学校民族精神教育本身而言，强调个人自由与国家认同各有优缺点，因为他们反映人的精神需求中既渴求自由又希望有所归依的二重性，因此有学者要建立一种必要与可能的民族精神教育价值取向：基于个人自由的国家认同。根据哈贝马斯的商谈伦理学，通过达致共识的对话教学来实施民族精神教育，用讨论、辩论、说服教育的教学方法，使学生主动获得些道德规范和自己的价值观。 〔8〕有学者指出负面道德经验也有其德育价值，负面道德经验是指在道德生活世界中表现出来的具有假、恶、丑性质的道德事件或行为。但它在学校教育中却没有得到应有的重视，有人认为负面道德经验会对学生的道德成长产生消极的影响，因而在实践中采取回避或拒斥的态度。他们认为负面道德经验一旦被课程化，就会对学生的道德成长具有积极的影响；有利于发展学生处理负面道德经验的意识和能力，适应真实的道德生活世界；有利于培养学生的道德自主力、更好的理解正面道德经验和进行道德反省。我们知道任何事物都有其两面性，是矛盾的统一体，道德经验也不例外，学生不应该只知其一面，而不知另一面。那么负面道德经验在当前德育中缺位的原因是什么呢？根本原因在于人们认识上的偏差。有些人认为呈现负面道德经验与学校教育的性质不相符合；有些人认为学生的德性很大程度上是环境熏陶的结果，因而在学校教育中呈现负面的道德经验不利于学生的德性成长；有些人认为由于学生的身心发展还不成熟、缺乏道德免疫力，因而不宜向学生传递负面的道德经验。但它们不应成为学校摈弃负面道德经验的理由。学校德育不只是教师和学生过道德生活的地方，更是学生学习如何在社会上过道德生活的地方。社会上永远存在着真、善、美与假、恶、丑。学生不可能完全封闭在学校内，他们无时无刻不在与社会打交道。既然和社会交往，学生就不可避免的遇到负面道德经验。如果学校不让学生掌握面对负面道德经验的智慧，那么他们在遇到负面道德经验时就会茫然不知所措。所以学校应该将负面道德经验课程化以促进学生的道德成长。 〔9〕中国自古就被称为“礼仪之邦”。显然先秦时期的礼就是道德规范的载体，也是传承主流社会伦理思想的符号，具有重要的道德功能，有学者说其功能主要表现在道德内化、示范和传承等方面。礼的践履使人们逐渐养成遵守道德规范的行为习惯，形成道德观念，培育道德情感，使外在的道德规范转化为内在的道德自觉。礼仪则以理想的模式向社会成员展示主流社会的价值取向和供他们效仿的行为准则。礼仪还通过礼仪活动标准化的语言和动作，使社会道德规范成为可以习得的东西。先秦时期的礼具有传统礼仪的共性，另外，它的德育功能有其特殊性，第一，先秦礼教与乐较大配套进行，相辅相成；第二，先秦礼的道德教化与国家机器的推动密不可分。礼的法制化在一定程度上强化了礼的道德教化的作用，还有中国古代政教合一的机制是礼的道德教化的重要途径。 〔10〕也有学者分析了人生礼仪的德育内涵，它是一种特殊的民俗事象，指围绕着人的生命历程的关键时刻或时段而形成的仪式活动，具有丰富的德育功能。因为人生礼仪是传统文化的重要组成部分，一方面连接着寻常百姓的人生追求和需要，另一面连接着受儒家文化支配的传统价值观念，千百年来始终发挥着规范人生和统一教化的作用。当然人生礼仪德育功能的实现，要注意在开展礼仪活动时讲究实效性；要在庄重神圣的场合下，以富有象征和表现力的方式使受礼者完成道德教化过程。这对于今天的德育有借鉴意义。 〔11〕和谐是事物之间相互联系的机制和状态，它是发展着的联系。中国传统文化中蕴含有和谐的思想，如：“天人合一”、“整体和谐”、“和而不同”的思想都包含有和谐的意义。传统文化注重“修身”的价值追求，有助于提升公民的思想道德素质；传统文化崇尚“和为贵”的思想，有助于营造和谐的人际关系；传统文化追求“天人合一”的精神，有助于人与自然的和谐相处；传统文化“以民为本”的观念，有利于巩固社会和谐的基础。从一定意义上讲，构建社会主义和谐社会宏伟目标的提出，正是中国传统大同社会理想在现代的延续和升华。中国文化传统中追求和谐的思想由来已久，讲求和谐是往圣先贤们孜孜以求的社会理想，是中国传统文化的重要内容，也是我们今天构建社会主义和谐社会的思想文化基础。正是在这个意义上，我们应当把构建和谐社会植根于中国优秀传统文化的土壤中，从传统文化中汲取构建社会主义和谐社会的智慧和精神动力。例如：传统文化注重“修身”的价值追求，有利于提升公民的思想道德素质中国传统文化注重“修身”，强调个人道德人格的培养，对于提升全体公民的思想道德素质，具有极其宝贵的启示；传统文化崇尚“和为贵”的思想，有利于营造和谐的人际关系儒家提出“礼之用，和为贵”的思想，就是主张人与人、人与社会要宽容和谐。儒家“和为贵”的思想体现了中国传统文化对生命价值的尊重和对和谐理想的追求。 〔12〕在构建和谐社会的今天，为“和”的思想赋予崭新的时代内容，进一步倡导以和为贵的新型人际关系准则，无疑有利于化解社会矛盾，减少人际摩擦和社会内耗，在全社会形成“贵和尚和”的价值取向，增强人际关系的亲和力和凝聚力；传统文化追求“天人合一”的精神。有利于人与自然的和谐相处构建人与自然和谐相处的和谐社会，是与中国传统文化追求“天人合一”的精神一脉相承的。中国古代的思想家们把天地万物视为一个有机联系的整体，只有处于和谐关系中，才能得到发展并生生不息。儒家认为包括人类在内的自然界基本上是和谐的，传统文化中“天人合一”的思想虽然是农业文明的产物，但它反映了人与自然之间的亲和感和相互依存关系，对于我们反思现代工业文明对自然的征服态度，实现人与自然的和谐相处和经济社会的可持续发展，具有重要的启示。当前，我国正处在工业化加速发展的时期，正以历史上最脆弱的生态环境，承载着最庞大的人口，也正在以最快的速度消耗着可再生和不可再生的资源，面临着最突出的人与自然的矛盾。因而，深入贯彻落实科学发展观，统筹人与自然的和谐发展，走可持续发展的现代化道路，是建设社会主义和谐社会的必然要求；还有，传统文化中的“民本”思想，有利于巩固社会和谐，“民本”思想是中国优秀传统文化宝库中重要的精神资源，在中国传统思想文化中具有非常重要的地位。先秦文献中提到“民”的地方很多。我们只有把构建和谐社会植根于优秀传统文化的土壤中，善于汲取“民本”思想的精华并赋予其崭新的时代内容，才能夯实构建社会主义和谐社会的基础。一个以民为本的社会，才是一个和谐的社会。
从世界文化发展的趋势把握中国传统文化的现代化如何对待传统文化，在很长一段时间内，曾经不成问题。但走上近代社会后，在中西文明大碰撞中，我们开始对自己民族的传统文化进行反思，并很大程度上调整了以前对传统文化的看法。但是，这种反思，一直是在十分艰难的过程中前进。有前进，有障碍，有时甚至还会倒退。于是鸦片战争结束已有一百六十年，但对传统文化的反思，仍旧没有根本性的突破。这种情况，在世界各国中，可谓绝无仅有，也使许多人感到大奇不解。对中国传统文化反思如此困难，有政治环境恶劣的原因。中国的政治家，在中国现代化过程中，其思想文化观点相对保守，对专制主义的思想文化很容易产生精神上的共鸣。一旦对中国传统文化反思有了一定前进、突破，总会有一些从特权政治获得甜头的政治家，从幕后跳出来，用政治权力加以打击。近代不是有一些军阀，在国内大肆鼓吹尊孔吗？不懂思想文化，又要对思想文化横加干预，是中国传统文化反思难以前进的重要原因。中国传统文化构成复杂，也是一个原因。中国传统文化有数千年历史。时间长，在其发展的每一个阶段，都要增加一些东西，因此内容十分丰富，构成成份极其复杂。有许多东西是好的。有许多东西是糟粕。而精华与糟粕又往往混在一块。这使后人感到困惑：想说爱你，又不容易。因为分明有着太多的腐朽成份。想恨你吧，又恨不起来。因为中国传统文化又有许多至可宝贵的东西。不能不说，中国传统文化的构成复杂的这个特点，令后人感到十分尴尬。也是对中国传统文化反思难以前进的一个原因。中国传统文化的现代化，已进行了一百多年。总的印象，是太慢了。亚洲几个发展中国家传统文化的现代化，比我们快得多。这可能同他们直接走上资本主义道路，便于接收同属资本主义国家的西方世界先进成果有关。而我们则直接走上社会主义道路。由于我们在很长时间内不能以开阔的胸怀理解马克思主义，对于资本主义文明一直保持一种强烈的警惕性，不能积极地学习西方文化那些先进成果，结果反过来损害了我民族传统文化现代化进程。但是，中华民族这个传统民族，走向现代民族的脚步，是历史发展必然要求，是谁也难以阻挡的。中华民族传统文化现代化，尽管路途坎坷，却是最终要完成的。我们有理由相信，随着国内改革的深入，和国际上对外交往的增多，我们的胸怀将更开阔，我们对文化发展的规律将认识得更深刻，各种影响中国传统文化现代化的障碍，将逐渐被打破，中国传统文化现代化进程必将大大加快。这里还想就国家热谈一谈自己的精浅想法。这十多年后，又出现国学热，涌现一些国学大师。但笔者发现，一些人只是就国学谈国学，这已经走入歧路。时代不同了。今日谈国学，应站在整个世界文化背景去研究。要研究国学，就必须精通西学。就必须了解现代社会发展趋势。一个现代国学家，就必须同时也是现代西学家。这样，他研究国学，才能真正得出比较全面、成熟、中肯的结论。要研究国学必须研究春秋百家学，大唐文学，鲁迅文学；有人把千古罪学当作国学，其实把自己变成了千古罪人。