基于LQR控制器的直线倒立摆研究及设计

0 引言

直线倒立摆是控制领域中非常重要的控制系统，它在控制系统研究中受到普遍重视，已被公认为控制理论特别是现代控制理论的典型研究与试验设备，它不但是最佳实验工具还是一个理想的实验平台。因此，倒立摆控制的研究不但可以对控制进行理论研究，还在应用上面有一定的指导意义[1-3]。

线性二次型最优控制理论LQR属于线性系统综合理论中最具重要性和综合性的一类优化型综合问题，取性能指标函数为二次型函数积分，既考虑到系统性能的要求，又考虑到控制能量的要求[4-5]。

来自全国14个地区的教育局长及各地的校长、教研人员、公益基金会成员等500余人就如何构建政府、社会与学校的关系、扩大学校与社会在办学中的参与度和话语权等问题，进行了积极探讨和深入交流。

1 倒立摆数学模型

对直线一级倒立摆建立数学模型，如图1所示。

将小车与摆杆隔离，受力分析分别如图2和图3所示。

y=CX+Du

1.2.1 肠内营养 均在术中放置空肠营养管，术后1～2 d滴入生理盐水250～500 mL，术后第3天泵入糖尿病专用EN乳剂500 mL，并逐渐增加到1 500 mL/d，匀速滴入，连续支持7 d。

  

图1 直线倒立摆的示意

  

图2 小车隔离受力分析

  

图3 摆杆隔离受力分析

首先，分析小车水平受力，可得：

 

(1)

接着，分析摆杆水平受力，可得：

 

(2)

根据现代控制理论，n阶线性定常连续时间系统为：

 

图1～图3中，M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；F为加在小车上的力；Φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ为摆杆和与垂直向下方向的夹角。

离退休党员虽然从工作岗位上退了下来，但他们关心党和国家的大事，有着坚定的政治立场，识大体、顾大局，旗帜鲜明、立场坚定，永远和党中央保持一致。积极了解国家大事、积极参政议政，愿意参加党组织活动，有着继续为单位为社会发挥余热，做出力所能及的贡献的真诚愿望。

(3)

A为系统矩阵；B为输入矩阵；C为输出矩阵；D为直接传递矩阵。

将式(1)和式(2)代入式(3)，对方程求解并经过整理后的系统状态空间方程为：

 

 

 

(4)

K为线性最优反馈增益矩阵；v为信号输入。

2 倒立摆参数确定分析

根据倒立摆数学模型，本课题自行研制了直线一级倒立摆。首先进行小车部分设计，包括连杆轴承座及摆杆的设计、小车轴承座的设计、轨道支座设计，接着进行传动部分设计，包括同步带及同步带轮的设计、电机与同步带连接装置的设计以及同步轮支架的设计。在以上的基础上，分析各个部分的特征拓扑关系，然后从下到上，从部分到整体设计出整体三维模型图[6-8]。倒立摆整体倒立摆Pro/E模型图，如图4所示。研制出的倒立摆实物如图5所示。

  

图4 倒立摆Pro/E模型

  

图5 倒立摆实物

根据已经做出来的实际倒立摆系统，其物理参数测量如表1所示。

 

表1 倒立摆系统物理参数

  

名 称符号数值数量摆的质量/kgm0．13摆的长度/mL0．50小车位移(相对初始位置)/mX变量摆杆与水平面垂直向上的夹角/radΦ变量摆杆与垂直向下的夹角/radθ变量作用在倒立摆上的作用力/NF变量摆的转轴到质心的距离/ml0．25摆杆与小车相互作用力水平分量/NN变量摆杆与小车相互作用力垂直分量/NP变量

再代入自主设计的直线一级倒立摆参数得到系统状态空间方程[1-3]：

 

 

(5)

3 最优控制策略LQR研究

对于自主设计的直线一级倒立摆系统，基于对倒立摆系统的模型建立、参数确定等分析，有必要设计相应的控制器，以确保系统能稳定地加以控制。鉴于已推导出系统状态方程，因此可以采用状态空间极点配置和线性二次最优控制方法设计最优控制策略LQR [9]。应用线性反馈控制器，控制系统结构框图如图6所示。

  

图6 控制系统结构框图

LQR控制理论是反馈系统设计的一种重要工具,取性能指标函数为二次型函数积分，它既考虑到系统性能的要求，又考虑到控制能量的要求，综合出一个性能指标函数[4-5]。

根据线性二次最优控制LQR基本原理，系统方程为：

为使二次型性能指标函数J最小值，构造1个Hamilton函数如下所示：

2.企图接近型：指行为人与被害人并不会当面接触，但就空间及距离而言，实际上行为人非常靠近被害人，被害人甚至得以知觉到自己被跟踪、纠缠而产生困扰，典型范例如尾随、跟追，站岗等候而造成被害人处于心理压力之下。

 

(6)

二次型性能指标函数为：

 

(7)

应用LQR，可以得到对应的反馈增益矩阵K=lqr(A，B，Q，R)，这样就完成了LQR控制策略的设计。

如果倒立摆系统受到外界干扰而偏离零状态，则施加控制u*可以使系统回到零状态附近，并同时满足上式取得最小值的最优控制律为：

u*=v-KX

(8)

x是状态变量，u是输入变量。4个状态量分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出包括小车位置和摆杆角度。

3.新媒体发展迅猛，电视媒体出现窘况。在四种传统媒体中，相对而言，电视的发展受到的冲击较小，然而，电视也面临着巨大的生存危机。早在2014年4月22日的“东北新闻网”就有报道，“手机电视业务随着精细化运营的有效推进和渠道成本的降低，互联网视频网站的各项指标均取得突破式增长”，也就是说，新媒体的发展突飞猛进，而电视的发展却出现瓶颈。

 

λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

3.HIV核酸检测：感染HIV以后，病毒在体内快速复制，血浆中可检测出病毒RNA（病毒载量），一般用血浆中每毫升HIV RNA的拷贝数或每毫升国际单位（IU/mL）来表示。病毒载量检测结果低于检测下限，表示本次试验没有检测出病毒载量，见于未感染HIV的个体、HAART成功的患者或自身可有效抑制病毒复制的部分HIV感染者。病毒载量检测结果高于检测下限，表示本次试验检测出病毒载量，可结合流行病学史、临床症状及HIV抗体初筛结果做出判断。

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(9)

接着，求导Hamilton函数，令其值为0，则求出函数最小值为：

 

(10)

从而得到最优控制信号为:

-PA-ATP+PBR-1BTP-Q=0

(11)

Q和R分别为二次调节器；Q为半正定矩阵；R为正定矩阵。

第四，提升国有资本证券化水平。国有企业须充分利用各类资本市场，提升国有资本证券化水平。重点选择符合国家行业政策支持、主营业务突出、法人治理结构健全、盈利能力强的企业，全力推进上市，促进国有资本合理流动，实现资源优化配置和国有资产保值增值。

4 LQR控制参数仿真

根据推导出的直线一级倒立摆系统的系统状态方程，假设4个状态量分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出分别代表小车位置和摆杆角度。

假设全状态反馈可以实现(4个状态量都可测)，仿真曲线如图7所示。

从图7可以看出，直线倒立摆系统响应的超调量较小，但稳定时间和上升时间较大。

当Q11,Q33增大后，LQR系统仿真响应曲线如图8所示。

比较图7和图8可知：Q11，Q33增大，R不变时，系统反馈增益矩阵K变大，通过系统的相应结果会发现上升时间与超调量减小。Q增大后系统能在3 s的时间内达到稳定。

对于LQR系统，Q取不同的值，便可以得到不同的响应效果， 而Q的值逐渐增大，则系统抗干扰能力便逐渐增强，调整时间越短，从而使得系统稳定性越好[10]。

  

图7 LQR系统响应仿真

  

图8 Q11,Q33 增大后的LQR系统响应

基于前面所计算的反馈增益K对建立的模型进行仿真，则直线一级倒立摆系统LQR控制仿真如图9所示。

在直线一级倒立摆数学建模的基础上，自行研制了直线一级倒立摆，接着为确保倒立摆系统能更加稳定地控制，研究并设计了LQR控制器，给出了LQR控制器结构框图及理论分析。最后进行了仿真验证。仿真效果表明，所研究并设计的LQR控制器系统响应灵敏，能保证所设计的直线一级倒立摆系统的摆角在一定的区域内动态稳定竖直向上，即使小车位移突然变化，摆角也能按照要求快速响应并恢复到期望位置，保持倒立摆的摆杆倒立不倒。

  

图9 直线一级倒立摆LQR 控制仿真结果

图9中，曲线a为小车的速度曲线，曲线b为小车的位置曲线，曲线c为摆杆角度曲线，曲线d为摆杆角速度曲线。由图9可知，闭环控制系统响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，可以通过增大控制量来缩短稳定时间和上升时间[11]。

5 结束语

3.江泽民新安全观是合作安全观。“各国在安全上的相互依存不断加深，共同点在增多，任何国家都难以单独实现其安全目标。只有加强国际合作，才能有效应对全球安全挑战，实现普遍和持久的安全。”［3］525因此合作才是实现国际安全、促进世界和平的根本出路，必须把国家安全与国际安全结合起来，建立普遍安全意识，以和平共处五项原则为基础发展安全合作、国际合作，通过经济交往、政治谈判、军事对话等和平方式求得共同安全。

（四）茶艺人才不多。目前，区农委只有一名茶叶专业技术人才，镇街农业技术服务中心则更是缺乏技术人才，全区各大茶园从事种茶、采茶、制茶的多是中老年人，主要靠老经验、老办法进行粗放式种植管理，没有像渐江、福建等产茶地实行茶园精细化管理，分层定级意识不强，导致精品茶偏少，种茶制茶的手艺传承也面临断代。另一方面一些茶艺师的培养上侧重于技术性的培训，而对茶文化的理解不深、只注重表演上的花哨而缺乏一种文化传承的厚重。各类茶艺人才的匮乏和茶文化的后继无力，与我区把茶叶作为农业特色主导产业的定位远不相符。

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值得注意的是在BIM模型构建中施工人员还应对各数据信息分离处理，并对数据加以分析，确保系统化管理工作的有效开展。通过BIM建模还可促进资源配置的合理性，对施工项目管理权限充分明确，促进建筑施工管理质量及效率的提升。

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[4] 李新飞.多级倒立摆控制技术的研究[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2006.

在《伊朗核协议》实施之前，中国曾多次获得美国政府的“重大削减例外”豁免，分别为2012年6月、12月，2013年6月、11月[21-23]。2013年11月29日给予中国的大幅削减豁免于2014年5月28日到期。此后，随着有关伊朗核计划的国际谈判推进，美国于2014年1月延长了对伊朗制裁的临时解除期，并且同意在6个月内，在特定条件下不对购买伊朗原油的某些国家（包括中国）实施次级制裁。制裁临时解除期后又多次延长，直至2016年1月伊核协议实施。本次给中国等的豁免是美国退出《伊朗核协议》后对“重大削减例外”的首次适用。

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《秀才胡同》11处典故除“秋雁南飞”、“黄金屋/颜如玉”、“海棠春睡”及“沽酒当垆”4个典故外均出自前人文章或诗句；而《东风破》所用8处典故无一不出自诗句。