含有碰摩故障的双盘转子系统非线性行为
随着科技和生产水平的进步,工业对旋转机械工作效率的要求越来越高.为了满足高效率的要求,旋转机械转子与定子的间隙变的越来越小,增加了转子定子间的碰摩机率[1].据统计,国内80%的弯轴事故由转子定子间碰摩引发[2].因转子在运行过程中的碰摩力状态复杂,因此国内外的转子系统碰摩研究主要基于单盘模型,例如,曹素兵、陈多花和袁惠群等人以Jeffcott转子模型为对象,分别研究了转速比[3]、偏心量和转子质量[4-5]等参数对碰摩系统的影响以及碰摩系统的分岔和混沌行为[6-7];文献[8-9]则建立了基于单盘转子模型的含有弹性支撑的碰摩转子系统,并研究了其分岔和混沌行为.
本文在考虑转子重力的基础上,建立了一个刚性支撑的双盘碰摩转子模型,并通过数值仿真,揭示其分岔和混沌行为,以期为双盘或多盘转子碰摩故障的诊断和不稳定振动控制提供参考.
1 力学模型与运动微分方程
1.1 碰摩力
图1为碰摩力简化的示意图.在简化时,没有考虑摩擦所产生的热效应,并且假定转子和定子的碰撞为弹性碰撞[10],符合库仑摩擦定律,即切向摩擦力正比于接触面的法向力.
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图1 碰摩力模型Fig.1 Rub-impact force model
如图1所示,设d为转子与定子未发生碰撞时的间隙,转子在转动过程中因不平衡性而发生径向偏移,当径向位移r大于间隙d时,则转子与定子发生碰撞.此时的切向摩擦力Ff和径向力FN的关系为
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(1)
其中:式中:s=ω/ω0;s2=ωc/ω0;a=c/(2mω0)为无量纲阻尼系数;ρ=e/d为无量纲偏心量;G=g/(dω2)为无量纲外载荷.
将式(1)进行直角坐标转化,因为sin θ=y/r;cos θ=x/r,故其碰摩力的表达式为
由图3可知,随着kc值的增加,碰摩转子系统所展现的动力特性越来越丰富.当kc=1.0×107时,转子只进行周期1、周期2、周期4和周期8的周期运动,随着刚度的增加,逐渐出现拟周期和混沌运动.为了保证转子的正常运行,应尽量避免转子在混沌区工作.
(2)
1.2 双盘转子系统的运动微分方程
设转盘1和转盘2的径向位移分别为(x1,y1)、(y1,y2),则根据牛顿第二定律建立方程为
图2 双盘转子系统模型Fig.2 Two-disk rotor system model
为了充分考虑碰摩力对双盘转子系统的影响,假定转轴为刚性轴并且忽略其质量、扭转振动和回转力矩的影响[11],可建立如图2所示的双盘转子模型.
(3)
1.2 仪器和试剂 迈瑞Mindray公司的五分类细胞分析仪;Dympus BX50型显微镜;广州万孚公司的恶性疟原虫抗原检测试剂;染色液为RR8姬姆萨染液。
采用变步长四阶龙格库塔法对运动微分方程(4)进行数值求解.在求解过程中,为了获得稳定的周期解,计算了2 000个周期,并选取后200个周期的计算结果对系统进行分析,得到了该双盘转子系统非线性响应的分岔图、相图、轴心轨迹图以及Poincaré截面映射图.各主要参数如下:圆盘的质量m=m1=m2=3.0 kg;圆盘1、圆盘2的阻尼系数c1=1 200 N·s/m、c2=
(4)
式中:f为摩擦因子;r为转子的径向位移,为定子的径向刚度.
2 双盘转子系统的分岔与混沌
采用此方法,在一些处于停止状态下的设备如果短时停电,对电网是没有冲击的,所以瞬间停电干扰对设备的影响不是很大。电机制动时回馈的能量可以被利用,所以比较节能。而因能够回馈能量的电机无功功率损失较小,所以以此方法还可以可以提高设备的功率因数。而且多台变频器共用直流母线可以稳定直流母线电压,减小因设备启停造成的电网电压波动。
1 350 N·s/m;偏心距e1=0.015 mm、e2=0.01 mm;间隙d=0.15 mm;转子的刚度系数k=2.5×105;定子的径向刚度系数为kc=2.0×107;频率比s=3.0.
2.1 不同定子刚度下双盘转子系统的动力学特性
在研究碰摩转子系统过程中,定子刚度和转子的频率是重要参数,对转子系统动力特性产生影响.本文主要探讨刚度变化对转子系统动力特性的影响,通过设定不同的刚度系数,以频率比s为分岔参数,得到不同的分岔图,如图3所示.
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图3 kc取不同值的分岔图Fig.3 The bifurcation diagram when kc varies
为了准确描述转子系统的混沌运动,选取刚度系数为kc=2.0×107进行分析.由图3(c)可知,频率比较小时,转子做周期1运动,当频率比增大至s=5时,系统响应发生周期倍化分岔进入到周期2运动.随后当s=5.22时,发生逆周期倍化分岔转子又回归到周期1的运动.随着频率比继续增加,转子系统经历周期1、周期2、周期4、周期2和周期4运动最终进入混沌区.当s∈(10.38,10.52)时,转子进入拟周期运动区域,随后进入混沌区.
2.2 固定频率下系统响应随定子刚度的变化
为了进一步研究定子刚度对碰摩转子系统响应的影响,选取固定频率比s=5.95,以定子的刚度系数为分岔参数,画出系统响应分岔图以及相应的轴心轨迹图和Poincaré截面映射图.
为了便于数值计算,引入无量纲参数τ=ωt;X1=x1/d;Y1=y1/d;X2=x2/d;Y2=y2/d,其中:τ为无量纲时间;ω为转速,式(3)无量纲变换后,其公式为
图4为转子系统随定子刚度系数变化的分岔图和局部放大图,由图4(a)可知,转子系统的运动过程大致为:周期1→周期2→周期4→周期8→混沌→周期6→混沌.为了更加清晰地分析转子系统通往混沌的途径,分别绘制了kc=4.32×107,kc=5.0×107和kc=5.56×107的轨迹图和Poincaré截面映射图,如图5所示.
图4 s=5.95分岔图和局部放大分岔图Fig.4 Bifurcation diagram and partial magnification bifurcation diagram when s=5.95
图5 不同刚度下转子的轨迹和poincare截面映射图Fig.5 The Orbit and poincare section map when kc varies
由图5(a)和图5(b)可知,当kc=4.32×107时,转子的Poincaré截面映射图为有限个离散的点,并且其转子轴心轨迹图为有限个封闭曲线相交,这表明转子是通过倍周期途径进入混沌的;当kc∈[4.42,5.52]∪[5.58,5.72]时,转子为混沌运动,其轴心轨迹为多圆相交,Poincare截面为两条短线,如图5(c)和图5(d)所示.当kc=5.56×107时,其Poincaré截面映射图为6个孤立的点,轴心轨迹为6环相交,说明此时转子做周期6运动,随后进入混沌区,故此段也是由周期途径进入混沌的.
3 结论
本文建立一个含有碰摩故障的双盘转子系统模型,采用变步长四阶龙格库塔法对其进行数值仿真,利用分岔图、轴心轨迹图和Poincaré截面映射图对碰摩过程中产生的分岔和混沌行为进行分析.
1) 不同定子刚度系数下分岔图的对比分析表明,随着刚度系数减小,低速区的分岔点后移,中速区的多周期运动区域变宽,高速区的混沌区域减小,因此,在转子正常运转范围内,降低定子刚度系数可以有效的抑制混沌发生.
2) 对比分析固定频率比下的刚度系数-转子位移分岔图、轨迹图和Poincaré截面映射图,发现系统进入混沌的途径为倍周期途径,主要表现为周期倍化分岔和逆周期倍化分岔两种.
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