基于有限单元法的弯曲变形辅助教学

材料力学是固体力学的一个分支，是一门技术基础课，对土木工程、机械工程、航空航天工程等工科专业后续课程的学习较为重要[1]。而材料力学作为一门力学课程，本身概念多、公式多、计算多，学生学习有一定困难[2]。如何提高学生的学习兴趣，增强学习主管能动性，是任课教师一直关注的问题[3]。

有限单元法是在求解固体力学问题中产生的数值计算方法，伴随着有限元的发展，大型有限元计算软件应运而生,这些商业软件使用较为方便,可以帮助工程师解决较为复杂的工程计算问题。在材料力学课堂上引入有限单元法辅助教学，利用有限元软件的后处理功能，可以使一些抽象的力学概念更为形象的展示出来，从而使学生对抽象概念可以有更直观的认识，促进学生对概念的理解，加深学生的学习印象。

1 弯曲变形

材料力学主要研究杆件的拉伸与压缩、剪切与挤压、扭转、弯曲等变形情况，其中弯曲是较为重要的内容，难度也相对大一些。传统教学中，在讲解弯曲变形时，一般先选取简支梁或悬臂梁，讲解挠度与转角的定义，然后分别讲解如何利用积分法和叠加法求解弯曲变形。

[s1-GigabitEthernet0/0/2]lacp priority 100“配置s1交换机的g/0/0/2接口优先级，确保g0/0/2接口成为转发接口，g0/0/1接口成为备份接口”

分别准确称取0.0100 g（精确至0.0001 g）螺虫乙酯和 4种代谢产物标准品，用乙腈溶解并定容至100.00 mL，分别配制成100 mg/L的标准品储备液，于-20 ℃下避光保存。分别移取各标准储备液2.5 mL至10 mL容量瓶中，用乙腈定容，配成25.00 mg/L标准工作液，即用即配。

 

式中，M是弯矩函数，E是弹性模量，I是截面惯性矩，w是挠曲线函数，x是梁横截面位置。

参考文献:

 

我国雾霾大面积蔓延的成因已基本清楚，大气中绝大部分的硫酸盐并不是二氧化硫和氨气在大气中逐渐合成的，而是在燃煤电厂湿法脱硫装置中非常高效迅速地合成的气溶胶，根据山东大学教授朱维群对脱硫浆液的分析：“过滤去固体得到上清液，测其含有1.4%可溶性物质”，在此试验数据的基础上，按照国家“超低排放”标准中烟尘含量应小于10mg/Nm3的规定，并针对国内主流发电机的燃煤锅炉采用湿法烟气脱硫工艺，将该工艺所形成的气溶胶进行计算得到表1。

式中，θ为转角函数，C和D为积分常数。积分常数可以通过梁的边界条件和连续性条件来确定，但是，荷载较多时，计算较为复杂。积分法一般只讲解悬臂梁受集中力、简支梁受均布荷载、简支梁受集中力作用三道例题。随着分段函数的增加，计算过程越来越繁琐。

利用上述积分方法，大部分的梁弯曲变形问题都可以得到解决，学生只要建立挠曲线近似微分方程,然后通过积分以及边界条件和连续性条件，就可以得到梁的转角函数和挠曲线函数。然而，学生如果花费较多的时间用于函数的建立和求解，往往会忽视对弯曲变形物理意义的理解，忽略函数中各个物理量的意义。基于有限单元法的辅助教学，利用较为成熟的有限元软件，可以很好的显示不同荷载作用下梁的位移情况。

 

表1 弯曲变形的解析解和数值解对比（m）

  

0.5 m 1 m 1.5 m 2.0 m 2.5 m 3.0 m 3.5 m 4.0 m 4.5 m 5.0 m解析解×10-4 0.113 0.435 0.944 1.616 2.427 3.355 4.377 5.468 6.606 7.767数值解×10-4 0.118 0.447 0.961 1.639 2.457 3.391 4.419 5.516 6.606 7.827

2 有限单元法辅助弯曲变形教学过程

基于有限单元法辅助材料力学教学，利用较为成熟有限元软件的后处理功能，将抽象的力学概念形象的展示出来，可以进一步地处理较为复杂的材料力学问题，使学生更好的掌握材料力学的相关概念，激发了学生进一步深入学习相关力学知识的信念。

1）针对梁弯曲变形问题建立力学模型并合理描述；

2）按照积分法得到弯曲变形问题的解析解；

[1]倪振强.普通本科院校土木工程专业材料力学课程教学探索[J].高等建筑教育,2015,24(1):51-53.

综观以上三类的内在联系，我们发现，第一类的VP趋于客观真实描写，到第二类和第三类趋于主观虚拟，而且在这三类中VP对A性状的说明由受句子语境的限制逐步往摆脱语境限制方向发展，第一类和第二类VP和A的关系还比较紧密，VP所说明的A不能随意替换，第三类VP和A的关系则趋于自由，VP所说明的A不局限于我们例句中有限的例子，而是在实际使用中可以拓展。目前第三类“A到VP”中VP表A程度的用法是这三类中用得最多的，它的发展恰恰体现了该结构的发展趋势。

4）对解析解和数值解进行比较分析。

令l=5 m，F=10 kN，矩形截面梁，截面宽为a=250 mm，截面高为h=500 mm，弹性模量为E=2.06×1 011 N/m2，泊松比为μ=0.3。利用ANSYS有限元软件建立悬臂有限元模型，如图2所示，选用BEAM188单元，把悬臂梁划分为20个单元。利用有限元软件，可以把悬臂梁端部受集中力作用时的位移云图绘制出来，如图3所示，可以通过划分单元以及不同颜色清晰直观的显示截面形心的挠度以及截面的转角。

积分法求弯曲变形的前提是杆件变形时线弹性、小变形。在纯弯曲情况下，根据弯矩与曲率之间的关系，考虑挠曲线的几何特征，得到挠曲线的近似微分方程:

 

下面以悬臂梁端部受集中力为例说明辅助教学的过程。如图1所示，悬臂梁长度为l，在端部受有一集中力F，利用积分法可以求得该梁的挠曲线函数，如式（4）所示。

  

图1 长为l的悬臂梁端部受集中力F作用

  

图2 悬臂梁有限元模型

  

图3 悬臂梁端部受集中力作用位移图

利用式（4）可以得到悬臂梁端部受集中力作用时的挠度值，与有限单元法的计算结果进行比较，如表1所示。从对比结果来看，在划分成20个单元进行数值计算后，数值解和解析解相差很小，在1%以内，精度已经足够。

3 结论

针对弯曲变形问题，基于有限单元法的辅助教学过程如下:

对（1）式积分一次，可以得到梁的转角函数，再积分一次，可以得到梁的挠曲线函数，如下式所示:

3）按照有限单元法得到弯曲变形问题的数值解；

[2]孔祥清,曲艳东,李韧,等.材料力学课程教学改革与实践探讨[J].实验技术与管理,2017,34(2):174-178.

按，经过文献用例测查，我们发现“将伯”有两个义项，《辞源》只给出了其中一个义项，且所给典例与所交代的义项不符，却与另一个没有交代的义项相符。“将伯”的两个典义分别为：

[3]白杨,陈俊旗.浅谈《材料力学》的兴趣培养[J].河南建材,2012(6):143-144.